Resistencia dos Materiais Hibbeler - 7.3 Tensões de cisalhamento em vigas

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264 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS 
A' 
(J 
Área = A' 
A 
I 
I 
I 
I I 
j _ _ _ l 
'i.F, = O satisfeita 
I� 
(c) 
u' 
Vista tridimensional (d) 
Figura 7.4 
Vista lateral 
Q = { y dA' = y'A' 
}A' 
O resultado final é, portanto, 
Nessa expressão, 
� LEJ 
(7.2) 
(7.3) 
r = tensão de cisalhamento no elemento no ponto 
localizado à distância y' do eixo neutro (Fi­
gura 7 .4b ) . Consideramos que essa tensão é 
constante e, portanto, média, por toda a largu­
ra t do elemento (Figura 7.4d) 
V = força de cisalhamento interna resultante, de­
terminada pelo método das seções e pelas 
equações de equilíbrio 
I = momento de inércia da área da seção transver­
sal inteira, calculada em torno do eixo neutro. 
t = largura da área da seção transversal do ele­
mento, medida no ponto onde T deve ser de­
terminada 
Q = !A'y dA' = y'A' , onde A ' é a porção superior 
(ou inferior) da área da seção transversal do 
elemento, definido pela seção onde t é medida 
e y' é a distância até o centroide de A ' , medi­
da em relação ao eixo neutro 
A Equação 7.3 é conhecida como fórmula do cisa­
lhamento. Embora, na dedução dessa fórmula, tenha­
mos considerado somente as tensões de cisalhamento 
que agem no plano longitudinal da viga, ela também se 
aplica para determinar a tensão de cisalhamento trans­
versal na área da seção transversal da viga. Isso porque 
as tensões de cisalhamento transversal e longitudinal 
são complementares e numericamente iguais. 
Visto que a Equação 7.3 foi derivada indiretamente da 
fórmula da flexão, é necessário que o material se comporte 
de uma maneira linear elástica e tenha o mesmo módulo 
de elasticidade sob tração e sob compressão. A tensão de 
cisalhamento em elementos compostos, isto é, os que têm 
seções transversais feitas de materiais diferentes, também 
pode ser obtida pela fórmula de cisalhamento. Para tanto, 
é necessário calcular Q e I da seção transformada do ele­
mento como discutimos na Seção 6.6. Todavia, a espessura 
t na fórmula permanece a largura verdadeira t da seção 
transversal no ponto onde T deve ser calculada. 
7 . 3 Tensões de dsa lhamento 
em vigas 
Para desenvolver uma certa percepção do méto­
do de aplicação da fórmula de cisalhamento e tam­
bém discutir algumas de suas limitações, estudaremos, 
agora, as distribuições de tensão de cisalhamento em 
alguns tipos comuns de seções transversais de vigas. 
Então, daremos aplicações numéricas da fórmula do 
císalhamento nos exemplos que serão apresentados 
Jogo em seguida. 
Seção transversal retangular. Considere que 
a viga tem uma seção transversal retangular de largura 
b e altura h como mostra a Figura 7 .Sa. A distribuição 
da tensão de cisalhamento pela seção transversal pode 
ser determinada pelo cálculo da tensão de cisalhamen­
to a uma altura arbitrária y em relação ao eixo neutro 
(Figura 7.5b) e posterior representação gráfica dessa 
função. Aqui, a área sombreada colorida escura A ' 
será usada para calcular T .* Por consequência, 
Q = y'A' = [y + � (� - y) ](� - y )b 
Tmáx v 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 265 
Aplicando a fórmula do cisalhamento, temos 
ou 
(7.4) 
Esse resultado indica que a distribuição da tensão 
de cisalhamento na seção transversal é parabólica. 
Como mostra a Figura 7 .Se, a intensidade varia de zero 
nas partes superior e inferior, y = ±h/2, até um valor 
máximo no eixo neutro, y = O. Especificamente, visto 
que a área da seção transversal é A = bh, então, em 
y = O, temos, pela Equação 7.4, 
v 
Tmáx = 1 ,5 A 
(7.5) 
A 
Distribuição da tensão de cisalhamento 
(c) 
Figura 7.5 
A área abaixo de y também pode ser usada [A' = b(h/2 + y)], 
porém envolve um pouco mais de manipulação algébrica. 
(d) 
266 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Esse mesmo valor para T máx pode ser obtido dire­
tamente pela fórmula do cisalhamento T = VQ/It, se 
percebermos que T máx ocorre onde Q é maior, já que 
V, I e t são constantes. Por inspeção, Q será máximo 
quando toda a área acima (ou abaixo) do eixo neutro 
for considerada; isto é, A' = bh/2 e y' = h/4. Assim, 
VQ V(h/4) (bh/2) V T
máx 
= ft = 
[fzbh3]b 
= 1 ,5 
A 
Por comparação, T máx é 50% maior que a tensão de 
cisalhamento média determinada pela Equação 1 .7; 
isto é, r 'd = VIA . 
