Comportamento de Estruturas

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PEF 2303 ESTRUTURAS DE CONCRETO
e Introdução à Segurança Estrutural
l Comportamento Básico dos Materiais
1.1.Elástico linear
1 .2. Visco-elástico
1.3.Elasto-plástico
Comportamento dos Materiais
2. 1 . Concreto
2 .2 . AÇO
2.3. Concreto Armado
Comportamento das estruturas
3.1 . Comportamento elástico linear
3.2. Comportamento não-linear
3.3. Redistribuição de esforços devido a acomodação plástica
3.4. Colapso da estrutura
Métodos de Verificação da segurança
4.1 . Método das Tensões Admissíveis
4.2. Método da Ruptura ou do Coeficiente de Segurança Externo
4.3. Métodos Probabilísticos
4.4. Método Semi-probabílístico
4.5. Valores Característicos e Valores de Cálculo. Ações e Resistências
4.6. Consideração da Simultaneidade de Ações Variáveis no Valor de
Cálculo das Ações
2
3
4
PEF 2303 Introdução à Segurança Estrutural 18
Introdução à $çgurança estrutural
1)
Diagrama tensão-deformação (a - 8)
Figura l.l
1 . 1 . Comoortamento elástico linear
0'
E - (módulo
de deformação)
8
Material elástico Material elástico linear
Figura l.l.l
O material sujeito a uma solicitação a apresenta uma deformação c. Quando esta deformação
se anula ao se retirar a solicitação que a provocou, diz-se que o material é elástico. Se o
diagrama (a * 8) for linear tem-se o material elástico linear.
1 .2. Comportamento visco çlásliçQ
Quando a deformação do material elástico linear é afetada pela permanência da carga, tem-se
o comportamento visco-elástico.
PEF 2303 Introdução à Segurança Estrutural 19
Figura 1.2
A solicitação aplicada no instante to provoca a deformação inicial ou imediata 8. cujo valor
aumenta assintoticamente para e«. O acréscimo 8c (o índice c vem de "creep''), é denominado
deformação por fluência. Nomialmente, admite-se
c. - e. .Q(t,t.)
onde
Q(t,t.) coeficiente de fluência
A deformação total, no instante t, vale
c. - c. + 8. - e. + e. .(P(t,t.) c. [] + Q(t,t.)]
O concreto apresenta fluência com o coeficiente (p(.o,t.) podendo atingir, valores entre 2 e 3
1 .3. Comoortamento elasto-olástico
Quando o material apresenta deformação residual, tem-se o comportamento plástico, isto é, ao
se retirar a solicitação, a deformação provocada não se anula.
Material elasto-plástico Material elasto-plástico perfeito
Figura 1.3
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No material elasto-plástico linear, quando E -) ao, tem-se o comportamento
rígido-plástico.
2) Comportamento dos materiais
2. 1 . Comportamento do concreto
Os valores de tensão no concreto são limitados pelas resistências Çt de tração e f.. de
compressão.
O diagrama (a. * %) do concreto depende da idade do concreto, por causa do seu
endurecimento, e da velocidade de carregamento. A âgura apresenta resultados
correspondentes à idade do concreto de 28 dias, no instante da aplicação da carga. Em
abscissas tem-se deformações de encurtamento (%') e nas ordenadas as tensões de compressão
(a.') em valor relativo. As diversas curvas representam diferentes durações de carregamento
(t) até a ruptura. Para durações maiores, a tensão última cai assintoticamente para a resistência
a longo prazo, da ordem de 80% da de curto prazo Este fenómeno é conhecido como efeito
RUSCH
T20
t T 100
limite de
C
fluênc duração do carregamento
./
t= 3/
/ \limitede/
fluência (t«)/
/
Idade do concreto noinstante
daaplicação dacarga-28
diu
t: = resistência do concreto no
ensaio rápido (curto prazo)
Figura 2.1
Em geral, as cargas permanentes nas estruturas são aplicadas rapidamente e mantêm-se
constantes ao longo do tempo. Dessa forma, inicia-se um incremento de deformação por causa
da fluência do concreto. Se o nível de tensão atingido for superior à resistência a longo prazo,
por exemplo, o ponto C na figura, poderá ocorrer ruptura no ponto D sobre a linha
conespondente ao limite de ruptura, após certo tempo. Caso contrário, se o nível de tensão for
inferior à resistência a longo prazo, por exemplo, o ponto A na figura, não haverá ruptura
apesar do aumento (limitado) de deformação devido à fluência.
