Equações de 1° e 2° Graus

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e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 93
Aula 4 | Equações de 1° e 2° graus
Meta da aula
Apresentar os métodos de resolução de equações de 1° e 2° graus. •	
Demonstrar como modelar situações através dessas equações.
Objetivos da aula
Ao final do estudo desta aula, você deverá ser capaz de:
resolver equações do 1° grau, mesmo quando elas não estive-1. 
rem em seu formato tradicional;
resolver equações do 2° grau isolando a incógnita ou utilizando 2. 
a fórmula de Bhaskara, mesmo quando não estiverem em seu 
formato tradicional;
modelar situações, identificando as incógnitas e montando as 3. 
equações que as descrevem;
analisar e apresentar por escrito respostas de problemas con-4. 
textualizados;
relacionar as raízes de uma equação do 2° grau com os coefi-5. 
cientes dessa equação.
Pré-requisito 
Para a melhor compreensão desta aula, você deverá relembrar a 
matéria sobre fatoração de expressões algébricas.
 
 
Edificaçõese-Tec Brasil 94
“Professor, estou muito confuso! 
Ontem você disse que o X era 
igual a 15. Afinal de contas, qual 
o valor de X?”
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 95
Equacionando problemas
 
 
Esta aula é bem grande, como você perceberá ao longo dos seus 
estudos. Por esse motivo, você deverá separar um tempo maior 
para se dedicar a ela. Então, antes de começar, programe-se para 
separar a aula em duas, ou seja, estude-a em dois dias. Nossa su-
gestão é que você estude, no primeiro dia, o assunto “equações 
do 1º grau”. Quando chegar à seção chamada de “equações do 
2º grau”, pare e deixe-a para o outro dia.
 
