Limite e Monotonicidade

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A.3. Limite e monotonicidade 295
Encerramos a seção com a famosa fórmula do binômio de Newton.
Proposição A.4: Temos que
(a+b)n = (n
0
)
an + (n
1
)
an−1b +·· ·+ (n
k
)
an−k bk +·· ·+ (n
n
)
bn
Prova: Temos que
(a+b)n = an (1+x)n ,
onde x = b/a. Pela Proposição A.3, temos que
(a+b)n = an
[(n
0
)+ (n
1
)
x +·· ·+ (n
k
)
xk +·· ·+ (n
n
)
xn
]
= (n
0
)
an + (n
1
)
an x +·· ·+ (n
k
)
an xk +·· ·+ (n
n
)
an xn
= (n
0
)
an + (n
1
)
an−1b +·· ·+ (n
k
)
an−k bk +·· ·+ (n
n
)
bn .
A.3 LIMITE E MONOTONICIDADE
Nesta seção, vamos mostrar dois resultados que garantem tanto a existência
do limite de sequências quanto a existência do limite de funções monótonas.
A demonstração destes resultados está diretamente ligada à propriedade da
completude da reta R. O primeiro afirma que uma sequência monótona limi-
tada sempre possui um limite.
Proposição A.5: Se an é monótona e limitada, então an → a, para algum a ∈
R.
Prova: Vamos supor que an é não-crescente. Definimos o conjunto
C = {an : n ∈N}
e o conjunto
B = {b : b ≤ an para todo n ∈N},
296 Apêndice A. Apêndices
Figura A.1: Conjuntos B e C .
ilustrados pela Figura A.1.
Temos que C é não-vazio e, como an é limitada, temos que B também é
não-vazio. Além disso, por definição, temos que B ≤ C . Logo, pela comple-
tude de R, existe a ∈ R tal que B ≤ a ≤ C . Dado ε > 0, temos que a + ε não
pertence a B . Logo, existe n (ε) tal que
an(ε) < a+ε.
Como a ≤C e como an é não-crescente, temos então que
n ≥ n (ε) =⇒ a ≤ an ≤ an(ε) < a+ε.
Portanto
n ≥ n (ε) =⇒ 0≤ an −a < ε,
mostrando que an → a. O caso em que an é não-decrescente pode ser
reduzido ao caso demonstrado acima, o que é deixado como exercício.
O segundo resultado afirma que uma função monótona sempre possui li-
mite laterais.
Proposição A.6: Se f é uma função monótona cujo domínio é um intervalo
aberto, então os limites laterais existem.
Prova: Vamos supor que f é não-crescente e considerar o limite lateral es-
querdo em a ∈ dom
(
f
)
. Definimos o conjunto
C = {
f (x) : x < a, x ∈ dom
(
f
)}
e o conjunto
B = {
b : b ≤ f (x) para todo x < a, x ∈ dom
(
f
)}
,
A.3. Limite e monotonicidade 297
Figura A.2: Conjuntos B e C .
ilustrados pela Figura A.2.
Como domínio de f é um intervalo aberto, temos que C é não-vazio e,
como f é não-crescente, temos que f (a) ∈ B . . Além disso, por definição,
temos que B ≤ C . Logo, pela completude de R, existe l ∈ R tal que B ≤ l ≤ C .
Dado ε> 0, temos que l +ε não pertence a B . Logo existe xε < a, xε ∈ dom
(
f
)
,
tal que
f (xε) < l +ε.
Se xn ↑ a, então existe n (ε) tal que
n ≥ n (ε) =⇒ xε < xn < a.
Como l ≤C e como f é não-crescente, temos então que
n ≥ n (ε) =⇒ l ≤ f (xn) ≤ f (xε) < l +ε.
Portanto
n ≥ n (ε) =⇒ 0 ≤ f (xn)− l < ε,
mostrando que f (xn) → l . Como xn ↑ a é arbitrária, segue que
l = lim
x↑a
f (x) .
Os casos em que f é não-decrescente e o limite é o lateral direito podem ser
reduzidos ao caso demonstrado acima, o que é deixado como exercício.