Para idades maiores do concreto no instante da aplicação da carga, tem-se resultados
semelhantes, porém, com deformações máximas menores por causa dos coeficientes de
fluência que são menores para concretos mais velhos.
Na prática, estes diagramas são substituídos por diagramas simpliâcados
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2.2. Comportamento do aço de concreto armado
Os aços usuais de dureza natural utilizados no concreto armado apresentam diagramas do tipo
ilustrado na figura.
cy - deformação de início de
escoamento
(costuma-se admitir um diagrama
simétrico na compressão)
$ res{ stêncía de escoamentol
Figura 2.2
2.3. ComportamentQdQ ÇQDcreto armado
O comportamento do concreto armado pode ser ilustrado através do diagrama momento x
curvatura.
Em uma seção, a um momento íletor M correspondem deformações 8. e 8s.
!!.{!s:.:!1l)g} .u --= ' ' -curvatur,.
d r d
b
As
Figura 2.3
Se o comportamento for elástico linear, tem-se, ainda
M 1 .. d2y
EI r
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resultando um diagrama momento * curvatura linear. O termo (EI) constitui o produto de
rigidez à flexão que, neste caso, é constante.
No concreto armado, o diagrama momento x curvatura apresenta, esquematicamente, o
seguinte andamento com o aumento do momento:
8 Para momentos pequenos, as tensões são, também, pequenas e compatíveis com as
resistências do concreto e o comportamento pode ser admitido elástico linear; tem-se o
estádio l de solicitação.
e Quando o valor da tensão normal máxima de tração se aproxima da resistência à tração
(f.t), pode ocorrer ruptura do concreto por tração; porém, a amladura adequadamente
dimensionada, juntamente com a parte comprimida da seção de concreto, garantem a
capacidade resistente da seção fissurada impedindo a sua ruptura. Tem-se o patamar no
diagrama e, nomtalmente, as tensões envolvidas são baixas (compressão no concreto e
tração na armadura).
B Prosseguindo com o aumento progressivo do momento, tem-se, com boa aproximação, um
novo trecho de comportamento elástico linear constituindo o estádio ll de solicitação.
e Para tensões no concreto bastante elevadas o diagrama (a. * e.) toma-se, pronunciadamente
não linear, acarretando uma resposta não linear até atingir a resistência última da seção. O
cálculo do momento último corresponde ao g$!ádiQ..!U de solicitação.
Obs.: Nas peças de concreto armado sujeitas a flexão, por exemplo, nas vigas, as seções
íissuradas mantêm certo espaçamento entre si. Dessa forma, a vizinhança de cada seção
fissurada é constituída de seções relativamente íntegras com o concreto parcialmente
tracionado. Como resultado, o diagrama de curvaturas ao longo da peça apresenta picos
correspondentes a cada seção üissurada. Pode-se pensar em considerar na região um diagrama
de curvatura médio e contínuo levemente reduzido. Tem-se, assim, um certo enrigecimento da
seção no estádio ll (linha tracejada no diagrama).
MI.
"5
/tádio l
M. = Momento último
M. = Momento de fis
suraçao
M.
Figura 2.4
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No estádio 111 a ruptura é por compressão com desagregação do concreto. Em seções
adequadamente dimensionadas, a ruptura é precedida por um quadro de defomiação que
permite detectar a iminência de sua ocorrência. Diz-se que a ruptura é dúctil ou com aviso
(quando a ruptura é brusca tem-se a ruptura frágil - "sem aviso").
3) Comportamento das estruturas
3. 1 . Comportamento (ou resposta) elástico linear
A estrutura apresenta comportamento elástico linear quando existe proporcionalidade entre
cargas e deslocamentos. Por exemplo, na viga em balanço de seção constante e de material
elástico linear, o deslocamento transversal de sua extremidade é dado por
a = 13iiiiiiil ' p + l-iiiiiill P = ap + ap
Figura 3.1.1
Observa-se que existe proporcionalidade entre cargas e deslocamentos e vale a superposição
de efeitos, pois a flecha total pode ser determinada somando-se as flechas provocadas pelas
parcelas de carga consideradasindividualmente.