Você já percebeu que vários dos nossos problemas do dia a dia podem ser 
resolvidos com o uso da matemática? E muitos desses problemas resolvemos 
usando um modelo matemático chamado equação.
Talvez você já tenha ouvido alguém dizer que precisa equacionar um pro-
blema. Quando usamos esse termo matemático, com tal sentido, significa 
que queremos resolver alguma questão. O uso do termo “equação” mostra 
como essa ferramenta matemática já está incorporada ao nosso vocabulário, 
e que relacionamos o seu uso à solução de problemas.
Quer ver como usamos uma equação no dia a dia? Você pede a um amigo 
que compre três sacos de cimento e entrega a ele uma nota de R$ 100,00 
(cem reais) para que faça a compra. Quando seu amigo retorna com os 
sacos, ele devolve R$ 29,50 (vinte e nove reais e cinquenta centavos). Para 
conferir se o valor total da compra e o troco dado estão certos, você precisa 
saber quanto custou cada saco, mas seu amigo simplesmente esqueceu de 
pedir a nota. Como você faz para saber quanto custou cada saco? Você 
vai fazer uma conta, não é mesmo? E a conta que você vai fazer será uma 
equação. Porque nela existe um valor que você não sabe, e é esse valor que 
você vai querer descobrir.
Edificaçõese-Tec Brasil 96
Fonte: www.sxc.hu/photo/1109610
Este é apenas um exemplo no qual podemos mostrar que a matemática 
procura descrever situações reais através de modelos matemáticos. Tais mo-
delos matemáticos podem ser tabelas, gráficos, figuras e equações. O nosso 
estudo, nesta aula, será sobre as equações, mais especificamente sobre dois 
tipos: as equações do 1° grau e as equações do 2° grau. Vamos começar?
Você prestou atenção no 
pré-requisito desta aula? 
Você deve relembrar o tema 
Fatoração!
No primeiro grau, você apren-
deu o que é fator: “Fator é 
cada parte de uma multipli-
cação”, quer dizer, quando você multiplica 2 x 3 = 6, os números 2, 
3 e 6 são os fatores desta multiplicação. Fatorar é achar os fatores de 
uma função, ou seja, achar uma conta de multiplicação que resulte 
em uma função que seja mais fácil para trabalhar.
Site destaque
Fonte: www.sxc.hu/photo/987822
Ja
yl
op
ez
’s
Va
ili
ki
’s
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 97
O assunto da aula de hoje são as equações de 1º e 2º graus. A fa-
toração é indispensável na resolução de muitas dessas equações, 
então você precisa lembrar como fatorar antes de estudar esta aula. 
A seguir, você encontrará o endereço de três sites na internet que 
tratam do assunto, de forma resumida, e podem ajudá-lo a relem-
brar o assunto. Mãos à obra!
http://www.interaula.com/versao1.3/matematica/mat00002_01.htm
http://www.sosmatematica.com/fatotacao.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/fatoracao-expressao-
algebrica.htm
Mas, afinal, o que é uma equação?
Equação é toda igualdade que apresenta valores desconhecidos chamados 
de incógnitas. As incógnitas são representadas, normalmente, por letras la-
tinas minúsculas; por exemplo, x, y, w, etc. Veja, a seguir, quatro exemplos 
de equações:
1
x
+ x = y 2w -5 =11 x +3 +1= 4 2x - 3y =14
Resolver uma equação significa determinar quais elementos de um conjunto 
universo podem tornar essa equação uma sentença verdadeira. Tais números 
(os valores das incógnitas) são chamados de soluções ou raízes da equação. 
O conjunto formado por todas as raízes de uma equação é chamado de 
conjunto solução da equação.
Conjunto universo
Conjunto de todos os 
valores que uma incógnita 
pode assumir.
Sentença verdadeira
Uma sentença é verdadeira 
quando o valor da direita da 
equação (à direita do sinal 
de igual) é igual ao valor da 
esquerda (valor à esquerda 
do sinal de igual).
Glossário
Edificaçõese-Tec Brasil 98
Fonte: www.sxc.hu/photo/1107036
Figura 4.1: As equações são formadas por números e letras. As letras são as incógnitas 
da equação.
Quando o conjunto universo for pequeno, podemos determinar as raízes 
por simples substituições. Mas quando o conjunto universo tem muitos ou 
infinitos elementos, devemos utilizar técnicas que nos permitam descobrir 
todas as raízes das equações. Você aprenderá, mais adiante, a encontrar 
essas raízes.
Quando o conjunto universo não é mencionado, consideramos que ele é o 
conjunto dos números reais (R).
Para você entender melhor esta história de equações, raízes e conjunto uni-
verso, veja alguns exemplos a seguir:
Exemplo 4.1:
Resolva a equação 2 3 1x − = , tendo como conjunto universo U = {1, 2, 3}.
Resposta:
Substituindo a incógnita (x) da equação por cada elemento de U (conjunto 
universo), temos:
Sé
rg
io
 R
ob
er
to
Equações
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 99
2 . 1 - 3 = 1 ⇒ –1 = 1. Esta sentença é falsa porque – 1 não é igual a 1.
2 . 2 - 3 = 1 ⇒ 1 = 1. Esta sentença é verdadeira porque 1 é igual a 1.
2 . 3 - 3 = 1 ⇒ 3 = 1. Esta sentença é falsa porque 3 não é igual a 1.
Logo, chegamos ao seguinte conjunto solução S = {2}. Porque, ao substituirmos 
a incógnita pelo número 2, encontramos uma sentença verdadeira.
Exemplo 4.2:
Resolva a equação 2 3 1x − = , tendo N como conjunto universo.
Resposta:
O símbolo N representa o conjunto dos números naturais que apresenta infi-
nitos elementos. Sendo assim, não é possível substituir cada elemento de N 
na equação a fim de verificar quais nos fornecem sentenças verdadeiras.
Vejamos, então, como resolver uma equação quando isso acontece:
Tendo em mente a equação 2x - 3 = 1, devemos encontrar um método para 
isolarmos a incógnita X. Isolar a incógnita significa deixá-la sozinha de um 
lado da equação, passando os outros fatores para o outro lado.
1º Passo
Podemos adicionar 3 a ambos os membros da equação, ou seja, somar 3 
de cada lado da igualdade. Escolhemos esse número, pois ele é o oposto de 
–3, que é um dos fatores do lado esquerdo da equação. Esta é uma forma 
de retirarmos esse valor (–3) do lado da equação em que o X se encontra 
(lembre-se de que temos que isolar o X). Ao fazermos isso, teremos:
2 3 3 1 3
2 4
x
x
− + = +
=
Edificaçõese-Tec Brasil 100
2º Passo
Podemos multiplicar cada membro da equação final do passo anterior por 
1
2
, 
ou seja, multiplicar 
1
2
 de cada lado da igualdade. Mais uma vez, estamos ten-
tando isolar o X, agora em busca de tirarmos o número 2. Para isso, devemos 
multiplicá-lo por seu inverso, que é 
1
2
. Assim, teremos:1
2
2x =
1
2
4
x = 2
⋅ ⋅
Isso nos mostra que 2 é a única solução ou raiz dessa equação, logo S = {2}.
Fonte: www.sxc.hu/photo/1117094
Figura 4.2: Assim como nas contas mais simples, nas equações, o que está à esquerda 
do sinal de igual deve ter o mesmo valor do que está à direita.
Além de conhecer diversos tipos de equações e como resolvê-las, é muito 
importante saber como equacionar problemas, ou seja, como descrever uma 
situação-problema através de uma ou mais equações, o que é chamado, em 
matemática, de modelar um problema. Modelagem é, portanto, o termo 
que utilizamos para transformar situações reais (do dia a dia) em uma lingua-
gem matemática. Assim, poderemos resolvê-las.
Si
gu
rd
 D
ec
ro
os
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 101
Vejamos, então, uma situação real e como transformá-la em uma equação, 
para então resolvê-la (equacioná-la). Vamos modelar a história contada no 
exemplo 4.3.
Exemplo 4.3:
O proprietário de um terreno retangular (20m x 30m) contrata alguns ope-
rários para construir uma calçada em volta de dois lados do terreno, como 
mostra a figura a seguir.
calçada
20 m
30 m
Um dos operários, com base em sua experiência, afirmou que iria precisar 
de cerca de 100m2 de lajotas. Para aproveitar as sobras de uma construção 
anterior, o proprietário do terreno entrega aos operários algumas lajotas qua-
dradas que totalizam 72m2. Ele pede que construam a calçada utilizando 
apenas essas lajotas.
Antes de iniciar a construção da calçada, os operários sentem a necessidade 
de descobrir com qual largura é possível construir a calçada utilizando total-
mente os 72m2 de lajotas.
Como eles desconhecem a largura da calçada e é este o valor que eles que-
rem encontrar, é possível concluir que ela é a incógnita deste problema.
Para montar a equação que irá solucionar o problema, vamos chamar de x a 
medida, em metros, da largura da calçada. Devemos determinar x, de modo 
que a área da calçada seja de 72m2, já que esta é a quantidade de lajotas que os 
operários possuem. Como a calçada é uma figura irregular (tem formato de L), 
Edificaçõese-Tec Brasil 102
iremos dividi-la em partes que sejam mais fáceis para calcular a área, como é o 
caso do quadrado e do retângulo. Veja como fica a divisão na figura a seguir.
A1 = 30x
x
a
x
x xA2 = x2
A3 = 20x
Perceba que a figura foi dividida em dois retângulos (A1 e A3) e um quadrado 
(A2). Tais figuras são chamadas de regulares e o cálculo de suas áreas é feito 
facilmente. A área de retângulos é resultado da multiplicação do lado menor 
pelo lado maior, e a área do quadrado é igual ao valor de um lado elevado 
ao quadrado.
A área da calçada será encontrada pela soma das áreas destas três partes 
(A1, A2 e A3).
A + A + A = 72
30x + x +20x = 72
x +50x = 72
1 2 3
2
2
Dessa forma encontraremos a largura da calçada ao resolvermos a equação 
x2 + 50x = 72. Você verá mais adiante como resolver equações como essas.
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 103
Pa
ul
o 
C
or
re
a
Fonte: www.sxc.hu/photo/1028640Fonte: www.sxc.hu/photo/1028642
Pa
ul
o 
C
or
re
a
Figura 4.3: Figuras como polígonos (figuras com lados e ângulos iguais), triângulos e 
quadriláteros (figuras com quatro lados) são fáceis de calcular a área.
Você acabou de ver um exemplo contextualizado do uso de equações. Percebeu 
como elas podem ser importantes no seu futuro como Técnico em Edificações? 
Mas afinal de contas, o que é uma equação? É o que você vai descobrir agora.
Equação do 1° grau
Chama-se equação polinomial do 1° grau ou apenas equação do 1° grau toda 
equação com uma incógnita, a qual possa ser apresentada na forma ax b+ = 0. 
Nessa equação, as letras a e b estão representando números reais, sendo que a 0≠ , 
e o x representa a incógnita.
Veja, a seguir, quatro exemplos de equações do 1° grau:
− + = − = − = − = − +3 4 0
1
3
8 1 1 2 3 4 5 6x x x x x x
Perceba que apenas o primeiro exemplo (- 3x + 4 = 0) está na forma ax + b = 0.
O valor –3 corresponde à letra a, e o valor 4 corresponde à letra b. Mas 
podemos deixar as outras equações também nesse formato. Para aprender 
como, observe as operações realizadas nos exemplos a seguir:
No primeiro caso, subtraia nos dois lados da equação o número 1. Esco-a) 
lhemos o número 1 porque ele deixa um dos lados da equação igual a 
zero. Dessa forma, a equação final fica igual ao modelo ax + b = 0. Veja 
como fica:
Edificaçõese-Tec Brasil 104
1
3
8 1
1
3
8 1 1 1
1
3
9 0x x x− = ⇔ − − = − ⇔ − =•	
Na equação final, o valor 
1
3
 corresponde à letra a, e o valor –9 corresponde 
à letra b.
No segundo caso diminuímos os dois lados da equação pelo número b) 
2x . Escolhemos esse número pelo mesmo motivo do caso anterior, ou 
seja, porque ele deixa um dos lados da equação igual a zero. Dessa for-
ma, a equação final fica igual ao modelo ax + b = 0. Veja como fica:
x x x x x x x− = ⇔ − − = − ⇔ −( ) − =1 2 1 2 2 2 1 2 1 0•	
Nesta equação final, 1 2−( ) corresponde à letra a, e o valor –1 corresponde 
à letra b.
No último caso, diminuímos os dois lados da equação pela expressão c) 
− +( )5 6x . Essa escolha se deve ao fato de que ela deixa um dos lados da 
equação igual a zero. Dessa forma, a equação final fica igual ao modelo 
ax + b = 0. Veja como fica:
3 4 5 6 3 4 5 6 5 6 5 6
3 4 5 6 0
8 10 0
x x x x x x
x x
x
− = − + ⇔ − − − +( ) = − + − − +( )
⇔ − + − =
⇔ − =
•	
Na equação final, o número 8 corresponde à letra a, e o valor –10 corres-
ponde à letra b.
Você já conhecia o símbolo ⇔ que apareceu nas resoluções dos exemplos de 
equações do 1º grau? Ele significa dizer que o que está do seu lado esquerdo 
“é equivalente” ao que está do seu lado direito. Ele também indica que as 
equações de ambos os lados apresentam o mesmo conjunto solução. Nesse 
caso, dizemos que estas equações são equivalentes.
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 105
Fonte: www.sxc.hu/photo/1120745
Figura 4.4: Se você achar necessário, pode usar uma calculadora para ajudar nas contas.
Agora você já sabe o que é uma equação do 1° grau e como identificá-la, 
o próximo passo é aprender a resolvê-la. Vamos lá?
Resolvendo equações do 1° grau
Antes de resolver uma equação, precisamos realizar algumas operações com 
o objetivo de isolarmos a incógnita. Ou seja, precisamos fazer algumas al-
terações na equação, para que o x fique de um lado da equação e o resto 
da equação fique do outro lado do sinal de igualdade, o que facilita para 
descobrirmos o seu valor.
Vamos, então, a um exemplo:
Considere uma equação do 1° grau qualquer, ou seja, ax + b = 0, sendo 
a 0≠ .
Somando - b a cada membro da equação ax + b = 0, temos:
ax b ax b b b ax b+ = ⇔ + − = − ⇔ = −0 0
Sabemos que a 0≠ , mas o seu inverso existe, ou seja, 1
a
 (que não é igual 
Fl
áv
io
 T
ak
em
ot
o
Edificaçõese-Tec Brasil 106
a zero) existe. Sendo assim, podemos multiplicar cada membro da equação 
ax - b por 1
a
. Por que fazemos isso? Porque dessa forma deixamos só o X de 
um lado da equação. Veja como fica:
ax b
a
ax b
a
x
b
a
= − ⇔ ⋅ = − ⋅ ⇔ = −1 1
Este resultado demonstra que toda equação do 1° grau ax + b = 0 apresenta 
uma única raiz, que é − b
a
, encontrada após fazermos as contas. Ou seja, para 
uma equação do 1º grau no formato ax + b = 0, X será sempre igual a − b
a
.
Fonte: www.sxc.hu/photo/1025341
Figura 4.5: Muitas vezes, a equação não está no formato ideal para que possamos 
calculá-la com facilidade. Quando isso acontece, devemos fazer algumas operações 
matemáticas para adequá-la e, assim, facilitar o cálculo.
Sé
rg
io
 R
ob
er
to
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 107
Vamos ver alguns exemplos para ficar mais fácil?
Exemplo 4.4:
Resolva a equação: 
2
3
12 0x − =
Resposta:
A equação 
2
3
12 0x − = é do 1º grau, com a = 2
3
 e b = – 12. Como con-
cluímos anteriormente, toda equação do 1º grau neste formato (ax + b = 0) 
tem uma única raiz, que é x
b
a
= − . Substituindo osvalores de a e b nesta 
equação, temos que: x = − − = − − ⋅



