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e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 93 Aula 4 | Equações de 1° e 2° graus Meta da aula Apresentar os métodos de resolução de equações de 1° e 2° graus. • Demonstrar como modelar situações através dessas equações. Objetivos da aula Ao final do estudo desta aula, você deverá ser capaz de: resolver equações do 1° grau, mesmo quando elas não estive-1. rem em seu formato tradicional; resolver equações do 2° grau isolando a incógnita ou utilizando 2. a fórmula de Bhaskara, mesmo quando não estiverem em seu formato tradicional; modelar situações, identificando as incógnitas e montando as 3. equações que as descrevem; analisar e apresentar por escrito respostas de problemas con-4. textualizados; relacionar as raízes de uma equação do 2° grau com os coefi-5. cientes dessa equação. Pré-requisito Para a melhor compreensão desta aula, você deverá relembrar a matéria sobre fatoração de expressões algébricas. Edificaçõese-Tec Brasil 94 “Professor, estou muito confuso! Ontem você disse que o X era igual a 15. Afinal de contas, qual o valor de X?” e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 95 Equacionando problemas Esta aula é bem grande, como você perceberá ao longo dos seus estudos. Por esse motivo, você deverá separar um tempo maior para se dedicar a ela. Então, antes de começar, programe-se para separar a aula em duas, ou seja, estude-a em dois dias. Nossa su- gestão é que você estude, no primeiro dia, o assunto “equações do 1º grau”. Quando chegar à seção chamada de “equações do 2º grau”, pare e deixe-a para o outro dia. Você já percebeu que vários dos nossos problemas do dia a dia podem ser resolvidos com o uso da matemática? E muitos desses problemas resolvemos usando um modelo matemático chamado equação. Talvez você já tenha ouvido alguém dizer que precisa equacionar um pro- blema. Quando usamos esse termo matemático, com tal sentido, significa que queremos resolver alguma questão. O uso do termo “equação” mostra como essa ferramenta matemática já está incorporada ao nosso vocabulário, e que relacionamos o seu uso à solução de problemas. Quer ver como usamos uma equação no dia a dia? Você pede a um amigo que compre três sacos de cimento e entrega a ele uma nota de R$ 100,00 (cem reais) para que faça a compra. Quando seu amigo retorna com os sacos, ele devolve R$ 29,50 (vinte e nove reais e cinquenta centavos). Para conferir se o valor total da compra e o troco dado estão certos, você precisa saber quanto custou cada saco, mas seu amigo simplesmente esqueceu de pedir a nota. Como você faz para saber quanto custou cada saco? Você vai fazer uma conta, não é mesmo? E a conta que você vai fazer será uma equação. Porque nela existe um valor que você não sabe, e é esse valor que você vai querer descobrir. Edificaçõese-Tec Brasil 96 Fonte: www.sxc.hu/photo/1109610 Este é apenas um exemplo no qual podemos mostrar que a matemática procura descrever situações reais através de modelos matemáticos. Tais mo- delos matemáticos podem ser tabelas, gráficos, figuras e equações. O nosso estudo, nesta aula, será sobre as equações, mais especificamente sobre dois tipos: as equações do 1° grau e as equações do 2° grau. Vamos começar? Você prestou atenção no pré-requisito desta aula? Você deve relembrar o tema Fatoração! No primeiro grau, você apren- deu o que é fator: “Fator é cada parte de uma multipli- cação”, quer dizer, quando você multiplica 2 x 3 = 6, os números 2, 3 e 6 são os fatores desta multiplicação. Fatorar é achar os fatores de uma função, ou seja, achar uma conta de multiplicação que resulte em uma função que seja mais fácil para trabalhar. Site destaque Fonte: www.sxc.hu/photo/987822 Ja yl op ez ’s Va ili ki ’s e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 97 O assunto da aula de hoje são as equações de 1º e 2º graus. A fa- toração é indispensável na resolução de muitas dessas equações, então você precisa lembrar como fatorar antes de estudar esta aula. A seguir, você encontrará o endereço de três sites na internet que tratam do assunto, de forma resumida, e podem ajudá-lo a relem- brar o assunto. Mãos à obra! http://www.interaula.com/versao1.3/matematica/mat00002_01.htm http://www.sosmatematica.com/fatotacao.htm http://www.brasilescola.com/matematica/fatoracao-expressao- algebrica.htm Mas, afinal, o que é uma equação? Equação é toda igualdade que apresenta valores desconhecidos chamados de incógnitas. As incógnitas são representadas, normalmente, por letras la- tinas minúsculas; por exemplo, x, y, w, etc. Veja, a seguir, quatro exemplos de equações: 1 x + x = y 2w -5 =11 x +3 +1= 4 2x - 3y =14 Resolver uma equação significa determinar quais elementos de um conjunto universo podem tornar essa equação uma sentença verdadeira. Tais números (os valores das incógnitas) são chamados de soluções ou raízes da equação. O conjunto formado por todas as raízes de uma equação é chamado de conjunto solução da equação. Conjunto universo Conjunto de todos os valores que uma incógnita pode assumir. Sentença verdadeira Uma sentença é verdadeira quando o valor da direita da equação (à direita do sinal de igual) é igual ao valor da esquerda (valor à esquerda do sinal de igual). Glossário Edificaçõese-Tec Brasil 98 Fonte: www.sxc.hu/photo/1107036 Figura 4.1: As equações são formadas por números e letras. As letras são as incógnitas da equação. Quando o conjunto universo for pequeno, podemos determinar as raízes por simples substituições. Mas quando o conjunto universo tem muitos ou infinitos elementos, devemos utilizar técnicas que nos permitam descobrir todas as raízes das equações. Você aprenderá, mais adiante, a encontrar essas raízes. Quando o conjunto universo não é mencionado, consideramos que ele é o conjunto dos números reais (R). Para você entender melhor esta história de equações, raízes e conjunto uni- verso, veja alguns exemplos a seguir: Exemplo 4.1: Resolva a equação 2 3 1x − = , tendo como conjunto universo U = {1, 2, 3}. Resposta: Substituindo a incógnita (x) da equação por cada elemento de U (conjunto universo), temos: Sé rg io R ob er to Equações e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 99 2 . 1 - 3 = 1 ⇒ –1 = 1. Esta sentença é falsa porque – 1 não é igual a 1. 2 . 2 - 3 = 1 ⇒ 1 = 1. Esta sentença é verdadeira porque 1 é igual a 1. 2 . 