3.2. Comportamento (ou resposta) nãQJinç©
Neste caso não existe mais a proporcionalidade entre cargas e deslocamentos, bem como, não
vale mais a superposição de efeitos.
No exemplo anterior, se o material apresentar comportamento não linear, evidentemente, a
resposta será não linear pois o produto de rigidez secante à flexão (EI)s« dependerá do nível
de solicitação. Para as flechas isoladas tem-se:
ap:l 5'P4 ip ,. - [*L] . ,
e, para o efeito conjunto
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, : [Jà].-*]*L] , * ,. *,,
M
/
(n).
l/r
Figura 3.2.1
Neste caso, ocorre a resposta com não linearidade física (devido ao material)
Considere-se a barra comprimida da figura, de seção constante e constituída de material de
comportamento elástico linear.
Figura 3.2.2
O momento fletor junto ao engastamento vale
M=H.r+P.a
Em geral, é desprezada a parcela (P.a) pois a força normal é relativamente pequena (lembrar
que a flecha a é sempre desprezível nas estruturas correntes). Esta simplificação não vale para
os pilares que são peças altamente comprimidas.
Sabe-se que
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Admita-se, por exemplo,
seção quadrada de 40 cm de lado; e = 400cm; E - 2000 kN/cm2
H - 20 kN; P - 800 kN.
Tem-se
HZ3a;
3EI l onde pn =jil:BI
n2EI n2 2000-(40'40 /12) :6580kN
Pn =--ãlêr= 4.400a '''''''
6580 1
M = H.Z+P.a = 20 400+800 1,138 = 8000+911= 8911kN.cm
Observa-se que (P.a) não é mais desprezível pois representa, neste caso, 1 1,4% a mais de
momento.
Se as cargas forem dobradas, H - 40 kN e P - 1600 kN, tem-se:
a ; 2,643 cm ; M - 20228 kN.cm.
Dessa forma, com o a carga multiplicada por 2, o momento picou multiplicado por
20228/8911 - 2,27
evidenciando a resposta não linear da estrutura.
Neste exemplo, tem-se a resposta com não l neandade geométrica.
Nos pilares, deve-se considerar, obrigatoriamente, a !!ãe..!!nçalidade..g
3 .3. Redistribuição de esforços devido a acomodação olástica
Em geral, os materiais apresentam certa acomodação plástica até a ruptura, a qual permite uma
considerável redistribuição nos esforços solicitantes.
Considere-se a viga biengastada de seção constante constituída de material de comportamento
não linear com diagrama momento curvatura indicado na âgura. Admita-se que não haja
problema de resistência ao cisalhamento
20.400a
3.EI
= 1,138cm
era] eométricaea!,.!!$iw e
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Para um certo nível de carregamento pi tem-se o diagrama A, onde os momentos nos apoios
(ptZ2/12) valem, em valor absoluto, o dobro do meio do vão(piy2/ 24).
Aumentando-se a carga, os momentos crescem proporcionalmente, e para o valor particular p2,
os momentos nos apoios passam a valer My, e no meio do vão, My / 2 (diagrama B).
Figura 3.3
A viga admite, ainda, cargas maiores; os momentos nos apoios permanecem com o valor My,
formando uma !tÓ!!1la:plástica, e os de vão terão valores maiores do que My / 2.
Para curvatura última suficientemente grande pode-se atingir o diagrama C com a carga p«
Para esta carga tem-se o colapso da viga com a igualdade dos momentos de apoio e de vão
(M*). Observa-se, assim, uma redistribuição de momentos ao longo da viga por causa da
acomodação plástica das seções permitindo sensível aumento da carga aplicada. Esta
redistribuição é limitada pela capacidade de rotação da rótula que depende da curvatura última
correspondente.
3.4.
O colapso de uma estrutura corresponde à perda de sua capacidade portante
Pode-se ter colapso dúctil e frágil. E dúctil quando apresenta sinais iminentes de sua
ocorrência (colapso com aviso). É o caso de cabo constituído de deixe de aios onde Q colapso
se inicia com a ruptura de um Hto e só termina com a ruptura de todos eles, emitindo, dessa
forma, sinais de iminência de colapso. Exemplo de colapso frágil é o de um cabo constituído de
um ülo apenas, onde o colapso está associado à sua ruptura.