É i�portante lembrar que, para cada T que age na 
área da seção transversal na Figura 7.5c, há uma r cor­
respondente que age na direção longitudinal ao longo 
da viga. Por exemplo, se a viga for secionada por um 
plano longitudinal que passa por seu eixo neutro, en­
tão, como observamos anteriormente, a tensão de cisa­
lhamento máxima age sobre esse plano (Figura 7.5d). 
É essa tensão que pode provocar a falha em uma viga 
de madeira, como mostra a Figura 7.6. Nesse caso, a 
ruptura horizontal da madeira começa a ocorrer no 
eixo neutro nas extremidades da viga, visto que, nesse 
local, as reações verticais submetem a viga a uma gran­
de tensão de cisalhamento, e a madeira tem baixa re­
sistência ao cisalhamento ao longo de seus grãos, que 
são orientados na direção longitudinal. 
É instrutivo mostrar que, quando a distribuição da 
tensão de cisalhamento (Equação 7.4) é integrada por 
toda a seção transversal, dá o cisalhamento resultante 
V. Para fazer isso, escolhemos uma tira de área dife­
rencial dA = b dy (Figura 7.5c) e, visto que T age uni­
formemente em toda a tira, temos 
1 11112 6V (h2 ) T dA = -3 __:_ 
- l b dy 
A -h/2 bh 4 
= 
6� [h2 y - .!.l]h/2 
h 4 3 -h/2 
= � [ �2 (� + �) - �( �3 + �3) J = v 
Viga de a bas largas. Uma viga de abas largas 
consiste em duas "abas" (largas) e uma "alma", como 
mostra a Figura 7.7a. Por uma análise semelhante à que 
Figura 7.6 
acabamos de realizar, podemos determinar a distribui­
ção da tensão de cisalhamento que age na seção trans­
versal. Os resultados são mostrados nos diagramas das 
figuras 7.7b e 7.7c. Como ocorreu na seção transversal 
retangular, a tensão de cisalhamento varia parabolica­
mente na altura da viga, j á que a seção transversal pode 
ser tratada como a seção retangular que tem, primeiro, 
a largura da aba superior, b , então a espessura da alma 
talma e, novamente, a largura da aba inferior, b . Em par­
ticular, observe que a tensão de cisalhamento variará 
apenas ligeiramente na alma e, também, que ocorre um 
salto na tensão de cisalhamento na junção aba-alma, 
visto que a espessura da seção transversal muda nesse 
ponto ou, em outras palavras, t na fórmula do cisalha­
mento, muda. Por comparação, a alma suportará uma 
quantidade significativamente maior da força de cisa­
lhamento do que as abas, o que será ilustrado numeri­
camente no Exemplo 7.2. 
Abas 
(b) 
(a) 
v 
Distribuição da 
tensão de 
cisalhamento 
Intensidade da distribuição da 
tensão de cisalhamento 
(vista lateral) 
(c) 
Figura 7.7 
Limitações do uso da fórmula d o cisalha­
mento. Uma das premissas mais importantes utili-
adas no desenvolvimento da fórmula do cisalhamento � que a tensão de cisalhamento é uniformemente dis­
tribuída pela largura t na seção onde a tensão de cisa­
lhamento é determinada. Em outras palavras, a tensão 
de cisalhamento média é calculada na largura. Pode­
mos testar a precisão dessa premissa comparando-a 
com uma análise matemática mais exata baseada na 
teoria da elasticidade. A esse respeito, se a seção trans­
versal da viga for retangular, a distribuição da tensão 
de cisalhamento verdadeira no eixo neutro, calculada 
pela teoria da elasticidade, varia como mostra a Figura 
7.8. O valor máximo, r' máx' ocorre nas bordas da seção 
transversal e seu valor depende da razão b!h (largura/ 
altura). Para seções nas quais b/h = 0,5, r'máxé somen­
te 3% maior que a tensão de cisalhamento calculada 
pela fórmula do cisalhamento (Figura 7.8a). Contu­
do, em seções achatadas, para as quais blh = 2, r' máx é 
aproximadamente 40% maior que r máx (Figura 7.8b). 
O erro torna-se maior ainda à medida que a seção fica 
mais achatada, ou à medida que a relação b!h aumen­
ta. Erros dessa ordem são, certamente, inaceitáveis se 
usarmos a fórmula do cisalhamentopara determinar 
a tensão de cisalhamento na aba de uma viga de abas 
largas, como já discutimos. 