3 - 3 = 1 ⇒ 3 = 1. Esta sentença é falsa porque 3 não é igual a 1. Logo, chegamos ao seguinte conjunto solução S = {2}. Porque, ao substituirmos a incógnita pelo número 2, encontramos uma sentença verdadeira. Exemplo 4.2: Resolva a equação 2 3 1x − = , tendo N como conjunto universo. Resposta: O símbolo N representa o conjunto dos números naturais que apresenta infi- nitos elementos. Sendo assim, não é possível substituir cada elemento de N na equação a fim de verificar quais nos fornecem sentenças verdadeiras. Vejamos, então, como resolver uma equação quando isso acontece: Tendo em mente a equação 2x - 3 = 1, devemos encontrar um método para isolarmos a incógnita X. Isolar a incógnita significa deixá-la sozinha de um lado da equação, passando os outros fatores para o outro lado. 1º Passo Podemos adicionar 3 a ambos os membros da equação, ou seja, somar 3 de cada lado da igualdade. Escolhemos esse número, pois ele é o oposto de –3, que é um dos fatores do lado esquerdo da equação. Esta é uma forma de retirarmos esse valor (–3) do lado da equação em que o X se encontra (lembre-se de que temos que isolar o X). Ao fazermos isso, teremos: 2 3 3 1 3 2 4 x x − + = + = Edificaçõese-Tec Brasil 100 2º Passo Podemos multiplicar cada membro da equação final do passo anterior por 1 2 , ou seja, multiplicar 1 2 de cada lado da igualdade. Mais uma vez, estamos ten- tando isolar o X, agora em busca de tirarmos o número 2. Para isso, devemos multiplicá-lo por seu inverso, que é 1 2 . Assim, teremos:1 2 2x = 1 2 4 x = 2 ⋅ ⋅ Isso nos mostra que 2 é a única solução ou raiz dessa equação, logo S = {2}. Fonte: www.sxc.hu/photo/1117094 Figura 4.2: Assim como nas contas mais simples, nas equações, o que está à esquerda do sinal de igual deve ter o mesmo valor do que está à direita. Além de conhecer diversos tipos de equações e como resolvê-las, é muito importante saber como equacionar problemas, ou seja, como descrever uma situação-problema através de uma ou mais equações, o que é chamado, em matemática, de modelar um problema. Modelagem é, portanto, o termo que utilizamos para transformar situações reais (do dia a dia) em uma lingua- gem matemática. Assim, poderemos resolvê-las. Si gu rd D ec ro os e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 101 Vejamos, então, uma situação real e como transformá-la em uma equação, para então resolvê-la (equacioná-la). Vamos modelar a história contada no exemplo 4.3. Exemplo 4.3: O proprietário de um terreno retangular (20m x 30m) contrata alguns ope- rários para construir uma calçada em volta de dois lados do terreno, como mostra a figura a seguir. calçada 20 m 30 m Um dos operários, com base em sua experiência, afirmou que iria precisar de cerca de 100m2 de lajotas. Para aproveitar as sobras de uma construção anterior, o proprietário do terreno entrega aos operários algumas lajotas qua- dradas que totalizam 72m2. Ele pede que construam a calçada utilizando apenas essas lajotas. Antes de iniciar a construção da calçada, os operários sentem a necessidade de descobrir com qual largura é possível construir a calçada utilizando total- mente os 72m2 de lajotas. Como eles desconhecem a largura da calçada e é este o valor que eles que- rem encontrar, é possível concluir que ela é a incógnita deste problema. Para montar a equação que irá solucionar o problema, vamos chamar de x a medida, em metros, da largura da calçada. Devemos determinar x, de modo que a área da calçada seja de 72m2, já que esta é a quantidade de lajotas que os operários possuem. Como a calçada é uma figura irregular (tem formato de L), Edificaçõese-Tec Brasil 102 iremos dividi-la em partes que sejam mais fáceis para calcular a área, como é o caso do quadrado e do retângulo. Veja como fica a divisão na figura a seguir. A1 = 30x x a x x xA2 = x2 A3 = 20x Perceba que a figura foi dividida em dois retângulos (A1 e A3) e um quadrado (A2). Tais figuras são chamadas de regulares e o cálculo de suas áreas é feito facilmente. A área de retângulos é resultado da multiplicação do lado menor pelo lado maior, e a área do quadrado é igual ao valor de um lado elevado ao quadrado. A área da calçada será encontrada pela soma das áreas destas três partes (A1, A2 e A3). A + A + A = 72 30x + x +20x = 72 x +50x = 72 1 2 3 2 2 Dessa forma encontraremos a largura da calçada ao resolvermos a equação x2 + 50x = 72. Você verá mais adiante como resolver equações como essas. e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 103 Pa ul o C or re a Fonte: www.sxc.hu/photo/1028640Fonte: www.sxc.hu/photo/1028642 Pa ul o C or re a Figura 4.3: Figuras como polígonos (figuras com lados e ângulos iguais), triângulos e quadriláteros (figuras com quatro lados) são fáceis de calcular a área. Você acabou de ver um exemplo contextualizado do uso de equações. Percebeu como elas podem ser importantes no seu futuro como Técnico em Edificações? Mas afinal de contas, o que é uma equação? É o que você vai descobrir agora. Equação do 1° grau Chama-se equação polinomial do 1° grau ou apenas equação do 1° grau toda equação com uma incógnita, a qual possa ser apresentada na forma ax b+ = 0. Nessa equação, as letras a e b estão representando números reais, sendo que a 0≠ , e o x representa a incógnita. Veja, a seguir, quatro exemplos de equações do 1° grau: − + = − = − = − = − +3 4 0 1 3 8 1 1 2 3 4 5 6x x x x x x Perceba que apenas o primeiro exemplo (- 3x + 4 = 0) está na forma ax + b = 0. O valor –3 corresponde à letra a, e o valor 4 corresponde à letra b. Mas podemos deixar as outras equações também nesse formato. Para aprender como, observe as operações realizadas nos exemplos a seguir: No primeiro caso, subtraia nos dois lados da equação o número 1. Esco-a) lhemos o número 1 porque ele deixa um dos lados da equação igual a zero. Dessa forma, a equação final fica igual ao modelo ax + b = 0. Veja como fica: Edificaçõese-Tec Brasil 104 1 3 8 1 1 3 8 1 1 1 1 3 9 0x x x− = ⇔ − − = − ⇔ − =• Na equação final, o valor 1 3 corresponde à letra a, e o valor –9 corresponde à letra b. No segundo caso diminuímos os dois lados da equação pelo número b) 2x . Escolhemos esse número pelo mesmo motivo do caso anterior, ou seja, porque ele deixa um dos lados da equação igual a zero. Dessa for- ma, a equação final fica igual ao modelo ax + b = 0. Veja como fica: x x x x x x x− = ⇔ − − = − ⇔ −( ) − =1 2 1 2 2 2 1 2 1 0• Nesta equação final, 1 2−( ) corresponde à letra a, e o valor –1 corresponde à letra b. No último caso, diminuímos os dois lados da equação pela expressão c) − +( )5 6x . Essa escolha se deve ao fato de que ela deixa um dos lados da equação igual a zero. Dessa forma, a equação final fica igual ao modelo