MATEMÁTICA CBMPA_3

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MATEMÁTICA 
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
 
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CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
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NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
 
 
Olá pessoal! Para quem não me conhece sou o professor 
Allan Miranda, professor de Matemática, Matemática 
financeira, Estatística, Raciocínio Lógico e Raciocínio 
Crítico para Concursos. 
Você também pode me acompanhar pelo 
Instagram/facebook/youtube @prof_Allan_Miranda. 
 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 
A Estatística é uma parte da Matemática que provê 
métodos de planejamento, coleta, apuração, exposição, 
análise e interpretação de dados relativos a um 
determinado fenômeno. 
 
2. FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO 
O trabalho estatístico consiste basicamente de seis 
etapas: 
 
a) Definição do problema 
Nesta fase define-se o objetivo do trabalho estatístico, 
ou seja, o que se deseja estudar. 
 
b) Planejamento 
Esta etapa consiste na definição de quais características 
serão pesquisadas, na divisão de tarefas entre os 
indivíduos responsáveis pelo trabalho, na escolha da 
forma de coleta dos dados, etc... 
 
c) Coleta 
Nesta fase os dados relativos às características desejadas 
são obtidos através de pesquisas e são denominados 
dados brutos. 
 
d) Apuração 
É a classificação e contagem dos dados brutos. Antes ou 
de preferência simultaneamente com a apuração deve-
se fazer a crítica dos dados, isto é, uma triagem de modo 
a eliminar erros grosseiros. 
 
e) Exposição 
Após a apuração, os dados são expostos em quadros, 
tabelas ou gráficos de modo a permitir a análise dos 
mesmos. 
 
f) Análise e interpretação dos dados 
É o objetivo final do trabalho estatístico e serve como 
base para a tomada de decisões relativas ao fenômeno 
estudado. 
 
3. POPULAÇÃO, CENSO E AMOSTRA 
 
a) População 
Denomina-se população ou universo um conjunto de 
elementos com pelo menos uma característica em 
comum. Os habitantes de um país, os estudantes de uma 
universidade, os atletas de um clube, o rebanho bovino 
de um estado e a produção de lâmpadas de uma fábrica 
são exemplos de população. 
 
b) Censo 
O censo ou recenseamento é a contagem e classificação 
segundo uma ou mais características de todos os 
elementos de uma determinada população. Por 
exemplo, quando se faz o censo demográfico de um país, 
contam-se os habitantes de sua população e classificam-
se os mesmos segundo sexo, idade, estado habitado, 
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faixa de renda familiar, etc... Quando é feito o censo 
agropecuário, são levadas em conta características 
diferentes das anteriores: número de elementos dos 
rebanhos bovinos, suínos, etc... área cultivada, produtos 
cultivados, etc... 
 
c) Amostra 
Quando se coletam dados relativos à determinadas 
características de uma população como por exemplo, os 
parafusos produzidos por uma fábrica num determinado 
dia, pode ser economicamente inviável até mesmo 
impossível examinar toda a população. Nestes casos, 
examinamos apenas uma parte da mesma denominada 
amostra. A técnica de como escolher os elementos da 
população para compor a amostra denomina-se 
amostragem. 
Como exemplo, suponhamos que uma fábrica produza 
30 milhões de parafusos diariamente. Suponhamos 
ainda que um diretor quisesse saber qual a porcentagem 
de parafusos defeituosos em sua produção e para tal 
resolvesse examinar todos os elementos da população, 
isto é, os 30 milhões de parafusos, um por um. Se uma 
pessoa conseguisse classificar um parafuso em bom ou 
defeituoso em 1 segundo, seriam necessárias mais de 
1000 pessoas trabalhando 8 horas para realizar tal 
trabalho em 1 dia, isto é, provavelmente seriam 
necessárias mais pessoas para contar do que para 
produzir de fato, o que é, obviamente, inviável 
economicamente. 
Em alguns casos, é até mesmo impossível realizar o 
estudo de todos os elementos de uma população. 
Suponhamos, por exemplo, que uma fábrica de 
lâmpadas queira saber a durabilidade das lâmpadas que 
produz. Para tal, realiza um teste que consiste em colocar 
a lâmpada num soquete, acendê-la e marcar o tempo 
que a mesma leva até queimar. É óbvio que tal teste é 
destrutivo, isto é, o elemento depois de testado, não 
pode ser vendido. Assim, se o fabricante resolvesse 
testar todas as lâmpadas de sua produção, o que iria 
vender? 
Portanto, a amostragem é mais rápida, mais barata e em 
alguns casos até mais precisa que o censo. 
 
4. VARIÁVEIS 
 
Uma variável é um ente matemático que pode assumir 
qualquer valor de um conjunto de valores que lhe são 
atribuídos previamente. 
Por exemplo, a cor dos olhos de uma pessoa é uma 
variável que pode assumir os valores, azul, verde, 
castanho, preta, etc... O número de filhos de um casal é 
outra variável que pode assumir infinitos valores dentro 
de um intervalo considerado, como veremos a seguir. 
 
 
 
a) Qualitativas 
Quando seus valores forem atributos não numéricos, 
como por exemplo, a cor dos olhos de uma pessoa. 
 
b) Quantitativas 
Quando seus valores forem numéricos, como por 
exemplo, O número de filhos de um casal ou o peso de 
um indivíduo. 
Uma variável quantitativa ainda é classificada em 
discreta (quando existem valores que a variável não 
pode assumir entre dois valores possíveis da variável) ou 
contínua (quando pode assumir qualquer valor entre 
dois valores possíveis da variável, por mais próximos que 
estes estejam). 
Assim, o número de filhos de um casal só pode assumir 
os valores 0, 1, 2, 3,... mas jamais assumirá valores como 
7,32 ou 2,17. É, portanto, uma variável discreta. 
Já o peso de um indivíduo pode assumir qualquer valor 
entre dois valores dados, por exemplo, entre 50 kg e 51 
kg, podemos ter indivíduos pesando 50,3 kg ou 50,31 kg, 
etc. bastando apenas utilizar balanças de precisão cada 
vez maior. 
Em geral, as contagens ou enumerações dão origem a 
variáveis discretas enquanto as medições dão origem a 
variáveis contínuas. 
 
 
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QUESTÕES DE PROVAS 
 
01. (CESPE / SEFAZ-AL) Julgue o seguinte item. 
Um censo consiste no estudo de todos os indivíduos da 
população considerada. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
02. (CESPE / SEFAZ-AL) Julgue o seguinte item. 
Como a realização de um censo tipicamente é muito 
onerosa e(ou) demorada, muitas vezes é conveniente 
estudar um subconjunto próprio da população, 
denominado amostra. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
03. (FCC - ARCE/CE) O processo estatístico que consiste 
em uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se 
todos os componentes da população, denomina-se 
A) amostragem. 
B)estimação. 
C) censo. 
D) parametrização. 
E) correlação. 
 
04. (FUNIVERSA) - TERRACAP/DF) Uma cidade possui 
1.000 habitantes. Um estatístico, necessitando fazer uma 
determinada pesquisa, entrevistou 200 pessoas. É 
correto dizer que, nesse exemplo específico, de uma 
amostra de 1.000 pessoas, o estatístico entrevistou uma 
população de 200 indivíduos. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
05. (CESPE-TJAM) Em determinado município brasileiro, 
realizou-se um levantamento para estimar o 
percentual P de pessoas que conhecem o programa 
justiça itinerante. Para esse propósito, foram 
selecionados 1.000 domicílios por amostragem aleatória 
simples de um conjunto de 10 mil domicílios. Nos 
domicílios selecionados, foram entrevistados todos os 
residentes maiores de idade, que totalizaram 3.000 
pessoas entrevistadas, entre as quais 2.250 afirmaram 
conhecer o programa justiça itinerante. 
De acordo com essa situação hipotética, julgue o 
seguinte item. 
A fração amostral do levantamento em tela foi superior 
a 0,5 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
06. (CESPE-TJAM) Em determinado município brasileiro, 
realizou-se um levantamento para estimar o 
percentual P de pessoas que conhecem o programa 
justiça itinerante. Para esse propósito, foram 
selecionados 1.000 domicílios por amostragem aleatória 
simples de um conjunto de 10 mil domicílios. Nos 
domicílios selecionados, foram entrevistados todos os 
residentes maiores de idade, que totalizaram 3.000 
pessoas entrevistadas, entre as quais 2.250 afirmaram 
conhecer o programa justiça itinerante. 
De acordo com essa situação hipotética, julgue o 
seguinte item. 
A unidade amostral é o domicílio 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
07. (CESPE-TJAM) Em determinado município brasileiro, 
realizou-se um levantamento para estimar o 
percentual P de pessoas que conhecem o programa 
justiça itinerante. Para esse propósito, foram 
selecionados 1.000 domicílios por amostragem aleatória 
simples de um conjunto de 10 mil domicílios. Nos 
domicílios selecionados, foram entrevistados todos os 
residentes maiores de idade, que totalizaram 3.000 
pessoas entrevistadas, entre as quais 2.250 afirmaram 
conhecer o programa justiça itinerante. 
De acordo com essa situação hipotética, julgue o 
seguinte item. 
O tamanho da amostra foi igual a 3 mil pessoas maiores 
de idade. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
 
 
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08. (CESPE-TJAM) Em uma fila para atendimento, 
encontram-se 1.000 pessoas. Em ordem cronológica, 
cada pessoa recebe uma senha para atendimento 
numerada de 1 a 1.000. Para a estimação do tempo 
médio de espera na fila, registram-se os tempos de 
espera das pessoas cujas senhas são números múltiplos 
de 10, ou seja, 10, 20, 30, 40, ..., 1.000. 
Considerando que o coeficiente de correlação dos 
tempos de espera entre uma pessoa e outra nessa fila 
seja igual a 0,1, e que o desvio padrão populacional dos 
tempos de espera seja igual a 10 minutos, julgue o item 
que se segue. 
 