É preciso destacar, também, que a fórmula do cisa­
lhamento não dará resultados precisos quando usada 
para determinar a tensão de cisalhamento na junção 
aba-alma de uma viga de abas largas, já que esse é um 
ponto de mudança repentina na seção transversal e,por­
tanto, um lugar onde ocorrerá concentração de tensão. 
(a) 
(b) 
Figura 7.8 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 267 
Além disso, as regiões internas das abas são bordas livres 
(Figura 7.7b) , e o resultado é que a tensão de cisalha­
mento nessas bordas deve ser nula. Entretanto, se a 
fórmula do cisalhamento for aplicada para determinar 
a tensão de cisalhamento nessas bordas, obteremos um 
valor r' que não será igual a zero (Figura 7.7c). Feliz­
mente, essas limitações à aplicação da fórmula do cisa­
lhamento às abas de uma viga de abas largas não são 
importantes na prática da engenharia. Na maioria dos 
casos, os engenheiros têm de calcular somente a tensão 
de cisalhamento média máxima que ocorre no eixo neu­
tro onde a razão b/h (largura/altura) é muito pequena 
e, portanto, o resultado calculado fica muito próximo 
da tensão de cisalhamento máxima verdadeira, como 
j á explicamos. 
Outra limitação importante ao uso da fórmula do ci­
salhamento pode ser ilustrada com referência à Figura 
7.9a, que mostra uma viga cuja seção transversal tem 
um contorno irregular não retangular. Se aplicarmos a 
fórmula do cisalhamento para determinar a tensão de 
cisalhamento (média) r ao longo da reta AB, ela terá a 
direção mostrada na Figura 7.9b. Considere, agora, um 
elemento do material tomado no ponto B do contorno, 
tal que uma de suas faces esteja localizada sobre a su­
perfície externa da viga (Figura 7.9c). Aqui, a tensão de 
cisalhamento r calculada na face frontal do elemento 
é decomposta nas componentes r' e r". Por inspeção, a 
componente r' deve ser nula, visto que sua componente 
longitudinal correspondente r' , que age na superfície do 
contorno livre de tensão, deve ser nula. Portanto, para 
satisfazer essa condição de contorno, a tensão de cisa­
lhamento que age sobre o elemento no contorno deve 
ter direção tangente ao contorno. Então, a distribuição 
da tensão de cisalhamento na reta AB terá a direção 
mostrada na Figura 7.9d. Devido à maior inclinação das 
tensões de cisalhamento em A e B, a tensão de cisalha­
mento máxima ocorrerá nesses pontos. Valores específi­
cos para essa tensão de cisalhamento devem ser obtidos 
pelos princípios da teoria da elasticidade. Observe, en­
tretanto, que podemos aplicar a fórmula do cisalhamen­
to para obter a tensão de cisalhamento que age em cada 
uma das retas coloridas na Figura 7 .9a. Aqui, essas retas 
interceptam as tangentes ao contorno da seção trans­
versal em ângulos retas, e, como mostra a Figura 7.9e, a 
tensão de cisalhamento transversal é vertical e constan­
te ao longo de cada reta. 
Resumindo os pontos discutidos, a fórmula do ci­
salhamento não dá resultados precisos quando aplica­
da a elementos cujas seções transversais são curtas ou 
achatadas, ou em pontos onde a seção transversal sofre 
mudança abrupta. Tampouco deve ser aplicada em uma 
seção que intercepta o contorno do elemento a um ân­
gulo diferente de 90°. Então, nesses casos, a tensão de 
cisalhamento deve ser determinada por métodos mais 
avançados baseados na teoria da elasticidade. 
268 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
(a) 
Distribuição da tensão de cisalhamento 
pela fórmula do cisalhamento 
(b) 
Figura 7.9 
Superfície externa 
livre de tensão 
T" 
\-
T"tP 71 
T 
(c) (d) 
'" Forças de cisalhamento em vigas provocam distribuição não linear da deformação por cisalhamento na seção trans­
versal gerando uma distorção na viga. 
'" Devido à propriedade complementar da tensão de cisalhamento, a tensão de cisalhamento desenvolvida em uma 
viga age na seção transversal e também em planos longitudinais. 
" A fórmala do cisalhamento foi deduzida considerando equilt'brio da força horizontal da tensão de cisalhamento lon­
gitudinal e distribuições de tensão de flexão que agem sobre uma porção de um segmento diferencial daviga. 
