ALGEBRA LINEAR - AV1 ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA

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ALGEBRA LINEAR 
AV1 - ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA 
A Álgebra linear é um segmento da matemática para quem trabalha com 
estatística e cálculo pois, esses requerem conhecimento prévio uma vez que lidam com 
equações e funções lineares que são representadas que são representadas através de 
matrizes e vetores. O estudo de matrizes e dos sistemas lineares são tópicos de álgebra 
linear estudados no ensino médio, entretanto, existe uma dificuldade na aprendizagem 
da matemática no ensino básico devido a pouca motivação no estudo de conceitos e 
definições de teoria matemática. 
Essa atividade especificamente solicita que trabalhemos com probabilidades e 
nesse caso utilizaremos a Cadeia de Markov para apresentar os resultados solicitados 
conforme dados abaixo: 
“Um bioquímico está estudando uma bactéria capaz de combater determinada 
doença. Ele sabe que, para tal, certo genótipo deve controlar as características 
necessárias para combater a doença. O genótipo desejado é constituído por dois alelos 
dominantes, ou seja, genótipo AA.” 
Dessa forma, o bioquímico montou uma tabela que indica a probabilidade do 
cruzamento das bactérias que carregam os três diferentes genótipos (AA, Aa e aa) 
resultar em indivíduos com o genótipo de interesse AA. A tabela é: 
 
 GENÓTIPOS DE ORIGEM 
AA x AA AA x Aa AA x aa 
Probabilidade genótipo AA 100% 50% 0% 
Probabilidade genótipo Aa 0% 50% 100% 
Probabilidade genótipo aa 0% 0% 0% 
 
Por meio desta pesquisa o pesquisador denominou a população de indivíduos com 
o genótipo AA de x1, a população de indivíduos Aa e x2e a população de indivíduos aa 
de x3. Com isso definiu equações que descrevem a probabilidade que um dos indivíduos 
de origem possui sempre o genótipo AA: 
X1(n) = 1 * X1(n-1) + ½ * X2(n-1) 
X2(n) = 1/2 * X2(n-1) + 1 * X3(n-1) 
X3(n) = 0 
 
Por fim, o bioquímico traduziu essas equações na forma de uma transformação 
linear: 
 X1(n) 1 ½ 0 X1(n-1) 
 T: R3 → R3; X2(n) = 0 ½ 1 X X2(n-1) 
 X3(n) 0 0 0 X3(n-1) 
 
 
É importante ressaltar que o subscrito (n) indica a geração de bactérias a qual 
estamos nos referindo, enquanto que (n-1) se refere à geração anterior. Se analisarmos 
bem a expressão, veremos que se trata de uma cadeia de markov. 
Além da transformação que descreve a proporção de indivíduos através das 
gerações, sabemos também a proporção inicial das bactérias estudadas com os três 
diferentes genótipos. São elas: X1= 10%, X2= 60% e X3= 30%. Temos, portanto, o seguinte 
vetor: 
 
 X1(n) 0,1 
 X2(n) = 0,6 
 X3(n) 0,3 
 
 
Com a equação que descreve a transformação linear em mãos, somos capazes de 
estimar a população de indivíduos com o genótipo AA através das mais diversas 
gerações. A partir disso, vamos propor, então algumas perguntas: 
 
 
1) Qual a população de bactérias com genótipo Aa (ou se já, x2) na primeira 
geração? E na segunda geração? 
2) Qual a população de bactérias com gene tipo aa (ou seja, x3) na terceira 
geração? Essa proporção se altera na quarta geração? 
3) Em qual geração a população de bactérias com genótipo AA atinge 85% do 
total? 
 
De acordo com os dados fornecidos no texto sobre a população inicial das 
bactérias e a probabilidade de cruzamento entre os três diferentes genótipos, 
montamos as matrizes de probabilidades para a primeira geração multiplicando a 
probabilidade de cruzamento pela proporção inicial das bactérias na forma “linha x 
coluna”, obtendo a segunda geração. 
Dessa forma, vamos repetir o processo de multiplicação da população inicial pelo 
resultado da proporção de bactérias do passo anterior, conforme aplicação da cadeia de 
Markov. 
A probabilidade de um evento (X) ocorrer irá depender se o mesmo está dentro 
do espaço amostral (U) que é definido por: 
 
 P(x)= n(X)/n(U), 
 
onde n(U) é o número de elementos do espaço amostral U, e n(X) é o número de 
elementos do evento X. Na matriz a ser formada, cada linha deve somar um total igual 
a 1 que se refere a 100% da probabilidade. 
 
Conforme dados já informados no início podemos, então, podemos notar que a 
primeira geração é formada pela multiplicação da probabilidade pela proporção inicial, 
gerando o resultado abaixo. 
 
 
Primeira geração 
 
 
De acordo com o resultado obtido, verificamos que a população de bactérias do 
genótipo “Aa” (X2) permaneceu com a mesma proporção da população inicial, ou seja, 
0,6 x 100% = 60%. 
Segunda geração 
 
 
 
A obtenção do resultado da segunda geração é feita pela substituição da 
proporção inicial pelo resultado da primeira geração. Assim observando a população de 
bactérias do genótipo “Aa” (X2) da primeira geração em relação à segunda geração, 
verificamos uma proporção menor resultando em uma proporção de 0,3 x 100% = 30%. 
 
Terceira geração 
 
 
 
Novamente substituímos o resultado da segunda geração para obter o resultado 
da terceira geração. Observamos que a população do genótipo “aa” (X3) não obteve 
nenhuma alteração desde a primeira geração, permanecendo com proporção de 0,0 x 
100% = 0%. 
Na quarta geração, a população do genótipo “aa” (X3) não tem alteração visto que 
a geração atual(terceira geração) resultou em 0%, ou seja, para a próxima geração 
permanecerá em 0%.