Aula_02_Estimacao

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CMIP- Centro de Metrologia e Inovação em ProcessosUFSC- UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Profª Andréa
TEORIA DA ESTIMAÇÃO
Conceito :
Estimação é o procedimento usado para obter informações 
sobre os parâmetros desconhecidos de uma população com 
base nos dados da amostra.
Estimação de Parâmetros
Conceito :
Um estimador é uma estatística amostral utilizada para obter 
uma aproximação de um parâmetro populacional.
Uma estimativa é um valor específico, ou intervalo de valores, 
usado para aproximar um parâmetro populacional.
As estatísticas das amostras (médias, proporções, variâncias 
e desvios padrões) são estimadores naturais dos equivalentes 
populacionais. 
Estimador e Estimativa
Propriedades Desejáveis de um Estimador
• Não-tendenciosidade: um estimador é não tendencioso (não 
viesado; não viciado) se sua média (ou valor esperado) for o próprio 
parâmetro que se pretende estimar.
Não Tendenciosidade
E( ) = X
− X
− =X
−  Xi
n
=
Não-tendencioso
Não-tendencioso
Número de ocorrências
(binomial)
n
X
p =ˆ pnp
n
XE
n
pE === .
1
)(
1
)ˆ(
Estimação de Parâmetros
Existem dois tipos fundamentais de estimação de um parâmetro 
populacional: por ponto e por intervalo.
Estimação pontual 
Quando utilizamos dados amostrais calcula-se um valor da estimativa do
parâmetro populacional e com isso tem-se uma estimativa por ponto do 
parâmetro analisado.
Assim, a estatística amostral , média da amostra, pode ser usada como 
um estimador do parâmetro , média da população 
Por exemplo, uma amostra aleatória de 200 alunos de uma universidade 
de 20.000 estudantes revelou uma média amostral de 5,2. Logo = 5,2 
é uma estimativa pontual da verdadeira nota média dos 20.000 alunos.
x
x
Estimação de Parâmetros
Estimativa por Intervalo
Quando, a partir da amostra procura-se construir um intervalo de
variação, de modo que esse intervalo tem uma probabilidade conhecida
de conter o verdadeiro parâmetro populacional.
Ao estimar um parâmetro populacional através de uma amostra,
evidentemente estamos cometendo um erro. Portanto, a deficiência da
estimação pontual reside no fato de que, neste procedimento, não ficamos
conhecendo a medida do possível erro cometido na estimação do
parâmetro de interesse. Desta limitação surge a idéia da estimação por
intervalo.
P(Linf <  < Lsup) = 1-
Estimação de Parâmetros
Estimativa por Intervalo
= nível de incerteza ou grau de desconfiança ou nível de significância.
1 -  = coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade ou grau
de confiança ou nível de confiança.
 = é o parâmetro populacional de interesse
Intervalos de Confiança (IC) para a Média Populacional
A questão de quão próxima determinada média amostral pode estar da
média da distribuição amostral, em unidades efetivas, depende da
variabilidade na distribuição amostral (isto é, do desvio padrão da
distribuição amostral). À medida que aumenta o tamanho amostral, o
desvio padrão da distribuição amostral diminui.
Logo, grandes amostras tenderão a produzir médias amostrais que
estão mais próximas da média da população do que pequenas
amostras. Além disso, quanto maior a variabilidade na população,
maior a variabilidade na distribuição amostral.
Intervalos de Confiança para a Média Populacional
Utilizando a Distribuição Normal:
n  30 (Grandes Amostras),  conhecido
n < 30 (Pequenas Amostras),  conhecido
).X.-X(P 2/2/ xx zz   +=
n
σ
σx =
1N
nN
n
σ
σx
−
−
=
População Infinita ou Amostragem com Reposição
População Finita ou Amostragem sem Reposição
sendo:
O gráfico da função da variável normal padronizada “Z” é simétrico.
Logo, o intervalo de confiança para um nível de significância é:






=

+
x
x
xx
z
onde
z
ou
zz
.
:
.X
.X.-X
2/
2/
2/2/
( erro de estimação ou erro máximo permissível )
/2
f(x)
z/2
/2
-z/2
1 - 
f(x)
z/2
/2
-z/2
1 - 
f(x)
z/2
/2
-z/2
1 - 
Intervalos de Confiança para a Média Populacional
Intervalos de Confiança para a Média Populacional
Valores selecionados para Zα/2 da tabela da distribuição Normal 
padronizada
1-0,025=0,975 =1,9 –coluna = 0,06 linha 
1,96
 0.01 0.02 0.05 0.10
Z/2 2.58 2.33 1.96 1.64
Nível de confiança 99% 98% 95% 90%
Intervalo de Confiança para 
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média  também 
desconhecida e variância 2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a 
média amostral. Construa um IC de 95% para  supondo que 12,7.X =
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +
0
(0,1)N
95%
z-z
2,5%2,5%
?1,96
4 4
(12,7 1,96 12,7 1,96 ) 0,95
25 25
P −   + =
(12,7 1,568 12,7 1,568) 0,95P −   + =
(11,132 14,268) 0,95P   =
xx zz   .X.-X 2/2/ +
Intervalos de Confiança para a Média Populacional
EX: Uma população tem um desvio padrão igual a 10 e média
desconhecida. Uma amostra de tamanho n = 100 é retirada e fornece uma
média = 50. Qual o intervalo de 95% de confiança para a média desta
população?
Solução:
Têm-se 1 - α = 95%, então α = 5% e α / 2 = 2,5%. 
96,5104,48
100
10
96,150
100
10
96,150
.X.-X 2/2/

+−
+


  xx zz
x
Intervalos de Confiança para a Média Populacional
Utilizando a Distribuição Normal:
n  30,  desconhecido
).X.-X(P 2/2/ xx SzSz   +=
População Infinita ou Amostragem com Reposição
População Finita ou Amostragem sem Reposição
sendo:
n
s
sx =
1N
nN
n
s
sx
−
−
=
Ex.: Com a intenção de estimar o número de ações negociadas por dia na
bolsa de valores foi realizada uma amostragem aleatória de tamanho n=81
dias. A amostra apresentou média de 12,8 milhões de ações por dia e
desvio padrão s= 2,7 milhões de ações por dia. Estimar a média da
população com intervalo de confiança de 95%.
59,08,12)
81
7,2
.,96112,8
81
7,2
.,961-(12,8P =+= 
Intervalos de Confiança para a Média Populacional
Pequenas Amostras (Distribuição de Student “t” n<30)
Foi desenvolvida por William S. Gosset que trabalhava na
indústria de cervejas Guinness, em Dublin, na Irlanda.
Gosset publicou suas descobertas utilizando o pseudônimo
de Student. A distribuição t é chamada de distribuição t de
Student.
Intervalo de Confiança (IC) para Média Populacional 
Distribuição t de Student, tem forma parecida com a normal
padrão, mas é um pouco mais dispersa. Essa dispersão varia
com o tamanho da amostra. É bastante dispersa para amostras
pequenas, ma se aproxima da normal para amostras grandes.
Pequenas Amostras (Distribuição de Student “t” n<30)
Propriedades da Distribuição t de Student
•A distribuição t aproxima-se da distribuição normal à medida que “n” 
aumenta. Para n > 30 as diferenças são tão pequenas que podemos utilizar 
os valores críticos z;
•A distribuição t tem a mesma forma geral simétrica (forma de sino) que a 
distribuição normal, mas reflete a maior variabilidade (com distribuições 
mais amplas) que é esperada em pequenas amostras
Condições para utilização da Distribuição t de Student
• O tamanho da amostra é pequeno (n < 30)
•  é desconhecido
• A população original tem distribuição essencialmente normal (Como 
a distribuição da população original em geral é desconhecida, 
estimamo-la construindo um histograma de dados amostrais).
Pequenas Amostras (Distribuição de Student “t” n<30)
Utilizando a distribuição t : 
n
s
t
n
s
t .X.-X
2/2/ 
 +
Pequenas Amostras (Distribuição de Student “t” n<30)
n
s
sx =
1−
−
=
N
nN
n
s
sx
População Infinita ou Amostragem com Reposição
População Finita ou Amostragem sem Reposição
Utilizando a distribuição t : 
n
s
t
n
s
t .X.-X
2/2/ 
 +
Para usar uma tabela t devemos conhecer o nível de confiança
desejado, e o número de graus de liberdade (). O número de graus de
liberdade, para um conjunto de dados, corresponde ao número de
valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a
todos os valores. Assim:
= n –1
=gl (algumas bibliografias)
=
2/
t
número de desvio padrões utilizando a distribuição de Student (“t”).
Pequenas Amostras (Distribuição de Student “t” n<30)
Sabendo-se que uma amostra tem 20 elementos, que a sua média 120 e desvio
padrão igual a 30. Represente um intervalo de confiança em nível de confiança
de 95%.
=(n - 1) = 20-1 = 19 referente aos graus de liberdade
IC= 95% = alfa=0,05 /2 = 0,025
20
30
09,2120
20
30
09,2120
.X.-X 2/2/
+−
=+