'" A fórmula do cisálhamento é usada para elementos prismáticos retos feitos de material homogéneo e que tenham 
comportamento linear elástico. Além disso, a força de cisalhamento interna resultante deve estar direcionada ao 
longo de um eixo de simetria para a área da seção transversal. 
" Para uma viga com seção transversal retangular, a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a altura . 
A tensão de cisalhamento máxima ocone ao longó do eixo neutro. 
'" A fórmula do cisalhamento não deve ser usada para determinar a tensão de cisalhamento em seções transversais 
curtas ou achatadas ou em pontos onde ocorrem mudanças repentinas na seção transversal ou em um ponto sobre 
um. contorno inclinado. 
Sugerimos o seguinte procedimento para aplicar a fórmula do cisalhamento. 
Cisalhamento interno 
" Secíone o elemento perpendicularmente a seu eixo no ponto onde a tensão de cisalhamento deve ser determinada 
e obtenha o cisalhamento interno V na seção. 
Propriedades da seção 
• Determine a localização do eixo neutro e determine o momento de inércia I da área da seção transversal inteira em 
torno do eixo neutro. 
• Passe uma seção horizontal imaginária pelo ponto onde a tensão de cisalhamento deve ser determinada. Meça a 
largura t da área nessa seção. 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 269 
porção da área que se encontra acima ou abaixo dessa seção é A'. Determine Q por integração Q = f A.y dA' ou 
usando Q = y'A'. Nessa expressão, y' é a distância de A' até o centroide, medida em relação ao eixo neutro. Pode 
ser útil entender que A' é a porção da área da seção transversal do elemento que é "mantida no elemento" pelas 
tensões de cisalhamento longitudinais (Figura 7.4d). 
de cisalhamento 
• Usando um conjunto de unidades consistente, substitua os dados na fórmula do cisalhamento e calcule a tensão de 
císalhamento T. 
• Sugerimos que a direção adequada da tensão de cisalhamento transversal r seja definida sobre um elemento de 
volume de material localizado no ponto onde ela é calculada. Isso pode ser feito se entendermos que r age na seção 
transversal na mesma direção de V. Com isso, podemos definir as tensões de cisalhamento correspondentes que 
agem nos outros três planos do elemento. 
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e)<.BrvJRI!l!Jl rz.n � ?]: 
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A viga mostrada na Figura 7.10a é feita de madeira e está 
sujeita a uma força de cisalhamento (cortante) vertical interna 
resultante V = 3 kN. (a) Determine a tensão de cisalhamen­
to na viga no ponto P e (b) calcule a tensão de cisalhamento 
máxima na viga. 
SOLUÇÃO 
Parte (a). Propriedades da seção. O momento de inér­
cia da área da seção transversal calculado em torno do eixo 
neutro é 
I = __!_ bh3 = __!_ (100 mm)(125 mm)2 = 16,28 X 106 mm4 12 12 
Traçamos na seção uma reta horizontal que passa pelo ponto 
P, e a área parcial A' corresponde à porção sombreada na 
Figura 7.10b. Por consequência, 
Q = )?A' = [12,5 mm + � (50 mm)] (50 mm) (100 mm) 
= 18,75 mm X 104 mm3 
Tensão de cisalhamento. A força de cisalhamento (ou 
força cortante) na seção é V = 3 kN. Aplicando a fórmula do 
cisalhamento, temos 
Tp = VQ = (3 kN)(18,75 X 104 mm3 ) 
It (16,28 X 106 mm4)(100 mm) 
= 3,46 mm X 10-4 kN/mm2 = 0,346 MPa Resposta 
Visto que r P contribui para V, ela age para baixo em P na 
seção transversal. Por consequência, um elemento de volume 
do material nesse ponto sofreria a ação de tensões de cisa­
lhamento, como mostra a Figura 7.10c. 
lso�t: 
125 mm� 
�p 
v � 3 kN l j . 
100 mm� 37,5 mm 
�I 
(a) 
(b) 
(d) 
Figura 7.10 
(c) 
270 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS 
Parte (b). Propriedades da seção. A tensão de cisalha­
mento máxima ocorre no eixo neutro, visto que t é constante 
em toda a seção transversal e Q é o maior nesse caso. Para a 
área escura A' na Figura 7.10d, temos 
Q = Y'A' = [ 62,52mm ](100 mm) (62,5 mm) 
= 19,53 mm X 104 mm3 
Tensão de cisalhamento. A aplicação da fórmula do cisa­
lhamento produz 
Tmáx = VQ = (3 kN)(19,53 X 104 mm3) 
It (16,28 X 106 mm4 )(100 mm) 
= 3,60 mm X 10-4 kN/mm2 = 0,360 MPa 
Observe que isso é equivalente a 
v 3 kN 7 = 1 5- = 1 5------máx ' A ' (100 mm)(125 mm) 
= 3,6 X 10-4 kN/mm2 = 0,36 MPa 
"'� 0 )/ "tif'4"""o j!�" '0��0\ )1 X 
��m�FlU��,.� 00 
'"' "'"''"'""' 'if -"'* - ::,._" 
Resposta 
Resposta 
Uma viga T de aço tem as dimensões mostradas na Figura 
7.11a. Se for submetida a uma força de cisalhamento (força 
cortante) V = 80 kN, (a) trace uma curva da distribuição da 
tensão de cisalhamento que age na área da seção transver­
sal da viga e (b) determine a força de cisalhamento à qual a 
alma resiste. 
