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Questões
Exercicio
Probabilidade Condicional e Independência
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�FGV/2015� Em uma urna há quatro bolas brancas e duas bolas pretas. Retiram-se,
sucessivamente e sem reposição, duas bolas da urna. A probabilidade de as duas bolas
retiradas serem da mesma cor é:
7/15
8/15
2/3
1/3
1/2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de retirar duas
bolas da mesma cor. Isso pode acontecer de duas maneiras: retirar duas bolas
b i d b l
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A
B
C
D
E
brancas ou retirar duas bolas pretas.
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de retirar duas bolas brancas. Temos 4
bolas brancas em 6 bolas no total, então a probabilidade de a primeira bola ser
branca é 4/6. Como não repomos a bola, agora temos 3 bolas brancas em 5 bolas
no total, então a probabilidade de a segunda bola ser branca é 3/5. Multiplicando
essas probabilidades, temos que a probabilidade de retirar duas bolas brancas é
4/6 � 3/5 � 6/15.
Em seguida, vamos calcular a probabilidade de retirar duas bolas pretas. Temos 2
bolas pretas em 6 bolas no total, então a probabilidade de a primeira bola ser preta
é 2/6. Como não repomos a bola, agora temos 1 bola preta em 5 bolas no total,
então a probabilidade de a segunda bola ser preta é 1/5. Multiplicando essas
probabilidades, temos que a probabilidade de retirar duas bolas pretas é 2/6 � 1/5 �
1/15.
Finalmente, somamos as duas probabilidades para obter a probabilidade de retirar
duas bolas da mesma cor: 6/15 � 1/15 � 7/15.
2 Marcar para revisão
Seja uma urna com 8 bolinhas azuis e 4 vermelhas. Duas bolinhas são selecionadas ao
acaso desta urna.  Qual a probabilidade de que a primeira bolinha retirada da urna seja
vermelha e que a segunda seja azul?  
4/33 
8/33 
2/9 
8/11 
4/12 
Resposta correta
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A
B
C
D
E
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Gabarito Comentado
A urna contém um total de 12 bolinhas, sendo 4 vermelhas e 8 azuis. Ao retirar a
primeira bolinha, a probabilidade de ela ser vermelha é de 4 em 12, ou seja, 1/3.
Após a retirada da primeira bolinha, restam 11 na urna, das quais 8 são azuis.
Portanto, a probabilidade de a segunda bolinha retirada ser azul é de 8 em 11. Para
encontrar a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem - a primeira bolinha ser
vermelha e a segunda ser azul - multiplicamos as probabilidades individuais. Assim,
�1/3� * �8/11� resulta em 8/33, que é a probabilidade solicitada no enunciado.
Portanto, a alternativa correta é a B.
3 Marcar para revisão
Considere dois eventos A e B, os quais são mutuamente excludentes, sendo P�A� a
probabilidade de ocorrência de A e P�B� a probabilidade de ocorrência de B. Assinale a
alternativa correta.
P�A|B� � 0
P�A|B� � 1
A e B são independentes se, e somente se, P�A|B� � P�A� e P�B|A� � P�B�
A e B são independentes se P�A|B� � P�A�
A e B são independentes se P�B|A� � P�B�
Resposta correta
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Gabarito Comentado
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A
B
C
D
E
Os eventos A e B são descritos como mutuamente excludentes, o que significa que
eles não podem ocorrer simultaneamente. Em termos de probabilidade, isso é
expresso como P�A∩B� � 0, onde "∩" representa a interseção, ou seja, a ocorrência
simultânea de ambos os eventos. A probabilidade condicional P�A|B� representa a
probabilidade de ocorrência do evento A dado que o evento B ocorreu. No caso de
eventos mutuamente excludentes, essa probabilidade é zero, pois se B ocorreu, A
não pode ocorrer. Portanto, a alternativa correta é a alternativa A� P�A|B� � 0.
4 Marcar para revisão
�FGV/2021� Dois eventos A e B são tais que P�A� � 0,8, P�B� � 0,5 e P�A|B�� 0,4. Assim, a
probabilidade condicional P�B|A� é igual a
15%.
25%.
30%.
40%.
50%.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver a questão, precisamos entender o conceito de probabilidade
condicional. A probabilidade condicional de A dado B, representada por P�A|B�, é a
probabilidade de o evento A ocorrer, dado que o evento B já ocorreu. Da mesma
forma, P�B|A� é a probabilidade de o evento B ocorrer, dado que o evento A já
ocorreu.
De acordo com o enunciado, temos as seguintes probabilidades:
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A
B
C
D
E
De acordo com o enunciado, temos as seguintes probabilidades:
P�A� � 0,80
P�B� � 0,50
P�A|B� � 0,40
Podemos calcular a probabilidade da interseção dos eventos A e B �P�A ∩ B��
usando a fórmula da probabilidade condicional: P�A|B� � P�A ∩ B�/P�B�. Isolando P�A
∩ B�, temos P�A ∩ B� � P�A|B� * P�B� � 0,40�0,50 � 0,20.
Finalmente, podemos calcular a probabilidade condicional P�B|A� usando a fórmula
da probabilidade condicional: P�B|A� � P�B ∩ A�/P�A� � 0,20/0,80 � 2/8 � 1/4 � 0,25
= 25%. Portanto, a alternativa correta é a B.
