Calculo_de_integrais_2

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Caṕıtulo 23
Resolvendo Integrais pelo Método de
Substituição
23.1 Métodos da substituição em integrais indefinidas
O teorema fundamental do cálculo permite que se resolva rapidamente a integral
∫ b
a
f(x) dx,
desde que se conheça uma primitiva F para a função f .
Como vimos no caṕıtulo anterior, em alguns casos, achar uma primitiva é bastante fácil: basta olharmos uma
tabela de derivadas ao contrário. Assim, conclúımos imediatamente que
∫
cos(x) dx = sen(x) + C , visto que,
d
dx
(sen(x) + C) = cos(x) .
Embora a integral
∫
cos(2x) dx seja semelhante à anterior, neste caso existe uma pequena diferença. Como
d
dx
(sen(2x) + C) = 2 cos(2x) ,
a primitiva procurada será dada por
sen(2x)
2
+ C ,
e assim,
∫
cos(2x) dx =
sen(2x)
2
+ C .
Repare que para obter este resultado não foi suficiente usar uma tabela de derivadas ao contrário. Para resolver
esta última integral foi necessário perceber que sen(2x) difere da derivada de cos(2x) apenas por um fator constante,
reduzindo a tarefa de achar uma primitiva para esta última função a uma pequena manipulação algébrica.
No entanto, a tarefa de achar primitivas e, portanto, de integrar uma função nem sempre é tão simples como o
exemplo acima parece indicar. Ao contrário, na maioria dos casos é imposśıvel determinar rapidamente, com uma
simples olhada, a primitiva de uma função, o que nos leva a estudar métodos gerais de integração.
Estes métodos, em geral, se originam das regras de derivação. A regra da cadeia para a derivada de funções
compostas dá origem ao chamado método da substituição ou de mudança de variável, que é um dos métodos de
integração mais poderosos.
Na introdução desta seção, foi posśıvel concluir que
∫
cos(2x) dx =
sen(2x)
2
+ C ,
porque percebemos que, de alguma maneira, a integral
∫
cos(2x) dx estava relacionada com a integral conhecida
∫
cos(x) dx = sen(x) + C.
Da mesma forma, parece razoável supor que a integral
∫
cos(3x+ 1) dx
316 Cap. 23. Resolvendo Integrais pelo Método de Substituição
também esteja relacionada com a integral da função cosseno. Para ver como isto acontece, fazemos
u = 3x+ 1 .
Deste modo,
cos(3x+ 1) = cos(u) ,
como queŕıamos.
Repare que se u = 3x + 1, então a diferencial de u é du = 3 dx. Note que se o termo dx que aparece na notação
de integral pudesse ser interpretado como uma diferencial, teŕıamos
u = 3x+ 1 ⇔ du = 3 dx .
Assim, formalmente, sem justificar nossos cálculos, podeŕıamos escrever
∫
cos(3x+ 1) dx =
1
3
∫
3 cos(3x+ 1) dx =
1
3
∫
cos(u) du =
sen(u)
3
+ C =
sen(3x+ 1)
3
+ C .
Derivando a função sen(3 x+1)
3 + C, podemos verificar, facilmente, que o resultado encontrado acima é correto.
As manipulações algébricas feitas no exemplo estudado, são justificadas pela regra da cadeia. Este método pode
ser interpretado como o inverso desta regra e é um caso especial da fórmula mais geral
∫
f(g(x)) g′(x) dx =
∫
f(u) du ,
onde u = g(x) e du = g′(x)dx, como explicamos a seguir.
Recorde que se F e g são funções conhecidas, pela regra da cadeia a derivada da composta F ◦ g é
(F ◦ g)′(x) = F ′(g(x)) g′(x) .
Assim, podemos escrever
∫
F ′(g(x)) g′(x) dx = (F o g)(x) + C = F (g(x)) + C .
Se F for uma primitiva de f , isto é, F ′ = f , teremos
(F ◦ g)′(x) = f(g(x)) g′(x)) ,
isto é,
∫
f(g(x)) g′(x) dx = F (g(x)) + C .
Por outro lado,
∫
f(u) du = F (u) + C ,
assim, chamando u = g(x) e comparando as duas igualdades acima, conclui-se que du = g′(x)dx.
Este método chama-se integração por substituição porque depende de uma substituição ou mudança de variável
para simplificar a integral. O ponto essencial a ser lembrado quando utilizamos este método é que a substituição
u = g(x) implica que du = g′(x) dx.