Para a estimação do tempo médio de espera, a fração 
amostral adotada na referida situação será superior a 
0,12. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
09. (CESPE – SEDF) Um estudo estatístico será realizado 
para avaliar a condição socioambiental de estudantes do 
5.º ano do ensino fundamental das escolas da rede 
pública do DF. A partir de uma lista que contempla todas 
as turmas do 5.º ano do ensino fundamental das escolas 
da rede pública do DF, serão selecionadas 
aleatoriamente 50 turmas. Em seguida, os 
entrevistadores aplicarão questionários para todos os 
estudantes matriculados nessas 50 turmas. 
Com base nessas informações, julgue o seguinte item. 
A escola é considerada a unidade amostral desse estudo 
estatístico. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
10. (IMA - Prefeitura de Penalva - MA - Auxiliar 
Administrativo) Assinale a alternativa que apresenta o 
conceito de variável quantitativa discreta: 
A) É aquela que expressa o valor de uma contagem, por 
exemplo, idade, quantidade de televisores numa casa, 
quantidade de habitantes de uma cidade. 
B) É aquela que separa os indivíduos em classes com uma 
determinada ordem, por exemplo, nível de escolaridade: 
fundamental, médio e superior. 
C) É aquela que expressa uma medida como um valor 
real, por exemplo, peso e altura. 
D) É aquela que separa os indivíduos em classes, porém 
não é possível estabelecer uma ordem, por exemplo, 
sexo (masculino e feminino) e esporte praticado 
(futebol, basquete, ciclismo…). 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
01. CERTO 02. CERTO 03. C 
04. ERRADO 05. ERRADO 06. CERTO 
07. ERRADO 08. ERRADO 09. ERRADO 
10. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ORGANIZAÇÃO DE DADOS 
 
1. DADOS BRUTOS 
 Podemos considerar como dados estatísticos 
brutos aqueles dispostos da mesma forma como foram 
coletados, sem que se tenha sido estabelecido com eles 
qualquer ordenamento numérico. 
Ex.: Uma relação das idades de 20 estudantes de uma 
determinada turma, feita em ordem alfabética (não 
havendo organização de valores em ordem). 
(12, 11, 13, 14, 10, 8, 9, 7, 6, 8, 9, 10, 14, 8, 12, 10, 8, 9, 6, 7) 
 
2. ROL 
 Podemos considerar como ROL um conjunto de 
dados estatísticos organizados em ordem crescente ou 
decrescente de grandeza. 
Ex.: Uma relação das idades de 20 estudantes de uma 
determinada turma, feita em ordem crescente dos 
valores das idades. 
(6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 
14) 
 
3. QUADROS E TABELAS ESTATÍSTICAS 
 As tabelas estatísticas podem ser definidas como 
conjuntos de dados estatísticos, associados a um 
fenômeno, dispostos numa ordem de classificação. São 
classificadas levando-se em conta três elementos 
essenciais que caracterizam o fato em observação: o 
fenômeno descrito; o local onde foi observado; a época 
a que se refere. 
4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 A distribuição de frequências consiste na 
organização dos dados em uma tabela, de acordo com as 
ocorrências. A tabela consta de duas colunas, sendo a 
primeira reservada aos dados e, a segunda, ao número 
de ocorrências ou frequências de cada dado. O número 
de ocorrências pode ser representado de forma absoluta 
(número), relativa (porcentagem) ou ambas. 
 A distribuição de frequências é o tipo de tabela 
mais importante para o estudo da Estatística Descritiva. 
A sua elaboração merece um cuidado todo especial, uma 
vez que todos os cálculos, tanto de medidas de posição 
ou dispersão, quanto de assimetria e curtose, 
dependerão desta tabela. 
 
 
5. FREQUÊNCIA SIMPLES ABSOLUTA (f) 
 A frequência simples absoluta (f) de uma classe 
é o número de elementos da mesma. Assim, se a classe 
C1 possui f1 elementos, a classe C2 possui f2 elementos e 
de maneira genérica, a classe Ci possui fi elementos, 
dizemos que f1, f2, ..., fi são as frequências simples 
absolutas das respectivas classes. 
 A soma das frequências simples absolutas 
f1 + f2 + ... + fi é denominada frequência total e é 
geralmente representada por ft ou n. 
 No nosso exemplo, as idades anotadas, 
representam a variável, isto é, a característica da 
população que pretendemos estudar. 
Para que a idade dos alunos da turma seja 
observada com maior facilidade, podemos dispor 
ordenadamente os valores dessa variável em uma 
tabela. 
Idade (anos) frequência 
(f) 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
2 
2 
4 
3 
3 
1 
2 
1 
2 
 n =20 
 A esse tipo de tabela chamamos de distribuição 
de frequência com dados agrupados. 
A frequência é a quantidade de vezes que cada valor 
aparece na população (nesse caso, o número de alunos). 
Exemplo: 
 A classe C1 (6) tem frequência 2, isto é, 2 alunos da 
turma têm 6 anos. 
 A classe C2 (7) tem frequência 2, isto é, 2 alunos da 
turma têm 7 anos. 
 A classe C3 (8) tem frequência 4, isto é, 4 alunos da 
turma têm 8 anos. 
 E assim por diante. 
 
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No exemplo da tabela anterior temos: 
f1 = 2, f2 = 2, f3 = 4, f4 = 3, f5 = 3, 
f6 = 1, f7 = 2, f8 = 1, f9 = 2. 
n = f t = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 + f 9 
n = 20 
 
6. FREQUÊNCIA SIMPLES RELATIVA (f’) 
 A frequência simples relativa (f ' ) de uma classe 
é o quociente da frequência simples absoluta (f) desta 
classe pela frequência total (n), isto é: 
 
É geralmente expressa em porcentagem. Assim a 
frequência simples relativa é no mínimo igual a 0 (zero) 
ou 0% e no máximo igual a 1 (um) ou 100%. A soma de 
todas as frequências simples relativas de uma 
distribuição é igual a 1 (um) ou 100%. 
 No exemplo, para calcularmos as frequências 
simples relativas basta tomar as frequências simples 
absolutas e dividir pela frequência total que, no caso, 
vale 20. Teremos então: 
 f1’= f1_= 2 = 0,10 = 10% 
 n 20 
 f2’= f2 = 2 = 0,10 = 10% 
 n 20 
 f3 = f3_= 4 = 0,20 = 20% 
 n 20 
 f4 = f4 = 3 = 0,15 = 15% 
 n 20 
f5’ = f5 = 3 = 0,15 = 15% 
 n 20 
 f6’= f6_ = 1 = 0,05 = 5% 
 n 20 
 f7’ = f7_= 2 = 0,10 = 10% 
 n 20 
f8’ = f6_ = 1 = 0,05 = 5% 
 n 20 
f9’ = f7 = 2 = 0,10 = 10% 
 n 20 
 
 Assim, podemos acrescentar mais uma coluna à 
tabela dada: 
Idade (anos) f f’ 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
2 
2 
4 
3 
3 
1 
2 
10% 
10% 
20% 
15% 
15% 
5% 
10% 
13 
14 
1 
2 
5% 
10% 
 n =20 100% 
 
7. FREQUÊNCIA ACUMULADA ABSOLUTA (F) 
 
 A frequência acumulada absoluta (F) de uma 
classe é o somatório de todas as frequências simples 
absolutas (f) desde a primeira classe até a classe em 
questão inclusive. 
 No exemplo anterior, para calcular as 
frequências acumuladas absolutas (F) basta somar as 
frequências simples absolutas desde a primeira classe 
até a classe em questão: 
 
Idade (anos) f F 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
2 
2 
4 
3 
3 
1 
2 
1 
2 
(0 + 2)= 2 
(2 + 2)= 4 
(4+ 4)= 8 
(8 + 3)= 11 
(11 + 3)= 14 
(14 + 1)= 15 
(15 + 2)= 17 
(17 + 1) = 18 
(18 + 2) = 20 
 n = 20 
 
Obs.: Note que a frequência acumulada da última classe 
é igual à frequência total (F7 = n = 20). 
 
8. FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA (F’) 
 A frequência acumulada relativa (F’) de uma 
classe é o quociente da frequência 
acumulada (absoluta) (F) desta classe 
pela frequência total (n), isto é: 
 É geralmente expressa em 
porcentagem. Obviamente, a frequência acumulada 
relativa (F’) de uma classe também pode ser calculada 
somando-se todas as frequências simples relativas (f ’) 
desde a primeira classe até a classe em questão inclusive. 
fi’ = fi_ 
 n 
Fi’ = Fi_ 
 n 
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 No exemplo, para calcular as frequências 
acumuladas relativas (F’), basta dividir as frequências 
acumuladas absolutas (F’) pela frequência total (n): 
 
F1 = F1_= 2 = 0,1 = 10% 
 n 20 
 F2’= F2_ = 4 = 0,2 = 20% 
 n 20 
 F3’= F3_ = 8 = 0,4 = 40% 
 n 20 
 F4’= F4_ = 11 = 0,55= 55% 
 n 30 
 F5 = F5_ = 14 = 0,7 = 70% 
 n 20 
F6’= F6 = 15 = 0,75 = 75% 
 n 20 
F7’= F7_= 17 = 0,85 = 85% 
 n 20 
F8’ = F6_= 18 = 0,9 = 90% 
 n 20 
F9’ = F6_ = 20 = 1 = 100% 
 n 20 
 
 Como explicamos anteriormente também 
poderíamos ter calculado as frequências acumuladas 
relativas (F’) somando as frequências simples relativas 
(f ’) desde a primeira classe até a classe em questão 
inclusive. 
 Assim, podemos acrescentar duas novas colunas 
à nossa tabela: 
Idade (anos) f f’ F F’ 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
2 
2 
4 
3 
3 
1 
2 
1 
2 
10% 
10% 
20% 
15% 
15% 
5% 
10% 
5% 
10% 
2 
4 
8 
11 
14 
15 
17 
18 
20 
10% 
20% 
40% 
55% 
70% 
75% 
85% 
90% 
100% 
 n = 20 100% 
 
9. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COM INTERVALOS 
DE CLASSE 
 No exemplo anterior usamos uma variável 
discreta de pequena variação e montamos uma 
distribuição de frequência sem intervalos de classe. 
Quando temos uma variável contínua, temos 
que construir uma distribuição de frequência utilizando-
se de intervalos de classe. Para isso, é necessário vermos 
alguns conceitos como, amplitude total, intervalos de 
classe, limites de classe e ponto médio de classe. 
 
9.1. AMPLITUDE TOTAL (H) 
 Após a coleta dos dados estatísticos, estes 
fatalmente não estarão numericamente organizados em 
ordem crescente ou decrescente de grandeza. Nesta 
forma, eles são denominados dados brutos. 
 Se, no entanto, colocarmos estes dados em 
ordem crescente ou decrescente de acordo com uma 
característica, teremos um rol. 
 A diferença entre o maior e o menor valor de um 
rol é denominada amplitude total. 
 
9.2. INTERVALOS DE CLASSE 
 Geralmente, quando temos um conjunto de 
dados, estamos interessados em analisar determinadas 
características tais como peso, estatura, preços, 
quantidade, etc. Quando estamos lidando com dados 
contínuos, é comum agrupá-los em subconjuntos ou 
intervalos denominados classes ou categorias, embora 
também possamos fazê-lo com dados discretos. 
 Essas classes devem formar uma partição do 
conjunto, isto é, devem ser tais que um mesmo elemento 
do conjunto não pertence a duas classes 
simultaneamente e a união delas é o conjunto todo. 
 Assim, indicaremos por C1, C2, ... Ci as classes de 
um conjunto C. 
 
9.3. LIMITES DE CLASSE 
 Os extremos ℓi e Li são denominados 
respectivamente, limites inferior e superior da classe Ci. 
 A diferença entre os limites superior e inferior de 
uma classe, é denominada amplitude (hi) ou 
comprimento da classe Ci. 
 
No caso de dados contínuos, uma classe Ci é 
sempre representada por um intervalo de números reais 
que pode assumir as seguintes formas: 
 
a) intervalo fechado: ℓi|---------------| Li 
 (para qualquer elemento x pertencente a Ci temos ℓi  
x  Li). 
 
h i=Li  ℓi 
 
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b) intervalo semi-aberto à direita: ℓi |--------------- Li 
 (para qualquer elemento x pertencente a Ci temos ℓi  
x  Li). 
 
c) intervalo semi-aberto à esquerda: ℓi ---------------| Li 
 (para qualquer elemento x pertencente a Ci temos ℓi  
x  Li). 
 
d) intervalo aberto: ℓi --------------- Li 
 (para qualquer elemento x pertencente a Ci temos ℓi  
x  Li). 
 
Ex: Podemos agrupar as idades dos 20 alunos do exemplo 
anterior em classes. 
 
Idades (anos) f 
6|---------- 8 
 8|---------- 10 
10|---------- 12 
12|---------- 14 
14|---------- 16 
4 
7 
4 
3 
2 
 n = 20 
 
Estas idades variaram na faixa de 6 anos a 14 
anos. 
 
 Assim, a amplitude total é 14  6 = 8 anos. Foi 
feita uma divisão deste intervalo em 5 classes. A 1ª 
classe, por exemplo, é 6|-------- 8 enquanto que a 3ª classe 
é 10|--------- 12. 
 Você pode observar que foram utilizados 
intervalos semi-abertos à direita (assim, uma pessoa de 
10 anos pertence à 3ª classe e não à 2ª), que as classes 
cobrem toda a faixa das idades observadas e que uma 
determinada idade desta faixa pertence a somente uma 
das classes. 
 Os limites inferior e superior da 4ª classe, por 
exemplo, são 12 e 14, respectivamente. Logo, ℓ4 = 12 e L4 
= 14. 
 
 As amplitudes das classes são todas iguais, 
Vejamos: 
h1 = L1  ℓ1 = 8  6 = 2 
h2 = L2  ℓ2 = 10  8 = 2 
h3 = L3  ℓ3 = 12  10 = 2 
h4 = L4  ℓ4 = 14  12 = 2 
h5 = L5  ℓ5 = 16  14 = 2 
 
9.4. PONTO MÉDIO DE CLASSE (Pmi) 
 O ponto médio de uma classe é a média 
aritmética dos limites (inferior e superior) desta classe, 
independente do tipo de intervalo que se esteja 
utilizando. 
 
 
 Assim: 
 
 A definição do ponto médio de uma classe é 
muitoimportante, pois em alguns cálculos posteriores, 
consideraremos todos os dados pertencentes a uma 
classe iguais ao seu ponto médio Pmi. 
 No exemplo anterior, temos: 
 Pm1 = ℓ1 + L1 = 6 + 8 = 7 anos 
 2 2 
 Pm2 = ℓ2 + L2 = 8 + 10 = 9 anos 
 2 2 
 Pm3 = ℓ3 + L3 = 10 + 12 = 11 anos 
 2 2 
 Pm4 = ℓ4 + L4 = 12 + 14 = 13 anos 
 2 2 
 Pm5 = ℓ5 + L5 = 14 + 16 = 15 anos 
 2 2 
 
Agora que vimos todos os conceitos, vamos calcular as 
frequências simples relativas, frequências acumuladas 
absolutas, frequências acumuladas relativas e completar 
a distribuição de frequências com intervalos de classe. 
 