=12
2
3
12
3
2
18 , ou seja, S = {18}.
 
Exemplo 4.5:
Um vendedor recebe uma comissão de 2% sobre o faturamento obtido com as 
vendas de determinado produto. Se o preço do produto é R$ 45,00, quantos 
produtos ele deve vender para obter uma comissão no valor de R$ 198,00?
Resposta:
Vamos chamar de n (poderia ser x, y, z, ..., qualquer outra letra) o núme-
ro de produtos que deverão ser vendidos para que o vendedor ganhe a 
comissão de R$ 198,00. Para encontrarmos a resposta, devemos montar a 
seguinte equação:
2
100
45 198× × =n
Essa equação significa que 2% ou (
2
100
) do total das vendas ( 45 × n ) serão 
iguais ao valor da comissão esperada (198).
Assim, ao encontrar o valor de n, resolvemos a equação do 1° grau. Então, 
vamos calcular?
2
100
45 198
90
100
198
9
10
198 198
10
9
220
× × = ⇔ × = ⇔ × = ⇔ = ×
⇔ =
n n n n
n
Edificaçõese-Tec Brasil 108
Ou seja, o vendedor deverá vender 220 produtos para receber a comissão 
de R$ 198,00.
 
A razão 
b
a
− só nos fornece diretamente a raiz de uma equação 
do 1° grau quando esta já está no formato ax + b = 0. Assim, na 
maior parte dos casos, a resolução de equação do 1º grau se dá 
pelo isolamento da incógnita, como mostrado no exemplo 4.5.
Figura 4.6: Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transfor-
mar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em 
linguagem matemática.
Então, o que você achou das equações do 1° grau? A melhor forma de saber 
se você aprendeu é fazendo as atividades que são propostas em seguida. 
Depois de fazê-las, respire fundo, pois vamos partir para um novo tipo de 
equação. Você será apresentado às equações do 2° grau.
“Vejam como podemos 
transformar nossa ida à 
feira em uma equação 
matemática.”
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 109
Atividade 1
Atende ao Objetivo 1
Resolva cada uma das equações a seguir:
2x - 3 = 4 - 3xa) 
3 10
2
x
x
− =b) 
1
1
1
3
2
3x −
+ =c) 
x x−( ) − −( ) = −2 4 10
2 2
d) 
Atividade 2
Atende aos Objetivos 1, 3 e 4
Um tanque possui duas torneiras distintas para esvaziá-lo. Se o tanque esti-
ver cheio, ele será esvaziado em 30 minutos abrindo-se a primeira torneira. 
Se as duas torneiras estiverem abertas, esse tempo de esvaziamento diminui 
10 minutos. Determine o tempo necessário para esvaziar totalmente o tan-
que, abrindo apenas a segunda torneira.
Edificaçõese-Tec Brasil 110
Atividade 3
Atende aos Objetivos 1, 3 e 4
Em uma viagem, o motorista verificou que na primeira metade do percurso 
o rendimento médio do carro foi de 12 quilômetros por litro de combustível. 
Na segunda metade da viagem, o carro foi guiado de forma mais rápida e 
passou a ter um rendimento médio de 10 quilômetros por litro de combus-
tível. Foram gastos 32 litros de combustível durante toda a viagem. A partir 
dessas informações, qual a distância percorrida pelo carro?
Atividade 4
Atende aos Objetivos 1, 3 e 4
Um fabricante de pneus fez testes com uma de suas marcas de pneu. Os tes-
tes constataram que quando os pneus são usados nas rodas dianteiras eles 
têm a durabilidade de 40.000 quilômetros. Quando esses mesmos pneus 
são usados nas rodas traseiras, a durabilidade é de 60.000 quilômetros. A 
partir das informações, e permitindo-se fazer um rodízio entre os pneus tra-
seiros e dianteiros, qual a maior quilometragem que pode ser percorrida por 
um carro usando “apenas” os quatros pneus novos dessa marca?
Atividade 5
Atende aos Objetivos 1, 3 e 4
Atenção: este é um exercício-desafio. Talvez você tenha um pouco de dificul-
dade para resolvê-lo, mas não deixe de tentar fazê-lo.
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 111
Uma lanchonete vende suco e refresco de tangerina. O suco 
e o refresco são preparados colocando-se água em um con-
centrado da fruta. Para fazer o suco, a razão entre o volume 
do concentrado da fruta e o volume de água é 1/2 (um para 
dois), o que significa que, para cada volume do concentra-
do, colocam-se duas vezes a mesma quantidade de água. 
Para fazer o refresco, a razão entre o volume do concentrado da fruta e o 
volume de água é 1/5 (um para cinco). O atendente da lanchonete quer pre-
parar 12 litros de refresco acrescentando água a certo volume de suco que 
já estava preparado. Qual o volume de suco que o atendente deve ter para 
poder preparar o refresco?
Equação do 2° grau
Chama-se equação polinomial do 2° grau, ou apenas equação do 2° grau, 
toda equação que tenha uma incógnita e que possa ser apresentada na for-
ma ax2 + bx + c = 0. Nesse tipo de equação, as letras a, b e c estão represen-
tando números reais, sendo que a 0≠ , e a letra x representa a incógnita.
Fonte: www.sxc.hu/photo/1080104 - Shlomit Wolf
Figura 4.7: As referências mais antigas sobre a resolução de problemas envolvendo 
equações do 2º grau foram encontradas em textos babilônicos escritos há cerca de 
4.000 anos.
Fonte: www.sxc.hu/ 
photo/1154679
St
ev
e 
W
oo
ds
Sh
lo
m
it 
W
ol
f
Edificaçõese-Tec Brasil 112
Veja, a seguir, alguns exemplos de equações do 2° grau:
x x x x x
x x x
2 2 2
2
3 4 0 2 3 1
1 2 3 0 1 4
− − = − = − +
−( ) ⋅ −( ) = −( ) =
Perceba que apenas o primeiro exemplo (x2 – 3x – 4 = 0) está na forma 
ax2 + bx + c = 0. O valor 1 corresponde à letra a (quando não há um 
número na frente do X, este número é 1), o valor – 3 corresponde à 
letra b; já o valor – 4 corresponde à letra c. Mas podemos deixar as ou-
tras equações também nesse formato. Para aprender como, observe as 
operações realizadas nos exemplos a seguir:
Neste primeiro caso (xa) 2 – 2x = – 3x2 + 1), diminuímos os dois lados da 
equação por toda a expressão que está do lado direito do sinal de igual. 
Ao fazermos isso, o lado direito da equação fica igual a zero. Dessa for-
ma, a equação final fica igual ao modelo ax2 = bx = c = 0. Veja a seguir:
x x x x x x x x
x x x
2 2 2 2 2 2
2 2
2 3 1 2 3 1 3 1 3 1
2 3 1 0
− = − + ⇔ − − − +( ) = − + − − +( )
⇔ − + − =
⇔ 44 2 1 02x x− − =
•	
Na equação final, o valor 4 corresponde à letra a, o valor – 2 corresponde à 
letra b, e o valor – 1 é a letra c.
No exemplo (b) x x−( ) ⋅ −( ) =1 2 3 0 ), ao desenvolvermos a multiplicação en-
tre os dois fatores (ao multiplicarmos x por 2x – 3 e ao multiplicarmos – 1 
por 2x – 3), a equação final fica igual ao modelo ax2 + bx + c = 0. Veja a 
seguir:
x x x x x
x x x
x x
−( ) ⋅ −( ) = ⇔ ⋅ −( ) − ⋅ −( ) =
⇔ − − + =
⇔ − + =
1 2 3 0 2 3 1 2 3 0
2 3 2 3 0
2 5 3
2
2 00
•	
Na equação final, o valor 2 corresponde à letra a, o valor –5 corresponde à 
letra b, e o valor 3 é a letra c.
Neste exemplo (c) x −( ) =1 4
2
), lembre-se de que x x x−( ) = − ⋅ −1 1 1
2
( ) ( ). 
O restante da solução é semelhante ao exemplo anterior. Assim, a equa-
ção final fica igual ao modelo ax2 + bx + c = 0. Veja:
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 113
Na equação final, o valor 1 corresponde à letra a, o valor – 2 corresponde à 
letra b, e o valor – 3 é a letra c.
Fonte: www.sxc.hu/photo/573450
Figura 4.8: Muitas vezes, não encontramos a equação em sua forma ideal. Quando 
isso acontece, devemos fazer alguns cálculos para ajustá-la.
Equações do 2° grau também podem ser resolvidas isolando-se a incógnita. 
Vamos ver como é feito usando os exemplos das equações anteriores:
Exemplo 4.6:
Resolva a equação: x x−( ) ⋅ −( ) =1 2 3 0
Resposta:
Observe que esta equação é a multiplicação de dois fatores: (x – 1) e (2x – 3). 
Essa multiplicação tem como produto (resultado) o zero. O produto de dois 
ou mais números (ou fatores) só será igual a zero se pelo menos um dos 
fatores for zero. Sendo assim, temos:
x x x ou x
x ou x
x ou x
−( ) ⋅ −( ) = ⇔ − = − =
⇔ = =
⇔ = =
1 2 3 0 1 0 2 3 0
1 2 3
1
3
2
Sa
nj
a 
G
je
ne
ro
Edificaçõese-Tec Brasil 114
Assim, o conjunto solução da equação é S = 