ax + b = 0. Veja como fica: 3 4 5 6 3 4 5 6 5 6 5 6 3 4 5 6 0 8 10 0 x x x x x x x x x − = − + ⇔ − − − +( ) = − + − − +( ) ⇔ − + − = ⇔ − = • Na equação final, o número 8 corresponde à letra a, e o valor –10 corres- ponde à letra b. Você já conhecia o símbolo ⇔ que apareceu nas resoluções dos exemplos de equações do 1º grau? Ele significa dizer que o que está do seu lado esquerdo “é equivalente” ao que está do seu lado direito. Ele também indica que as equações de ambos os lados apresentam o mesmo conjunto solução. Nesse caso, dizemos que estas equações são equivalentes. e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 105 Fonte: www.sxc.hu/photo/1120745 Figura 4.4: Se você achar necessário, pode usar uma calculadora para ajudar nas contas. Agora você já sabe o que é uma equação do 1° grau e como identificá-la, o próximo passo é aprender a resolvê-la. Vamos lá? Resolvendo equações do 1° grau Antes de resolver uma equação, precisamos realizar algumas operações com o objetivo de isolarmos a incógnita. Ou seja, precisamos fazer algumas al- terações na equação, para que o x fique de um lado da equação e o resto da equação fique do outro lado do sinal de igualdade, o que facilita para descobrirmos o seu valor. Vamos, então, a um exemplo: Considere uma equação do 1° grau qualquer, ou seja, ax + b = 0, sendo a 0≠ . Somando - b a cada membro da equação ax + b = 0, temos: ax b ax b b b ax b+ = ⇔ + − = − ⇔ = −0 0 Sabemos que a 0≠ , mas o seu inverso existe, ou seja, 1 a (que não é igual Fl áv io T ak em ot o Edificaçõese-Tec Brasil 106 a zero) existe. Sendo assim, podemos multiplicar cada membro da equação ax - b por 1 a . Por que fazemos isso? Porque dessa forma deixamos só o X de um lado da equação. Veja como fica: ax b a ax b a x b a = − ⇔ ⋅ = − ⋅ ⇔ = −1 1 Este resultado demonstra que toda equação do 1° grau ax + b = 0 apresenta uma única raiz, que é − b a , encontrada após fazermos as contas. Ou seja, para uma equação do 1º grau no formato ax + b = 0, X será sempre igual a − b a . Fonte: www.sxc.hu/photo/1025341 Figura 4.5: Muitas vezes, a equação não está no formato ideal para que possamos calculá-la com facilidade. Quando isso acontece, devemos fazer algumas operações matemáticas para adequá-la e, assim, facilitar o cálculo. Sé rg io R ob er to e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 107 Vamos ver alguns exemplos para ficar mais fácil? Exemplo 4.4: Resolva a equação: 2 3 12 0x − = Resposta: A equação 2 3 12 0x − = é do 1º grau, com a = 2 3 e b = – 12. Como con- cluímos anteriormente, toda equação do 1º grau neste formato (ax + b = 0) tem uma única raiz, que é x b a = − . Substituindo osvalores de a e b nesta equação, temos que: x = − − = − − ⋅ =12 2 3 12 3 2 18 , ou seja, S = {18}. Exemplo 4.5: Um vendedor recebe uma comissão de 2% sobre o faturamento obtido com as vendas de determinado produto. Se o preço do produto é R$ 45,00, quantos produtos ele deve vender para obter uma comissão no valor de R$ 198,00? Resposta: Vamos chamar de n (poderia ser x, y, z, ..., qualquer outra letra) o núme- ro de produtos que deverão ser vendidos para que o vendedor ganhe a comissão de R$ 198,00. Para encontrarmos a resposta, devemos montar a seguinte equação: 2 100 45 198× × =n Essa equação significa que 2% ou ( 2 100 ) do total das vendas ( 45 × n ) serão iguais ao valor da comissão esperada (198). Assim, ao encontrar o valor de n, resolvemos a equação do 1° grau. Então, vamos calcular? 2 100 45 198 90 100 198 9 10 198 198 10 9 220 × × = ⇔ × = ⇔ × = ⇔ = × ⇔ = n n n n n Edificaçõese-Tec Brasil 108 Ou seja, o vendedor deverá vender 220 produtos para receber a comissão de R$ 198,00. A razão b a − só nos fornece diretamente a raiz de uma equação do 1° grau quando esta já está no formato ax + b = 0. Assim, na maior parte dos casos, a resolução de equação do 1º grau se dá pelo isolamento da incógnita, como mostrado no exemplo 4.5. Figura 4.6: Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transfor- mar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Então, o que você achou das equações do 1° grau? A melhor forma de saber se você aprendeu é fazendo as atividades que são propostas em seguida. Depois de fazê-las, respire fundo, pois vamos partir para um novo tipo de equação. Você será apresentado às equações do 2° grau. “Vejam como podemos transformar nossa ida à feira em uma equação matemática.” e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 109 Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Resolva cada uma das equações a seguir: 2x - 3 = 4 - 3xa) 3 10 2 x x − =b) 1 1 1 3 2 3x − + =c) x x−( ) − −( ) = −2 4 10 2 2 d) Atividade 2 Atende aos Objetivos 1, 3 e 4 Um tanque possui duas torneiras distintas para esvaziá-lo. Se o tanque esti- ver cheio, ele será esvaziado em 30 minutos abrindo-se a primeira torneira. Se as duas torneiras estiverem abertas, esse tempo de esvaziamento diminui 10 minutos. Determine o tempo necessário para esvaziar totalmente o tan- que, abrindo apenas a segunda torneira. Edificaçõese-Tec Brasil 110 Atividade 3 Atende aos Objetivos 1, 3 e 4 Em uma viagem, o motorista verificou que na primeira metade do percurso o rendimento médio do carro foi de 12 quilômetros por litro de combustível. Na segunda metade da viagem, o carro foi guiado de forma mais rápida e passou a ter um rendimento médio de 10 quilômetros por litro de combus- tível. Foram gastos 32 litros de combustível durante toda a viagem. A partir dessas informações, qual a distância percorrida pelo carro? Atividade 4 Atende aos Objetivos 1, 3 e 4 Um fabricante de pneus fez testes com uma de suas marcas de pneu. Os tes- tes constataram que quando os pneus são usados nas rodas dianteiras eles têm a durabilidade de 40.000 quilômetros. Quando esses mesmos pneus são usados nas rodas traseiras, a durabilidade é de 60.000 quilômetros. A partir das informações, e permitindo-se fazer um rodízio entre os pneus tra- seiros e dianteiros, qual a maior quilometragem que pode ser percorrida por um carro usando “apenas” os quatros pneus novos dessa marca? Atividade 5 Atende aos Objetivos 1, 3 e 4 Atenção: este é um exercício-desafio. Talvez você tenha um pouco de dificul- dade para resolvê-lo, mas não deixe de tentar fazê-lo. e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 111 Uma lanchonete vende suco e refresco de tangerina. O suco e o refresco são preparados colocando-se água em um con- centrado da fruta. Para fazer o suco, a razão entre o volume do concentrado da fruta e o volume de água é 1/2 (um para dois), o que significa que, para cada volume do concentra- do, colocam-se duas vezes a mesma quantidade de água. Para fazer o refresco, a razão entre o volume do concentrado da fruta e o volume de água é 1/5 (um para cinco). O atendente da lanchonete quer pre- parar 12 litros de refresco acrescentando água a certo volume de suco que já estava preparado. Qual o volume de suco que o atendente deve ter para poder preparar o refresco? Equação do 2° grau Chama-se equação polinomial do 2° grau, ou apenas equação do 2° grau, toda equação que tenha uma incógnita e que possa ser apresentada na for- ma ax2 + bx + c = 0. Nesse tipo de equação, as letras a, b e c estão represen- tando números reais, sendo que a 0≠ , e a letra x representa a incógnita. Fonte: www.sxc.hu/photo/1080104 - Shlomit Wolf Figura 4.7: As referências mais antigas sobre a resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau foram encontradas em textos babilônicos escritos há cerca de 4.000 anos. Fonte: www.sxc.hu/ photo/1154679 St ev e W oo ds Sh lo m it W ol f Edificaçõese-Tec Brasil 112 Veja, a seguir, alguns exemplos de equações do 2° grau: x x x x x x x x 2 2 2 2 3 4 0 2 3 1 1 2 3 0 1 4 − − = − = − + −( ) ⋅ −( ) = −( ) = Perceba que apenas o primeiro exemplo (x2 – 3x – 4 = 0) está na forma ax2 + bx + c = 0. O valor 1 corresponde à letra a (quando não há um número na frente do X, este número é 1), o valor – 3 corresponde à letra b; já o valor – 4 corresponde à letra c. Mas podemos deixar as ou- tras equações também nesse formato. Para aprender como, observe as operações realizadas nos exemplos a seguir: Neste primeiro caso (xa) 2 – 2x = – 3x2 + 1), diminuímos os dois lados da equação por toda a expressão que está do lado direito do sinal de igual. Ao fazermos isso, o lado direito da equação fica igual a zero. Dessa for- ma, a equação final fica igual ao modelo ax2 = bx = c = 0. Veja a seguir: x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 0 − = − + ⇔ − − − +( ) = − + − − +( ) ⇔ − + − = ⇔ 44 2 1 02x x− − = • Na equação final, o valor 4 corresponde à letra a, o valor – 2 corresponde à letra b, e o valor – 1 é a letra c. No exemplo (b) x x−( ) ⋅ −( ) =1 2 3 0 ), ao desenvolvermos a multiplicação en- tre os dois fatores (ao multiplicarmos x por 2x – 3 e ao multiplicarmos – 1 por 2x – 3), a equação final fica igual ao modelo ax2 + bx + c = 0. Veja a seguir: x x x x x x x x x x −( ) ⋅ −( ) = ⇔ ⋅ −( ) − ⋅ −( ) = ⇔ − − + = ⇔ − + = 1 2 3 0 2 3 1 2 3 0 2 3 2 3 0 2 5 3 2 2 00 • Na equação final, o valor 2 corresponde à letra a, o valor –5 corresponde à letra b, e o valor 3 é a letra c. Neste exemplo (c) x −( ) =1 4 2 ), lembre-se de que x x x−( ) = − ⋅ −1 1 1 2 ( ) ( ). O restante da solução é semelhante ao exemplo anterior. Assim, a equa- ção final fica igual ao modelo ax2 + bx + c = 0. Veja: e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 113 Na equação final, o valor 1 corresponde à letra a, o valor – 2 corresponde à letra b, e o valor – 3 é a letra c. Fonte: www.sxc.hu/photo/573450 Figura 4.8: Muitas vezes, não encontramos a equação em sua forma ideal. Quando isso acontece, devemos fazer alguns cálculos para ajustá-la. Equações do 2° grau também podem ser resolvidas isolando-se a incógnita. Vamos ver como é feito usando os exemplos das equações anteriores: Exemplo 4.6: Resolva a equação: x x−( ) ⋅ −( ) =1 2 3 0 Resposta: Observe que esta equação é a multiplicação de dois fatores: (x – 1) e (2x – 3). Essa multiplicação tem como produto (resultado) o zero. O produto de dois ou mais números (ou fatores) só será igual a zero se pelo menos um dos fatores for zero. Sendo assim, temos: x x x ou x x ou x x ou x −( ) ⋅ −( ) = ⇔ − = − = ⇔ = = ⇔ = = 1 2 3 0 1 0 2 3 0 1 2 3 1 3 2 Sa nj a G je ne ro Edificaçõese-Tec Brasil 114 Assim, o conjunto solução da equação é S = 3 2 2 , Exemplo 4.7: Resolva a equação: x −( ) =1 4 2 Umaboa estratégia para descobrir o resultado é eliminando a potência do membro esquerdo da equação, ou seja, eliminando a potência de x −( )1 2 . Para isso, devemos extrair a raiz quadrada de ambos os membros. Assim temos: x x x x x x x x −( ) = ⇔ −( ) = ⇔ −( ) = − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = − 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2 2 Assim, o conjunto solução da equação é S = −{ }3, 1 . Exemplo 4.8: Resolva a equação: x x2 3 4 0− + = . Resposta: Para resolver esse tipo de equação, teremos que utilizar alguns artifícios mate- máticos até que ela fique da mesma forma do exemplo 4.7. Para isso, devemos passar essa equação para um formato em que ela fique como m nm n2 22± + . As letras m e n são incógnitas, ou seja, representam quaisquer valores. x x x x x x I2 2 2 2 2 3 4 0 2 3 2 4 0 2 3 2 3 2 4 3 2 − − = ⇔ − ⋅ − = ⇔ − ⋅ + − = ( ) Observe que a equação anterior contém uma expressão do tipo m nm n2 22− + . Lembre-se de que m nm n m n2 22− + = −( )†, onde na nossa expressão m x= e n = 3 2 . Assim, x x x2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 − ⋅ + = − ; substituindo em (I) temos: e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 115 x x x− − = ⇔ − − + = + ⇔ − 3 2 4 3 2 3 2 4 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = 2 2 2 9 4 4 3 2 25 4 3 2 25 4 3 2 5 2 3 2 5 x x x x 22 3 2 5 2 5 2 3 2 5 2 3 2 4 1 ou x x ou x x ou x − = − = + = − + = = − Assim, o conjunto solução da equação é S = −{ }4, 1 . Conheça o livro... Você se interessou pelas equações do 2º grau? Quer aprender mais? Segue, então, uma dica. Existe uma coleção de livros chamados Pra que serve Matemática? Os livros dessa série têm como objetivo mostrar ao aluno a utilidade prática da matemática. O efeito é alcançado rela- cionando a disciplina com fatos e dúvidas do dia a dia. Os livros têm um divertido visual de revista de histórias em quadri- nhos. Além da matemática, você vai encontrar curiosidades, jogos, quebra-cabeças e histórias. Achou divertido? Procure na livraria mais próxima. Fonte: www.americanas.com.br/prod/862330/BookStore?i=1 Você percebeu que podemos calcular uma equação do 2º grau sem transformá- la no modelo ax bx c2 0+ + = ? Então, por que será que você aprendeu a trans- formar as equações nesse formato? A resposta à pergunta é simples: porque existe uma fórmula que facilita o cálculo de equações de 2º grau, mas você só consegue aplicá-la quando a equação atende a esse formato. Tal fórmula é cha- mada de fórmula de Bhaskara: o assunto da próxima seção. Edificaçõese-Tec Brasil 116 Fórmula de Bhaskara Há uma fórmula que nos permite determinar as raízes de uma equação do 2° grau a partir dos seus coeficientes. No Brasil, essa fórmula é conhecida como fórmula de Bhaskara. Pense em uma equação com as seguintes características: ela está na forma ax• 2 + bx + c = 0; os valores a, b e c desta equação pertencem ao conjunto dos números • reais; e a é diferente de zero.