566337

Prévia do material em texto

1ª SÉRIE
Aula 8 – 3º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Zeros de uma função polinomial de segundo grau – Utilizando o processo de soma e produto
Zeros de uma função polinomial de segundo grau – utilizando o processo de soma e produto.
Determinar os zeros de uma função polinomial com o auxílio do processo da soma e do produto.
Conteúdo
Objetivo
Habilidade: (EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Estimativa de tempo para o desenvolvimento das seções:
Para começar: 10 min.
Foco no conteúdo: 10 min.
Na prática: 15 min.
Aplicando: 10 min.
#Vocêaprendeu?
Observe algumas leis de formação de funções polinomiais de segundo grau.
Quais funções:
Possuem dois zeros de função reais e distintos?
Possuem dois zeros de função reais e idênticos?
Não possuem zeros de função reais?
Técnica: “Mostre-me”
Tempo: 10 min.
Para começar
Correção
Para começar
Correção
Para começar
Correção
Para começar
Dada uma função polinomial do segundo grau , possuindo dois zeros reais, ou seja, , esses zeros são: 
Obtenção dos zeros de uma função polinomial do segundo grau por meio da soma e do produto das raízes de uma equação do segundo grau. 
Tempo: 10 min.
Foco no conteúdo
A soma S e o produto P são:
Foco no conteúdo
Em particular, quando a = 1, temos:
Isso significa que, se uma função e possui zeros , então esses zeros possuem soma S e produto P. 
Foco no conteúdo
Portanto, obter dois números, dada a sua soma e o seu produto, equivale a determinar os zeros da função polinomial do segundo grau, dada por Assim, no conjunto dos números reais, a obtenção de S e P será possível quando 
Propriedade:
Sejam os números reais S e P. Então, existem dois números reais com soma S e produto P se e somente se: 
Foco no conteúdo
Exemplo:
Determine os zeros da função: 
Foco no conteúdo
Então, os zeros da função , podem ser determinados da seguinte maneira: 
Foco no conteúdo
Foco no conteúdo
Determine, caso existam, os zeros das funções cujas leis de formação estão apresentadas.
Técnica: “Todo mundo escreve”
Tempo: 15 min.
Na prática
Correção
Portanto, os zeros da função serão: 
Na prática
Correção
Na prática
Correção
Na prática
Ao lado apresentam-se dois esboços de gráficos de funções polinomiais do segundo grau. Represente em cada caso as leis de formação das funções f e g.
Lembrando que, nos dois casos, os zeros das funções podem ser obtidos pelo método da soma e do produto. 
a.
b.
Técnica: “Virem e conversem”
Tempo: 10 min.
Aplicando
a.
Correção
Aplicando
b.
Correção
Aplicando
Determinar os zeros de uma função polinomial com o auxílio do processo da soma e do produto.
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 97331
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
22
CHAVANTE, Eduardo; PRESTES, Diego. Quadrante: Matemática e suas Tecnologias – Funções. São Paulo: Edições SM, 2020. 
LEMOV, Doug. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 18 – Elaborada pelo autor.
Slide 19 – Elaborada pelo autor.
Slide 20 – Elaborada pelo autor.
Referências
Material 
Digital
(
)
(
)
(
)
=-
=---
=-+-
2
2
2
fxx3x
gxx2x1
hx2x4x2
(
)
(
)
(
)
=-+-
=+
=++
2
2
2
kx3x6x4
px2x2
qxx10x16
(
)
(
)
2
2
2
2
fx= x3x
x3x0
a1, b3, c0
b4ac
34109
Dois zeros de função 
reais e distintos.
-
-=
==-=
D=-××
D=--××=
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
g(x)x2x1
x2x10
a1, b2, c1
b4ac
24110
Dois zeros de função
reais e idênticos.
=---
---=
=-=-=-
D=-××
D=--×-×-ÞD=
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
kx3x6x4
3x6x40
a3, b6, c4
b4ac
643412
Não existe zero de função real.
=-+-
-+-=
=-==-
D=-××
D=-×-×-=-
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
hx2x4x2
2x4x20
a2, b4, c2
b4ac
44220
Dois zeros de função 
reais e idênticos.
=-+-
-+-=
=-==-
D=-××
D=-×-×-=
(
)
2
2
2
2
qxx10x16
x10x160
a1, b10, c16
b4ac
10411636
Dois zeros de função reais e distintos.
=++
++=
===
D=-××
D=-××=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
a. fx e qx.
b. gx e hx.
c. kx e px.
