Flexão Normal Simples

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PEF - Engenharia de Estruturas e Geotécnica
PEF 3303
ESTRUTURAS DE CONCRETO I
Professores
Januário Pellegrino Neto
Túlio Nogueira Bittencourt
2023
Moodle USP
https://edisciplinas.usp.br/
FLEXÃO NORMAL SIMPLES
Seções Retangular e T
Armaduras Simples e Dupla
Dimensionamento e Verificação
https://edisciplinas.usp.br/
2023
PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
2
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
• Ações
• As ações geram solicitações nas estruturas;
• Estas solicitações são determinadas por meio 
de teorias de cálculo estrutural;
• No caso geral, tem-se:
• Ações características: Fk
• Ações de cálculo: Fd
• Solicitações de cálculo: Fd → Sd
FNS – Sd = Msd
• Em estruturas de comportamento linear:
F = Fk → Sk → Sd = gf . Sk
Introdução
F = pk → Mk → Md = gf . Mk
2023
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3
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
• Resistências
• As resistências são determinadas por meio de 
teorias apropriadas, a partir dos dados da 
seção transversal e das características 
mecânicas dos materiais
• Flexão Normal Simples - FNS: Rd = Mrd = Mu
• Geometria e dimensões da seção;
• Concreto: fck → fcd
• Aço: fyk → fyd
Introdução
geometria, fck e fyk → fcd e fyd → Mrd = Mu
2023
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4
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
• SEGURANÇA
• Ações e Resistências características: Fk e fk
• Ações e Resistências de cálculo: Fd e fd
• Verificação da Segurança – determinística: Sd ≤ Rd
Introdução
Msd ≤ Mrd 
2023
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5
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
Os modos de ruptura correspondentes aos 
Estados Limites Últimos (ELU) podem ser:
• ELU de ruptura por alongamento excessivo das armaduras;
• ELU de ruptura por esmagamento do concreto.
Modos de Ruptura
Em geral, tem-se os seguintes tipos de ruptura:
• Se As=0, ou muito pequena: 
ruptura frágil por tração no concreto
• Se As for muito grande (es pequena):
ruptura frágil por esmagamento do concreto
• Se As “adequada”:
ruptura dútil (avisada) com escoamento da armadura e 
acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
• Manutenção das seções planas após a deformação;
• Aderência perfeita entre o aço e o concreto;
• Concreto não resistente à tração.
“tensões nulas no concreto tracionado”
Hipóteses Básicas
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
Modelo Parábola-Retângulo
• ELU
• ec2 – encurtamento último na compressão centrada (2,0‰)
• ecu – encurtamento último na flexão (3,5‰)
• Efeito Rüsch – scd = 0,85 fcd
• fcd = fck / gc
• gc = 1,4
Modelos dos Materiais
CONCRETO
0 ≤ 𝜀𝑐𝑑 ≤ 𝜀𝑐2 = 2,0 0/00 − trecho parabólico
𝜎𝑐𝑑 = 0,85 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ [1 − (1 −
𝜀𝑐𝑑
𝜀𝑐2
)2]
𝜀𝑐2 ≤ 𝜀𝑐𝑑 ≤ 𝜀𝑐𝑢 = 3, 50 0/00 − trecho retangular
𝜎𝑐𝑑 = 0,85 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
Modelo Elasto-Plástico Perfeito
• ELU
• esu – alongamento plástico excessivo (10‰)
• fyd = fyk / gs
• gs = 1,15
Modelos dos Materiais
AÇO
0 ≤ 𝜀𝑠𝑑 ≤ 𝜀𝑦𝑑 − trecho elástico (Lei de Hooke)
𝜎𝑠𝑑 = 𝐸𝑠 ⋅ 𝜀𝑠𝑑
𝜀𝑦𝑑 ≤ 𝜀𝑠𝑑 ≤ 𝜀𝑠𝑢=10 0/00 − plasticidade perfeita
𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 (patamar de escoamento)
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