• Quando encontramos uma equação nesse formato e com tais características, podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar o seu resultado, que chamamos de equação do 2º grau. A fórmula de Bhaskara é representada pela seguinte expressão: x b a b aconde= − ± = −∆ ∆ 2 42, . Mas de onde vem essa tal de Bhaskara? Você já parou para pensar de onde os matemáticos tiram as fór- mulas matemáticas? As fórmulas costumam ser desenvolvidas a partir de cálculos complexos e contas, geralmente, bem grandes. Se você estiver curioso sobre como chegar ao modelo final da fór- mula veja a seguir como ela foi desenvolvida. Fonte: www.sxc.hu/photo/1149239 Coeficiente Os coeficientes são os valores associados a cada termo da equação. Por exemplo, na equação 4x² + 3x + 2 = 0, os coeficientes são 4, 3 e 2, ou seja, os valores referentes ao que chamamos de a, b e c. Bhaskara Bhaskara Akaria: matemático, professor, astrólogo e astrônomo, nascido no ano de 1114, na Índia. De uma família de astrólogos, seguiu essa tradição profissional, mas com uma orientação científica, ou seja, usando a matemática e a astronomia para dar sustentação à astrologia. Foi diretor do Observatório de Ujiain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia. Escreveu um livro chamado Lilavati, que tratava de problemas simples de aritmética, geometria plana e combinatória. Bhaskara conhecia a fórmula que leva seu nome, porém ela não foi descoberta por ele. A fórmula já era do conhecimento do matemático chamado Sridara, que viveu mais de 100 anos antes de Bhaskara. (Fonte: Adaptado de http:// www.matematica-na-veia. blogspot.com/2007/09/ bigrafia-de-bhaskara.html) Glossário Sa nj a G je ne ro e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 117 Vamos deduzir essa fórmula a partir de uma equação do 2° grau qualquer, ou seja, uma equação ax2 + b + c = 0. Como a ≠ 0, podemos multiplicar ambos os membros da equação por 1 a , obtendo: ax a bx a c a a x b a x c a 2 21 1 1 0 1 0× + × + × = × ⇔ + + = Para completarmos um trinômio quadrado perfeito, somaremos b a2 2 a ambos os membros da igualdade, ou seja, a ambos os lados da igualdade. Veja como fica: x b a x b a c a b a x b a x b a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + = ⇔ + + =. . aa c a − 2 Lembrando-se do produto notável ( )p m p pm m+ = + +2 2 22 , ob- temos: x b a b a c a + = − 2 4 2 2 2 Tirando o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos denominadores das frações apenas no segundo membro, a equação fica da se- guinte forma: x b a b ac a + = − 2 4 4 2 2 2 A expressão b2 - 4ac é chamada de discriminante da equação, sen- do representada pela letra grega ∆ (lê-se delta). A equação fica, então, da seguinte forma: x b a a + = 2 4 2 2 ∆ Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, ficamos com a seguinte equação: Edificaçõese-Tec Brasil 118 x b a a x b a a ou x b a a x b a a ou x b a a + = ⇔ + = + = − ⇔ = − + = − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Podemos resumir as duas possibilidades em uma única equação. Veja: x b a = − ± ∆ 2 Agora que você já sabe como é a fórmula de Bhaskara, vamos aprender a usá-la para resolver uma equação. Observe, então, os exemplos a seguir. Exemplo 4.9: Resolva a equação: 3x2 - 13x + 4 = 0 Resposta: Calculamos inicialmente o valor de ∆. ∆ ∆ ∆ = − = −( ) − × × = − = b ac2 2 4 13 4 3 4 169 48 121 Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos: x b a x x x x ou x = − ± ⇒ = − −( ) ± × ⇒ = ± ⇒ = ± ⇒ = + = ∆ 2 13 121 2 3 13 121 6 13 11 6 13 11 6 13 −− = = 11 6 4 1 3 x ou x Assim, o conjunto solução da equação é S = 1 3 4, . e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 119 Exemplo 4.10: Um trem mantendo sua velocidade constante percorreu 200 km num certo intervalo de tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria feito o percurso em 1 hora a menos. Determine a velocidade em que o trem realizou a viagem. O resultado deve estar em km/h (quilômetros por hora). Fonte: www.sxc.hu/photo/1100885 Figura 4.9: Para descobrir a velocidade do trem, você tem que montar uma equação do 2º grau. Resposta: Chamaremos de v a velocidade do trem (em km/h) durante o percurso; e cha- maremos de t o intervalo de tempo (em horas) que durou o deslocamento. A partir da definição de velocidade média, temos que v t = 200 , ou seja, t v = 200 . Caso o trem tivesse se deslocado com a velocidade de v + 10 km/h, o deslo- camento teria durado t - 1 horas. A partir da definição de velocidade média, temos que v t + = − 10 200 1 . D io s_ co m ’s Velocidade média Conceito de física determinado pela razão entre a distância que um objeto ou pessoa percorre e o tempo que este objeto ou pessoa gastou para percorrer esta distância.A velocidade média é expressa pela fórmula mv d t = ∆ , onde d é a distância e ∆t o intervalo de tempo. Glossário Edificaçõese-Tec Brasil 120 Substituindo o resultado de t (na equação t v = 200 ) na equação v t + = − 10 200 1 , temos: v v v v + = − ⇒ +( ) × − =10 200 200 1 10 200 1 200 Multiplicando os dois fatores do 1º membro da equação anterior, temos: 200 2000 10 200− + − =v v Multiplicando ambos os lados por v, chegamos a: 200 2000 10 200 10 2000 02 2v v v v v v− + − = ⇒ − − + = Agora, é só aplicar a fórmula de Bhaskara: ∆ ∆ ∆ ∆ = − = −( ) − × −( ) × = = − ± ⇒ = − −( ) ± × b ac v b a v 2 2 4 10 4 1 2000 8100 2 10 8100 2 −−( ) ⇒ = ± − ⇒ = = − = ± − ⇒ = + − ⇒ = − − 1 10 90 2 40 50 10 90 2 10 90 2 10 90 2 v v ou v v v ou v vv ou v= − =50 40 Como a velocidade é um valor positivo, concluímos que o trem se deslocou a 40 km/h. Você sabia que é possível saber quantas raízes (soluções) uma equação do 2º grau terá através do valor de ∆? É nosso próximo assunto. Existência de raízes reais O valor de ∆ é capaz de nos informar a quantidade de raízes que a equação do 2º grau terá. É possível saber, inclusive, se os valores dessas raízes serão iguais ou diferentes um do outro. e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 121 Analisando a fórmula obtida para obtenção das raízes da equação do 2º grau v b a = − ± ∆ 2 , podemos saber que, quando: ∆• = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais. Ou seja, quando o valor de ∆ for zero, a equação terá dois resultados