 
 
Pmi = ℓi + Li 
 2 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
11 
Frequências simples relativas: 
 f1’ = f1_ = 4 = 0,2 = 20% 
 n 20 
 f2’ = f2_ = 7 = 0,35 = 35% 
 n 20 
 f3’ = f3_ = 4 = 0,2 = 20% 
 n 20 
 f4’ = f4_ = 3 = 0,15 = 15% 
 n 20 
 f5’ = f5_ = 2 = 0,1 = 10% 
 n 20 
Frequências acumuladas absolutas 
 F1 = f1 = 4 
 F2 = F1 + f2 = 4 + 7 = 11 
 F3 = F2 + f3 = 11 + 4 = 15 
 F4 = F3 + f4 = 15 + 3 = 18 
 F5 = F4 + f5 = 18 + 2 = 20 
 
Frequências acumuladas relativas 
 F’1 = 20% 
 F’2 = 20% + 35% = 55% 
 F’3 = 55% + 20% = 75% 
 F’4 = 75% + 15% = 90% 
 F’5 = 90% + 10% = 100% 
 
Idade f Pm f’ F F’ 
6|---------- 8 
 8|---------- 10 
10|---------- 12 
12|---------- 14 
14|---------- 16 
4 
7 
4 
3 
2 
7 
9 
11 
13 
15 
20% 
35% 
20% 
15% 
10% 
4 
11 
15 
18 
20 
20% 
55% 
75% 
90% 
100% 
 n = 20 100% 
 
 
 
 
GRÁFICOS, HISTOGRAMAS E POLÍGONOS DE 
FREQUÊNCIA 
 
GRÁFICOS 
É a representação dos resultados estatísticos 
através de figuras geométricas. Tem como principal 
objetivo tornar a análise e interpretação dos dados mais 
simples, mais rápida e mais agradável. 
 Os tipos utilizados com mais frequência são: 
 
a) Gráfico em Barras ou em Colunas 
 
São aqueles em que os valores numéricos dos 
dados de um fenômeno são representados por 
retângulos dispostos horizontalmente (barras) ou 
verticalmente (colunas). 
a.1) Gráficos de coluna 
Juntamente aos gráficos em barra, são os mais utilizados. 
Indicam, geralmente, um dado quantitativo sobre 
diferentes variáveis, lugares ou setores e não dependem 
de proporções. Os dados são indicados na posição 
vertical, enquanto as divisões qualitativas apresentam-
se na posição horizontal. 
 
Gráfico em colunas apontando as maiores populações 
do mundo por país 
a.2) Gráficos em barra 
Possuem basicamente a mesma função dos gráficos em 
colunas, com os dados na posição horizontal e as 
informações e divisões na posição vertical. 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
 
12 
 
 
 
As indicações de cada dado podem ser colocadas 
na região interior da barra ou coluna ou à esquerda de 
cada barra e embaixo de cada coluna. A escolha é feita 
de acordo com as conveniências de espaço. 
 É comum deixar um espaço entre duas barras ou 
duas colunas, de modo a individualizar melhor os dados. 
 É aconselhável utilizar hachuras de mesma 
inclinação e espaçamento em todas as barras ou colunas, 
só variando a inclinação ou espaçamento nos gráficos 
compostos, que veremos a seguir. 
 
b) Gráfico Composto 
 
São aqueles em que representamos dois ou mais 
fenômenos em um mesmo gráfico, normalmente com o 
objetivo de comparação. 
 A composição pode ser feita por justaposição 
(quando colocamos as barras ou colunas uma ao lado da 
outra) ou por superposição (quando colocamos as barras 
ou colunas uma em cima da outra). 
 
 
b.1) Gráfico Composto Justaposto 
 
 
 
 
 
 
 
 
b.2) Gráfico Composto Superposto 
 
 
 
 
 
 
 
 
É recomendável apresentar uma legenda com a 
correspondência entre os tipos de hachura e os 
fenômenos representados. 
 O gráfico composto por superposição também 
permite a comparação entre fenômenos, mas é 
normalmente utilizado quando a soma dos valores 
relativos a estes é relevante. 
 
c) Gráfico em Setores 
 São aqueles em forma de círculo em que cada 
setor possui um ângulo proporcional ao dado que 
representa. 
 São normalmente utilizados quando desejamos 
evidenciar a participação dos dados em relação ao total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcular o ângulo correspondente a cada 
setor basta utilizar uma regra de três simples: 
 
 dado -------- total 
 ângulo --------- 360º 
 
Uma das vantagens do gráfico de setores é que 
ele permite identificar facilmente as proporções entre 
os diversos valores nele representados e o todo. 
PRODUÇÃO DE CAFÉ EM GRÃOS NAS AMÉRICAS 
0 
10 
20 
30 
40 
50 
60 
1991 1992 1993 
América do Norte 
América do Sul 
PRODUÇÃO DE CAFÉ EM GRÃOS NAS 
AMÉRICAS 
0 
20 
40 
60 
80 
1991 1992 1993 
América do Sul 
América do Norte 
ADEPTOS DO CRISTIANISMO NO MUNDO 
57% 
20% 
9% 
4% 
10% 
Católica Romana 
Protestante 
Ortodoxa 
Anglicana 
Outras 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
13 
d) Pictograma 
 Os Pictogramas são gráficos que usam figuras 
para representar quantidades. 
Ex: Número de alunos matriculados em um colégio. 
Série Número de Alunos 
5ª . 
6ª . 
7ª . 
8ª . 
 Legenda:  = 50 alunos 
A legenda explica que cada símbolo  
representa uma contagem de 50 alunos. Assim, este 
pictograma mostra contagens de 150 alunos na 5ª 
série, 250 alunos na 6ª série, 300 na 7ª série e 400 na 8ª 
série. 
 
e) Gráfico em Linhas ou em Curva 
 São aqueles que utilizam um sistema de 
coordenadas cartesianas onde uma linha poligonal 
indica as variações de valores de um determinado 
fenômeno que é observado em intervalos regulares de 
tempo. 
Ex: A tabela seguinte mostra as temperaturas de um 
paciente tomadas de 4 em 4 horas ao longo de um dia: 
 
Hora 0h30 4h30 8h30 12h3
0 
16h3
0 
Temperatur
a 
39,5 40,0 38,5 38,0 37,5 
O gráfico de linhas correspondente seria: 
 
 
 
 
 
 
 
Os vértices da linha poligonal indicam os valores das 
temperaturas observadas. Os pontos de cada um dos 
segmentos que se encontram em dois vértices seguidos 
da poligonal indicam estimativas das temperaturas 
entre duas observações consecutivas. Deste modo, 
observando o gráfico podemos estimar que a 
temperatura do paciente às 6h30 deveria estar 
próxima dos 39 gráus. 
 
f) Histograma 
 São gráficos de superfícies utilizados para 
representar distribuições de frequências com dados 
agrupados em classes. 
 O histograma é composto por retângulos 
justapostos (denominados de células), cada um deles 
representando um conjunto de valores próximos (as 
classes). 
 A largura da base de cada célula deve ser 
proporcional à amplitude do intervalo de classe que ela 
representa e a área de cada célula deve ser proporcional 
à frequência da mesma classe. 
 Se todas as classes tiverem igual amplitude, 
então as larguras devem ser iguais, porém as alturas dos 
retângulos serão proporcionais às frequências das 
classes que eles representam e, neste caso, geralmente 
faz-se as alturas numericamente iguais às frequências (f). 
 Considere a distribuição de frequências 
apresentada a seguir e observe o histograma obtido a 
partir dela: 
Ex: Distribuição dos pesos dos funcionários de uma 
empresa. 
 
PESOS (kg) f f’ F 
40 ├── 50 5 10% 5 
50├── 60 15 30% 20 
60├── 70 10 20% 30 
70├── 80 15 30% 45 
80├── 90 5 10% 50 
TOTAL 50 100% 
 
 
 
 
 
 
Podemos também construir o histograma com a 
frequência simples relativa (f’). Basta marcar f’ ao invés 
de f no eixo vertical, como está feito no eixo à direita. 
40,
0 
37,
5 37,
0 36,
5 36,
0 
38,
5 38,
0 
39,
5 39,
0 
0h30 
4h3
0 
8h3
0 
12h3
0 
16h3
0 
5 
1
0 
1
0 
1
5 
4
0 
f’ 
(%) 3
0 
2
0 
f 
7
0 
6
0 
5
0 
8
0 
9
0 
peso 
(kg) 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
 
14 
g) Polígono de Frequências 
 O polígono de frequências é o gráfico que 
obtemos unindo pontos médios dos lados superiores 
dos retângulos de um histograma por meio de 
segmentos de reta consecutivos formando assim a 
poligonal de frequência. 
Costuma-se completar esta poligonal de 
frequência unindo-se o primeiro e o último ponto 
representativo aos pontos médios das classes 
imediatamente anterior e posterior, que têm 
frequência nula e fechar o polígono através do eixo. 
Forma-se assim, o polígono de frequência. 
 Retomando o histograma apresentado no item 
anterior, obtemos o seguinte polígono de frequências: 
 
 
 
 
 
 
h) Polígono de Frequência Acumulada ou Ogiva 
 Podemos ainda construir o polígono de 
frequência acumulada, ou ogiva. Basta marcar a 
frequência acumulada abaixo de cada limite superior de 
classe na abscissa. As frequências acumuladas podem 
ser apresentadas na forma absoluta (quantidades de 
casos) ou na forma relativa (porcentagem). 
 Consideremos a tabela de distribuição de 
frequências de pesos mostrada anteriormente, 
teremos: 
O histograma construído com estas frequências 
acumuladas nos dá a seguinte ogiva crescente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
INTRODUÇÃO 
São medidas que indicam a posição da 
distribuição no eixo das abscissas, ou seja, o 
posicionamento dos elementos de uma amostra de 
números quando esta é representada em rol. 
 
