Lista de Exercícios 2

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Lista de Exercícios - 2
Equações Diferenciais Ordinárias
Prof. Dr. Rodrigo Labiak
Problema 1 Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial
teria uma única solução passando por um ponto (x0, y0) na região.
(a) dy
dx = y
2
3
(b) dy
dx =
√
xy
(c) xdy
dx = y
(d) dy
dx − y = x
(e) (4− y2)y′ = x2
(f) (1 + y3)y′ = x2
(g) (x2 + y2)y′ = y2
(h) (y − x)y′ = y + x
(i) dy
dx = x3 cos y
(j) dy
dx = (x− 1)e
y
x−1
Problema 2 Verifique se o Teorema de Existência e Unicidade de Solução para
PVI garante a unicidade de solução para a equação diferencial y′ =
√
y2 − 9,
passando pelo ponto dado.
(a) (1, 4)
(b) (5, 3)
(c) (2,−3)
(d) (−1, 1)
Problema 3 Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
(a) dy
dx = sin 5x
(b) dy
dx = (x+ 1)2
(c) dx+ e3xdy = 0
(d) dx− x2dy = 0
(e) (x+ 1)dydx = x+ 6
(f) ex dy
dx = 2x
(g) xy′ = 4y
(h) dy
dx + 2xy = 0
(i) dy
dx = y3
x2
(j) dy
dx = y+1
x
(k) dy
dx = x2y2
1+x
(l) dy
dx = 1+2y2
y sinx
1
(m) dy
dx = e3x+2y
(n) exy dy
dx = e−y + e−2x−y
(o) (4y + yx2)dy + (2x+ xy2)dx = 0
(p) (1 + x2 + y2 + x2y2)dy = y2dx
(q) 2y(x+ 1)dy = xdx
(r) x2y2dy = (y + 1)dx
(s) sin 3xdx+ 2y cos3 3xdy = 0
(t) dy
dx = sinx(cos 2y − cos2 y)
(u) (ex + e−x)dydx = y2
Problema 4 Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indi-
cada.
(a) (e−y + 1) sinxdx = (1 + cosx)dy, y(0) = 0
(b) (1 + x4)dy + x(1 + 4y2)dx = 0, y(1) = 0
(c) ydy = 4x(y2 + 1)
1
2 , y(0) = 1
(d) dy
dt + ty = y, y(1) = 3
(e) dx
dy = 4(x2 + 1), x
(
π
4
)
= 1
(f) dy
dx = y2−1
x2−1 , y(2) = 2
Problema 5 Encontre uma solução para a equação diferencial dy
dx − y2 = −9 que
passe pelos pontos indicados.
(a) (0, 0)
(b) (0, 3)
(c)
(
1
3 , 1
)
Problema 6 Encontre uma solução para a equação diferencial xdy
dx = y2 − y que
passe pelos pontos indicados.
(a) (0, 1)
(b) (0, 0)
(c)
(
1
2 ,
1
2
)
2