3
2
2 ,
Exemplo 4.7:
Resolva a equação: x −( ) =1 4
2
Umaboa estratégia para descobrir o resultado é eliminando a potência do 
membro esquerdo da equação, ou seja, eliminando a potência de x −( )1
2
. Para 
isso, devemos extrair a raiz quadrada de ambos os membros. Assim temos:
x x x
x x x
x x
−( ) = ⇔ −( ) = ⇔ −( ) =
− = ⇔ − = ⇔ − = −
⇔ = ⇔ = −
1 4 1 4 1 2
1 2 1 2 1 2
3 1
2 2 2
Assim, o conjunto solução da equação é S = −{ }3, 1 .
Exemplo 4.8:
Resolva a equação: x x2 3 4 0− + = .
Resposta:
Para resolver esse tipo de equação, teremos que utilizar alguns artifícios mate-
máticos até que ela fique da mesma forma do exemplo 4.7.
Para isso, devemos passar essa equação para um formato em que ela fique 
como m nm n2 22± + . As letras m e n são incógnitas, ou seja, representam 
quaisquer valores.
x x x x x x I2 2 2
2 2
3 4 0 2
3
2
4 0 2
3
2
3
2
4
3
2
− − = ⇔ − ⋅ − = ⇔ − ⋅ + 



− = 



( )
Observe que a equação anterior contém uma expressão do tipo m nm n2 22− + .
Lembre-se de que m nm n m n2 22− + = −( )†, onde na nossa expressão m x= 
e n = 3
2
. Assim, x x x2
2 2
2
3
2
3
2
3
2
− ⋅ + 



= −



; substituindo em (I) temos:
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 115
x x x−



− = 



⇔ −



− + = 



+ ⇔ −

3
2
4
3
2
3
2
4 4
3
2
4
3
2
2 2 2 2



= +
⇔ −



= ⇔ −



= ⇔
− = ⇔ − =
2
2 2
9
4
4
3
2
25
4
3
2
25
4
3
2
5
2
3
2
5
x x
x x
22
3
2
5
2
5
2
3
2
5
2
3
2
4 1
ou x
x ou x
x ou x
− = −
= + = − +
= = −
 
Assim, o conjunto solução da equação é S = −{ }4, 1 .
 
Conheça o livro...
Você se interessou pelas equações do 2º 
grau? Quer aprender mais? Segue, então, 
uma dica. Existe uma coleção de livros 
chamados Pra que serve Matemática? 
Os livros dessa série têm como objetivo 
mostrar ao aluno a utilidade prática da 
matemática. O efeito é alcançado rela-
cionando a disciplina com fatos e dúvidas 
do dia a dia. Os livros têm um divertido 
visual de revista de histórias em quadri-
nhos. Além da matemática, você vai encontrar curiosidades, jogos, 
quebra-cabeças e histórias. Achou divertido? Procure na livraria 
mais próxima.
Fonte: www.americanas.com.br/prod/862330/BookStore?i=1
 
Você percebeu que podemos calcular uma equação do 2º grau sem transformá-
la no modelo ax bx c2 0+ + = ? Então, por que será que você aprendeu a trans-
formar as equações nesse formato? A resposta à pergunta é simples: porque 
existe uma fórmula que facilita o cálculo de equações de 2º grau, mas você só 
consegue aplicá-la quando a equação atende a esse formato. Tal fórmula é cha-
mada de fórmula de Bhaskara: o assunto da próxima seção.
Edificaçõese-Tec Brasil 116
Fórmula de Bhaskara
Há uma fórmula que nos permite determinar as raízes de uma equação do 
2° grau a partir dos seus coeficientes. No Brasil, essa fórmula é conhecida 
como fórmula de Bhaskara.
Pense em uma equação com as seguintes características:
ela está na forma ax•	 2 + bx + c = 0;
os valores a, b e c desta equação pertencem ao conjunto dos números •	
reais; e
a é diferente de zero.•	
Quando encontramos uma equação nesse formato e com tais características, 
podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar o seu resultado, que 
chamamos de equação do 2º grau. A fórmula de Bhaskara é representada 
pela seguinte expressão:
x
b
a
b aconde= − ± = −∆ ∆
2
42, .
 