 
n
s
t
n
s
t
h 4,023198,051  h
Pequenas Amostras (Distribuição de Student “t” n<30)
Pequenas Amostras (Distribuição de Student “t” n<30)
 
 /  0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 
1 3,0777 0,3137 12,7062 31,8210 63,6559 
2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 
3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 
4 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 
5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 
6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 
7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 
8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 
9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 
10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 
11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 
12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 
13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 
14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 
15 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 
16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 
17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 
18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 
19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 
20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 
21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 
 
Intervalo de Confiança para Proporção
A utilização da distribuição normal como aproximação da binomial para
construção do intervalo de confiança para proporções é apropriada se:
n  30 n . p  5 e n . q  5,
Seja a proporção observada de “sucessos” numa amostra aleatória de n
observações de uma população com proporção p de sucessos. Então, se n é
suficientemente grande para um intervalo de confiança para a proporção
populacional de 100(1 - )% que é dado por
n
pp
Zpp
n
pp
Zp
)1(
ˆ
)1(
ˆ
2/2/
−
+
−
−

A proporção populacional p não é conhecida , pois este é o valor que está sendo
estimado. Portanto
amostradaelementosdenúmero
ticacaracterís
n
X
p ==ˆ
Ex: Em 65 lances de uma moeda foram obtidas 26 caras. Determinar os limites de
confiança de 90% para a proporção de caras que seria obtida em um grande
número de lances da moeda.
4,0
65
26
ˆ ===
n
X
p
65
24,0
n
).(1
 = 
ˆ
=
−pp
p

0996,04,0
65
24,0
64,14,0
65
24,0
64,14,0 =+− p
Intervalo de Confiança para Proporção
Dimensionamento do Tamanho da Amostra
A determinação do tamanho de uma amostra é um problema de grande importância,
porque amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo e
dinheiro; e amostras demasiadamente pequenas podem levar a resultados não
confiáveis. O cálculo do tamanho da amostra para cada caso, é feito sempre em
função das fórmulas já estabelecidas para os Intervalos de Confiança
Para determinação do tamanho da amostra, algumas considerações iniciais devem ser 
feitas:
a) Identificação da variável mais importante para o estudo a ser feito.
b) Identificação da escala de mensuração da variável: nominal, ordinal ou intervalar. 
Isto direciona o tipo de estimativa que se vai fazer: variáveis categóricas admitirão 
estudo apenas de PROPORÇÕES, enquanto que para variáveis intervalares 
normalmente estaremos interessados na determinação da MÉDIA. 
c) Identificação do tamanho da população: infinita ou finita.
d) Estabelecimento da variância da população: conhecida ou desconhecida.
.
Dimensionamento do Tamanho da Amostra
Média
2
2/ .






=
e
Z
n
 População Infinita
22
2/
2
22
2/
)1( 



+−

=
ZNe
NZ
n População Finita
onde:
n – tamanho da amostra;
z/2 – número de desvios padrões
utilizando a distribuição normal;
 - desvio padrão da população;
e – erro amostral (máxima
diferença admitida entre  e
N – tamanho da população
x.
Dimensionamento do Tamanho da Amostra
Média
EX:
Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de
trabalho de um bacharel em direito. Quantos valores de renda devem ser
tomados, se o economista deseja ter 95% de confiança em que a média
amostral esteja a menos de R$500,00 da verdadeira média populacional?
Suponha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais rendas, 
=R$ 6250,00.
60125,600
500
6250.96,1.
22
2/ ==