Como estas medidas tendem a se localizar em 
um ponto central do conjunto de dados analisados, são 
denominados medidas de tendência central. 
 
 As medidas de tendência central têm como 
objetivo concentrar em um único número os diversos 
valores de uma variável quantitativa. 
 
 Dentre os valores típicos ou representativos de 
um conjunto de valores, a média aritmética, a moda e a 
mediana são as mais conhecidas. 
 
 As tabelas ou distribuições de frequências 
podem se apresentar de 3 formas diferentes: 
 Dados não agrupados 
 Dados agrupados sem intervalos de classe 
 Dados agrupados com intervalos de classe 
 
A seguir vejamos o cálculo das medidas de posição 
em cada um dos casos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
0 
1
0 
5
0 
4
0 
F 
7
0 
6
0 
5
0 
8
0 
9
0 
peso 
(kg) 
2
0 
4
0 
5 
1
0 
1
5 
4
0 
f 
7
0 
6
0 
5
0 
8
0 
9
0 
peso 
(kg) 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
15 
1ª FORMA: DADOS NÃO AGRUPADOS 
 
Quando temos uma tabela com pequenas 
quantidades de variáveis não havendo necessidade de 
agrupá-las. 
Ex.: A tabela a seguir foi obtida após a pesquisa do preço 
de um produto em 7 lojas. 
 
Loja Preço 
A 5 
B 12 
C 13 
D 15 
E 20 
F 25 
G 29 
 
 
1. MÉDIA ARITMÉTICA (X̅) ou (Ma) 
Define-se Média Aritmética de uma série de 
valores como sendo a razão entre a soma de todos os 
termos da série (∑ xi) e número de termos (n). 
 
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
 
 
 
 
 
No exemplo da tabela anterior: 
Ma = x1 + x2 + x3 + x4 +... +xn 
 n 
Ma = 5 + 12 + 13 + 15 + 20 + 25 + 29 = 119  Ma= 17 
 7 7 
 
 
 
 
2. MODA (Mo) 
 Dada uma série estatística qualquer, chamamos 
de moda ou valor modal, o valor da série para o qual se 
verifica a maior frequência simples. 
 Deste modo, uma lista de n dados numéricos 
pode, eventualmente, apresentar uma única moda 
(unimodal), duas modas (bimodal), três modas 
(trimodal) ou mais (plurimodal), podendo também não 
ter moda (amodal). 
 
Ex1: A série (2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8) é unimodal Mo = 3 
 
Ex2: A série (10, 11, 11, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16) 
tem duas modas, 13 e 15 sendo por isso denominada 
série bimodal. 
 
 Ex3: A série (3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7) não tem moda, 
sendo denominada série amodal. 
 
No exemplo da tabela anterior: (5, 12, 13, 15, 20, 25, 
29) Não tem moda, série amodal. 
 
3. MEDIANA (Md) 
 Mediana é o valor que separa um rol em duas 
partes com a mesma quantidade de ocorrências. 
 A mediana, portanto, será sempre um número 
que, num conjunto ordenado de dados, tenha 50% dos 
valores menores ou iguais a ele, sendo os outros 50% 
maiores ou iguais a ele. Ocupa, quanto ao número de 
elementos do rol, uma posição central no mesmo. 
Assim, dados n valores numéricos em ordem 
crescente ou decrescente, a mediana será: 
 
 Se n for ímpar, o termo que ocupar a posição central. 
 
 Se n for par, a média aritmética dos 2 termos centrais. 
 
Ex1: Na série (5, 10, 15, 16, 20, 40,40) a mediana é 16. 
 
Ex2: Na série (13, 15, 17, 19, 25, 30) os dois valores mais 
centrais do rol são 17 e 19, sendo 18 a média aritmética 
entre eles. Assim, a mediana é 18. 
Ma = x1 + x2 + x3 + x4 +... +xn 
 n 
Ma = ∑ xi 
 n ou 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
 
16 
No exemplo da tabela anterior: 5, 12, 13, 15, 20, 25, 29 
A série tem 7 termos, o termo central é o 4º termo, 
portanto a mediana é  Md = 15 
 
TESTE DE FIXAÇÃO: 
A tabela a seguir foi obtida após a pesquisa do peso de 
algumas crianças de uma creche. 
Criança Peso (kg) 
Camila 9 
Rafael 11 
Valéria 16 
Letícia 18 
Bianca 25 
Alice 29 
 
Calcule: 
a) A média aritmética (Ma). 
 
b) A moda (Mo). 
 
c) A mediana (Md). 
 
2ª FORMA: DADOS AGRUPADOS 
SEM INTERVALOS DE CLASSE 
 
Quando temos uma variável discreta de pequena 
variação, podemos construir uma distribuição de 
frequência utilizando cada valor isoladamente ao invés 
de intervalos de classe. 
 
Ex: O gráfico a seguir foi obtido após a pesquisa das 
idades de alguns alunos em uma turma: 
 
 
 
 
 
 
 
Montando a distribuição de frequência, temos: 
 
Idade (anos) f 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
2 
2 
4 
3 
3 
1 
2 
1 
2 
 n = 20 
 
1. MÉDIA ARITMÉTICA (Ma) 
 
Quando os valores estiverem agrupados numa 
distribuição de frequências, usaremos a média 
aritmética dos valores x1, x2, x3, x4,..., xn, ponderados 
pelas respectivas frequências f1, f2, f3, f4,..., fn: 
 
 
 
 
 
 
 
No exemplo da tabela anterior: 
Ma = x1f1+ x2f2+ x3f3 + x4 f4 +... +xnfn 
 n 
Ma = 6 . 2 + 7 . 2 + 8 . 4 + 9 . 3 + 10 . 3 + 11 . 1 + 12 . 2 + 
13 . 1 + 14 . 2 
 20 
Ma = 12 + 14 + 32 + 27 + 30 + 11 + 24 + 13 + 28 
 20 20 
Ma = 191  Ma = 9,55 anos 
 20 
 
Ma = x1f1+ x2f2+ x3f3 + x4 f4 +... +xnfn 
 n 
Ma = ∑ xi . f𝐢 
 n 
ou 
6 
0 
3 
4 
1 
7 9 8 1
0 
Idade
s 
N
ú
m
er
o
 d
e 
a
lu
n
o
s 2 
1
1 
1
2 
1
3 
1
4 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
17 
Md = Xn+1
2
 
 
2. MODA (Mo) 
A moda ou valor modal será o valor que mais se repete 
na distribuição. A distribuição poderá ser amodal, 
bimodal, trimodal ou plurimodal. 
No exemplo da tabela anterior: A maior frequência da 
distribuição é 4 que pertence ao valor 8 anos, portanto: 
Mo = 8 anos (Série unimodal). 
 
3. MEDIANA (Md) 
Para se determinar a mediana de dados 
agrupados sem intervalos de classe, devemos observar 
se a série é constituída de: 
a) Com número ímpar de termos: 
A mediana será o elemento que ocupar a 
posição 
n + 1
2
, ou seja: 
 
b) Com número par de termos: 
A mediana será a média aritmética entre os 
elementos que ocuparem as posições: 
 
n
2
 e 
n
2
+ 1, ou seja: 
 
Para se encontrar os valores nas posições determinadas 
pelas fórmulas anteriores é necessário construir na 
tabela, a coluna de frequências acumuladas (F). 
No exemplo da tabela anterior: 
 
Idade (anos) f F 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
1314 
2 
2 
4 
3 
3 
1 
2 
1 
2 
2 
4 
8 
11 
14 
15 
17 
18 
20 
 n = 20 
n = 20 = 10 e n + 1 = 11  Md = X10 + X11 = 9 + 9 
 2 2 2 2 2 
 Md = 9 anos 
3ª FORMA: DADOS AGRUPADOS 
 COM INTERVALOS DE CLASSE 
 
Quando estamos lidando com dados contínuos, 
é comum agrupá-los em subconjuntos ou intervalos 
denominados classes ou categorias, embora também 
possamos fazê-lo com dados discretos. 
 
Ex.: A tabela abaixo foi obtida após a pesquisa do peso 
dos alunos de uma turma. 
 
Peso (kg) Número 
de alunos 
Ponto 
Médio 
F(fac) 
 40 |---------- 50 
 50 |---------- 60 
 60 |---------- 70 
 70 |---------- 80 
 80 |---------- 90 
5 
10 
10 
20 
5 
45 
55 
65 
75 
85 
5 
15 
25 
45 
50 
 n = 50 
 
1. MÉDIA ARITMÉTICA (Ma) 
 
Neste caso supõe-se que os dados estão 
distribuídos em posições igualmente espaçadas ao longo 
dos intervalos de classe. 
Assim, para o cálculo da média, basta calcular o ponto 
médio de classe e considerar todos os dados da classe 
coincidentes com o mesmo, recaindo na SEGUNDA 
FORMA. 
 