Mas de onde vem essa tal de Bhaskara?
Você já parou para pensar de onde os matemáticos tiram as fór-
mulas matemáticas? As fórmulas costumam ser desenvolvidas a 
partir de cálculos complexos e contas, geralmente, bem grandes. 
Se você estiver curioso sobre como chegar ao modelo final da fór-
mula veja a seguir como ela foi desenvolvida.
Fonte: www.sxc.hu/photo/1149239
Coeficiente
Os coeficientes são os 
valores associados a cada 
termo da equação. Por 
exemplo, na equação 4x² + 
3x + 2 = 0, os coeficientes 
são 4, 3 e 2, ou seja, os 
valores referentes ao que 
chamamos de a, b e c.
Bhaskara
Bhaskara Akaria: 
matemático, professor, 
astrólogo e astrônomo, 
nascido no ano de 1114, 
na Índia. De uma família 
de astrólogos, seguiu 
essa tradição profissional, 
mas com uma orientação 
científica, ou seja, usando a 
matemática e a astronomia 
para dar sustentação à 
astrologia. Foi diretor do 
Observatório de Ujiain, o 
maior centro de pesquisas 
matemáticas e astronômicas 
da Índia. Escreveu um 
livro chamado Lilavati, 
que tratava de problemas 
simples de aritmética, 
geometria plana e 
combinatória.
Bhaskara conhecia a fórmula 
que leva seu nome, porém 
ela não foi descoberta 
por ele. A fórmula já era 
do conhecimento do 
matemático chamado 
Sridara, que viveu mais de 
100 anos antes de Bhaskara.
(Fonte: Adaptado de http://
www.matematica-na-veia.
blogspot.com/2007/09/
bigrafia-de-bhaskara.html)
Glossário
Sa
nj
a 
G
je
ne
ro
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 117
Vamos deduzir essa fórmula a partir de uma equação do 2° grau 
qualquer, ou seja, uma equação ax2 + b + c = 0.
Como a ≠ 0, podemos multiplicar ambos os membros da equação 
por 
1
a
, obtendo:
ax
a
bx
a
c
a a
x
b
a
x
c
a
2 21 1 1
0
1
0× + × + × = × ⇔ + + =
Para completarmos um trinômio quadrado perfeito, somaremos 
b
a2
2




 a ambos os membros da igualdade, ou seja, a ambos os 
lados da igualdade. Veja como fica:
x
b
a
x
b
a
c
a
b
a
x
b
a
x
b
a
b2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2 2 2
+ + 



+ = 



⇔ + + 



=. .
aa
c
a




−
2
Lembrando-se do produto notável ( )p m p pm m+ = + +2 2 22 , ob-
temos:
x
b
a
b
a
c
a
+



= −
2 4
2 2
2
Tirando o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos denominadores 
das frações apenas no segundo membro, a equação fica da se-
guinte forma:
x
b
a
b ac
a
+



= −
2
4
4
2 2
2
A expressão b2 - 4ac é chamada de discriminante da equação, sen-
do representada pela letra grega ∆ (lê-se delta). A equação fica, 
então, da seguinte forma:
x
b
a a
+



=
2 4
2
2
∆
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, ficamos com a 
seguinte equação:
Edificaçõese-Tec Brasil 118
x
b
a a
x
b
a a
ou x
b
a a
x
b
a a
ou x
b
a a
+ = ⇔ + = + = −
⇔ = − + = − −
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
∆ ∆ ∆
∆ ∆
Podemos resumir as duas possibilidades em uma única equação. 
Veja:
x
b
a
= − ± ∆
2
Agora que você já sabe como é a fórmula de Bhaskara, vamos aprender a 
usá-la para resolver uma equação. Observe, então, os exemplos a seguir.
Exemplo 4.9:
Resolva a equação: 3x2 - 13x + 4 = 0
Resposta:
Calculamos inicialmente o valor de ∆.
∆
∆
∆
= −
= −( ) − × ×
= − =
b ac2
2
4
13 4 3 4
169 48 121
Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos:
x
b
a
x x
x x ou x
= − ± ⇒ =
− −( ) ±
×
⇒ = ± ⇒
= ± ⇒ = + =
∆
2
13 121
2 3
13 121
6
13 11
6
13 11
6
13 −−
= =
11
6
4
1
3
x ou x
Assim, o conjunto solução da equação é S = 





1
3
4, .
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 119
Exemplo 4.10:
Um trem mantendo sua velocidade constante percorreu 200 km num certo 
intervalo de tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria 
feito o percurso em 1 hora a menos. Determine a velocidade em que o trem 
realizou a viagem. O resultado deve estar em km/h (quilômetros por hora).
Fonte: www.sxc.hu/photo/1100885
Figura 4.9: Para descobrir a velocidade do trem, você tem que montar uma equação 
do 2º grau.
Resposta:
Chamaremos de v a velocidade do trem (em km/h) durante o percurso; e cha-
maremos de t o intervalo de tempo (em horas) que durou o deslocamento.
A partir da definição de velocidade média, temos que v
t
= 200
, ou seja, 
t
v
= 200
.
Caso o trem tivesse se deslocado com a velocidade de v + 10 km/h, o deslo-
camento teria durado t - 1 horas. A partir da definição de velocidade média, 
temos que v
t
+ =
−
10
200
1
.
D
io
s_
co
m
’s
Velocidade média
Conceito de física 
determinado pela razão 
entre a distância que um 
objeto ou pessoa percorre 
e o tempo que este objeto 
ou pessoa gastou para 
percorrer esta distância.A velocidade média é 
expressa pela fórmula 
mv
d
t
=
∆
, onde d é a 
distância e ∆t o intervalo 
de tempo.
Glossário
Edificaçõese-Tec Brasil 120
Substituindo o resultado de t (na equação t
v
= 200
) na equação v
t
+ =
−
10
200
1
, 
temos:
v
v
v
v
+ =
−
⇒ +( ) × −



=10
200
200
1
10
200
1 200
Multiplicando os dois fatores do 1º membro da equação anterior, temos:
200
2000
10 200− + − =v
v
Multiplicando ambos os lados por v, chegamos a:
200 2000 10 200 10 2000 02 2v v v v v v− + − = ⇒ − − + =
Agora, é só aplicar a fórmula de Bhaskara:
∆
∆
∆
∆
= −
= −( ) − × −( ) ×
=
= − ± ⇒ =
− −( ) ±
×
b ac
v
b
a
v
2
2
4
10 4 1 2000
8100
2
10 8100
2 −−( ) ⇒ = ±
−
⇒
= = −
= ±
−
⇒ = +
−
⇒ = −
−
1
10 90
2
40 50
10 90
2
10 90
2
10 90
2
v
v ou v
v v ou v
vv ou v= − =50 40
Como a velocidade é um valor positivo, concluímos que o trem se deslocou 
a 40 km/h.
Você sabia que é possível saber quantas raízes (soluções) uma equação do 
2º grau terá através do valor de ∆? É nosso próximo assunto.
Existência de raízes reais
O valor de ∆ é capaz de nos informar a quantidade de raízes que a equação 
do 2º grau terá. É possível saber, inclusive, se os valores dessas raízes serão 
iguais ou diferentes um do outro.
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 121
Analisando a fórmula obtida para obtenção das raízes da equação do 
2º grau v
b
a
= − ± ∆
2
, podemos saber que, quando:
∆•	 = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais. Ou seja, quando o valor 
de ∆ for zero, a equação terá dois resultados de mesmo valor e que fa-
zem parte do conjunto dos números reais.
∆•	 > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas. Ou seja, quando o va-
lor de ∆ for positivo, a equação terá dois resultados de valores diferentes 
e que fazem parte do conjunto dos números reais.
∆•	 < 0, a equação não terá raízes reais, já que ∆ ∉ R. Ou seja, quando o 
valor de ∆ for negativo, a equação não terá resultado, pois a raiz de um 
número negativo não pertence ao conjunto dos números reais.
Figura 4.10: Ao descobrir o valor de Δ, você será capaz de saber se a equação tem 
raízes e, ainda, quantas raízes ela possui.
“Diga-me, delta, se esta equação tem raízes e quantas são.”
Edificaçõese-Tec Brasil 122
A seguir, você verá outra característica importante das equações do 2º grau. 
É possível calcular a soma e o produto das raízes desse tipo de equação sem 
saber quais são os seus valores. Quer saber como? Então, vamos lá!
Soma e produto das raízes
A soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau podem ser obti-
dos sem que seja preciso conhecer as raízes, como mostramos a seguir.
Primeiro, vamos ver como encontrar a soma das raízes. Chamaremos as raí-
zes desconhecidas de x1 e x2. Como sabemos que cada uma delas correspon-
de, respectivamente, às fórmulas 
− + − −b
a
e
b
a
∆ ∆
2 2
, podemos dizer 
que a soma das raízes é igual à soma das fórmulas. Veja como fica:
x x
b
a
b
a
x x
b
a
x x
b
a
1 2
1 2 1 2
2 2
2
2
+ = − + + − −
+ = − ⇒ + = −
∆ ∆
 
