Função de 2 grau

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Função de 2º grau
Função quadrática	
Sejam dados os coeficientes reais a, b, c. Uma função polinomial quadrática é definida por:
𝑓 𝑥	= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Problema 1 – Trajetória de uma bola de golfe	
Um golfista dá uma tacada que faz sua bola descrever uma trajetória na qual a altura, em metros, é dada pela função
𝑓	𝑥	= −0,008𝑥2 + 𝑥
em que x é a distância horizontal da bola, em metros, medida a partir de sua posição antes da tacada. A Figura 1 ilustra a trajetória da bola.
Figura 1. Trajetória de uma bola de golfe. Quando a bola está a uma distância horizontal 𝑥ҧ do ponto de partida, sua altura é f(𝑥ҧ).
1- a) Com base em uma tabela de pontos, trace a trajetória da bola no plano Cartesiano.
x
f(x)
0
2 0
40
60
80
100
120
140
	x	f(x)
	0	0,0
	2 0	16,8
	40	27,2
	60	31,2
	80	28,8
	100	20,0
	120	4,8
	140	-16,8
1- b) Determine a altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 40 m de seu ponto de partida.
A altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 40 m de sua posição original é dada por
f(40) = −0,008* 402 + 40 = 27,2.
Logo, a bola está a uma altura de 27,2 m.
1- c) Determine a que distância do ponto de partida a bola cai no chão.
Observando o Gráfico do item a, concluímos que a bola toca o solo a cerca de 125 metros de seu ponto de partida. Para determinar com exatidão a coordenada horizontal desse ponto, basta lembrar que dizer que a bola está sobre o solo é o mesmo que afirmar que sua altura é zero.
Assim, temos f(x) = 0, ou seja,
+ 1	= 0
+ 1	= 0.
𝑓 𝑥	= −0,008𝑥2 + 𝑥
−0,008𝑥2 + 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 −0,008𝑥 As raízes dessa equação devem satisfazer 𝑥 = 0 ou	−0,008𝑥 Neste último caso, temos
−0,008𝑥	+ 1 = 0 ⟹ −0,008𝑥	= −1 ⟹ 𝑥 =
−1
−0,008
⟹ 𝑥 = 125
Logo, os pontos em que a bola toca o solo são aqueles nos quais x = 0 m (ponto de partida) e
x = 125 m, que é a distância horizontal entre o ponto de partida e o ponto de queda da bola.
Gráfico da função quadrática - Parábola	
Abertura da concavidade da parábola	
O parâmetro a também controla a abertura da parábola. Quanto maior for o valor absoluto desse parâmetro, menor será a abertura, e vice-versa, como ilustra a figura abaixo.
Problema 2 – Interceptos da parábola	
Dada a função quadrática
f(x) = 2x2 − 5x − 3,
determine os interceptos de seu gráfico com os eixos coordenados.
Resolução:
Interceptos da parábola	
O coeficiente c da função quadrática determina o intercepto-y da parábola, pois, tomando x = 0, temos, na função 𝑓 𝑥	= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑓 0	= 𝑎.02 +𝑏. 0 + 𝑐 = 𝑐
Já os interceptos-x da parábola correspondem às raízes da equação f(x) = 0, que é equivalente à
equação quadrática
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Analisando o discriminante Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 podemos dizer que a parábola:
intercepta o eixo-x em dois pontos se Δ > 0;
intercepta o eixo-x em um ponto se Δ = 0;
não intercepta o eixo-x se Δ < 0.
Exemplo 1
Δ>0
Exemplo 2
Δ=0
Exemplo 3
Δ<0
Ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadrática	
A função quadrática possui apenas um ponto de máximo ou de mínimo, que corresponde ao vértice da parábola.
Retornando ao Problema 1 - Altura máxima da bola de golfe
No Problema 1, a trajetória de uma bola de golfe é descrita por uma parábola composta pelos pares (x,y), em que
x é a distância horizontal da bola (em metros), medida a partir de sua
posição antes da tacada;
y é a altura da bola (em metros), dada pela função
𝑓 𝑥	= −0,008𝑥2 + 𝑥
Faça o gráfico das funções quadrática, marcando os interceptos x e y e as coordenadas do vértice
1. 𝑦 = 𝑥2
2. 𝑦 = −𝑥2
3. 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥
4. 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 1
Problema 3: Maximização da área cercada
Um fazendeiro pretende usar 500 m de cerca para proteger um bosque retangular às margens de um riacho, como mostra a figura ao lado.
Usando o comprimento da cerca, escreva o valor de y em função de x.
Com base na expressão que você encontrou no item (a), escreva a função A(x) que fornece a área cercada, com relação a x.
Determine o valor de x que maximiza a área cercada.
Determine também o valor de y e a área máxima.
Trace o gráfico de A(x).
1. Observando a figura, notamos que apenas três dos lados da região do bosque precisam ser protegidos. Dessa forma, a cerca medirá apenas 2y + x.
Igualando essa expressão ao comprimento de cerca de que o fazendeiro dispõe, obtemos
2y + x = 500.
Isolando y nessa equação, chegamos a
𝑦 = 500 − 𝑥
2
4. Gráfico de A(x)	
Inequação quadrática
Agora que definimos a função quadrática 𝑓	𝑥	= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
discutiremos como resolver o seguinte tipo de inequação
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0	ou
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
Em nossa análise, levaremos em conta
o número de raízes da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0;
o sinal de 𝑎, que indica para que lado está voltada a concavidade da parábola.
Como sabemos que a equação 𝑓	𝑥	= 0 pode ter duas, uma ou nenhuma raiz real, vamos investigar quando 𝑓	𝑥	≥ 0 e quando 𝑓	𝑥	≤ 0 em cada um desses casos separadamente.
1. 𝑓	𝑥	= 0	com duas raízes reais
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com ∆> 0
Se a equação f(x) = 0 tem duas raízes reais, x1 e x2, com x1 < x2, é fácil determinar os intervalos em que f é positiva ou negativa observando as Figuras.
2. 𝑓	𝑥	= 0	com uma raiz real
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com ∆= 0
Se a equação f(x) = 0 tem uma única raiz real, x1, os possíveis gráficos de f são aqueles mostrados nas Figuras.
3. 𝑓	𝑥	= 0	com nenhuma raiz real
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com ∆< 0
Se a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, então f não muda de sinal e tampouco toca o eixo-x, como mostram as Figuras.
Resolva a inequação abaixo observando o sinal da função quadrática associada:
−2x2 + 3x + 9 ≥ 10
Como a < 0, o gráfico de f tem concavidade para baixo, cruzando o eixo-x em x1 e x2. Assim, como mostra a Figura, f(x) ≥ 0 para
2
𝑆 =	𝑥 ∈ ℝ| 1 ≤ 𝑥 ≤ 1	ou
2
𝑆 =	1 , 1
Resolva as inequações
1. −𝑥2 + 9 ≥ 0
2. −𝑥2 + 6𝑥 − 9 > 0
3. 2𝑥2 − 2𝑥 + 5 > 0
Referências	
GOMES, F. M. Pré-Cálculo: Operações, Equações, Funções e Trigonometria. Editora Cengage, 2018.
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