No exemplo da tabela anterior: 
 Pm1 = 45 / Pm2 = 55 / Pm3 = 65 / Pm4 = 75 / Pm5 = 85 
 
Ma = x1 . f1+ x2 . f2+ x3 . f3 + x4 . f4 +... +xn . fn 
 n 
Ma = 45 . 5 + 55 . 10 + 65 . 10 + 75 . 20 + 85 . 5 
 50 
Ma = 225 + 550 + 650 + 1500 + 425 = 3350  Ma = 67 
 50 50 
Md =
Xn
2
+Xn
2
 +1
2
 
X1
0 
X1
1 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
 
18 
2. MODA (Mo) 
Neste caso a moda não é rigorosamente 
definida. 
 
a) Moda Bruta 
É o ponto médio da classe modal, isto é, da classe 
de maior frequência. Utilizada quando se deseja um valor 
aproximado da moda. 
No exemplo da tabela anterior: 
Classe Modal = 4ª (70|---------- 80). Mo = 70 + 80  Mob = 75 
 
 2 
 
b) Moda de Czuber 
A fórmula de Czuber é considerada a mais 
precisa para o cálculo da moda numa tabela com os 
dados agrupados em classes. Nela, considera-se as 
variações das frequências das classes vizinhas à classe 
modal em relação à frequência da própria classe modal. 
 
 
 
 
 i é a classe modal, isto é, a classe de maior frequência. 
 ℓi é o limite inferior da classe modal. 
 hi é a amplitude da classe modal. 
 ant é a diferença entre as frequências simples das 
classes modal e anterior à modal. ant = fmodal – fant 
 post é a diferença entre as frequências simples das 
classes modal e posterior à modal. post = fmodal – fpost 
 
No exemplo da tabela anterior: 
Moc = ℓi + (
ant
ant + post
) . hi 
i é a classe modal, isto é, a classe de maior frequência, 
portanto a classe é (70|-------- 80). i = 70, hi = 10 
ant = fmodal – fant = 20 – 10 = 10. 
post = fmodal – fpost = 20 – 5 = 15 
Moc = 70 + (
10
10 + 15
) . 10 = 70 + 
100
25
 = 70 + 4  Moc = 74 
 
 
c) Moda de King 
A fórmula de King baseia-se apenas na influência 
das frequências das classes adjacentes à classe modal 
sobre o valor da moda, não considerando a frequência 
da própria classe modal. É menos precisa que a fórmula 
de Czuber, devendo, portanto, o seu uso ficar restrito 
aos casos onde seja expressamente pedida. 
 
 
 
 i é a classe modal, isto é, a classe de maior frequência. 
 ℓi é o limite inferior da classe modal. 
 hi é a amplitude da classe modal. 
 fant é a frequência simples absoluta da classe anterior 
à modal. 
 fpost é a frequência simples absoluta da classe posterior 
à modal. 
No exemplo da tabela anterior: 
Mok = ℓi + (
fpost
fant + fpost
) . hi 
i é a classe modal, isto é, a classe de maior frequência, 
portanto a classe é (70|-------- 80). i = 70, hi = 10, fant = 10, 
fpost = 5 
Mo = 70 +(
5
10 + 5
) . 10 = 70 + 
50
15
 = 70 +3,34  
Mok = 73,34 
 
COMPARAÇÕES ENTRE OS TRÊS TIPOS DE MODA 
 Dada uma distribuição de frequências, as 
frequências das classes adjacentes à classe modal, 
poderão se apresentar de três maneiras: A classe 
anterior menor que a classe posterior, as duas iguais, ou 
a classe anterior maior que a classe posterior. Neste 
caso as três modas se apresentarão conforme tabela 
abaixo: 
 
fant  fpost fant = fpost fant  fpost 
Mob  Moc  Mok Mob = Moc = Mok Mob  Moc  Mok 
 
Mob = moda bruta 
Moc = moda de Czuber 
Mok = moda de King 
Moc = ℓi + (
ant
ant + post
) . hi 
Mok = ℓi + (
fpost
fant + fpost
) . hi 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
19 
Note que, no exemplo da tabela anterior: 
Frequência da classe modal (70├── 80 = 20). 
Frequência da classe anterior (60├── 10 = 10). 
Frequência da classe posterior (80├── 90 = 5). fant  fpost 
As três modas tiveram os seguintes valores: 
 
Moda Bruta = 75 kg 
Moda de Czuber = 74 kg Mob  Moc  Mok 
Moda de King = 73,34 kg 
 
3. MEDIANA (Md). 
 
Neste caso, a mediana será determinada pela fórmula: 
 
 
 
Onde: 
n  Tamanho da série ou frequência total; 
md  Classe cuja frequência acumulada absoluta 
seja maior ou igual a 
n
2
 (no caso da mediana, 
para n par ou ímpar); 
ℓi  Limite inferior da classe mediana; 
Fant  Frequência acumulada absoluta da classe 
anterior à classe mediana; 
fi  Frequência simples absoluta da classe 
mediana; 
hi  Amplitude da classe mediana. 
 
No exemplo da tabela anterior: 
Md = ℓi+ (
n
2
− Fant
fi
) . hi 
 
n/2 = 50/2 = 25 
i é a classe cuja frequência acumulada absoluta é igual ou 
maior a 
n
2
 = 25, portanto a classe é (60|-------- 70) 
i = 60, fi = 10, hi = 10, Fant = 15 
Md = 60 + (
25−15
10
) . 10 = 60 + 1 . 10  Md = 70 
 
TESTES – MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
01. As notas dos três primeiros bimestres de um aluno, 
em determinada disciplina, são: 5, 4 e 7. Sabendo que a 
nota final anual é a média aritmética simples das notas 
obtidas pelo aluno nos quatro bimestres, qual deverá ser 
anota do quarto bimestre para que a sua nota final anual 
seja 6? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 
02. Considere na questão anterior que a nota final anual 
fosse a média aritmética ponderada das notas obtidas 
pelo aluno nos quatro bimestres, com pesos 1, 2, 3 e 4 
do primeiro ao quarto respectivamente, qual deveria ser 
a nota do aluno no quarto bimestre para que sua nota 
final anual fosse a mesma? 
a) 6,5 
b) 7,0 
c) 7,5 
d) 8,0 
e) 8,5 
 
 
03. A média aritmética dos pesos de dezenove pessoas 
que entraram num elevador é igual a 70 kg. Se entrar 
mais uma pessoa, que pesa 82 kg, a nova média dos 
pesos das vinte pessoas, em kg, será igual a: 
a) 80,2 
b) 76,3 
c) 72,0 
d) 71,2 
e) 70,6 
 
 
 
 
Md = ℓi+ (
n
2
− Fant
fi
) . hi 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
 
20 
04. Agenor está fazendo um curso de especialização. O 
curso é dividido em módulos e cada módulo tem um 
certo número de créditos, dependendo da importância 
do módulo. O coeficiente de rendimento do aluno é a 
média ponderada das notas por ele obtidas nos 
respectivos módulos, tendo como pesos os créditos 
correspondentes. A tabela a seguir apresenta as notas 
obtidas por Agenor e o número de créditos de cada 
módulo: 
Módulo No de créditos Nota 
I 4 6 
II 5 7 
III 5 8 
IV 3 6 
V 3 6 
VI 5 9 
O coeficiente de rendimento de Agenor no curso é igual 
a: 
a) 4,3 
b) 6,8 
c) 7,0 
d) 7,2 
e) 7,6 
 
 
 
 
05. Em uma pesquisa sobre tempo de uso de internet, 
1000 pessoas responderam à seguinte pergunta: 
“Durante quantas horas, por dia, você utiliza a internet?” 
O resultado da pesquisa é mostrado no gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O número médio de horasdiárias na internet utilizadas 
por essas pessoas é: 
a) 2 
b) 2,5 
c) 2,7 
d) 2,9 
e) 3 
 
 
06. Calcular a moda, pela fórmula de King, da distribuição 
de frequência abaixo. 
 
PESOS (kg) NÚMERO DE PESSOAS 
10|---------- 12 
12|---------- 14 
14|---------- 16 
16|---------- 18 
18|---------- 20 
08 
18 
28 
12 
04 
a) 13,20 
b) 13,80 
c) 12,80 
d) 14,80 
 
 
A tabela a seguir refere-se às questões 07 e 08 
 
Diâmetro 
 (cm) 
Frequência 
simples absolutas 
 4├── 6 
 6├── 8 
 8├── 10 
10├──12 
12├──14 
6 
8 
12 
10 
4 
 