•	
Ou seja, a soma das raízes x1 e x2 pode ser encontrada a partir da fórmula − b
a
.
Agora, vamos ver como encontrar o produto (resultado da multiplicação) das 
raízes. Chamaremos novamente as raízes desconhecidas de x1 e x2. Já sabe-
mos também que cada uma delas corresponde, respectivamente, às fórmulas 
− + − −b
a
e
b
a
∆ ∆
2 2
; podemos dizer, então, que o produto das raízes é 
igual ao produto das fórmulas. Veja como fica:
x x
b
a
b
a
x x
b
a
x x
b
1 2
1 2
2 2
2
1 2
2
2 2
4
⋅ = − +



⋅ − −



⋅ =
−( ) − ( )
⋅ =
∆ ∆
∆
−− = − +
⋅ = ⇒ ⋅ =
∆
4
4
4
4
4
2
2 2
2
1 2 2 1 2
a
b b ac
a
x x
ac
a
x x
c
a
 
•	
Ou seja, o produto das raízes x1 e x2 pode ser encontrado a partir da fórmula 
c
a
.
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 123
Figura 4.11: É possível calcular a soma e/ou o produto das raízes de uma equação 
sem saber o valor dessas raízes.
Tais fórmulas ajudam bastante no cálculo de alguns problemas em que não 
temos os valores das raízes, nem como encontrá-los. A seguir você encon-
trará várias atividades para testar seus conhecimentos, e poderá, inclusive, 
verificar a afirmação. Boa sorte!
Atividade 6
Atende ao Objetivo 2
Resolva as seguintes equações:
x x2 7 12 0− + =a) 
“Meu próximo número será de 
adivinhação. Alguém da plateia 
me diga uma equação. Vou adivi-
nhar qual é a soma ou o produto 
das raízes dessa equação!”
Edificaçõese-Tec Brasil 124
2 4 4 3 02x x x−( ) − +( ) =b) 
x x−( ) + −( ) =1 4 17
2 2
c) 
x
x
x
+
− = −
1
2 3d) 
Atividade 7
Atende aos Objetivos 2, 3 e 4
Dois barcos partem de margens opostas de um rio deslocando-se perpendi-
cularmente às margens e com velocidades constantes (a velocidade é a mes-
ma durante todo o percurso). Eles acabam se cruzando a 720m da margem 
mais próxima e continuam a viagem.
720 m
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 125
Os dois barcos chegam até a margem oposta da qual partiram e retornam 
imediatamente em direção à margem de onde saíram. Durante o retorno, 
eles voltam a se encontrar, desta vez a 360m da outra margem.
360 m
Com base nessas informações, determine a largura do rio.
Atividade 8
Atende aos Objetivos 2, 3 e 4
Um grupo de amigos se reuniu em um restaurante e, ao pagar a conta, que 
era de R$ 672,00, dois deles perceberam que estavam sem suas carteiras. So-
lidariamente, cada um dos amigos contribuiu com R$ 8,00 a mais de modo a 
quitar totalmente a conta. Qual o número de pessoas desse grupo?
Edificaçõese-Tec Brasil 126
Atividade 9
Atende aos Objetivos 3, 4 e 5
Determine o maior valor possível para c na equação x2 - 7x + c = 0. Determi-
ne esse valor de modo que a equação tenha raízes inteiras.
Resumo
A matemática procura descrever situações reais através de modelos •	
matemáticos, como tabelas, gráficos, figuras e equações.
Equação é toda igualdade que apresenta valores desconhecidos, cha-•	
mados de incógnitas, e que são representados, normalmente, por letras 
latinas minúsculas.
Chama-se •	 equação polinomial do 1° grau, ou apenas equação do 1° grau, 
toda equação de uma incógnita que possa ser reduzida à forma ax + b = 0, 
onde a e b são números reais, com a 0≠ , e x representa a incógnita.
Toda equação do 1° grau ax + b = 0 apresenta uma única raiz obtida por •	 − b
a
.
Chama-se •	 equação polinomial do 2° grau, ou apenas equação do 2° grau, 
toda equação de uma incógnita que possa ser reduzida à forma ax2 + b = 0, 
onde a , b e c são números reais, com a 0≠ , e x representa a incógnita.
Podemos obter as raízes de uma equação do 2° grau a partir dos coefi-•	
cientes utilizando a fórmula x
b
a
= − ± ∆
2
, onde ∆ = −b ac2 4 .
Se •	 ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais; se ∆ > 0, a equação 
terá duas raízes reais e distintas; se ∆ < 0, a equação não terá raízes reais, 
pois ∆ ∉ R.
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 127
A soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau podem ser •	
obtidos sem que seja preciso conhecer as raízes, através das fórmulas 
x x
b
a
e x x
c
a1 2 1 2+ = − ⋅ = .
Informações sobre a próxima aula
Na próxima aula, trataremos de problemas que depois de serem modelados 
apresentam equações com mais de uma incógnita. Veremos também como 
determinar números reais que atendam, simultaneamente, a todas essas 
equações obtidas em um dado problema.
Respostas das atividades
Atividade 1
OBS.: As resoluções de todas as equações desta atividade foram feitas de 
maneira detalhada para facilitar a conferência de qualquer erro que você te-
nha cometido. É claro que você pode fazer algumas etapas simultaneamen-
te, e outras podem ser feitas implicitamente (sem escrever; feitas de cabeça), 
resumindo a resolução!
2 3 4 3 2 3 3 4 3 3
5 3 4
5 3 3 4 3
5 7
1
5
5
1
5
x x x x x x
x
x
x
x
− = − ⇔ − + = − +
⇔ − =
⇔ − + = +
⇔ =
⇔ =. .77
7
5
7
5
⇔ = = 





x S
a. 
3 102
3 10
2
3 10 2
3 10 2 2 2
10 0
10
x
x
x
x
x
x
x x
x x x x
x
x
− = ⇔ − =
⇔ − =
⇔ − − = −
⇔ − =
⇔ − +
. .
110 10
10 10
=
⇔ = = { }x S
b. 
Edificaçõese-Tec Brasil 128
1
1
1
3
2
3
1
1
1
3
1
3
2
3
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
1
x x
x
x
x x
−
+ = ⇔
−
+ − = −
⇔
−
=
⇔
−
− = −
⇔ =
.( ) .( )
11
3
1
1 3
1
3
1 3
3 1
1 3
1 1 3 1
4 4
.( )
. .( ).
x
x
x
x
x
x S
−
⇔ = −
⇔ = −
⇔ − =
⇔ − + = +
⇔ = = { }
c. 
x x x x x x
x x x x
−( ) − −( ) = − ⇔ − + − − +( ) = −
⇔ − + − + − =
2 4 10 4 4 8 16 10
4 4 8 16
2 2 2 2
2 2 −−
⇔ − − + + − = −
⇔ − = −
⇔ − + = − +
⇔ =
⇔
10
4 8 4 16 10
4 12 10
4 12 12 10 12
4 2
1
2 2x x x x
x
x
x
44
4
1
4
2
1
2
1
2
. .x
x S
=
⇔ = = 





d. 
Atividade 2
Chamaremos de V a capacidade, em litros, do tanque. E chamaremos de n o 
tempo que a segunda torneira, sozinha, leva para esvaziar totalmente o tanque.
Se a primeira torneira esvazia o tanque em 30 minutos, então, a cada minuto, 
são despejados para fora do tanque 
V
30
 litros de água por essa torneira. 
Se a segunda torneira esvazia o tanque em n minutos, então, a cada minuto, 
são despejados para fora do tanque 
V
n
 litros de água por essa torneira.
Se as duas torneiras juntas esvaziam o tanque em 20 minutos (lembre-se de 
que as duas torneiras juntas diminuem o tempo da primeira em 10 minutos), 
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 129
então, a cada minuto, são despejados para fora do tanque 
V
20
 litros de água 
por essas torneiras.
Mas a vazão das duas torneiras juntas é a soma das vazões de cada torneira; 
sendo assim:
V V V
n
V V V
n20 30 20 30
= + ⇔ − =
Multiplicando ambos os membros da equação anterior por 
60n
V
, obtemos:
60
20 30
60 60
20
60
30
60
60
20
n
V
V V n
V
V
n
n
V
V n
V
V n
V
V
n
n
. . . . .−