Exemplo 1 Calcule
∫
2x cos(x2) dx.
Solução Fazendo u = x2 ⇒ du = 2x dx e desse modo a integral acima se reduz a
∫
cos(u) du. Conseqüentemente,
∫
2x cos(x2) dx =
∫
cos(u) du = sen(u) + C = sen(x2) + C .
Exemplo 2 Calcule as seguintes integrais
(a)
∫
x3
√
x4 + 2 dx
W.Bianchini, A.R.Santos 317
Solução Observe que (x4 + 2)′ = 4x3. Isto sugere a substituição u = x4 + 2. Neste caso, du = 4x3 dx ⇒ x3 dx = du
4 .
Assim,
∫
x3
√
x4 + 2 dx =
1
4
∫
u( 1
2
) du =
1
4
u( 3
2
)
3
2
+ C =
1
6
(x4 + 2)(
3
2
) + C .
(b)
∫
x2 + 1
(x3 + 3x)2
dx
Solução Aqui, fazemos a substituição u = x3 + 3x, obtendo du = (3x2 + 3) dx , o que acarreta (x2 + 1) dx = du
3 .
Assim,
∫
x2 + 1
(x3 + 3x)2
dx =
∫
du
3u2
= −1
3
1
u
+ C = −1
3
1
x3 + 3x
+ C .
(c)
∫
sen(x) cos(x) dx
Solução Nesta integral, tanto podemos fazer a substituição u = sen(x) como u = cos(x). Optando pela primeira,
temos que du = cos(x) dx . Assim,
∫
sen(x) cos(x) dx =
∫
u du =
u2
2
+ C =
sen2 x
2
+ C
Exerćıcio Resolva esta mesma integral, usando a segunda opção e tente chegar ao mesmo resultado.
Como os exemplos acima mostram, é dif́ıcil, de fato imposśıvel, dar uma regra geral dizendo, em cada caso, que
substituições devem ser feitas, isto é, como escolher a função u de maneira a obter a melhor simplificação. O sucesso
deste método depende de se ter uma integral em que uma parte do integrando seja a derivada de uma outra parte,
a menos de um fator constante (fatores constantes podem ser “ajustados”, como foi feito nos exemplos anteriores).
Para resolver uma integral por este método, você deve, portanto, procurar partes do integrando que são derivadas de
outras partes, como no primeiro exemplo, onde 2x é a derivada de x2.
23.2 Método da substituição em integrais definidas
Vejamos agora o que acontece quando empregamos o método da substituição para calcular integrais definidas. Vamos
examinar um exemplo bem simples e interpretá-lo geometricamente. Calcular a integral
∫ 4
3
(x− 2)2 dx é equivalente a
encontrar a área sob o gráfico da função y = (x− 2)2, limitada pelas retas x = 3 e x = 4.(figura a seguir à esquerda)
Esta área é igual a área sob a curva y = x2 e entre as retas x=1 e x=2. (figura a seguir à direita)
0
1
2
3
4
5
6
y
1 2 3 4 5 6
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1 2 3 4 5 6
x
Isto é verdade porque o gráfico da função y = (x− 2)2 pode ser obtido a partir do gráfico da função y = x2 por
meio de uma translação, 2 unidades para direita. Neste caso, temos que
∫ 4
3
(x− 2)2 dx =
∫ 2
1
u2 du (∗)
Esta identidade pode ser obtida aplicando-se o método da substituição para resolver a primeira integral. Assim,
seja u = x− 2. Então, du = dx, e, desse modo, temos que
∫
(x− 2)2 dx =
∫
u2 du.
Esta substituição, porém, não resolve inteiramente o problema proposto. Para calcularmos a integral definida e,
portanto, a área da região representada por esta integral é necessário calcularmos os novos limites de integração.
318 Cap. 23. Resolvendo Integrais pelo Método de Substituição
Os limites de integração na primeira integral significam que queremos calcular a área sob o gráfico da curva
y = f(x), para x variando entre as retas x = 3 e x = 4. Mas, como u = x− 2 quando x varia de 3 até 4, u varia de 1
até 2, e dáı, segue (*).
Neste ponto, observando que uma primitiva da função u2 é u3
3 , podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo
para resolver a integral transformada e então obter a área procurada, como a seguir:
∫ 4
3
(x− 2)2 dx =
∫ 2
1
u2 du =
u3
3
∣
∣
∣
∣
2
1
=
23
3
− 13
3
=
7
3
.