Modelos dos Materiais
AÇO
Tipo fyk
(kN/cm2)
fyd
(kN/cm2)
eyd
(‰)
CA25 25 21,74 1,04
CA32 32 27,83 1,33
CA40 40 34,78 1,66
CA50 50 43,48 2,07
CA60 60 52,17 2,48 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
=
𝑓𝑦𝑘
1,15
𝐸𝑠 = 210 GPa = 21000 kN/cm2
𝜀𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
=
𝑓𝑦𝑑
21
 (
0
00
)
Aço CA50
𝑓𝑦𝑑 =
50
1,15
= 43,48 ≃ 43,5 kN/cm2
𝜀𝑦𝑑 =
43,48
21
= 2,07
0
00
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
O Estado Limite Último (ELU) é atingido quando ocorre uma das duas situações:
• ecu = 3,5‰ – ELU por esmagamento do concreto
• esu = 10‰ – ELU por alongamento plástico excessivo da armadura
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
ELU na FLEXÃO
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
• Domínio 2 – D2 – ELU: esu= 10‰
oo
oe( )o
2,070 10
f
s
yd
sd
Domínio 2
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
• Domínio 3 – D3 – ELU: ecu= 3,5‰
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
• Domínio 3 – D3 – ELU: ecu= 3,5‰
d0,628x
d
2,07)(3,5
x
3,5
34
34
=→
+
=
oo
oe( )o
2,070 10
f
s
yd
sd
Domínio 3
Tipo fyk
(kN/cm2)
fyd
(kN/cm2)
eyd
(‰)
x34/d
CA25 25 21,74 1,04 0,772
CA32 32 27,83 1,33 0,725
CA40 40 34,78 1,66 0,679
CA50 50 43,48 2,07 0,628
CA60 60 52,17 2,48 0,585
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
• Domínio 4 – D4 – ELU: ecu= 3,5‰
RUPTURA FRÁGIL
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Mecanismos de Ruptura Hipóteses Básicas Modelos dos Materiais Domínios de Deformações
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
DOM. ELU ecd esd ssd RUPTURA
2 esu=10 ‰ 0 ≤ ecd ≤ ecu 10 ‰ fyd DÚTIL
3 ecu=3,5 ‰ 3,5 ‰ eyd ≤ esd ≤ esu fyd DÚTIL
4 ecu=3,5 ‰ 3,5 ‰ 0 ≤ esd ≤ eyd Es . fyd FRÁGIL
2023
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Flexão Normal Simples
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Dada a geometriada seção (b, h e d), 
os materiais - concreto (fck) e aço (fyk), 
e a solicitação Md, determina-se x e As:
• x - a profundidade da linha neutra (LN);
• As – área de aço (armadura)
17
Seção Retangular - Dimensionamento
• Seção: b, h e d ≈ 0,9 h (vigas)
• Materiais
▪ concreto (fck)
▪ aço (fyk)
• Solicitação Md = gf . Mk – análise linear
• Incógnitas:
▪ x - a profundidade da linha neutra (LN);
▪ As – área de aço (armadura)
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Seção Retangular – Armadura Simples
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Seção Retangular – Armadura Simples
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Seção Retangular – Armadura Simples
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Seção Retangular – Armadura Simples
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
h
b
Md
NÃO-LINEAR:
Distribuição das tensões
compressão do concreto
DOMÍNIO:
Distribuição das
deformações
do concreto
SIMPLIFICAÇÃO:
Linearização das tensões
compressão do concreto
x
0,8x
0,85.fcd
0,85.fcd
Diagrama Retangular Simplificado
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
EQUILÍBRIO:
• FORÇA: Rcd = Rsd
• MOMENTO: Md = Rcd . (d – 0,4x)
 Md = Rsd . (d – 0.4x)
SEGURANÇA: Md ≤ MRd
 = DIM. ECONÔMICO
Seção Retangular 
Armadura Simples
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Seção Retangular 
Armadura Simples
Equilíbrio
− força: 𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑠𝑑
− momento: 𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑑 ⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑥 = 𝑅𝑠𝑑 ⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑥
𝑅𝑐𝑑 = 0,85 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝑏 ⋅ 0,8 ⋅ 𝑥 = 0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝜎𝑠𝑑
lembrando que 𝜎𝑠𝑑 = 𝜎𝑠𝑑(𝑥)
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑑 ⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑥
𝑀𝑑 = 0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑥
𝑀𝑑 = 0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑥 − 0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 0,4 ⋅ 𝑥2
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Seção Retangular 
Armadura Simples
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑑 ⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑥
𝑀𝑑 = 0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑥
𝑀𝑑 = 0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑥 − 0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 0,4 ⋅ 𝑥2
0,4 ⋅ 𝑥2 − 𝑑 ⋅ 𝑥 +
𝑀𝑑
0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
= 0
𝑥2 − 2,5 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑥 +
2,5 ⋅ 𝑀𝑑
0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
= 0
𝑥
= 1,25 ⋅ 𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑑2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Seção Retangular 
Armadura Simples
0,4 ⋅ 𝑥2 − 𝑑 ⋅ 𝑥 +
𝑀𝑑
0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
= 0
𝑥2 − 2,5 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑥 +
2,5 ⋅ 𝑀𝑑
0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
= 0
𝑥
= 1,25 ⋅ 𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑑2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
𝑥 ≤ 𝑥34 → 𝜀𝑠𝑑 ≥ 𝜀𝑦𝑑 ∴ 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑
𝑥34 = 0,628 ⋅ 𝑑 (CA50)
0,4 0,4
0,4
d sd s yd
d
s
yd
M R d x A f d x
M
A
f d x
2023
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
EXEMPLOS
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SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Armadura Dupla
Incógnitas: As e A’s
Dimensionamento
x = 0,45.d
imposto – NBR6118
20 ≤ fck ≤ 50 MPa
0
00ELU - 3,5cu
0
00
( )
3,5sd
d x
x
0
00
( )
3,5sd
x d
x
sd s ydR A f
0,68cd cdR b x f
sd s sdR A
2023
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Flexão Normal Simples 29
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Armadura Dupla
Incógnitas: As e A’s
Dimensionamento
x = 0,45.d
imposto – NBR6118
Equilíbrio – Superposição de Esforços
𝑅𝑠𝑑 = 𝑅𝑐𝑑 + 𝑅𝑠𝑑
′
𝑀𝑟𝑑 = 𝑅𝑐𝑑 ⋅ (𝑑 − 0,4 ⋅ lj𝑥)
+𝑅𝑠𝑑
′ ⋅ (𝑑 − 𝑑′)
Equilíbrio
𝑀𝑐𝑑 = 𝑅𝑐𝑑 ⋅ (𝑑 − 0,4 ⋅ lj𝑥)
= 0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ lj𝑥 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ (𝑑 − 0,4 ⋅ lj𝑥)
= 0,68 ⋅ 𝑏 ⋅ 0,45 ⋅ 𝑑
lj𝑥
⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ (𝑑 − 0,4 ⋅ 0,45 ⋅ 𝑑
lj𝑥
)
= 0,25092 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑑2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ≃ 0,251 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑑2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
Mcd = 0,251.b.d2.fcd
- Momento resistido pelo 
concreto na armadura dupla
- Momento limite para 
armadura simples 
2023
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Flexão Normal Simples 30
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Armadura Dupla
Incógnitas: As e A’s