4)
A estrutura é considerada segura quando apresenta condições de suportar, sem atingir um
ç$!ad!} !i!!!!!ç, as ações mais desfavoráveis ao longo da vida útil da obra em condições
adequadas de funcionalidade. De um lado, deve-se ter boa garantia de que não ocorra a
ruptura dos materiais e o colapso da estrutura (sslaílex.!i!!!lisa.1lJ!!nw) e, de outro, que sejam
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mantidas as características apropriadas ao bom funcionamento da obra, tais como flecha
máxima nas vigas e abertura máxima de fissuras no concreto armado (s$!adia.!i!!!ileg.çls
11111i4açãe). Convém lembrar que o não atendimento aos estados limites de utilização podem
inviabilizar o uso da construção; por exemplo, a flecha exagerada em pontes ferroviárias que
pode impedir a passagem de trens ou a fissuração com aberturas excessivas em caixas d'água
de concreto eliminando a sua estanqueidade.
Entende-se por ações todas as causas que provocam tensões. Portanto, constituem ações:
cargas (forças aplicadas), vento, temperatura, retração e fluência do concreto, recalques de
apoio, etc.
O conceito de segurança é qualitativo, de difícil quantificação. Segurança exagerada implica
em altos custos, tornando a estrutura antieconâmica. O projeto estrutural deve ser balizado de
um lado pela insegurança e de outro pelo desperdício.
Os métodos de avaliação da segurança são os seguintes: método da tensão admissível, método
da ruptura e método probabilístico.
4. 1 . Método das tensões admissíveis
Neste método impõe-se a condição de que a maior tensão de trabalho não ultrapasse a tensão
admissível do material (a,d«), que é definida como a resistência (f) do material dividida por um
número 'i(coeficiente de segurança interno). Assim, para verificações com tensões normais
tem-se
f
(J $ aadm =
O coeâlciente 'i deve considerar, entre vários fatores, a dispersão do valor da resistência f\ por
exemplo, o aço deve ter coeâlciente menor ('i - 1,65) do que no concreto ('i - 2), para cobrir a
incerteza gerada, nesse material, pela maior dispersão de resultados (a fabricação industrial
confere ao aço uma qualidade mais uniforme do que no concreto). Desta forma, o coeficiente
maior pode gerar a falsa idéia de que a segurança é maior, quando na realidade, ela mede a
insegurança em relação ao comportamento do material
O coeficiente de segurança deve medir a distância que separa a situação de utilização, da
situação de ruina. Resulta, assim, a idéia de que a carga multiplicada por yi deve levar à mina
da estrutura. Esta conclusão seria observada em estruturas de comportamento elástico onde
existe proporcionalidade entre as ações e as solicitações correspondentes. Caso contrário, se a
estrutura apresentar comportamento não linear, ela seria falsa, gerando insegurança ou
desperdício de material. Por exemplo, com resposta não linear, se a tensão ficar multiplicada
por 3 quando o carregamento Êor duplicado, a adoção de 'i - 3, pode levar à falsa idéia de que
o carregamento poderia ser triplicado quando, na realidade, a sua duplicação poderia ocasionar
a ruina da estrutura, gerando insegurança; numa situação contrária, se a tensão ficar duplicada
quando o carregamento for triplicado, a adoção de 'i - 2, pode levar à falsa idéia de que o
carregamento poderia apenas ser duplicado quando, na realidade, ela poderia ser triplicado,
portanto acarretando desperdício de material.
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Os comentários efetuados levam a conclusão de que a quantificação da segurança ülca
prqudicada no método das tensões admissíveis
4.2. Método da ruptura ou do coeficiente de segurança externo
Consiste em impor um limite para a carga de serviço (F) de modo que a aplicação desta carga
multiplicada pelo coeficiente de segurança externo (F. - y..F) acarretaria a ruina da estrutura.