de mesmo valor e que fa- zem parte do conjunto dos números reais. ∆• > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas. Ou seja, quando o va- lor de ∆ for positivo, a equação terá dois resultados de valores diferentes e que fazem parte do conjunto dos números reais. ∆• < 0, a equação não terá raízes reais, já que ∆ ∉ R. Ou seja, quando o valor de ∆ for negativo, a equação não terá resultado, pois a raiz de um número negativo não pertence ao conjunto dos números reais. Figura 4.10: Ao descobrir o valor de Δ, você será capaz de saber se a equação tem raízes e, ainda, quantas raízes ela possui. “Diga-me, delta, se esta equação tem raízes e quantas são.” Edificaçõese-Tec Brasil 122 A seguir, você verá outra característica importante das equações do 2º grau. É possível calcular a soma e o produto das raízes desse tipo de equação sem saber quais são os seus valores. Quer saber como? Então, vamos lá! Soma e produto das raízes A soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau podem ser obti- dos sem que seja preciso conhecer as raízes, como mostramos a seguir. Primeiro, vamos ver como encontrar a soma das raízes. Chamaremos as raí- zes desconhecidas de x1 e x2. Como sabemos que cada uma delas correspon- de, respectivamente, às fórmulas − + − −b a e b a ∆ ∆ 2 2 , podemos dizer que a soma das raízes é igual à soma das fórmulas. Veja como fica: x x b a b a x x b a x x b a 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 + = − + + − − + = − ⇒ + = − ∆ ∆ • Ou seja, a soma das raízes x1 e x2 pode ser encontrada a partir da fórmula − b a . Agora, vamos ver como encontrar o produto (resultado da multiplicação) das raízes. Chamaremos novamente as raízes desconhecidas de x1 e x2. Já sabe- mos também que cada uma delas corresponde, respectivamente, às fórmulas − + − −b a e b a ∆ ∆ 2 2 ; podemos dizer, então, que o produto das raízes é igual ao produto das fórmulas. Veja como fica: x x b a b a x x b a x x b 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 ⋅ = − + ⋅ − − ⋅ = −( ) − ( ) ⋅ = ∆ ∆ ∆ −− = − + ⋅ = ⇒ ⋅ = ∆ 4 4 4 4 4 2 2 2 2 1 2 2 1 2 a b b ac a x x ac a x x c a • Ou seja, o produto das raízes x1 e x2 pode ser encontrado a partir da fórmula c a . e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 123 Figura 4.11: É possível calcular a soma e/ou o produto das raízes de uma equação sem saber o valor dessas raízes. Tais fórmulas ajudam bastante no cálculo de alguns problemas em que não temos os valores das raízes, nem como encontrá-los. A seguir você encon- trará várias atividades para testar seus conhecimentos, e poderá, inclusive, verificar a afirmação. Boa sorte! Atividade 6 Atende ao Objetivo 2 Resolva as seguintes equações: x x2 7 12 0− + =a) “Meu próximo número será de adivinhação. Alguém da plateia me diga uma equação. Vou adivi- nhar qual é a soma ou o produto das raízes dessa equação!” Edificaçõese-Tec Brasil 124 2 4 4 3 02x x x−( ) − +( ) =b) x x−( ) + −( ) =1 4 17 2 2 c) x x x + − = − 1 2 3d) Atividade 7 Atende aos Objetivos 2, 3 e 4 Dois barcos partem de margens opostas de um rio deslocando-se perpendi- cularmente às margens e com velocidades constantes (a velocidade é a mes- ma durante todo o percurso). Eles acabam se cruzando a 720m da margem mais próxima e continuam a viagem. 720 m e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 125 Os dois barcos chegam até a margem oposta da qual partiram e retornam imediatamente em direção à margem de onde saíram. Durante o retorno, eles voltam a se encontrar, desta vez a 360m da outra margem. 360 m Com base nessas informações, determine a largura do rio. Atividade 8 Atende aos Objetivos 2, 3 e 4 Um grupo de amigos se reuniu em um restaurante e, ao pagar a conta, que era de R$ 672,00, dois deles perceberam que estavam sem suas carteiras. So- lidariamente, cada um dos amigos contribuiu com R$ 8,00 a mais de modo a quitar totalmente a conta. Qual o número de pessoas desse grupo? Edificaçõese-Tec Brasil 126 Atividade 9 Atende aos Objetivos 3, 4 e 5 Determine o maior valor possível para c na equação x2 - 7x + c = 0. Determi- ne esse valor de modo que a equação tenha raízes inteiras. Resumo A matemática procura descrever situações reais através de modelos • matemáticos, como tabelas, gráficos, figuras e equações. Equação é toda igualdade que apresenta valores desconhecidos, cha-• mados de incógnitas, e que são representados, normalmente, por letras latinas minúsculas. Chama-se • equação polinomial do 1° grau, ou apenas equação do 1° grau, toda equação de uma incógnita que possa ser reduzida à forma ax + b = 0, onde a e b são números reais, com a 0≠ , e x representa a incógnita. Toda equação do 1° grau ax + b = 0 apresenta uma única raiz obtida por • − b a . Chama-se • equação polinomial do 2° grau, ou apenas equação do 2° grau, toda equação de uma incógnita que possa ser reduzida à forma ax2 + b = 0, onde a , b e c são números reais, com a 0≠ , e x representa a incógnita. Podemos obter as raízes de uma equação do 2° grau a partir dos coefi-• cientes utilizando a fórmula x b a = − ± ∆ 2 , onde ∆ = −b ac2 4 . Se • ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais; se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas; se ∆ < 0, a equação não terá raízes reais, pois ∆ ∉ R. e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 127 A soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau podem ser • obtidos sem que seja preciso conhecer as raízes, através das fórmulas x x b a e x x c a1 2 1 2+ = − ⋅ = . Informações sobre a próxima aula Na próxima aula, trataremos de problemas que depois de serem modelados apresentam equações com mais de uma incógnita. Veremos também como determinar números reais que atendam, simultaneamente, a todas essas equações obtidas em um dado problema. Respostas das atividades Atividade 1 OBS.: As resoluções de todas as equações desta atividade foram feitas de maneira detalhada para facilitar a conferência de qualquer erro que você te- nha cometido. É claro que você pode fazer algumas etapas simultaneamen- te, e outras podem ser feitas implicitamente (sem escrever; feitas de cabeça), resumindo a resolução! 2 3 4 3 2 3 3 4 3 3 5 3 4 5 3 3 4 3 5 7 1 5 5 1 5 x x x x x x x x x x − = − ⇔ − + = − + ⇔ − = ⇔ − + = + ⇔ = ⇔ =. .77 7 5 7 5 ⇔ = = x S a. 3 102 3 10 2 3 10 2 3 10 2 2 2 10 0 10 x x x x x x x x x x x x x x − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − − = − ⇔ − = ⇔ − + . . 110 10 10 10 = ⇔ = = { }x S b. Edificaçõese-Tec Brasil 128 1 1 1 3 2 3 1 1 1 3 1 3 2 3 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 x x x x x x − + = ⇔ − + − = − ⇔ − = ⇔ − − = − ⇔ = .