 
 
1 
30
0 25
0 20
0 15
0 10
0 5
0 
Número 
de 
2 3 4 5 Número 
de 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
21 
07. De acordo com a distribuição de frequência 
transcrita acima, pode-se afirmar que a mediana da 
distribuição é: 
a) É eqüidistante da média aritmética e da moda 
b) É igual à média aritmética 
c) É inferior à média aritmética 
d) Coincide com o ponto médio de um intervalo de 
classe 
e) Pertence a um intervalo de classe distinto daquele 
que contém a média aritmética 
 
 
08. Ainda com relação a tabela anterior, a moda da 
distribuição é aproximadamente igual a: 
a) 9,5 cm 
b) 9,7 cm 
c) 9,3 cm 
d) 9,6 cm 
e) 9,4 cm 
 
09. Dada a seguinte distribuição, onde i é a frequência 
simples absoluta da i-ésima classe então: 
 
Classes i 
 2├── 4 
4├── 6 
6├── 8 
 8├── 10 
10├── 12 
2 
8 
10 
8 
4 
 
a) A distribuição é simétrica e o número de classes é 5 
b) A distribuição é assimétrica e bimodal 
c) A média aritmética é 6,4 
d) Por ser a maior frequência a moda é 10 
e) O ponto médio da 3ª classe e a moda são iguais. 
 
 
 
 
10. A moda bruta é: 
a) O ponto médio da classe central 
b) O ponto médio da classe de maior frequência 
c) Um ponto médio qualquer escolhido arbitrariamente 
d) Considerada a forma mais precisa para o cálculo da 
moda 
e) Nenhuma das respostas anteriores 
 
11. A Moda de Czuber é calculada utilizando: 
a) Todos os dados da distribuição 
b) Os dados centrais da distribuição 
c) Os dados que estão em torno da classe de maior 
frequência 
d) Os dados externos 
e) Nenhuma das respostas anteriores 
 
12. Se as frequências das classes adjacentes à classe 
modal forem iguais, podemos afirmar que: 
a) A moda de Czuber será maior que a moda bruta 
b) A moda de Czuber será maior que a moda de King 
c) A moda bruta será igual à moda de Czuber 
d) A moda bruta será maior que a moda de Czuber 
e) nenhuma das respostas anteriores 
 
13. Se a frequência da classe anterior à classe modal for 
maior que a frequência da classe posterior à classe 
modal, poderemos afirmar que: 
a) A moda de King será maior que a moda de Czuber 
b) A moda de Czuber será maior que a moda bruta 
c) A moda de King será menor que a moda bruta 
d) As modas bruta, de Czuber e de King serão iguais 
e) nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
 
22 
14. Os 100 alunos admitidos em uma faculdade foram 
distribuídos em duas turmas. Na turma I, puseram os 50 
alunos de melhores médias no vestibular; na turma II, 
os demais. Entretanto, resolveu-se, posteriormente, 
transferir, para a turma II, o pior aluno da turma I. Após 
a transferência, o que aconteceu com as médias das 
notas no vestibular, dos alunos das turmas I e II ? 
a) Ambas aumentaram. 
b) Ambas diminuíram. 
c) Aumentou a de I e diminuiu a de II. 
d) Diminuiu a de I e aumentou a de II. 
e) Não há dados suficientes para que se possa 
responder. 
 
15. A média das idades de dez pessoas é de 20 anos. Se 
mais cinco pessoas com média de idade de 23 anos se 
juntarem a este grupo, a nova média de idade do grupo 
todo será igual a: 
a) 25 
b) 24 
c) 23 
d) 22 
e) 21 
 
16. Analise o gráfico seguinte que representa as médias 
dos candidatos que prestaram exame em um concurso 
público. Qual a moda e a mediana destas médias? 
a) 4 e 6,5 
b) 4 e 7 
c) 4 e 6 
d) 5 e 6 
e) 6 e 4 
 
 
 
GABARITO 
01. D 02. A 03. E 04. D 05. C 
06. D 07. D 08. C 09. E 10. B 
11. C 12. C 13. C 14. A 15. E 
16. C 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
INTRODUÇÃO 
As medidas de dispersão medem o grau de 
espalhamento dos dados de uma distribuição. Se você 
anotar as idades dos alunos de uma turma de faculdade, 
provavelmente verá que a maioria deles se concentra 
numa faixa muito estreita 
(talvez entre 19 e 24 anos), com evidente predominância 
dos jovens, havendo um ou outro caso que destoa dessa 
faixa. Agora, se você tentar anotar as idades das pessoas 
que frequentam uma determinada praia, verá que a 
dispersão é muito maior, isto é, existem quantidades 
significativas de crianças, jovens, adultos e idosos. 
Para quantificar essa dispersão (ou variabilidade) 
existem diversas medidas. 
As medidas de dispersão dividem-se em 
absolutas e relativas, sendo as principais delas: 
 
I) Medidas de dispersão absolutas: 
 a) Amplitude total ou campo de variação; 
 b) Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-interquartílica 
 c) Desvio Médio; 
 d) Variância; 
 e) Desvio padrão ou Desvio quadrático médio. 
 
II) Medidas de dispersão relativas: 
 g) Coeficiente de variação; 
 h) Variância relativa 
 
Destas, as mais importantes são a variância e o 
desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4,
0 
6
0 
4
0 
2
0 N
ú
m
er
o
 d
e 
ca
n
d
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at
o
s 
Médi
as 
6,
0 
7,
0 
8,
0 
9,
0 
5,
0 
1
0 
3
0 
5
0 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
23 
1. AMPLITUDE TOTAL (R ou H) 
É a diferença entre o maior valor (ou o limite 
superior do último intervalo de classe) e o menor valor 
(ou o limite inferior do primeiro intervalo de classe) de 
uma distribuição. É uma medida de dispersão limitada, 
pois depende apenas dos valores extremos, não 
considerando a dispersão dos valores interno da série. 
 
Ex: 
Série A: 60 75 80 10
0 
15
0 
 RA = 90 
 
Série B: 70 70 70 10
0 
16
0 
 RB = 90 
As séries A e B possuem o mesmo campo de variação, 
porém, com uma dispersão menor entre os valores de A 
do que de B, fato que só podemos comprovar com o 
estudo das outras medidas de dispersão absolutas, uma 
vez que esta medida se refere apenas aos valores 
extremos da série. 
 
2. DESVIO QUARTÍLICO (Dq) 
(OU AMPLITUDE SEMI-INTERQUARTÍLICA) 
 O Desvio Quartílico, também conhecido como 
amplitude Semi-Interquartílica, é a distância média entre 
os quartis: 
 
 
 
OBS: É comum em alguns exercícios de provas de 
concurso, pedir para calcular a Amplitude 
Interquartílica que é a diferença entre os quartis: AI = 
Q3 – Q1. 
 
3. DESVIO MÉDIO (Dm) 
 
O desvio, discrepância, afastamento ou resíduo 
de um valor é a diferença entre este valor e a média 
aritmética da distribuição. 
O desvio médio é a média aritmética dos valores 
absolutos (módulos) dos desvios calculados em relação a 
média aritmética da série. 
 
 
3.1 – Dados não Agrupados: 
 
 
3.2 – Dados Agrupados: 
 (em classes ou não) 
 
4. VARIÂNCIA ABSOLUTA (σ2 ou S2) 
 Para calcularmos o desvio médio, como vimos no 
item anterior, foi necessário tomarmos os módulos dos 
desvios em relação à média aritmética, visto que a soma 
destes desvios é sempre nula. Para evitar o uso dos 
módulos, criou-se uma outra medida de dispersão 
denominada de VARIÂNCIA, onde os desvios são 
elevados ao quadrado, evitando, desta maneira, a soma 
nula. 
A variância é definida como sendo a média 
aritmética dos quadrados dos desvios calculados em 
relação à média aritmética dos valores da série. 
A variância mede o grau de concentração dos 
valores de uma série em torno da média, sendo σ2 (sigma 
ao quadrado) a variância de uma população, S2 a 
variância de uma amostra.VARIÂNCIA POPULACIONAL 
Dados não Agrupados Dados Agrupados 
(em classes ou não) 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dm = |xi – Ma| 
 n 
R = Li– ℓi 
σ2 = (xi – Ma)2 
 n 
Dm = |xi – Ma| . fi 
 n 
σ2 = (xi – Ma)2 . fi 
 n 
Dq = Q3 – Q1 
 2 
σ2 = 1 xi
2–(∑xi)2 
 n n 
σ2 = 1 xi
2fi–(∑xifi)2 
 n n 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
 
24 
VARIÂNCIA AMOSTRAL 
Dados não Agrupados Dados Agrupados 
(em classes ou não) 
 
 
ou 
 
 
 
 
ou 
 
 
OBS: Quando não houver nenhuma referência, 
consideramos a série de dados proposta como uma 
população de dados. 
5. DESVIO PADRÃO (σ ou S) 
O desvio padrão é definido como sendo a raiz 
quadrada positiva da variância, sendo a medida de 
dispersão mais utilizada em Estatística. O desvio padrão 
indica, em termos absolutos, o afastamento dos valores 
observados em relação à média aritmética da série 
estudada. 
 