=





=
e
Z
n

Dimensionamento do Tamanho da Amostra
Média
EX:
Uma população composta por 200 elementos apresenta um desvio
padrão de 5,04. Qual deve ser o tamanho de uma amostra aleatória que
nos permita afirmar com 98% de confiança que não erraremos por mais
que 1,8 unidades ao estimar a média populacional.
.
36
)04,5()33,2()1200()8,1(
200)04,5()33,2(
)1(
222
22
22
2/
2
22
2/ =
+−

=
+−

=




zNe
NZ
n
A amostra deve conter 36 eltos
Proporção
Dimensionamento do Tamanho da Amostra
2
2
2/ ])ˆ1(.ˆ.[)(
e
ppZ
n
−
= 
NA AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO (pop. infinita)
NOTA: 
No cálculo do tamanho da amostra para estimar a proporção (p), uma informação 
necessária é a estimativa preliminar da proporção p . Esta estimativa pode ser 
obtida por meio de:
•dados históricos sobre a população de interesse;
•resultados obtidos em estudos similares ao que está sendo realizado;
•extração de uma amostra piloto.
25,0.
2
2/






=
e
Z
n 
Proporção
683
)03,0(
)8,0).(2,0()96,1(])ˆ1(.ˆ[.)(
2
2
2
2
2/ ==
−
=
e
ppZ
n 
NA AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO (pop. infinita)
Ex: Um instituto de pesquisa pretende avaliar a proporção de eleitores que
votarão em determinado candidato com 95% de confiança de que não errará por
mais de 3%. Para isto levantou-se uma pré-amostra de 100 eleitores selecionados
ao acaso da população. A proporção de eleitores deste candidato foi de 20%.
Determine o tamanho da amostra necessário para atingir precisão desejada
Dimensionamento do Tamanho da Amostra
Proporção
EX: Um assistente social deseja saber o tamanho da amostra (n) necessário
para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde,
que pertence ao município de Cariacica. Não foi feito um levantamento prévio da
proporção amostral e, portanto, seu valor é desconhecido. Ela quer ter 90% de
confiança que sua o erro máximo de estimativa (E) seja de ±5% (ou 0,05).
Quantas pessoas necessitam ser entrevistadas?
26996,268
05,0
25,0.64,1
25,0.
2
22
2/ ===





=
e
Z
n 
Devemos, portanto, obter uma amostra de 269 pessoas para determinar a 
proporção da população atendida na Unidade de Saúde, que se origina do 
município de Cariacica.
Dimensionamento do Tamanho da Amostra
Proporção
NA AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO (pop. finita)
( ) ( )ppZNe
NppZ
n
ˆ1.ˆ.)1(.
.)ˆ1(.ˆ.)(
2
2/
2
2
2/
−+−
−
=


Dimensionamento do Tamanho da Amostra
Proporção
Um despachante que cuida da documentação de automóveis está
interessado em estimar a proporção de clientes que trocaram de carro no
último ano para oferecer seus serviços. Para isto amostrou 80 do seu
cadastro de 400 clientes e consultou-os por telefone verificando que 30
deles haviam trocado de carro no último ano. Determine o tamanho da
amostra necessário para estimar com 90% de confiança esta proporção
com erro máximo de 4%
( ) ( )ppZNe
NppZ
n
ˆ1.ˆ.)1(.
.)ˆ1(.ˆ.)(
2
2/
2
2
2/
−+−
−
=


Dimensionamento do Tamanho da Amostra
Proporção
.
Um despachante que cuida da documentação de automóveis está
interessado em estimar a proporção de clientes que trocaram de carro no
último ano para oferecer seus serviços. Para isto amostrou 80 do seu
cadastro de 400 clientes e consultou-os por telefone verificando que 30
deles haviam trocado de carro no último ano. Determine o tamanho da
amostra necessário para estimar com 90% de confiança esta proporção
com erro máximo de 4%
( )
199
625,0(.)375,0(.64,1)399(.04,0
400.)625,0(.)375,0(.)64,1(
22
2
=
+
=n
N= 400
n= 80
X= 30 
375,0
80
30ˆ ===
n
X
p
Dimensionamento do Tamanho da Amostra
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	Slide 4: Propriedades Desejáveis de um Estimador
	Slide 5: Não Tendenciosidade
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	Slide 13: Intervalo de Confiança para 
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