( ) .( ) 11 3 1 1 3 1 3 1 3 3 1 1 3 1 1 3 1 4 4 .( ) . .( ). x x x x x x S − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − = ⇔ − + = + ⇔ = = { } c. x x x x x x x x x x −( ) − −( ) = − ⇔ − + − − +( ) = − ⇔ − + − + − = 2 4 10 4 4 8 16 10 4 4 8 16 2 2 2 2 2 2 −− ⇔ − − + + − = − ⇔ − = − ⇔ − + = − + ⇔ = ⇔ 10 4 8 4 16 10 4 12 10 4 12 12 10 12 4 2 1 2 2x x x x x x x 44 4 1 4 2 1 2 1 2 . .x x S = ⇔ = = d. Atividade 2 Chamaremos de V a capacidade, em litros, do tanque. E chamaremos de n o tempo que a segunda torneira, sozinha, leva para esvaziar totalmente o tanque. Se a primeira torneira esvazia o tanque em 30 minutos, então, a cada minuto, são despejados para fora do tanque V 30 litros de água por essa torneira. Se a segunda torneira esvazia o tanque em n minutos, então, a cada minuto, são despejados para fora do tanque V n litros de água por essa torneira. Se as duas torneiras juntas esvaziam o tanque em 20 minutos (lembre-se de que as duas torneiras juntas diminuem o tempo da primeira em 10 minutos), e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 129 então, a cada minuto, são despejados para fora do tanque V 20 litros de água por essas torneiras. Mas a vazão das duas torneiras juntas é a soma das vazões de cada torneira; sendo assim: V V V n V V V n20 30 20 30 = + ⇔ − = Multiplicando ambos os membros da equação anterior por 60n V , obtemos: 60 20 30 60 60 20 60 30 60 60 20 n V V V n V V n n V V n V V n V V n n . . . . .− = ⇔ − = − 660 30 60 30 60 20 60 600 60 1800 1200 600 60 600 600 n n n n n n n n= ⇔ × − × = ⇔ − = ⇔ = 660 60n = Podemos, então, afirmar que, estando apenas a segunda torneira aberta, o tanque só seria esvaziado após 60 minutos. Atividade 3 Vamos chamar a metade do percurso feito na viagem de d quilômetros; assim, o percurso total será 2d quilômetros. Foram consumidos v1 litros de combustível na primeira metade da viagem e v2 litros de combustível na segunda metade do trajeto. Podemos, então, estabelecer que d v1 12= (na primeira metade o carro fez 12 km/L) e d v2 10= (na segunda metade o carro fez 10 km/L). Além disso, sabemos que v1 + v2 = 32 (na viagem toda o carro gastou 32 litros). Como d v d v 1 112 12= ⇔ = , e d v d v 2 210 10= ⇔ = teremos: 12v1 = 10v2 ⇔ v2 = 1,2v1 Vazão Vazamento, escoamento. Ação de esgotar um líquido de um recipiente. Glossário Edificaçõese-Tec Brasil 130 Substituindo esse resultado v2 = 1,2v1 em v1 + v2 = 32, obtemos: v1 + 1,2v1 = 32 ⇔ 2,2v1 = 32 ⇔ v1 32 2 2 14 55= = , , Se v1 = 14,55, podemos substituir esse valor na fórmula d = 12v1. Então, d = 12 . (14,55) ⇔ d = 174,6 Km. Como a viagem toda era 2d ⇔ 2 x 174,6 = 349,2. Sendo assim, a viagem realizada foi de 349,2 km. Atividade 4 Suponha que a troca de pneus tenha eficiência máxima (a troca permite que os pneus traseiros e dianteiros acabem no mesmo instante) e que ela ocorra após o carro ter percorrido x quilômetros (lembre-se de que podemos cha- mar as incógnitas de qualquer letra). Nesse momento, os pneus dianteiros, que chamaremos de p1 e p2, ainda seriam capazes de percorrer 40.000 – x quilômetros, se mantidos na suas posições (na frente). Os pneus traseiros, que chamaremos de p3 e p4, ainda seriam capazes de percorrer 60.000 – x quilômetros, se mantidos nas suas posições (atrás). Quando trocamos um pneu da dianteira para a traseira, sua durabilidade au- menta e é multiplicada por 3 2 , pois 3 2 20 000 60 000× =. . (lembre-se de que quando esses pneus são usados nas rodas traseiras, sua durabilidade passa a ser de 60.000 km). Já na troca inversa, a durabilidade do pneu diminui e é multiplicada por 2 3 , pois 2 3 60 000 40 000× =. . (lembre-se de que quando os pneus são usados nas rodas dianteiras, sua durabilidade passa a ser de 40.000 km). Como queremos durabilidade máxima, então, tanto os pneus dianteiros quanto os traseiros deverão “acabar” no mesmo momento. Os pneus trocados da dianteira para a traseira, após x quilômetros percorri- dos, ainda terão a durabilidade de 3 2 40 000× −( ). x . Já os pneus trocados da traseira para a dianteira, após x quilômetros percorridos, ainda terão a durabilidade de 2 3 60 000× −( ). x . e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 131 Como a durabilidade dos pneus traseiros e dianteiros depois de percorridos x quilômetros deve ser igual, então devemos igualar as duas equações: 3 2 40 000 2 3 60 000 60 000 3 2 40 000 2 3 60 000 4 × −( ) = × −( ) ⇔ − = − ⇔ − . . . . . x x x x 00 000 3 2 2 3 20 000 5 6 20 000 6 5 24 000. . . .= − ⇔ = ⇔ = ⇔ =x x x x x x Isso significa que os pneus terão eficiência máxima se forem trocados de posição quando o carro percorrer 24.000 quilômetros. E a durabilidade de ambos os pneus (traseiros e dianteiros), após percorrer 24.000 km, ainda será de 3 2 40 000× −( ). x , onde x = 24.000 (conforme calculamos). Ou seja: 3 2 40 000 24 000 3 2 16 000 24 000× −( ) = × =. . . . quilômetros. No total, ambos os pneus duraram 48.000 quilômetros, que é a soma dos dois resultados encontrados. Atividade 5 Sabemos que, se adicionarmos uma medida de concentrado da fruta a duas medidas de água, obteremos três medidas de suco. Quer dizer que, no suco, a razão entre a quantidade de concentrado de fruta e a quantidade de água é 1 2 . Vamos agora modelar o problema. Considere que seja possível realizar a tarefa com x litros de suco, ou seja, x é o valor que você quer encontrar. Considere também que essa quantidade de suco foi feita com n litros de concentrado da fruta. Assim, x - n representa a quantidade de água presente no suco. Já que estamos falando do suco, temos: n x n n x n x n n x n n x n − = − = ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = 1 2 1 2 2 2 3 Como queremos obter 12 litros de refresco, deveremos acrescentar água ao suco até que tenhamos uma mistura com n litros de concentrado e 12 – n litros de água. Edificaçõese-Tec Brasil 132 Como desejamos que a solução final seja um refresco, então, deve ser obe- decida a seguinte relação: n n12 1 5− = Ou seja, a razão entre a quantidade de concentrado e a quantidade de água para fazer um suco é 1 5 . E essa razão segue o raciocínio anterior, de que n litros do concentrado estará para a quantidade de água. A quantidade de água é a diferença entre a quantidade final de refresco (12 litros) e a quanti- dade que esta solução tem do concentrado. Então: n n n n n n 12 1 5 5 12 6 12 2 − = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = Agora, é só substituir o valor de n (n = 2) na primeira equação encontrada (x = 3n), e temos: x = 3n ⇒ x = 3 x 2 ⇒ x = 6 Ou seja, a tarefa pode ser realizada se dispusermos de 6 litros de suco. Atividade 6 xa) 2 - 7x + 12 = 0 a equação está na forma ax2 + bx + c = 0; assim, pela fórmula de Bhaskara, x b a = − ± ∆ 2 , onde ∆ = b2 - 4ac. Como a = 1, b = –7 e c = 12, então: ∆ = (-7)2 - 4 . 