Permutações Simples

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2ª SÉRIE
Aula 7 – 3º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
Análise combinatória: permutação – Parte I 
Permutações simples.
Compreender o conceito de permutações simples e sua aplicação em situações de organização de elementos;
Contar o número de permutações possíveis em diferentes cenários e aplicar a fórmula de permutação ( = n!).
Conteúdo
Objetivos
(EM13MAT310) Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore. 
Para começar: 2 min.
Foco no conteúdo: 8 min.
Na prática: 20 min.
Aplicando: 15 min.
Você sabia que existem inúmeras maneiras de organizar pessoas em uma fila, letras do alfabeto e números? Vamos mergulhar no mundo das permutações simples e explorar a emocionante arte de reorganizar elementos. Prepare-se para descobrir como a ordem dos elementos pode fazer toda a diferença e desvendar os segredos por trás das permutações.
Letras e números 
Fila de pessoas 
Para começar
https://br.freepik.com/fotos-gratis/diversidade-pessoas-multidao-amigos-comunicacao-conceito_3540032.htm#query=pessoas%20em%20fila&position=25&from_view=search&track=ais
https://br.freepik.com/vetores-gratis/alfabeto-e-numeros_763452.htm#query=letras%20e%20numeros&position=16&from_view=keyword&track=ais
O conceito de permutações simples envolve a organização de elementos em uma ordem específica, sem repetições, de modo que a mudança de ordem desses elementos determina sequências diferentes, ou seja, são formadas pelos mesmos elementos em ordens diferentes. 
Permutação simples
Foco no conteúdo
Dadas as letras A, B e C, liste todas as permutações possíveis.
Responda no caderno
Na prática
Correção
Resposta: (A, B, C), (A, C, B), (B, C, A), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A).
Note que existem 6 permutações possíveis para esses 3 elementos.
Dadas as letras A, B e C, liste todas as permutações possíveis.
Na prática
Considere um conjunto com n elementos. Para organizá-los em uma fila, precisamos escolher o primeiro e, para isso, temos n possibilidades.
Para escolher o segundo, temos (n – 1) possibilidades, uma menos, pois já usamos uma opção ao escolher o primeiro.
Esse processo continua até que só reste um elemento.
1º elemento: n possibilidades
2º elemento: n – 1 possibilidades (pois já usamos uma)
3º elemento: n – 2 possibilidades (pois já usamos duas)
N-ésimo último elemento: 1 possibilidade
A fórmula para determinar a quantidade de permutações simples é: 
Foco no conteúdo
A quantidade de permutações de um conjunto de n elementos é igual a n! (lê-se n fatorial). Para exemplificar, vamos apresentar um anagrama. Um anagrama é formado pela troca de posição das letras de uma palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem. Por exemplo, ROMA E AROM são anagramas da palavra AMOR. 
Foco no conteúdo
Calcular o número de anagramas da palavra VIDA, da palavra CLUBE e da palavra CADERNO.
Responda no caderno
Na prática
Correção
Resposta: 
VIDA: = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
CLUBE: = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
CADERNO: = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040
Calcular o número de anagramas da palavra VIDA, da palavra CLUBE e da palavra CADERNO.
Na prática
Quando duas pessoas, A e B, colocam-se em fila, há apenas duas possibilidades: primeiro vem A e depois B ou primeiro vem B e depois A. Se uma pessoa C juntar-se a essas duas, a fila poderá, agora, ser formada de 6 maneiras diferentes:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Se uma quarta pessoa juntar-se a essas, serão, agora, 4 vezes mais filas do que o número anterior. Isto é, serão 46 = 24 filas.
Foco no conteúdo
Quantas filas diferentes poderão ser formadas com 5 pessoas, apenas alternando suas posições na fila?
Responda no caderno
Na prática
Correção
Resposta: temos cinco possibilidades de ocupar a primeira posição na fila. Após definida a primeira pessoa da fila, sobrarão quatro possibilidades para que as pessoas ocupem a segunda posição da fila. O mesmo raciocínio vale para a terceira posição, com 3 possibilidades; na quarta, 2 possibilidades e, na última, 1 possibilidade. Ou seja: 
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 possibilidades de filas distintas.
Na prática
Considere uma fila de pessoas organizadas por ordem de chegada em que, em um determinado momento, há 6 pessoas. De quantas formas diferentes essas pessoas poderiam estar ordenadas do primeiro ao último lugar?
Responda no caderno
Na prática
Correção
Resposta: cada forma de ordenação é uma permutação simples, uma vez que os indivíduos são únicos e não se repetem. Dessa forma, havendo 6 pessoas, a resposta é uma permutação com 6 elementos.
Considere uma fila de pessoas organizadas por ordem de chegada em que, em um determinado momento, há 6 pessoas. De quantas formas diferentes essas pessoas poderiam estar ordenadas do primeiro ao último lugar?
Na prática
Considere a palavra CABO. Se trocarmos a ordem entre as letras dessa palavra, formando agrupamentos de letras que podem ou não formar palavras conhecidas, formaremos anagramas. Veja alguns dos anagramas da palavra CABO:
COBA, BACO, OCBA, ABOC, ACOB
 Começando por A, quantos anagramas diferentes poderemos formar?
 Quantos anagramas terminados em O existem?
 No total, quantos anagramas existem?
Responda no caderno
Aplicando
Começando por A, quantos anagramas diferentes poderemos formar?
Resposta: As opções de letras que podem ser utilizadas em cada posição: 1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 anagramas (ACBO, ACOB, ABCO, ABOC, AOCB e AOBC).
b) Quantos anagramas terminados em O existem?
Resposta: Seguindo o mesmo raciocínio do item a: as opções de letras que podem ser utilizadas em cada posição: 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 6 anagramas.
Correção
Aplicando
c) No total, quantos anagramas existem?
Resposta: ao todo, são 4 opções de letras que podem ser utilizadas. E, para cada posição, utilizar qualquer uma, exceto a letra utilizada anteriormente.
Temos, então: 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 anagramas.
Correção
Aplicando
Compreendemos o conceito de permutações simples e sua aplicação em situações de organização de elementos;
A contar o número de permutações possíveis em diferentes cenários e aplicar a fórmula de permutação 
( = n!)
O que aprendemos hoje?
Tarefa SP
Localizador: 97644
Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
Clique em “Procurar”. 
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
20
LEMOV, Doug. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo em Ação: Ensino Médio – 2ª série - volume 3. São Paulo, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista: Ensino Médio. São Paulo, 2020.
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slide 3 – https://br.freepik.com/vetores-gratis/alfabeto-e-numeros_763452.htm#query=letras%20e%20numeros&position=16&from_view=keyword&track=ais
Slide 3 – https://br.freepik.com/fotos-gratis/diversidade-pessoas-multidao-amigos-comunicacao-conceito_3540032.htm#query=pessoas%20em%20fila&position=25&from_view=search&track=ais
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Material 
Digital