O problema da matemática que levou quase um século para resolver

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O problema da matemática que levou quase um século para
resolver
O problema da matemática que levou quase um século para resolver
Todos nós já estivemos lá: olhando para um teste de matemática com um problema que parece
impossível de resolver. E se encontrar a solução para um problema levasse quase um século? Para os
matemáticos que se insolam na teoria de Ramsey, esse é o caso. Na verdade, pouco progresso foi feito
na resolução de problemas de Ramsey desde a década de 1930.
Agora, os pesquisadores da Universidade da Califórnia em San Diego, Jacques Verstraete e Sam
Mattheus, descobriram a resposta para o r(4,t), um problema de longa data de Ramsey que deixou o
mundo da matemática por décadas.
Qual era o problema de Ramsey, afinal?
Na linguagem matemática, um gráfico é uma série de pontos e as linhas entre esses pontos. A teoria de
Ramsey sugere que, se o gráfico é grande o suficiente, você tem a garantia de encontrar algum tipo de
ordem dentro dela – seja um conjunto de pontos sem linhas entre elas ou um conjunto de pontos com
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todas as linhas possíveis entre elas (esses conjuntos são chamados de “cliques”). Isso é escrito como
r(s,t) onde s são os pontos com linhas e t são os pontos sem linhas.
Para aqueles de nós que não lidam com a teoria dos grafos, o problema mais conhecido de Ramsey,
r(3,3), às vezes é chamado de “o teorema de amigos e estranhos” e é explicado por meio de uma festa:
em um grupo de seis pessoas, você encontrará pelo menos três pessoas que se conhecem ou três
pessoas que não se conhecem. A resposta para r(3,3) é de seis.
“É um fato da natureza, uma verdade absoluta”, afirma Verstraete. Não importa qual é a situação ou
quais seis pessoas você escolhe – você encontrará três pessoas que se conhecem ou três pessoas que
não se conhecem. Você pode ser capaz de encontrar mais, mas você está garantido que haverá pelo
menos três em um clique ou outro.
O que aconteceu depois que os matemáticos descobriram que r(3,3) ? 6? Naturalmente, eles queriam
saber r(4,4), r(5,5) e r(4,t) onde o número de pontos que não estão conectados é variável. A solução
para r (4,4) é 18 e está provado usando um teorema criado por Paul Erds e George Szekeres na década
de 1930.
Atualmente r(5,5) ainda é desconhecido.
Um bom problema luta de volta
Por que algo tão simples é difícil de resolver? Acontece que é mais complicado do que parece. Digamos
que você sabia que a solução para r (5,5) estava em algum lugar entre 40-50. Se você começou com 45
pontos, haveria mais de 10 234 gráficos a serem considerados!
“Como esses números são tão notoriamente difíceis de encontrar, os matemáticos procuram
estimativas”, explicou Verstraete. “Isso é o que Sam e eu conseguimos em nosso trabalho recente.
Como podemos encontrar não a resposta exata, mas as melhores estimativas para o que esses
números de Ramsey podem ser?
Os estudantes de matemática aprendem sobre os problemas de Ramsey desde o início, então r (4.o)
esteve no radar da Verstraete durante a maior parte da sua carreira profissional. Na verdade, ele viu pela
primeira vez o problema impresso em Erds on Graphs: His Legacy of Unsolved Problems, escrito por
dois professores da UC San Diego, Fan Chung e o falecido Ron Graham. O problema é uma conjectura
de Erds, que ofereceu US $ 250 para a primeira pessoa que poderia resolvê-lo.
“Muitas pessoas pensaram em r(4, alíneas em contrário) – tem sido um problema aberto por mais de 90
anos”, disse Verstraete. “Mas não era algo que estava na vanguarda da minha pesquisa. Todo mundo
sabe que é difícil e todo mundo tentou descobrir, então, a menos que você tenha uma nova ideia, é
provável que você não consiga a lugar nenhum.
Então, há cerca de quatro anos, Verstraete estava trabalhando em um problema diferente de Ramsey
com um matemático da Universidade de Illinois-Chicago, Dhruv Mubayi. Juntos, eles descobriram que
gráficos pseudo-aleatórios poderiam avançar o conhecimento atual sobre esses velhos problemas.
Em 1937, Edas descobriu que o uso de grafos aleatórios poderia dar bons limites mais baixos em
problemas de Ramsey. O que Verstraete e Mubayi descobriram foi que a amostragem de pseudográficos
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pseudo-síria frequentemente dá melhores limites em números de Ramsey do que gráficos aleatórios.
Esses limites – limites superiores e inferiores na resposta possível – apertou o alcance das estimativas
que poderiam fazer. Em outras palavras, eles estavam se aproximando da verdade.
Em 2019, para o deleite do mundo da matemática, Verstraete e Mubayi usaram gráficos
pseudoaleatórios para resolver r(3,t). No entanto, a Verstraete lutou para construir um grafo
pseudoaleatório que pudesse ajudar a resolver r(4,t).
Ele começou a puxar em diferentes áreas da matemática fora da combinatória, incluindo geometria finita,
álgebra e probabilidade. Eventualmente, ele juntou forças com Mattheus, um estudioso de pós-
doutorado em seu grupo cuja formação era em geometria finita.
“Aconteitou que o gráfico pseudoaleatório que precisávamos poderia ser encontrado em geometria
finita”, disse Verstraete. “Sam era a pessoa perfeita para vir e ajudar a construir o que precisávamos.”
Uma vez que eles tinham o gráfico pseudoaleatório no lugar, eles ainda tinham que confundir várias
peças de matemática. Demorou quase um ano, mas eventualmente eles perceberam que tinham uma
solução: r(4,t) está perto de uma função cúbica de t. Se você quer uma festa onde sempre haverá quatro
pessoas que se conhecem ou tnão são pessoas que não se conhecem, você precisará de
aproximadamente três 3pessoas presentes. Há um pequeno asterisco (na verdade) porque, lembre-se,
isso é uma estimativa, não uma resposta exata. Mas t 3 está muito perto da resposta exata.
The findings are currently under review with the Annals of Mathematics.
“It really did take us years to solve,” Verstraete stated. “And there were many times where we were stuck
and wondered if we’d be able to solve it at all. But one should never give up, no matter how long it takes.”
Verstraete emphasizes the importance of perseverance — something he reminds his students of often. “If
you find that the problem is hard and you’re stuck, that means it’s a good problem. Fan Chung said a
good problem fights back. You can’t expect it just to reveal itself.”
Verstraete knows such dogged determination is well-rewarded: “I got a call from Fan saying she owes me
$250.”
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