= ⇔ − =
− 660
30
60 30 60 20 60
600
60
1800 1200
600
60
600
600
n n
n
n n n n n= ⇔ × − × = ⇔ − = ⇔ = 660
60n =
Podemos, então, afirmar que, estando apenas a segunda torneira aberta, o 
tanque só seria esvaziado após 60 minutos.
Atividade 3
Vamos chamar a metade do percurso feito na viagem de d quilômetros; 
assim, o percurso total será 2d quilômetros. Foram consumidos v1 litros de 
combustível na primeira metade da viagem e v2 litros de combustível na 
segunda metade do trajeto.
Podemos, então, estabelecer que 
d
v1
12= (na primeira metade o carro fez 
12 km/L) e 
d
v2
10= (na segunda metade o carro fez 10 km/L).
Além disso, sabemos que v1 + v2 = 32 (na viagem toda o carro gastou 
32 litros).
Como 
d
v
d v
1
112 12= ⇔ = , e 
d
v
d v
2
210 10= ⇔ = teremos:
12v1 = 10v2 ⇔ v2 = 1,2v1
Vazão
Vazamento, escoamento. 
Ação de esgotar um líquido 
de um recipiente. 
Glossário
Edificaçõese-Tec Brasil 130
Substituindo esse resultado v2 = 1,2v1 em v1 + v2 = 32, obtemos:
v1 + 1,2v1 = 32 ⇔ 2,2v1 = 32 ⇔ v1
32
2 2
14 55= =
,
,
Se v1 = 14,55, podemos substituir esse valor na fórmula d = 12v1.
Então, d = 12 . (14,55) ⇔ d = 174,6 Km.
Como a viagem toda era 2d ⇔ 2 x 174,6 = 349,2. Sendo assim, a viagem 
realizada foi de 349,2 km.
Atividade 4
Suponha que a troca de pneus tenha eficiência máxima (a troca permite que 
os pneus traseiros e dianteiros acabem no mesmo instante) e que ela ocorra 
após o carro ter percorrido x quilômetros (lembre-se de que podemos cha-
mar as incógnitas de qualquer letra). Nesse momento, os pneus dianteiros, 
que chamaremos de p1 e p2, ainda seriam capazes de percorrer 40.000 – x 
quilômetros, se mantidos na suas posições (na frente). Os pneus traseiros, 
que chamaremos de p3 e p4, ainda seriam capazes de percorrer 60.000 – x 
quilômetros, se mantidos nas suas posições (atrás).
Quando trocamos um pneu da dianteira para a traseira, sua durabilidade au-
menta e é multiplicada por 
3
2
, pois 
3
2
20 000 60 000× =. . (lembre-se de que 
quando esses pneus são usados nas rodas traseiras, sua durabilidade passa 
a ser de 60.000 km). Já na troca inversa, a durabilidade do pneu diminui e 
é multiplicada por 2
3
, pois 2
3
60 000 40 000× =. . (lembre-se de que quando 
os pneus são usados nas rodas dianteiras, sua durabilidade passa a ser de 
40.000 km).
Como queremos durabilidade máxima, então, tanto os pneus dianteiros 
quanto os traseiros deverão “acabar” no mesmo momento.
Os pneus trocados da dianteira para a traseira, após x quilômetros percorri-
dos, ainda terão a durabilidade de 3
2
40 000× −( ). x . Já os pneus trocados 
da traseira para a dianteira, após x quilômetros percorridos, ainda terão a 
durabilidade de 
2
3
60 000× −( ). x .
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 131
Como a durabilidade dos pneus traseiros e dianteiros depois de percorridos x 
quilômetros deve ser igual, então devemos igualar as duas equações:
3
2
40 000
2
3
60 000 60 000
3
2
40 000
2
3
60 000 4
× −( ) = × −( ) ⇔ − = −
⇔ −
. . . .
.
x x x x
00 000
3
2
2
3
20 000
5
6
20 000
6
5
24 000. . . .= − ⇔ = ⇔ = ⇔ =x x x x x x
Isso significa que os pneus terão eficiência máxima se forem trocados de 
posição quando o carro percorrer 24.000 quilômetros. E a durabilidade de 
ambos os pneus (traseiros e dianteiros), após percorrer 24.000 km, ainda 
será de 
3
2
40 000× −( ). x , onde x = 24.000 (conforme calculamos).
Ou seja:
3
2
40 000 24 000
3
2
16 000 24 000× −( ) = × =. . . . quilômetros.
No total, ambos os pneus duraram 48.000 quilômetros, que é a soma dos 
dois resultados encontrados.
Atividade 5
Sabemos que, se adicionarmos uma medida de concentrado da fruta a duas 
medidas de água, obteremos três medidas de suco. Quer dizer que, no suco, 
a razão entre a quantidade de concentrado de fruta e a quantidade de água 
é 
1
2
.
Vamos agora modelar o problema. Considere que seja possível realizar a 
tarefa com x litros de suco, ou seja, x é o valor que você quer encontrar. 
Considere também que essa quantidade de suco foi feita com n litros de 
concentrado da fruta. Assim, x - n representa a quantidade de água presente 
no suco. Já que estamos falando do suco, temos:
n
x n
n
x n
x n n x n n x n
−
=
−
= ⇔ − = ⇔ = + ⇔ =
1
2
1
2
2 2 3
Como queremos obter 12 litros de refresco, deveremos acrescentar água ao 
suco até que tenhamos uma mistura com n litros de concentrado e 12 – n 
litros de água.
Edificaçõese-Tec Brasil 132
Como desejamos que a solução final seja um refresco, então, deve ser obe-
decida a seguinte relação:
n
n12
1
5−
=
Ou seja, a razão entre a quantidade de concentrado e a quantidade de água 
para fazer um suco é 1
5
. E essa razão segue o raciocínio anterior, de que n 
litros do concentrado estará para a quantidade de água. A quantidade de 
água é a diferença entre a quantidade final de refresco (12 litros) e a quanti-
dade que esta solução tem do concentrado. Então:
n
n
n n n n
12
1
5
5 12 6 12 2
−
= ⇔ = − ⇔ = ⇔ =
Agora, é só substituir o valor de n (n = 2) na primeira equação encontrada 
(x = 3n), e temos:
x = 3n ⇒ x = 3 x 2 ⇒ x = 6
Ou seja, a tarefa pode ser realizada se dispusermos de 6 litros de suco.
Atividade 6
xa) 2 - 7x + 12 = 0
a equação está na forma ax2 + bx + c = 0; assim, pela fórmula de Bhaskara, 
x
b
a
= − ± ∆
2
, onde ∆ = b2 - 4ac.
Como a = 1, b = –7 e c = 12, então:
∆ = (-7)2 - 4 . 1 . 12
∆ = 49 - 48
∆ = 1
Assim, substituindo em x
b
a
= − ± ∆
2
, obtemos:
x = ±7 1
2
 ⇒ x = 4 ou x = 3
Assim, temos S = {4;3}
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 133
(2x - 4)b) (x2 - 4x + 3) = 0
Um produto é nulo se, e somente se, pelo menos um dos fatores for nulo. Ou 
seja, o resultado de uma multiplicação só será igual a zero se um dos fatores 
dessa multiplicação for zero. Portanto, para encontrar o resultado da equa-
ção, devemos fazer dois cálculos, igualando cada um dos fatores a zero.
(2x - 4)(x2 - 4x + 3) = 0
Se 2x - 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
ou
Se x2 - 4x + 3 = 0
Somando 1 a ambos os membros da igualdade:
x2 - 4x + 4 = 1
A expressão do lado esquerdo da equação anterior é um trinômio quadrado 
perfeito,portanto:
(x - 2)2 = 1
Como x - 2 está ao quadrado, existem duas possibilidades:
x - 2 = 1 ou x - 2 = - 1
x = 3 ou x = 1
Assim, temos S = {2;3;1}
(x - 1)c) 2 + (x - 4)2 = 17
O primeiro passo é desenvolver os binômios que estão elevados ao quadrado. 
Assim, temos:
x x x x x x
x x
x x
2 2 2
2
2 1 8 16 17 2 10 17 17
2 10 0
2 5 0
− + + − + = ⇔ − + =
⇔ − =
⇔ ⋅ −( ) =
Edificaçõese-Tec Brasil 134
Novamente, temos o resultado de uma multiplicação sendo igual a zero, então:
2x = 0 ou (x - 5) = 0
x = 0 ou x = 5
Assim, temos S = {0;5}
x
x
x
x
x
x
x x x x x x x
+
− = − ⇔
+
= −
= +( ) −( ) ⇔ = − ⇔ − − =
1
2 3
1
1
1 1 1 1 02 2.
d) 
Agora, temos uma equação na forma de 2º grau (x2 - x - 1 = 0). Então,aplicamos, 
a fórmula de Bhaskara.
Δ = b2 - 4ac
Δ = (-1)2 - 4 . 1 . (-1)
Δ = 1 + 4
Δ = 5
Substituindo esse valor na fórmula x
b
a
= − ± ∆
2
, encontramos:
x x ou x= ± ⇔ = + = −1 5
2
1 5
2
1 5
2
Assim, temos S = + −