5 Marcar para revisão
�CESGRANRIO/2021� Os alunos de uma determinada escola formaram um grupo de
ajuda humanitária e resolveram arrecadar fundos para comprar alimentos não
perecíveis. Decidiram, então, fazer uma rifa e venderam 200 tíquetes, numerados de 1 a
200. Uma funcionária da escola resolveu ajudar e comprou 5 tíquetes. Seus números
eram 75, 76, 77, 78 e 79. No dia do sorteio da rifa, antes de revelarem o ganhador do
prêmio, anunciaram que o número do tíquete sorteado era par. Considerando essa
informação, a funcionária concluiu acertadamente que a probabilidade de ela ser a
ganhadora do prêmio era de:
1,0%
2,0%
3,0%
4,0%
5,0%
Resposta correta
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A
B
C
D
E
, g
Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos entender o conceito de probabilidade. A
probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de
casos possíveis. Neste caso, foram vendidos 200 tíquetes, dos quais 100 são
números pares. A funcionária comprou 5 tíquetes, mas apenas dois deles são pares
�76 e 78�. Portanto, a probabilidade de ela ganhar é a razão entre o número de
tíquetes pares que ela possui �2� e o total de tíquetes pares �100�. Isso resulta em
uma probabilidade de 2%, que é a alternativa correta.
6 Marcar para revisão
�FUNDATEC/2022� Um cliente chega em uma padaria onde tem 20 pães, sendo 6 deles
do dia anterior e 10 sucos, sendo 2 deles vencidos. A probabilidade desse cliente
comprar um pão do dia e um suco dentro da validade é de:
1/2.
12/20.
14/25.
3/2.
6/8.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de cada evento
d t d i lti li b bilid d bt
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A
B
C
D
E
ocorrer separadamente e depois multiplicar essas probabilidades para obter a
probabilidade conjunta.
A probabilidade de o cliente comprar um pão do dia é dada pela razão entre o
número de pães do dia �20 � 6 � 14� e o número total de pães �20�, ou seja, P
 � 14/20.
Da mesma forma, a probabilidade de o cliente comprar um suco dentro da validade
é dada pela razão entre o número de sucos válidos �10 � 2 � 8� e o número total de
sucos �10�, ou seja, P � 8/10.
Para encontrar a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem, multiplicamos as
probabilidades individuais: 14/20 � 8/10 � 14/25.
Portanto, a probabilidade de o cliente comprar um pão do dia e um suco dentro da
validade é de 14/25.
Pão do
Dia
Suco na Validade
7 Marcar para revisão
�FGV/2022� Em uma disputa de pênaltis, quando um time acerta uma cobrança de
pênalti, a probabilidade de que esse time acerte a cobrança seguinte é de 70% e,
quando um time perde uma cobrança de pênalti, a probabilidade de que esse time
também perca a próxima cobrança é de 80%.
Se o time A acertou a primeira cobrança, a probabilidade de que esse time perca a sua
terceira cobrança é:
45%.
50%.
55%.
60%.
70%.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Obviamente se o total de acerto da primeira é de 70%, o de errar é de 30%. A
mesma analogia é feita a seguir. Se o total de perder é 80%, acertar será o que falta
para completar 100%
No universo da terceira cobrança, novas ramificações serão construídas. Porém a
lógica permanece a mesma. A saída foi colorida em amarelo para destacar os dados
de interesse do exercício.
Logo, a probabilidade de acertar a primeira será:
P � Acerta_a_Segunda e Perde_a_Terceira ou Perde_a_Segunda e Perde_a_Terceira
P � 70/100 � 30/100 � 30/100 X 80/100
P � 21/100 � 24/100
P � 45/100
P � 15%
8 Marcar para revisão
�FGV/2015� N t i d b bilid d it d t i d d t
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A
B
C
D
E
�FGV/2015� Na teoria das probabilidades, os conceitos de eventos independentes e
eventos mutuamente exclusivos, apesar de distintos, guardam entre si uma estreita
relação. Quando dois eventos são independentes:
São também mutuamente exclusivos.
Não podem ser mutuamente exclusivos.
Podem não ser mutuamente exclusivos, mas sua interseção deve ter
probabilidade nula de ocorrência.
Serão também mutuamente exclusivos se as probabilidades condicionais, de
cada um dado o outro, forem idênticas.
Os complementares devem ser mutuamente exclusivos.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Na teoria das probabilidades, eventos independentes e eventos mutuamente
exclusivos são conceitos distintos. Eventos independentes são aqueles cuja
ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro ocorrer. Por outro lado,
eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não podem ocorrer ao mesmo
tempo. Portanto, quando dois eventos são independentes, eles não podem ser
mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um não impede a ocorrência do outro.
Isso justifica a alternativa B como a correta.
9 Marcar para revisão
Considere um conjunto de divisores positivos de 60. Escolhemos ao acaso um elemento
desse conjunto. Qual a probabilidade desse elemento ser primo? 
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A
B
C
D
E
A
B
C
1/4 
1/2 
1/8 
1/12 
1/6 
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Desses, os
números primos são: 2, 3 e 5. Portanto, temos 3 números primos em um total de 12
números. Assim, a probabilidade de escolher um número primo é de 3/12, que
simplificado resulta em 1/4.
10 Marcar para revisão
Carlos tem probabilidade 2/3 de resolver um problema de probabilidade. Joana, sua
colega de classe, tem probabilidade 3/4 de resolver o mesmo problema. Se os dois
tentarem resolvê-lo de forma independente, qual é a probabilidade do problema ser
solucionado?
1/12
11/12
3/4
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C
D
E
3/4
1/3
2/3
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos considerar a probabilidade de Carlos ou
Joana resolverem o problema. A probabilidade de Carlos resolver o problema é 2/3
e a de Joana é 3/4. A probabilidade de ambos não resolverem o problema é �1 � 2/3�
* �1 � 3/4� � 1/3 � 1/4 � 1/12. Portanto, a probabilidade de pelo menos um deles
resolver o problema é 1 � a probabilidade de ambos não resolverem o problema, ou
seja, 1 � 1/12 � 11/12. Portanto, a alternativa correta é a B� 11/12.
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