Um caminho alternativo para resolver este problema é usar o método da substituição para integrais indefinidas,
como foi descrito na seção anterior, com o objetivo de encontrar uma primitiva da função que se quer integrar e, então,
usar a primitiva encontrada e o teorema fundamental do cálculo para resolver o problema proposto.
Assim, como vimos acima, fazendo a substituição u = x− 2 na integral
∫
(x− 2)2 dx obtemos a identidade
∫
(x−
2)2 dx =
∫
u2 du. Esta última integral é fácil de calcular. De fato,
∫
u2 du =
u3
3
+ C , mas,
u3
3
+C =
(x− 2)3
3
+ C .
Assim,
∫
(x− 2)2 dx =
(x− 2)3
3
+ C ,
que é a primitiva que procurávamos.
Para calcular a integral definida
∫ 4
3
(x− 2)2 dx basta, agora, usar esta primitiva e o teorema fundamental do cálculo
para obter
∫ 4
3
(x− 2)2 dx =
(x− 2)3
3
∣
∣
∣
∣
4
3
=
(4− 2)3
3
− (3− 2)3
3
=
8
3
− 1
3
=
7
3
,
como antes.
Para aplicar o método da substituição para calcular integrais definidas temos, portanto, dois caminhos:
1. Podemos, fazendo uma substituição adequada, encontrar o novo integrando e os novos limites de integração
(estes novos limites vão depender da substituição empregada) e, então, resolver o problema encontrando uma
primitiva para o novo integrando e aplicando o teorema fundamental do cálculo tendo em vista os novos limites
de integração.
2. Usar o método da substituição para encontrar uma primitiva da função original, isto é, resolver a integral
indefinida voltando, após a integração, à variável original do problema e, então, usar a primitiva encontrada e o
teorema fundamental do cálculo para resolver a integral definida.
Ilustramos estes dois caminhos no exemplo a seguir.
Exemplo Calcule a integral
∫ 4
1
x
√
x2 + 1 dx .
Solução Para resolver esta integral devemos fazer a substituição u = x2 + 1, obtendo du = 2x dx .
Pelo primeiro caminho, como u = u(x) = x2 + 1, então, para x = 1 temos u = 2 e para x = 4, u = 17. Assim,
∫ 4
1
x
√
x2 + 1 dx =
1
2
∫ 17
2
√
u du =
1
2
(
2u
3
2
3
)∣
∣
∣
∣
∣
17
2
=
1
3
[17(
3
2
) − 2(
3
2
)] ,
pois a função 2u
3
2
3 é uma primitiva de
√
u.
Pelo segundo caminho, temos:
∫
x
√
x2 + 1 dx =
1
2
∫ √
u du =
1
3
u( 3
2
) + C =
1
3
(x2 + 1)(
3
2
) + C .
Assim,
∫ 4
1
x
√
x2 + 1 dx =
1
3
(x2 + 1)
3
2
∣
∣
∣
4
1
=
1
3
[17(
3
2
) − 2(
3
2
)] .
W.Bianchini, A.R.Santos 319
23.3 Exerćıcios
Resolva as seguintes integrais por substituição e verifique a sua resposta usando o MapleV e a subrotina changevar:
(a)
∫
sen(x) cos3 x dx
(b)
∫
cos(
√
x)√
x
dx
(c)
∫
x
√
x2 + 1 dx
(d)
∫
√
1 +
√
x√
x
dx
(e)
∫
x2
√
x3 + 1
dx
(f)
∫ 1
2
0
2x√
1− x2
dx
(g)
∫
8x3 cos(x4 + 1) dx
(h)
∫ 3
0
x√
27− 3x2
dx
(i)
∫ 3
0
(x+ 1)(
1
2
) dx
(j)
∫
(3x+ 2)5 dx
(l)
∫
x2
√
1 + x dx
(m)
∫
4x2
√
(3− 4x3)4
dx
(n)
∫
2 + 3x√
1 + 4x+ 3x2
dx
(o)
∫
√
x2 + x4 dx
23.4 Problemas
1. Explique o aparente paradoxo:
Usando a linearidade da integral, temos que
∫
x+ 1 dx = x2
2 + x+C. Resolvendo esta mesma integral usando a
substituição u = x+ 1, obtemos
∫
x+ 1 dx =
∫
u du = u2
2 + C = (x+1)2
2 + C .
2. (a) Mostre que se m ̸= n, então,
∫ π
0
cos(mx ) cos(nx ) dx =
∫ π
0
sen(mx ) sen(nx ) dx = 0, porém se m = n, então,
cada integral é igual a π
2 .
