Exercícios Equações Diferenciais

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Lista de Exercícios - 1
Equações Diferenciais Ordinárias
Prof. Dr. Rodrigo Labiak
Problema 1 Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou
não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(a) (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cosx
(b) xd3y
dx3 − 2
(
dy
dx
)4
+ y = 0
(c) yy′ + 2y = 1x2
(d) x2dy + (y − xy − xex)dx = 0
(e) x3y(4) − x2y′′ + 4xy′ − 3y = 0
(f) d2y
dx2 + 9y = sin y
(g) dy
dx =
√
1 +
(
d2y
dx2
)2
(h) d2r
dt2 = − k
r2
(i) (sinx)y′′′ − (cosx)y′ = 2
(j) (1− y2)dx+ xdy = 0
Problema 2 Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
(c1 e c2 são constantes).
(a) 2y′ + y = 0; y = e−
x
2
(b) y′ + 4y = 32; y = 8
(c) dy
dx − 2y = e3x; y = e3x + 10e2x
(d) dy
dt + 20y = 24; y = 6
5 =
6
5e
−20t
(e) y′ = 25 + y2; y = 5 tan 5x
(f) dy
dx =
√
y
x ; y = (
√
x+ c1)
2, x > 0, c1 > 0
(g) y′ + y = sinx; y = 1
2 sinx+ 1
2 cosx+ 10e−x
(h) 2xydx+ (x2 + 2y)dy = 0; x2y + y2 = c1
(i) x2dy + 2xydx = 0; y = − 1
x2
(j) (y′)3 + xy′ = y; y = x+ 1
(k) y = 2xy′ + y(y′)2; y2 = c1(x+ 1
4c1)
(l) y′ = 2
√
|y|; y = x|x|
(m) y′ − 1
xy = 1; y = x lnx, x > 0
(n) dP
dt = P (a− bP ); P = ac1e
at
1+bc1eat
(o) dX
dt = (2−X)(1−X); ln 2−X
1−X = t
(p) y′ + 2xy = 1; y = e−x2 ∫ x
0 et
2
dt+ c1e
−x2
(q) (x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0; c1(x+ y)2 = xe
y
x
1
(r) y′′ + y′ − 12y = 0; y = c1e
3x + c2e
−4x
(s) y′′ = 6y′ + 13y = 0; y = e3x cos 2x
(t) d2y
dx2 − 4dy
dx + 4y = 0; y = e2x + xe2x
(u) y′′ = y; y = coshx+ sinhx
(v) y′′ + 25y = 0; y = c1 cos 5x
(w) xd2y
dx2 + 2dy
dx = 0; y = c1 + c2x
−1
(x) x2y′′ − xy′ + 2y = 0; y = x cos (lnx), x > 0
(y) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0; y = x2ex
(z) y′′′ − y′′ + 9y′ − 9y = 0; y = c1 sin 3x+ c2 cos 3x+ 4ex
Problema 3 Verifique se a função definida por partes é uma solução para a
equação diferencial dada.
(a) xy′ − 2y = 0; y =
{
−x2 x < 0
x2 x ≥ 0
(b) (y′)2 = 9xy; y =
{
0 x < 0
x3 x ≥ 0
Problema 4 Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para
y = xy′ + (y′)2
é y = cx+ c2.
Determine um valor de k para que y = kx2 seja uma solução singular para a
equação diferencial.
Problema 5 Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para
y = xy′ +
√
1 + (y′)2
é y = cx+
√
1 + c2.
Mostre que a relação x2 + y2 = 1 define uma solução singular para a equação no
intervalo (−1, 1).
Problema 6 Encontre valores de m para que y = emx seja uma solução para
cada equação diferencial.
(a) y′′ − 5y′ + 6y = 0
(b) y′′ + 10y′ + 25y = 0
Problema 7 Mostre que y1 = x2 e y2 = x3 são ambas soluções para
x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0
As funções, c1y1 e c2y2, com c1 e c2 constantes arbitrárias, são também soluções?
A soma, y1 + y2 é uma solução?
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