SOLUÇÃO 
Parte (a). A distribuição da tensão de cisalhamento será 
parabólica e variará da maneira mostrada na Figura 7.1lb. 
Devido à simetria, somente as tensões de cisalhamento nos 
pontos B' , B e C devem ser calculadas. Para mostrar como 
esses valores são obtidos, em primeiro lugar, determinamos 
o momento de inércia da área da seção transversal em torno 
do eixo neutro. Trabalhando em metros, temos 
I = [1� (0,015 m)(0,200m)3] 
+ 2U2 (0,300 m) (0,02 m)3 + (0,300 m)(0,02 m)(O,llO m?] 
= 155,6(10-6) m4 
Para o ponto B' , t8, = 0,300 m, e A ' é a área escura mostrada 
na Figura 7.11c.Assim, 
Q8, = f'A' = [0,110 m](0,300 m)(0,02 m) = 0,660(10-3) m3 
de modo que 
Para o ponto B, t8 = 0,015 m, e Q8 = Q8, (Figura 7.11c) . Por 
consequência, 
Observe, pela discussão sobre as "Limitações ao uso da fór­
mula do cisalhamento", que os valores calculados para am­
bas, 7 8 e 7 8, não serão, na verdade, muito precisos. Por quê? 
Para o ponto C, te = 0,015 m e A' é a área sombreada escu­
ra mostrada na Figura 7.11d. Considerando que essa área é 
composta por dois retângulos, temos 
Assim, 
Qc = 2:y' A' = [0,110 m] (0,300 m) (0,02 m) 
+ [0,05 m](0,015 m)(0,100 m) 
= 0,735(10-3) m3 
VQc 80 kN[0,735(10-3) m3] 
Te = 7 máx = I te 
= 155,6(10-6) m4(0,015 m) 
= 25'2 MPa 
Parte (b). A força de cisalhamento na alma será determi­
nada formulando, em primeiro lugar, a tensão de cisalha­
mento em uma localização arbitrária y no interior da alma 
(Figura 7.1le). Trabalhando em metros, temos 
I = 155,6(10-6) m4 
t = 0,015 m 
A' = (0,300 m) (0,02 m) + (0,015 m) (0,1 m - y) 
Q = 2:y' A' = (0,11 m)(0,300 m)(0,02 m) 
+ [y + !(0,1 m - y) ] (0,015 m) (0,1 m - y) 
= (0,735 - 7,50 yZ) (10-3 ) m3 
de modo que 
VQ 80 kN(0,735 - 7,50 y2) (1o-3 ) m3 
7 = - = It ( 155,6(10-6) m4)(0,015 m) 
= (25,193 - 257,07y2) MPa 
Essa tensão age na área infinitesimal dA = 0,015 dy mostra­
da na Figura 7.11 e, portanto, a força de cisalhamento à qual 
a alma resiste é 1 10,1 m , 
V.Ima = 7 dA = (25,193 - 257,07y2)(106)(0,015 m) a 
Aalma -O,l m 
V.1ma= 73,0 kN Resposta 
(a) 
c 
I I 
(c) (d) 
(b) 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 271 
TE' = 1,13 MPa 
["", ) 
V"-
i B = 22,6 MPa 
Te = 25,2 MPa 
/2 2,6 MPa 
1,13 MPa 
0,02 m 
f----0,300 m �_L 
I .:.:.. J 
(0,1 m - yL = dy T 
l 
0,1 m 
N y _l A 
0,015 m� 
I I 
(e) 
Figura 7.11 
OBSERVAÇÃO: Por comparação, a alma suporta 91% do 
cisalhamento total (80 kN), enquanto as abas suportam os 
restantes 9%. Tente resolver este problema determinando a 
força em uma das abas (3,496 kN) pelo mesmo método. En­
tão, Valma = V - 2Vaba = 80 kN-2(3,496 kN) = 73,0 kN. 
A viga mostrada na Figura 7 .12a é feita com duas tábuas. 