Desvio Padrão Populacional: 
 
 
Desvio Padrão Amostral: 
 
 É importante destacar que o desvio padrão tem 
a mesma unidade da variável proposta, fato que não 
acontece com a variância, cuja unidade é a da variável 
original elevada ao quadrado. 
 
6. VARIÂNCIA RELATIVA (V2) 
 
É o quociente entre a variância e o quadrado da 
média.=- 
 
 ou 
 
 
 
7. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) 
 É obtido através da raiz quadrada da variância 
relativa e mede o grau de concentração dos valores de 
uma série em torno de sua média. Sua utilidade é: 
a) Em se tratando de somente uma série de 
valores, medir o grau de concentração dos 
valores em torno da média, além da 
representatividade da mesma. 
b) A da comparação, em termos relativos, da 
dispersão dos valores em torno da média de 
séries distintas. 
 
 
Como, V2 = 
σ2
Ma2 então CV = √
σ2
Ma2  
 
 
 ou 
 Portanto, podemos definir o coeficiente de 
variação, também, como sendo o quociente entre o 
desvio padrão e a média. 
 Como o coeficiente de variação é a razão entre 
duas grandezas de mesma unidade, portanto, uma 
grandeza adimensional, é comumente expresso em 
porcentagem. Em termos práticos, quanto à 
representatividade da média e quanto ao grau de 
dispersão, temos: 
I - CV  15% 
 
Baixa dispersão dos 
valores em torno da 
média e grande 
representatividade da 
média da série. 
 
II - 15% < CV < 30%  Média dispersão dos 
valores em torno da 
média e média 
representatividade da 
média da série. 
 
III - CV  30% 
 
Alta dispersão dos valores 
em torno da média e 
baixa representatividade 
da média da série. 
Quanto maior o coeficiente de variação, maior é a 
dispersão dos dados. 
V2 = S2_ 
 Ma
2 
S = √S2 
 
CV = √V2 
 
CV = σ _ 
 Ma 
S2 = (xi – Ma)2 
 n – 1 
S2 = (xi – Ma)2 . fi 
 n – 1 
S2 = 1 xi
2–(∑xi)2 
 n – 1 n 
S2 = 1 xi
2fi–(∑xifi)2 
 n – 1 n 
σ = √ σ2 
 
V2 = σ2_ 
 Ma
2 
CV = S _ 
 Ma 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
25 
TESTES – MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
01. Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão 
é: 
a) negativo 
b) zero 
c) a unidade 
d) positivo 
 
 
 
02. Qual o desvio padrão e o desvio médio do conjunto 
formado pelos números 1, 3, 6 e 10? 
a) desvio padrão = 19; desvio médio = 9 
b) desvio padrão = 20; desvio médio = 4 
c) desvio padrão = √11,5; desvio médio = 3 
d) desvio padrão = √30; desvio médio = 5 
e) desvio padrão = √20; desvio médio = 3 
 
 
 
03. Em minutos, os tempos gastos por 5 funcionários de 
uma repartição para digitar determinado texto foram: 
17, 20, 18, 21 e 24. Com base nesses dados, julgue os 
itens seguintes. 
* A média aritmética do tempo gasto pelos funcionários 
para digitar o texto foi de 22 minutos. 
* A mediana da seqüência formada pelos tempos dados 
acima é superior a 22 minutos. 
* O desvio-padrão da seqüência de tempos observados é 
inferior a 3 minutos. 
O número de itens certos é: 
a) 1 
b) 2 
c) todos 
d) nenhum 
 
 
 
04. A tabela abaixo, apresenta as frequências 
acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos. 
Idades (anos) Frequência 
acumulada 
14 2 
15 4 
16 9 
17 12 
18 15 
19 18 
20 20 
Uma das medidas de dispersão é a variância 
populacional, que é calculada por σ2 = 
∑|xi−x̅|2
n
. Sabendo-
se que x̅ é a média aritmética dessas idades, qual a 
variância das idades na população formada pelos 20 
jovens? 
a) 0,15 
b) 0,20 
c) 1,78 
d) 3,20 
e) 3,35 
 
 
05. Em um concurso, 2 candidatos empataram com 
mesmo número de pontos, ambos com a média igual a 
7. 
Candidato A  5, 7, 9 
Candidato B  6, 6, 9 
Após o cálculo do desvio padrão, quem ficou com a vaga? 
a) O candidato A com σ = √2,666 
b) O candidato B com σ = √3 
c) O candidato A com σ = √2,9 
d) O candidato B com σ = √3,1 
e) O candidato B com σ = √2 
 
 
 
 
 
CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO PARÁ - SOLDADO 
MATEMÁTICA 
 
 
26 
06. Em um Concurso o primeiro colocado obteve a 
seguinte pontuação: 
Matemática  9 pontos 
Português  8 pontos 
Informática  8 pontos 
Atualidades  9 pontos 
Legislação  6 pontos 
Qual o desvio padrão de suas notas? 
a) √1,5 
b) √1,3 
c) √1,4 
d) √1,2 
e) √0,8 
 
 
07. Em um Concurso composto por 5 provas com nota 
máxima 5 ,um candidato obteve a seguinte pontuação. 
 
Provas Prova 
1 
Prova 
2 
Prova 
3 
Prova 
4 
Prova 
5 
NOTA 4 3 3 3 2 
 Qual o desvio médio de suas notas? 
a) 1,4 
b) 0,40 
c) 2,3 
d) 0,60 
e) 0,80 
 
 
08. Um técnico de futebol analisou o desempenho de um 
jogador nas 05 (cinco) últimas partidas de um 
campeonato, por meio da tabela seguinte: 
PARTIDAS N.o DE GOLS 
01 2 
02 1 
03 0 
04 3 
05 4 
Fazendo uma análise do coeficiente de variação 
podemos afirmar que: 
a) A dispersão dos valores em torno da média é baixa e 
a média da série tem uma grande representatividade. 
b) A média aritmética da série tem média 
representatividade, sendo a dispersão dos valores em 
torno da média considerada também média. 
c) Existe alta dispersão dos valores em torno da média e 
baixa representatividade da média da série. 
d) O coeficiente de variação é menor que a variância 
relativa. 
e) O coeficiente de variação e a variância relativa são 
iguais. 
 
 
09. Analise as afirmativas a seguir sobre o coeficiente de 
variação. 
I – O coeficiente de variação é uma medida de variação 
relativa. 
II – Se uma distribuição é bimodal, então seu coeficiente 
de variação é zero. 
III – O coeficiente de variação tem a mesma unidade que 
o desvio padrão. 
É (São) correta(s) APENAS a(s) afirmativa(s) 
a) I 
b) II 
c) III 
d) I e II 
e) II e III 
 
 
 
 
 
10. Qual o desvio padrão da amostra (10, 10, 11, 11)? 
a) √1/3 
b) √1/2 
c) √10,5 
d) 1/2 
e) 1/4 
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11. O grau ao qual os dados numéricos tendem a 
dispersar-se em torno de um valor médio chama-se: 
a) média. 
b) variação ou dispersão dos dados. 
c) mediana. 
d) correlação ou dispersão. 
e) moda. 
 
 
 
 
12. A tabela mostra a distribuição de frequências 
relativas populacionais (f’) de uma variável X: 
X f’ 
– 2 6a 
1 a 
+2 3a 
 
Sabendo que “a” é um número real, então, então a 
média (x) e a variância (σx
2)de X são, respectivamente: 
a) x = –0,5 e σx
2 = 3,45 
b) x = 0,5 e σx
2 = –3,45 
c) x = 0 e σx
2= 1 
d) x = –0,5 e σx
2 = 3,7 
e) x = 0,5 e σx
2 = 3,7 
 
 
 
 
13. Os dados seguintes, ordenados do menor para o 
maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 
preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 
9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 
13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Os valores seguintes foram calculados para a amostra: 
∑ i Xi = 490 e ∑ i Xi
2 – ( ∑ i Xi )2/ 50 = 668 
Assinale a opção que corresponde à mediana e à 
variância amostral, respectivamente (com aproximação 
de uma casa decimal) 
a) (9,0 13,6) 
b) (9,5 14,0) 
c) (8,0 15,0) 
d) (8,0 13,6) 
e) (9,0 14,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01. B 02. C 03. A 04. D 05. E 
06. D 07. B 08. C 09. A 10. A 
11. B 12. A 13. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
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