1 . 12 ∆ = 49 - 48 ∆ = 1 Assim, substituindo em x b a = − ± ∆ 2 , obtemos: x = ±7 1 2 ⇒ x = 4 ou x = 3 Assim, temos S = {4;3} e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 133 (2x - 4)b) (x2 - 4x + 3) = 0 Um produto é nulo se, e somente se, pelo menos um dos fatores for nulo. Ou seja, o resultado de uma multiplicação só será igual a zero se um dos fatores dessa multiplicação for zero. Portanto, para encontrar o resultado da equa- ção, devemos fazer dois cálculos, igualando cada um dos fatores a zero. (2x - 4)(x2 - 4x + 3) = 0 Se 2x - 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 ou Se x2 - 4x + 3 = 0 Somando 1 a ambos os membros da igualdade: x2 - 4x + 4 = 1 A expressão do lado esquerdo da equação anterior é um trinômio quadrado perfeito,portanto: (x - 2)2 = 1 Como x - 2 está ao quadrado, existem duas possibilidades: x - 2 = 1 ou x - 2 = - 1 x = 3 ou x = 1 Assim, temos S = {2;3;1} (x - 1)c) 2 + (x - 4)2 = 17 O primeiro passo é desenvolver os binômios que estão elevados ao quadrado. Assim, temos: x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 8 16 17 2 10 17 17 2 10 0 2 5 0 − + + − + = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ ⋅ −( ) = Edificaçõese-Tec Brasil 134 Novamente, temos o resultado de uma multiplicação sendo igual a zero, então: 2x = 0 ou (x - 5) = 0 x = 0 ou x = 5 Assim, temos S = {0;5} x x x x x x x x x x x x x + − = − ⇔ + = − = +( ) −( ) ⇔ = − ⇔ − − = 1 2 3 1 1 1 1 1 1 02 2. d) Agora, temos uma equação na forma de 2º grau (x2 - x - 1 = 0). Então,aplicamos, a fórmula de Bhaskara. Δ = b2 - 4ac Δ = (-1)2 - 4 . 1 . (-1) Δ = 1 + 4 Δ = 5 Substituindo esse valor na fórmula x b a = − ± ∆ 2 , encontramos: x x ou x= ± ⇔ = + = −1 5 2 1 5 2 1 5 2 Assim, temos S = + − 1 5 2 1 5 2 ; Atividade 7 Veja nas ilustrações adiante o primeiro e o segundo encontros dos barcos. e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 135 A B d d Usando a definição de velocidade média ( mv d t = ∆ ) desde a partida dos bar- cos até o primeiro encontro entre eles, temos: Para o barco que chamaremos de A: v d tA = − 720 1 E para o barco que chamaremos de B: v tB = 720 1 Sendo d a distância entre as margens, ou seja, a largura do rio. Chamaremos de t o tempo de deslocamento dos barcos. O próximo passo é isolar t1 em cada equação. Assim, podemos concluir que d v vA B − =720 720 (equação I). Usando novamente a definição de velocidade média desde a partida dos barcos até o segundo encontro entre eles, temos: Para o barco A: v d tA = −2 360 2 E para o barco B: v d tB = + 360 2 Isolando agora t2 em cada equação, podemos concluir que: 2 360 360d v d vA B − = + ; assim invertendo as frações v d v d A B 2 360 360− = + (equação II). Edificaçõese-Tec Brasil 136 Multiplicando a equação I pela equação II, temos: d v v d v v d d d d d A A B B− − = + ⇔ − − = + ⇔ −( 720 2 360 720 360 720 2 360 720 360 720 . . )) ⋅ +( ) = ⋅ −( ) ⇔ − − = − ⇔ − d d d d d d 360 720 2 360 360 259200 1440 259200 180 2 2 00 0 0 1800 d d ou d = ⇔ = = Fica claro que apenas um dos valores pode expressar a largura do rio. Como um rio não pode ter largura zero, concluímos que a largura do rio só pode ser 1800 metros. Atividade 8 Indicaremos a quantidade de amigos por n. O valor total da conta é 672. Assim, a parcela da conta que cada um deve pagar é 672 n . Como dois amigos não participaram do pagamento (porque esqueceram a carteira), faltariam para o pagamento total da conta 2 672× n reais, ou seja, duas vezes o valor que cada um deles pagaria. Como os outros amigos resolveram pagar a parte dos dois que esquece- ram a carteira, o valor 2 672× n foi repartido entre os outros n – 2 amigos (n é o total de amigos menos os dois que não pagaram). Cada amigo, então, pagou: 2 672 2 2 672 1 2 1344 2 × − = × × − = × −( ) n n n n n n reais. e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 137 O problema informou que o valor que cada amigo pagou foi de 8 reais. Assim, podemos igualar esta equação a 8, o que nos permite montar a equação 1344 2 8 n n⋅ −( ) = . 1344 2 8 8 2 1344 2 168 2 168 02 n n n n n n n n ⋅ −( ) = ⇔ ⋅ −( ) = ⇔ ⋅ −( ) = ⇔ − − = Agora, temos uma equação do 2º grau e podemos usar a fórmula de Bhaskara, ∆ ∆ ∆ ∆ = − = −( ) − ⋅ ⋅ −( ) = + = b ac2 2 4 2 4 1 168 4 672 676 Substituindo o valor anterior na expressão n b a = − ± ∆ 2 , encontraremos: n n n= ± ⇒ = = −2 26 2 14 12 ou Como n indica o número de amigos, somente os valores naturais nos inte- ressam (não existe –12 amigos). Desta forma, podemos concluir que havia 14 amigos reunidos. Atividade 9 Vamos chamar de x1 e x2 as raízes da equação x2 – 7x + c = 0. Você aprendeu que a soma das raízes de uma equação é igual a − b a . Assim, temos: x x b a1 2 7 1 7+ = − = − − = Você também aprendeu que o produto das raízes de equação é c a . Assim, temos: x x c a c c1 2 1 ⋅ = = = Edificaçõese-Tec Brasil 138 Como o enunciado do exercício disse que as raízes são inteiras (números inteiros), e nós sabemos que a soma delas é 7, podemos deduzir que as possíveis raízes são: 0 e 7 (0+7 = 7) 1 e 6 (1+6 = 7) 2 e 5 (2+5 = 7) 3 e 4 (3+4 = 7) E outros infinitos casos em que uma das raízes é negativa. Por exemplo: – 1 e 8 (– 1+8 = 7) – 2 e 9 (– 2+9 = 7) – 4 e 11(– 4+11 = 7) E assim por diante. O valor de c é o produto das raízes ( x x c a c c1 2 1 ⋅ = = = ). O valor que nos in- teressa é apenas o maior valor possível para c. Sendo assim, os casos em que uma das raízes é negativa podem ser desconsiderados, porque a multiplicação de um número positivo por um número negativo tem como resultado um número negativo. Como vimos, quando as duas raízes são positivas, os possíveis valores de c são: 0 x 7 = 0 1 x 6 = 6 2 x 5 = 10 4 x 3 = 12 e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 139 Entre os quatro possíveis valores, o maior é 12. Podemos afirmar, então, que 12 é o maior valor de c, de modo que a equação x2 – 7x + c = 0 apresente raízes inteiras. Referências bibliográficas LIMA, Elon Lages. et al. Temas e problemas elementares. Rio de Janeiro: SBM, 2005. SANTOS, Antônio Luiz. Problemas selecionados de matemática. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
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