Determine a tensão de cisalhamento máxima necessária na 
cola para que ela mantenha as tábuas unidas ao longo da li­
nha de junção. Os apoios em B e C exercem apenas reações 
verticais na viga. 
SOLUÇÃO 
Cisalhamento interno. As reações nos apoios e o diagra­
ma de força cortante para a viga são mostrados na Figura 
7.12b. Vemos que o cisalhamento máximo na viga é 19,5 kN. 
Propriedades da seção. O centroide e, portanto, o eixo 
neutro serão determinados pelo eixo de referência posicio­
nado na parte inferior da área da seção transversal (Figura 
7.12a). Trabalhando em metros, temos 
- LyA Y == -­
LA 
, [0,075 m] (0,150 m)(0,030 m) + [0,165 m](0,030 m)(0,150 m) 
(0,150 m)(0,030 m) + (0,030 m) (0,150 m) 
"' 0,120 m 
O momento de inércia, calculado em torno do eixo neutro 
(Figura 7.12a), é, portanto, 
I = u2 (0,030 m) (0,150 m)3 
+ (0,150 m) (0,030 m) (0,120 m - 0,075 m)2] 
+ [ 1� (0,150 m) (0,030 m)3 
+ (0,030 m) (0,150 m) (0,165 m - 0,120 m)2] 
= 27,0(10-6) m4 
A tábua (aba) superior está presa à inferior (alma) pela cola, 
que é aplicada na espessura t = 0,03 m. Por consequência, 
A ' é definida como a área da tábua superior (Figura 7.12a). 
Temos 
Q = y' A' = [0,180 m 0,015 m - 0,120 m](0,03 m)(0,150 m) 
= 0,2025(10-3) m3 
Tensão de dsalhamento. Com os dados obtidos acima e 
aplicando a fórmula do cisalhamento, obtemos 
VQ 19,5 kN (0,2025(10-3) m3) 
T máx = � = 6 4 = 4,88 MP a 
It 27,0(10- ) m (0,030 m) Resposta 
272 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
150 mm 30 mm 
____L_ 
:.:;r-r-150 mm 
V (kN) 
26 kN 
Plano contendo cola 
4,88 MPa 
(c) 
Figura 7.12 
A tensão de cisalhamento que age no topo da tábua de baixo 
é mostrada na Figura 7.12c. 
OBSERVAÇÃO: É a resistência da cola a essa tensão de ci­
salhamento lateral ou horizontal que é necessária para impe­
dir que as tábuas deslizem no suporte C. 
7.1. Se a viga for submetida a um cisalhamento V = 15 kN, 
determine a tensão de cisalhamento na alma em A e B. Indique 
as componentes da tensão de cisalhamento sobre um elemento 
de volume localizado nesses pontos. Considere w = 125 mm. 
Mostre que o eixo neutro está localizado em y = 0,1747 m 
em relação à parte inferior e !NA = 0,2182(10-3) m4• 
7.2. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalha­
mento V = 30 kN, determine a tensão de cisalhamento máxi­
ma na viga. Considere w = 200 mm. 
7.3. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalha­
mento V = 30 kN, determine a força de cisalhamento à qual 
a alma da viga resiste. Considere w = 200 mm. 
200 mm 
Problemas 7.112/3 
*7.4. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalha­
mento V = 125 kN, determine a tensão de cisalhamento má­
xima na viga. 
� 25 mm � 
Pl'Oblema 7.4 
7.5. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalha­
mento V = 125 kN, determine a força de cisalhamento à qual 
a alma da viga resistirá. 
� 25 mm � 
Problema 7.5 
7.6. A viga tem seção transversal retangular e é feita de ma­
deira com tensão de cisalhamento admissível r.c1m = 11,2 �Pa. 
Se for submetida a um cisalhamento V = 20 kN, determme a 
menor dimensão a de sua parte inferior e 1,5a de seus lados. 
7. 7. A viga tem seção transversal retangular e é feita de 
madeira. Se for submetida a um cisalhamento V = 20 kN, e 
a = 250 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima 
e trace uma curva da variação da tensão de cisalhamento 
na seção transversal. Faça um rascunho tridimensional do 
resultado. 
Problemas 7.617 
'7.8. Determine a tensão de cisalhamento máxima na es­
cora se ela for submetida a uma força de cisalhamento 
V == 20 kN. 
7.9. Determine a força de cisalhamento máxima V que a 
escora pode suportar se a tensão de cisalhamento admissível 
para o material for Tadm = 40 MPa. 
7.10. Faça um gráfico da intensidade da tensão de cisalha­
mento distribuída na seção transversal da escora se ela for 
submetida a uma força de cisalhamento V = 15 kN. 