Por exemplo, esta ruina poderia ocorrer quando a solicitação majorada numa seção alcançar a
sua resistência última. Neste método, a não linearidade física é automaticamente considerada
na determinação da resistência da seção através dos diagramas reais (a * 8). Constitui, assim,um método melhorado em relação ao das tensões admissíveis. Continua, porém, a incerteza
sobre o nível de segurança, devido à variabilidade das resistências dos materiais; um mesmo
coeficiente '. indica níveis diferentes de segurança conforme se trate de aço, concreto,
madeira, etc
4.3. Métodos Drobabilísticos
A segurança das estruturas é aâetada por uma série de fatores, por exemplo, as variabilidades
das ações, das resistências e das deformabilidades; os erros teóricos da análise estrutura; a
imprecisão de execução; etc. Tratam-se de fatores aleatórios que através de tratamento
estatístico podem ser representados por: valores médios, desvios padrão e valores
característicos. Nesta linha de raciocínio, o conceito de coeficiente de segurança pode ser
substituído pelo conceito de probabilidade de ruina. Sejam S e R, grandezas que representem a
solicitação e a resistência. R pode representar, por exemplo, uma resistência a compressão (fu),
um esforço resistente último (N. , M., etc). S pode representar, uma tensão, um esforço
solicitante, etc. A ruina ocorre quando a resistência R é alcançada pela solicitação S. A
probabilidade p de R igualar S constitui a probabilidade de ruina. Representa-se por
P : pÍR É S]
Quanto menor a probabilidade de ruina p, ou sqa, quanto maior o nível de segurança, mais
cara é a estrutura. Teoricamente, deve-se utilizar o valor de p que compatibilize custo com
segurança adequada da obra. Por exemplo, uma probabilidade de ruina p = 10'3 = 1 / 1000
significa que na clonstrução de 1000 obras iguais, pode ocorrer a ruina de uma delas. O custo
totaldestas obras é dado por
C... = 1 000 . Ct + D
onde
Ct é custo de uma construção e D, o montante correspondente aos danos provocados
pela ruina de uma obra.
Portanto. o custo unitário médio vale
PEF 2303 Introdução à Segurança Estrutural 29
]
C = C. + -iooo ' D : Ci + P 'D
C. é tanto maior quanto menor for a probabilidade de ruina p; D é, aproximadamente,
constante. A figura mostra esquematicamente a determinação da probabilidade de ruina mais
indicada (aquela que leva ao menor custo unitário).
Ci+p.D
Figura 4.3.1
A aplicação do método probabilístico na verificação de segurança é, praticamente, inviável por
ser extremamente complexa. No concreto estrutural adota-se um método híbrido denominado
semi-probabilístico.
4.4. Método gemi-Drobabilístico
Trata-se de método híbrido onde são introduzidos dados estatísticos e conceitos
probabilísticos, na medida do possível. A verificação da segurança consiste, basicamente, no
seguinte procedimento:
a) As ações e as resistências são consideradas através dos seus valores característicos, Fk e Ék,
respectivamente, os quais apresentam 5% de probabilidade de serem ultrapassados para o
lado desfavorável
e os valores das ações Fk são alterados pelo multiplicador 'r (em geral, de majoração)
gerando os chamados valores de cálculo Fó = 'r.Fk (ou, simplesmente, ações de cálculo)
com a finalidade de reduzir bastante a probabilidade de serem ultrapassados; a aplicação
destas ações de cálculo ao modelo estrutural permitem obter as solicitações em valor de
cálculo, Sd (ou, simplesmente, solicitações de cálculo);
e os valores das resistências, Êk, são alterados pelo divisor '« (em geral, de redução)
gerando os chamados valores de cálculo fd - Sk / '« (ou, simplesmente, resistências de
cálculo) com a finalidade de reduzir bastante a probabilidade de serem ultrapassados; a
utilização destas resistências de cálculo nos modelos teóricos, permitem determinar os
esforços resistentes em valor de cálculo, Rd (ou, simplesmente, esforços resistentes de
cálculo):
PEF 2303 Introdução à Segurança Estrutural 30
b) a condição de segurança é atendida quando Sd É Rú
Os valores 'r e y« são chamados coeficientes de ponderação, das ações e das resistências,
respectivamente. Estes coeficientes levam em consideração os diversos fatores que afetam a
segurança estrutural. O quadro seguinte lista estes fatores.