(b) Mostre que
i. Se n−m é impar, então
∫ π
0
cos(mx ) sen(nx ) dx = 2n
n2
−m2 .
ii. Se n−m é par, então
∫ π
0
cos(mx ) sen(nx ) dx = 0 .
Sugestão: Use as identidades
sen(a+ b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) e cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sen(a) sen(b)
3. Ache a integral F (x) de
√
x tal que F (9) = 9.
4. (a) Se f é cont́ınua e
∫ 4
0
f(x) dx = 10, calcule
∫ 2
0
f(2x) dx.
(b) Se f é cont́ınua e
∫ 9
0
f(x) dx = 16, calcule
∫ 3
0
x f(x2) dx.
(c) Se f é cont́ınua, mostre que
∫ b
a
f(−x) dx =
∫
−a
−b
f(x) dx.
(d) Sabendo que f é cont́ınua em toda a reta e
∫ 2
1
f(x− c) dx = 5, onde c é uma constante, calcule
∫ 2−c
1−c
f(x) dx.
5. Calcule
∫ 1
2
0
√
x√
1− x
dx. Sugestão: Faça a substituição
√
x = sen(y) e use identidades trigonométricas para
resolver a integral resultante.
6. Considere a integral definida I =
∫ π
0
x f(sen(x)) dx, onde f é uma função cont́ınua definida no intervalo [0, 1].
Use a substituição x = π − y para mostrar que
I = π
2
∫ π
0
f(sen(x)) dx.
23.5 Para você meditar: Resolvendo integrais com o aux́ılio do Maple
ou por que devo aprender técnicas de integração?
Você pode verificar os resultados das integrais dos exemplos e exerćıcios apresentados neste caṕıtulo usando o comando
int(f(x),x) do Maple. Por exemplo:
> Int(x^3*sqrt(x^4+2),x)=int(x^3*sqrt(x^4+2),x)+C;
∫
x3
√
x4 + 2 dx =
1
6
(x4 + 2)3/2 + C .
Então você deve estar se perguntando: Por que devo aprender métodos de integração para resolver integrais tão
complicadas, se elas podem ser resolvidas sem nenhum esforço com o aux́ılio do Maple?
320 Cap. 23. Resolvendo Integrais pelo Método de Substituição
Primeiro porque conhecer métodos gerais de integração para um aluno de Cálculo é como aprender tabuada no
primeiro ano do primário. É útil e economiza tempo. As máquinas devem ser utilizadas rotineiramente para ganhar
tempo e facilitar as contas, não o contrário. Já imaginou se não tivéssemos aprendido tabuada e, desse modo, fosse
necessário recorrer a máquinas para calcular, por exemplo, 9× 7? Que absurdo, não?
Da mesma maneira, se você conhece um método que permita resolver uma integral, rapidamente, sem ser necessário
utilizar uma máquina, você ganha tempo. É claro que, se a integral é muito complicada, você pode e deve utilizar os
recursos existentes.
Embora muitos sistemas de computação algébrica tais como o Maple, venham sendo cada vez mais usados no
cálculo de integrais, eles não fazem milagres e nem substituem, graças a Deus, a inteligência e a criatividade do
homem. Neste texto veremos exemplos de algumas integrais que o Maple não é capaz de resolver.
No entanto, podemos usar o Maple, inteligentemente, para executarmos passo a passo o método da substituição.
Isto é posśıvel porque o Maple possui uma subrotina, changevar(u = g(x), Int(f(x),x),u), que permite que se
calculem integrais usando uma substituição de variáveis indicada por nós. Esta sub-rotina pertence ao pacote student.
Portanto, antes de utilizá-la, você precisa, primeiro, usar o comando with(student), como fazemos a seguir.
> with(student):
> changevar(u=x^4+2,Int(x^3*sqrt(x^4+2),x),u);
∫
1
4
√
u du
> value(%);
1
6
u3/2
> subs(u=x^4+2,%);
1
6
(x4 + 2)3/2
Nos caṕıtulos seguintes veremos que existem integrais perfeitamente resolv́ıveis por substituição, mas que o Maple
e outros sistemas de computação algébrica semelhantes não conseguem resolver. No entanto, se usarmos a sub-rotina
acima, dizendo ao programa que substituição deve ser feita, a cada passo, “ensinamos” ao computador como calcular
a integral em questão. Você poderia se imaginar como um professor de Cálculo do seu computador? Que bom que
podemos pensar criativamente!