12 mm 
)/ I 
20mm 
Problemas 7.8/9/10 
7.11. Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento V = 75 kN, 
determine a tensão de cisalhamento máxima nele. 
v 
Problema 7.11 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 273 
*7.12. A escora está sujeita a um cisalhamento vertical 
V = 130 kN. Construa um gráfico da intensidade da distri­
buição da tensão de cisalhamento que age na área da seção 
transversal e calcule a força de cisalhamento resultante de­
senvolvida no segmento vertical AB. 
��m :-i'O mm 
I 150 mm V = 130 kN 
Problema 7.12 
7.13. O raio da haste de aço é 30 mm. Se ela for submetida 
a um cisalhamento V = 25 kN, determine a tensão de cisa­
lhamento máxima. 
G:: 
'-* = 50 kN 
Problema7.13 
7.14. Se a viga T for submetida a um cisalhamento verti­
cal V = 60 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima 
na viga. Calcule também o salto da tensão de cisalhamen­
to na junção aba-alma AB. Trace um rascunho da variação 
da intensidade da tensão de cisalhamento em toda a seção 
transversal. 
7.15. Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical 
V = 60 kN, determine a força de cisalhamento vertical à qual 
a aba resiste. 
� I o �.!0��175 10� ' �� mm 
l r"�J� 
�V= 60 kN 
Problema 7.14/15 
27 4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
"7.16. A viga T está sujeita ao carregamento mostrado na 
figura. Determine a tensão de cisalhamento transversal má­
xima na seção crítica da viga. 
100 mm 
r------1 _l 
T T 100 mm 20 mm _l__ f20 mm 
Problema 7.16 
7.17. Determine as maiores forças P que o elemento pode su­
portar se a tensão de cisalhamento admissível for Tadm = 70 MPa. 
Os apoios em A e B exercem somente reações verticais so­
bre a viga. 
7.18. Se a força P = 4 kN, determine a tensão de cisalha­
mento máxima na seção crítica da viga. Os apoios em A e B 
exercem somente reações verticais sobre a viga. 
� 1 m �A+----2 m ----+B� 1 m� 
Problemas 7.17/18 
7.19. Faça uma representação gráfica da distribuição da 
tensão de cisalhamento na seção transversal de uma haste 
com raio c. Quantas vezes a tensão de cisalhamento máxima 
é maior que a tensão de cisalhamento média que age na se­
ção transversal? 
Problema 7.19 
*7.20. Desenvolva uma expressão para a componente ver­
tical média da tensão de cisalhamento que age no plano ho­
rizontal que passa pelo eixo, localizado a uma distância y do 
eixo neutro. 
Problema 7.20 
7.21. Dormentes de ferrovia devem ser projetados para re­
sistir a grandes carregamentos de cisalhamento. Se o dormen­
te for submetido a cargas de 150 kN exercidas pelos trilhos 
e o leito de cascalho exercer uma reação distribuída como 
mostra a figura, determine a intensidade w para equilíbrio 
e determine a tensão de cisalhamento máxima no dormente. 
150 kN 150 kN 
I I 200 mm 
Problema 7.21 
I 150 mm 
_l 
7.22. A viga está sujeita a uma carga uniforme w. Determi­
ne a localização a dos apoios de modo que a tensão de cisa­
lhamento na viga seja a menor possível. Qual é essa tensão? 
IV 
Problema 7.22 
7.23. As extremidades da viga de �ade�ra devem ser en-
1 lhadas como mostra a figura. Se a VIga tiver de suportar o \regamento mostrado, determine a menor profundidade d ca - d · lh d · ' 1 f da viga no entalhe se a tensa o e cisa amento a miSSIVe or 
= 450 MPa. A largura da viga é de 8 metros. 
r,Jm 20 kN 15 kN 15 kN 
Problema 7.23 
'7.24. A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas 
de junção A e B. Se for submetida ao carregamento mostra­
do na figura, determine a tensão de cisalhamento desenvol­
vida nas juntas coladas na seção a-a. Os apoios em C e D 
exercem somente reações verticais sobre a viga. 
7.25. A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas 
de junção A e B. Se for submetida ao carregamento mostra­
do na figura, determine a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida nas juntas coladas. Os apoios em C e D exer­
cem somente reações verticais sobre a viga. 
7.26. A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas 
de junção A e B. Se for submetida ao carregamento mos­
trado na figura, determine a força de cisalhamento vertical 
máxima à qual resiste a aba superior da viga. Os apoios em C 
e D exercem somente reações verticais sobre a viga. 
25 kN 25 kN 25 kN 
40 mm��50 mm
5t 
� ""�' ' ' " r-r- · · · · .. ·· A 200 mm .��.· . . . 