Pode-se notar a influência destes fatores na segurança das estruturas
Com relação ao fator (2) convém observar que a combinação simples de ações de naturezas
diversas é muito pessimista, pois a probabilidade de ocorrência simultânea dessas ações, com
seus valores máximos, é muito menor do que a de cada uma delas individualmente. Assim,
costuma-se reduzir os efeitos quando da combinação dessas ações. O fator (lO) procura
considerar, por exemplo, a influência de ambientes extremamente agressivos, as condições
particularmente adversas de concretagem, etc
Existe indefinição com relação às influências dos fatores (8), (9), (10); se em R ou, em S. De
qualquer forma, são consideradas através dos coeficientes de ponderação '. chamados de
coeHlcientes de comportamento.
O coeficiente 'f pode ser desmembrada no produto de três termos
7r ' 'n . 'n . 'ís
que levam em consideração os diversos fatores conforme se indica na tabela
Nos cálculos usuais, admite-se a hipótese de estruturas de resposta elástico linear, onde existe
proporcionalidade entre ações e solicitações. Dessa forma, pode-se determinar as solicitações
de cálculo, multiplicando-se por 'r as solicitações determinadas com as ações características.
4.5. Valores característicos e valores de cálculo. Ações e resistências
Ações e resistências constituem variáveis aleatórias
Fatores aue aüetam a segurança afetam
l -variabilidade das ações F  
2 - simultaneidade das ações F  
3 - erros teóricos da análise estrutural SeR yía e'ym
4 - imprecisões de cálculo SeR yn e '--
5 - imprecisões de execução (geometria) SeR yí3 e'ym
6 - variabilidade das deÊormabilidades S 'yn e'ym
7 - variabilidade das resistências R Y«
8 - capacidade de redistribuição e aviso   Y«
9 - responsabilidade de maior vulto   Y«
1 0 - condições particularmente adversas    
PEF 2303 Introdução à Segurança Estrutural 31
a) :Açõu
Normalmente, considera-se a intensidade das ações correspondentes ao valor característico
superior, Fk:.p, que apresenta 5% de probabilidade de ser ultrapassado. Costuma-se indicar a
ação em valor característico por Fk.
densidade de
probabilidade
distribuição
ilonilal
carga (F)
Figura 4.5.1
O valor de cálculo das ações é definido por
Fü = 'í . Fk
Normalmente, as ações são constituídas pelas cargas permanentes (g) provenientes do peso
próprio; pelas cargas variáveis ou acidentais (q) correspondentes às cargas úteis e ao vento; e
por (8) correspondentes a deformações impostas, retração, fluência e temperatura.
Em edifícios, adotam-se
e para verificações de estados limites últimos
('rfg - 'Jti ' ] ,4); ('. - 1 ,2) de modo que
Fd = 1,4 Fd: + 1,4 Fqk + 1,2 Fck
e para verificações de estados limites de utilização
('fg - l e yrq - 0,7); ('. - 1) de modo que
Fó= Fgk+ 0,7 Fqk+ F.k
b) Resistências
Normalmente, considera-se a resistência correspondente ao valor característico inferior, Ên.r,
que apresenta 5% de probabilidade de ser ultrapassado (de ser menor). Costuma-se indicar a
resistência em valor característico por Êk.
PEF 2303 Introdução à Segurança Estrutural 32
probabilidade
Figura 4.5.2
O valor de cálculo das resistências é definido por
fd ' ek / Yr
Adotam-se os seguintes va
8 estados limites últimos:
7. - 1,4 para o concreto; fcd - fck / 1,4
y; = 1,1 5 para as armaduras de concreto; fva = fvk / 1,15
e estados limites de utilização:
'y. = 1; '; = 1 (os estados limites de utilização são verificados com as tensões
de serviço).
4.6. .
Quando existirem ações variáveis de naturezas diferentes com pouca probabilidade de
ocorrência simultânea, com Fqki 2 Fqk2 2 Fqk3 ... , adotam-se as seguintes ações de cálculo
(combinação de ações):
e para verificações de estados limites últimos:
Fd = 1,4 Fü. + 1,4IFqki+ 0,8(Fqk2 + Fqk3 + ...)]+ 1,2 F.k
para verificações de estados limites de utilização em ediHicio
F.i = F.k + 0,7 [Fakt+ 0,8(Fak2 + F.k3 + ...)] + F.k
lores nas verificaçõesr
e
Se