(
)
(
)
2
2
2
2
2
px2x2
2x20
2x10
x10
x1
Não existe zero de função real.
=+
+=
×+=
+=
=-
-+D--D
==
12
bb
x e x
2a2a
(
)
-+D--D
=+=+Û
-+-+D
Û=
12
bb
Sxx
2a2a
bb
S
(
)
+-D
Û
-
Û=
2a
2
S
b
2
Û=-
b
S
a
a
-+D--D
=×=×Û
+D
Û=
12
2
bb
Pxx
2a2a
bb
P
-D
b
(
)
(
)
-D
Û
-D--
Û=ÛÛ
××
-+×
Û=Û
××
2
2
222
2
22
4a
bbb4ac
P
4aa
4a
bb4ac4a
P
4aa
×
×
c
4a
Û
×
Û=
a
c
P
a
(
)
-
=Û=-=-
=Û==
=-+
2
b
SSb ou bS
1
c
PPc ou cP
1
Então temos que:
fxxSxP
(
)
--×׳Û-³Û³
2
22
S41P0S4P0S4P
(
)
(
)
(
)
(
)
=Û--=
==-=-
D=-××
D=--××-ÞD=+ÞD=
D>
2
2
2
Para obter os zeros da função, temos que
 considerar:
fx0x7x80
a1, b7, c8
b4ac
7418493281
0 A equação possui duas raízes reais e d
istintas
2
x7x80
--=
(
)
(
)
(
)
22
b7
SSS7
a1
c8
PPP8
a1
S4P7484932
-
=-Þ=-Þ=
-
=Þ=Þ=-
³×Þ³×-Þ³-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ì
-×=×-=-
=-
í
-×=×-=-
î
ì
-+==+-=
=
í
-+=+-=¹
î
=-=
==-
12
12
18818
P8
24428
187817
S7
244227 Não convém
Então, os zeros da função serão: x1 e x8
ou x8 e x1.
(
)
(
)
(
)
=-+
=-+-
=++
2
2
2
 fxx7x10
 fxxx7
 fxx11x24
a.
b.
c.
(
)
=-+
2
a. fxx7x10
(
)
(
)
2
2
2
zeros da função fx0
x7x100
a1, b7, c10
b4ac
7411049409
0 
A equação possui duas raízes reais e
distintas.
Û=
-+=
==-=
D=-××
D=--××ÞD=-=
D>
(
)
22
b7
SSS7
aa
c10
PPP10
a1
S4P74104940
11010110
P10
255210
110101117
S7
25527
-
=-Þ=-Þ=
=Þ=Þ=
³×Û³×Û³
×=×=
ì
=
í
×=×=
î
+=+=¹
ì
=
í
+=+=
î
(
)
=-+-
2
b. fxxx7
(
)
(
)
(
)
2
22
zeros da função fx0
xx70
a1, b1, c7
b4ac1417
12829
0
A equação não possui raízes reais.
Û=
-+-=
=-==-
D=-××ÞD=-×-×-Þ
ÞD=-ÞD=-
D<
12
Portanto, os zeros da função serão:
x3 e x8.
=-=-
(
)
=++
2
c. fxx11x24
(
)
2
2
zeros da função fx0
x11x240
a1, b11, c24
114124
1219625
0
A equação possui duas
raízes reais e distintas.
Û=
++=
===
D=-××Þ
ÞD=-ÞD=
D>
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
b11
SSS11
a1
c24
PPP24
a1
S4P1142412196
P243824
S113811
=-Þ=-Þ=-
=Þ=Þ=
³×Û-³×Û³
=Þ-×-=
=-Þ-+-=-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12
12
12
2
x1, x5, c5
Sxx154
Pxx155
bb
S44abb4a I
aa
c55
P55a5aa1 II
aa5
Substituindo II em I, temos:
b41b4
a1, b4 e c5
fxx4x5
=-==-
=+=-+=
=×=-×=-
=-Þ=-Þ=-Þ=-
--
=Þ-=Þ-=-Þ=Þ=
-
=-×Þ=-
==-=-
=--
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12
12
12
2
x1, x5, c5
Sxx15S6
Pxx15P5
bb
S66abb6a I
aa
c55
P55a5aa1 II
aa5
Substituindo II em I, temos:
b61b6
a1, b6 e c5
gxx6x5
===-
=+=+Þ=
=×=×Þ=
=-Þ=-Þ=-Þ=-
--
=Þ=Þ=-Þ=Þ=-
=-×-Þ=
=-==-
=-+-