50 mm 
1_____L . r: ... .. .. , .• , B 40 mmt 
Problemas 7.24/25/26 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 27 5 
7.27. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos B e 
C localizados na alma da viga de fibra de vidro. 
lOOmm 18mm 
H ___j___) 
c�= --r 150 mm 12 mm � � -rl lOO mm 18 mm 
Problema 7.27 
*7.28. Determine a tensão de cisalhamento máxima que 
age na seção crítica da viga de fibra de vidro. 
3 kN/m 2,5 kN/m D1lL E L�LLL. >•· ·· · · ·�D 
�1 m
B L l m�,J -2m · -----� 
lOO mm 18 mm 
H ___j___) c�= --r 150 mm 12 mm ,-----� 
� -rl lOO mm 18 mm 
Problema 7.28 
7.29. A viga é composta por três peças de plástico coladas 
nas linhas de junção A e B. Se for submetida ao carregamen­
to mostrado na figura, determine a tensão de cisalhamento 
desenvolvida nas juntas coladas na seção crítica. Os apoios 
em C e D exercem somente reações verticais sobre a viga. 
3 kN/m 
1 l l 1 ! ! l 1 l l l l 1 
200mm 
_L_ li 50mm� . _j A 200mmYsomm 50 mm_l_ .=&E � 
Problema 7.29 
27 6 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
7.30. A viga é composta por três peças de plástico coladas 
nas linhas de junção A e B. Se for submetida ao carregamen­
to mostrado na figura, determine a força de cisalhamento 
vertical à qual resiste a aba superior da viga na seção crítica. 
Os apoios em C e D exercem somente reações verticais so­
bre a viga. 
3 kN/m ! 1 r r 1 1 r 1 1 1 r r t 
200 mm _1___ 11 50 mm �A 
20�� J:=_;O mm 50 mm _:::___j B 
r-
Problema 7.30 
7.31. Determine a variação da tensão de cisalhamento na 
seção transversal de um rebite oco. Qual é a tensão de cisa­
lhamento máxima no rebite? Mostre também que, se r; � 1'0, 
então Tmáx = 2(V/A). 
r; 
Problema 7.31 
"7.32. A viga tem seção transversal quadrada e está sujeita 
à força de cisalhamento V. Faça um rascunho da distribuição 
da tensão de cisalhamento na seção transversal e especifique 
a tensão de cisalhamento máxima. Além disso, determine o 
local em relação ao eixo neutro onde começará a aparecer 
uma trinca ao longo do elemento devido ao cisalhamento. 
Problema 7.32 
7.33. Escreva um código computacional que possa ser usado 
para determinar a tensão de cisalhamento máxima na viga que 
tem a seção transversal mostrada na figura e é submetida a uma 
carga constante distribuída específica w e à força concentrada 
P. Mostre uma aplicação do código usando os valores L = 4 m 
a = 2m,P = 1,5 kN, d1 = O, d2 = 2m,w = 400 N/m, t1 = 15 mm
' 
t2 = 20 mm, b = 50 mm e h = 150 mm. ' 
1;1i'ii!l1 J ·� 
11----a-L ----------11 
Problema 7.33 
7.34. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita 
a uma carga P cuja intensidade é suficiente para desenvolver 
um momento totalmente plástico MP = PL no apoio fixo. Se 
o material for elástico plástico, então, a uma distância x < L, 
o momento M = Px cria uma região de escoamento plás­
tico com um núcleo elástico associado de altura 2y' . Essa 
situação foi descrita pela Equação 6.30, e o momento M é 
distribuído na seção transversal como mostra a Figura 6.54e. 
Prove que a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida 
na viga é dada por r máx = 3/2(PIA'), onde A' = 2y' b, a área 
da seção transversal do núcleo elástico. 
p 
Região plástica ��I 
A b r-
Região elástica 
Problema 7.34 
7.35. A viga na Figura 6.54f é submetida a um momento to· 
talmente plástico Mp. Prove que as tensões de cisalhamenlo 
longitudinal e transversal na viga são nulas. Dica: Considere 
um elemento da viga como mostra a Figura 7 .4d. 
7.4 F luxo de dsa lhamento em 
estrutu ras compostas por 
vários elementos 
Na prática da engenharia, às vezes são construídas 
estruturas compostas por várias partes para se obt�l 
maior resistência à cargas. Alguns exemplos são m�s· 
trados na Figura 7.13. Se as cargas provocarem fl.e�ao 
nas partes componentes, pode ser necessário uttitzar 
elementos de fixação como pregos, parafus?s, to 
rial de soldagem ou cola para evitar o desltzamen 
r 
d 
I