1 5
2
1 5
2
;
Atividade 7
Veja nas ilustrações adiante o primeiro e o segundo encontros dos barcos.
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 135
A B
d
d
Usando a definição de velocidade média ( mv
d
t
=
∆ ) desde a partida dos bar-
cos até o primeiro encontro entre eles, temos:
Para o barco que chamaremos de A: v
d
tA = − 720
1
E para o barco que chamaremos de B: v
tB = 720
1
Sendo d a distância entre as margens, ou seja, a largura do rio. Chamaremos 
de t o tempo de deslocamento dos barcos.
O próximo passo é isolar t1 em cada equação. Assim, podemos concluir que 
d
v vA B
− =720 720 (equação I).
Usando novamente a definição de velocidade média desde a partida dos 
barcos até o segundo encontro entre eles, temos:
Para o barco A: v
d
tA = −2 360
2
E para o barco B: v
d
tB = + 360
2
Isolando agora t2 em cada equação, podemos concluir que:
2 360 360d
v
d
vA B
− = + ; assim invertendo as frações v
d
v
d
A B
2 360 360−
=
+
 (equação II).
Edificaçõese-Tec Brasil 136
Multiplicando a equação I pela equação II, temos:
d
v
v
d v
v
d
d
d d
d
A
A
B
B−
−
=
+
⇔
−
−
=
+
⇔ −(
720
2 360
720
360
720
2 360
720
360
720
. .
)) ⋅ +( ) = ⋅ −( )
⇔ − − = −
⇔ −
d d
d d d
d
360 720 2 360
360 259200 1440 259200
180
2
2 00 0
0 1800
d
d ou d
=
⇔ = =
Fica claro que apenas um dos valores pode expressar a largura do rio. Como 
um rio não pode ter largura zero, concluímos que a largura do rio só pode 
ser 1800 metros.
Atividade 8
Indicaremos a quantidade de amigos por n. O valor total da conta é 672. 
Assim, a parcela da conta que cada um deve pagar é 672
n
.
Como dois amigos não participaram do pagamento (porque esqueceram a 
carteira), faltariam para o pagamento total da conta 2
672×
n
 reais, ou seja, 
duas vezes o valor que cada um deles pagaria.
Como os outros amigos resolveram pagar a parte dos dois que esquece-
ram a carteira, o valor 2
672×
n
 foi repartido entre os outros n – 2 amigos 
(n é o total de amigos menos os dois que não pagaram). Cada amigo, 
então, pagou:
2
672
2
2 672 1
2
1344
2
×
−
= × ×
−
=
× −( )
n
n n n n n
 reais.
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 137
O problema informou que o valor que cada amigo pagou foi de 8 reais. 
Assim, podemos igualar esta equação a 8, o que nos permite montar a 
equação 
1344
2
8
n n⋅ −( )
= .
1344
2
8 8 2 1344 2 168
2 168 02
n n
n n n n
n n
⋅ −( ) = ⇔ ⋅ −( ) = ⇔ ⋅ −( ) = ⇔
− − =
Agora, temos uma equação do 2º grau e podemos usar a fórmula de Bhaskara,
∆
∆
∆
∆
= −
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
= +
=
b ac2
2
4
2 4 1 168
4 672
676
Substituindo o valor anterior na expressão n
b
a
= − ± ∆
2
, encontraremos:
n n n= ± ⇒ = = −2 26
2
14 12 ou 
Como n indica o número de amigos, somente os valores naturais nos inte-
ressam (não existe –12 amigos). Desta forma, podemos concluir que havia 
14 amigos reunidos.
Atividade 9
Vamos chamar de x1 e x2 as raízes da equação x2 – 7x + c = 0.
Você aprendeu que a soma das raízes de uma equação é igual a − b
a
. 
Assim, temos:
x x
b
a1 2
7
1
7+ = − = − − =
Você também aprendeu que o produto das raízes de equação é 
c
a
. 
Assim, temos:
x x
c
a
c
c1 2 1
⋅ = = =
Edificaçõese-Tec Brasil 138
Como o enunciado do exercício disse que as raízes são inteiras (números 
inteiros), e nós sabemos que a soma delas é 7, podemos deduzir que as 
possíveis raízes são:
0 e 7 (0+7 = 7)
1 e 6 (1+6 = 7)
2 e 5 (2+5 = 7)
3 e 4 (3+4 = 7)
E outros infinitos casos em que uma das raízes é negativa. Por exemplo:
– 1 e 8 (– 1+8 = 7)
– 2 e 9 (– 2+9 = 7)
– 4 e 11(– 4+11 = 7)
E assim por diante.
O valor de c é o produto das raízes ( x x
c
a
c
c1 2 1
⋅ = = = ). O valor que nos in-
teressa é apenas o maior valor possível para c. Sendo assim, os casos em que 
uma das raízes é negativa podem ser desconsiderados, porque a multiplicação 
de um número positivo por um número negativo tem como resultado um 
número negativo.
Como vimos, quando as duas raízes são positivas, os possíveis valores de c são:
0 x 7 = 0
1 x 6 = 6
2 x 5 = 10
4 x 3 = 12
e-Tec BrasilAula 4 | Equações de 1° e 2° graus 139
Entre os quatro possíveis valores, o maior é 12. Podemos afirmar, então, que 
12 é o maior valor de c, de modo que a equação x2 – 7x + c = 0 apresente 
raízes inteiras.
Referências bibliográficas
LIMA, Elon Lages. et al. Temas e problemas elementares. Rio de Janeiro: SBM, 2005.
SANTOS, Antônio Luiz. Problemas selecionados de matemática. Rio de Janeiro: Ciência 
Moderna, 2006.