Dimensionamento
x = 0,45.d
imposto – NBR6118
Equilíbrio – Superposição de Esforços
Mcd = 0,251.b.d2.fcd
- Momento resistido pelo 
concreto na armadura dupla
- Momento limite para 
armadura simple 
𝑀𝑑 = 𝑀𝑐𝑑 + Δ𝑀𝑑
∴ Δ𝑀𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑐𝑑
2023
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PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 31
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Armadura Dupla
Incógnitas: As e A’s
Dimensionamento
x = 0,45.d
imposto – NBR6118
Equilíbrio – Superposição de Esforços
Mcd = 0,251.b.d2.fcd
DMd = Md - Mcd
𝑅𝑠𝑑 = 𝑅𝑠𝑑1 + 𝑅𝑠𝑑2 = 𝑅𝑐𝑑 + 𝑅𝑠𝑑
′
𝐴𝑠 ⋅ 𝑓𝑦𝑑 =
𝑀𝑐𝑑
(𝑑 − 0,4 ⋅ lj𝑥)
+
Δ𝑀𝑑
(𝑑 − 𝑑′)
Equilíbrio de forças
𝐴𝑠 =
𝑀𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑 ⋅ (𝑑 − 0,4 ⋅ lj𝑥)
+
Δ𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 ⋅ (𝑑 − 𝑑′)
Armadura de tração
2023
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Flexão Normal Simples 32
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
Armadura Dupla
Incógnitas: As e A’s
Dimensionamento
x = 0,45.d
imposto – NBR6118
Equilíbrio – Superposição de Esforços
Mcd = 0,251.b.d2.fcd
DMd = Md - Mcd
Armadura de compressão𝑅𝑠𝑑
′ = 𝐴𝑠
′ ⋅ 𝜎𝑠𝑑
′ =
Δ𝑀𝑑
(𝑑 − 𝑑′)
𝐴𝑠
′ =
Δ𝑀𝑑
𝜎𝑠𝑑
′ ⋅ (𝑑 − 𝑑′)
𝜀𝑠𝑑
′ =
( lj𝑥 − 𝑑′)
lj𝑥
⋅ 3,5
0
00
൝
≥ 𝜀𝑦𝑑 ∴ 𝜎𝑠𝑑
′ = 𝑓𝑦𝑑 − escoando
< 𝜀𝑦𝑑 ∴ 𝜎𝑠𝑑
′ = 𝐸𝑠 ⋅ 𝜀𝑠𝑑
′ − lei de Hooke
2023
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 33
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
VERIFICAÇÃO
EQUILIBRIOdado: As (cm2) 
Mrd = ? (kN.m)
dados: 
- geometria (b, h, d)
- materiais:
- Concreto – fck
- Aço - fyk
Hipótese: ssd = fyd 
 aço escoando
• Rsd = As . fyd
• Rcd = 0,68.b.x.fcd
• Rsd = Rcd 
• x = ? - Domínio
• aço escoando:
 Mrd = Rsd.(d – 0,4.x) = As.fyd.(d – 0,4.x) 
• aço não escoando
 Mrd = Rsd.(d – 0,4.x) = As.ssd.(d – 0,4.x)
0
00
( )
3,5sd yd
d x
x
sd s sdE
2023
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PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 34
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃOTINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Armadura Simples Armadura Dupla Verificação
VERIFICAÇÃO
EQUILIBRIOdado: As (cm2) 
Mrd = ? (kN.m)
dados: 
- geometria (b, h, d)
- materiais:
- Concreto – fck
- Aço - fyk
0
00
( )
3,5sd yd
d x
x
sd s sdE
0,0035
0,0035 0,68
( ) ( )
( 0,4 )
sd s sd s s
s s cd
sd sd sd s sd
rd sd
d x
R A A E
x
d x
A E b x f
x
x x x R A
M R d x
• aço não escoando
2023
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
35
Seção T O momento fletor no vão (em geral, positivo) comprime a borda 
superior da seção. Para vigas em posição normal, as lajes 
adjacentes que aí se apoiam são também comprimidas, 
contribuindo para a resistência à flexão.
A altura da zona comprimida pode estar na mesa, junto à 
espessura da laje (hf), ou na alma (bw).
2023
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
36
Seção T Esta tensão de compressão diminui a medida que se afasta da alma da viga.
Para facilidade de cálculo, costuma-se definir uma aba colaborante (bf) 
integrada a seção, que, sujeita à tensão constante, tenha a mesma resistência 
que a seção real.
2023
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
37
Definição de bf
Na determinação de bf, aparece a parcela b1, 
que pode ser estimada como segue:
𝑏1 ≤ ቊ
0,1 ⋅ 𝑎
0,5 ⋅ 𝑏2
onde, a é a distância entre os 
pontos de momentos nulos.
𝑎 = ቐ
ℓ ... viga isostática
0,75 ⋅ ℓ ... viga contínua − vão extremo
0,60 ⋅ ℓ ... viga contínua − vão interno
2023
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 38
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
LN na mesa - x ≤ 1,25.hf (0,8.x ≤ hf)
D2 – ELU: esu = 10‰ (aço escoando)
Pode ser tratada como viga de 
seção retangular de dimensão (bf x h)
𝑥 = 1,25 ⋅ 𝑑 ⋅ 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425 ⋅ 𝑏𝑓 ⋅ 𝑑2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 ⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑥
2023
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 39
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
LN na alma - x > 1,25.hf (0,8.x > hf)
Como equacionar?
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PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 40
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
LN na alma - x > 1,25.hf (0,8.x > hf)
Md ... Momento solicitante de cálculo
Mfd ... Momento resistido pela mesa (aba)
Mwd ... Momento resistido pela alma
2023
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PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 41
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
LN na alma - x > 1,25.hf (0,8.x > hf)
Mfd ... Momento resistido pela mesa (aba)
𝑀𝑓𝑑 = 0,85 ⋅ 𝑓𝑐𝑑 ⋅ 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 ⋅ ℎ𝑓
𝑅𝑐𝑓𝑑
⋅ 𝑑 −
ℎ𝑓
2
𝑀𝑑 = 𝑀𝑓𝑑 + 𝑀𝑤𝑑
𝑀𝑤𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑓𝑑
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Flexão Normal Simples 42
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
LN na alma - x > 1,25.hf (0,8.x > hf)
Mwd ... Momento resistido pela alma
𝑀𝑤𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑓𝑑
LN – solução conhecida
𝑥 = 1,25 ⋅ 𝑑 ⋅ 1 − 1 −
𝑀𝑤𝑑
0,425 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ 𝑑2 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
X ≤ 0,45.d – armadura simples 𝐴𝑠 =
𝑀𝑤𝑑
𝑓𝑦𝑑 ⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑥
+
𝑀𝑓𝑑
𝑓𝑦𝑑 ⋅ 𝑑 −
ℎ𝑓
2
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PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 43
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
LN na alma - x > 1,25.hf (0,8.x > hf)
Mwd ... Momento resistido pela alma
𝑀𝑤𝑑 = 𝑀𝑐𝑤𝑑 + Δ𝑀𝑑
Δ𝑀𝑑 = 𝑀𝑤𝑑 − 𝑀𝑐𝑤𝑑
𝐴𝑠 =
𝑀𝑐𝑤𝑑
𝑓𝑦𝑑 ⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ lj𝑥
+
Δ𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 ⋅ 𝑑 − 𝑑′ +
𝑀𝑓𝑑
𝑓𝑦𝑑 ⋅ 𝑑 −
ℎ𝑓
2
x > 0,45.d – armadura dupla
x = 0,45.d
𝑀𝑐𝑤𝑑 = 0,68 ⋅ 𝑏𝑤 ⋅ lj𝑥 ⋅ 𝑓𝑐𝑑
𝑅𝑐𝑤𝑑
⋅ 𝑑 − 0,4 ⋅ lj𝑥
𝐴𝑠
′ =
Δ𝑀𝑑
𝜎𝑠𝑑
′ ⋅ (𝑑 − 𝑑′)
𝜀𝑠𝑑
′ =
( lj𝑥 − 𝑑′)
lj𝑥
⋅ 3,5‰ ൝
≥ 𝜀𝑦𝑑 ∴ 𝜎𝑠𝑑
′ = 𝑓𝑦𝑑 − escoando
< 𝜀𝑦𝑑 ∴ 𝜎𝑠𝑑
′ = 𝐸𝑠 ⋅ 𝜀𝑠𝑑
′ − lei de Hooke
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Flexão Normal Simples 44
SEÇÃO RETANGULAR SEÇÃO TINTRODUÇÃO - FNS
Dimensionamento Linha Neutra na Mesa Linha Neutra na Alma Verificação
Hipótese:
• LN na mesa
• Armadura escoando
• LN na alma
• Armadura escoando
0,68
1,25 LN na mesa
( 0,4 )
sd cd
s yd f cd
f
rd sd
R R
A f b x f
x h
M R d x
0,68
 0,85 ( )
1,25 LN na alma
 ( 0,4 ) ( / 2)
sd cd cfd cwd
s yd w cd
cd f w f
f
rd wd fd
cwd cfd f
R R R R
A f b x f
f b b h
x h
M M M
R d x R d h
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Flexão Normal Simples 45
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Concreto de Alto Desempenho – 50 < fck ≤ 90 MPa (Grupo II)
▪ Hipóteses Básicas
• seções transversais permanecem planas após a deformação (Navier)
• tração nula no concreto
• aderência perfeita entre o aço e o concreto
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Flexão Normal Simples 46
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Concreto de Alto Desempenho – 50 < fck ≤ 90 MPa (Grupo II)
▪ Modelos Constitutivos
• Concreto – modelo parábola-retângulo
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Flexão Normal Simples 47
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Concreto de Alto Desempenho – 50 < fck ≤ 90 MPa (Grupo II)
▪ Modelos Constitutivos
• Concreto – modelo parábola-retângulo
• Aço – modelo elasto-plástico perfeito
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PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 48
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Concreto de Alto Desempenho – 50 < fck ≤ 90 MPa (Grupo II)
▪ Domínios de Deformação
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Flexão Normal Simples 49
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Concreto de Alto Desempenho – 50 < fck ≤ 90 MPa (Grupo II)
▪ Domínios de Deformação
• Domínio 2 – D2 – ELU: esu= 10‰
• x23 = 0,259d para fck ≤ 50 MPa, variável para 50 < fck ≤ 90 MPa
• X23 = 0,206d para fck = 90 MPa, pois ecu = 2,6‰
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Flexão Normal Simples 50
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Concreto de Alto Desempenho – 50 < fck ≤ 90 MPa (Grupo II)
▪ Domínios de Deformação
• Domínio 3 – D3 – ELU: ecu= 3,5‰
• x34 = 0,628d para fck ≤ 50 MPa e CA50, variável para 50 < fck ≤ 90 MPa
• X34 = 0,557d para fck = 90 MPa, pois ecu = 2,6‰
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PEF 3303Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 51
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Concreto de Alto Desempenho – 50 < fck ≤ 90 MPa (Grupo II)
▪ Domínios de Deformação
• Domínio 4 – D4 – ELU: ecu= 3,5‰ – ruptura frágil
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PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 52
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Dimensionamento de Seções Retangulares
▪ Diagrama de Tensões Retangular Simplificado
0,85
50
0,8
50
0,85 1.0
200
50 90
50
0,8
400
c
ck
ck
c
ck
ck
f MPa
f
MPa f MPa
f




=
 
=
  − 
= −   
   
  
− 
= −  
 
Flexão Normal Simples – FNS
Parâmetros do Diagrama Retangular Simplificado
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PEF 3303 Estruturas de Concreto I
Flexão Normal Simples 53
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Dimensionamento de Seções Retangulares
▪ Diagrama de Tensões Retangular Simplificado
Flexão Normal Simples – FNS
Parâmetros do Diagrama Retangular Simplificado
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Flexão Normal Simples 54
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Dimensionamento de Seções Retangulares
Flexão Normal Simples – FNS
▪ Armadura Simples
 fck ≤ 50 MPa : x ≤ 0,45.d
50 < fck ≤ 90 MPa : x ≤ 0,35.d
50ckf MPa
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Flexão Normal Simples 55
CAD – Concreto de Alto Desempenho
Hipóteses Básicas Domínios de Deformação Diagrama Retangular de Tensões Dimensionamento
Dimensionamento de Seções Retangulares
Flexão Normal Simples – FNS
▪ Armadura Dupla
 fck ≤ 50 MPa : x = 0,45.d
50 < fck ≤ 90 MPa : x =0,35.d
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