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CMIP- Centro de Metrologia e Inovação em ProcessosUFSC- UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Profª Andréa VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETAS INTRODUÇÃO Ao descrevemos o espaço amostral de um experimento não especificamos que um resultado individual necessariamente seja um número. Como por exemplo, ao descrever uma peça manufaturada, podemos empregar apenas as categorias "defeituosa" e "não-defeituosa". Em muitas situações experimentais, estaremos interessados na mensuração de alguma coisa e no seu registro como número. No caso considerado acima, podemos atribuir um número a cada resultado não numérico do experimento. Atribuindo o valor um as peças defeituosas e zero as perfeitas. “Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.” Associa números aos eventos do espaço amostral. • X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda; S = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)} X: 0 1 2 x VARIÁVEL ALEATÓRIA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Exemplos 1. Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser 0, 1, 2 ...10. 2. Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas, perguntam-se estes compram um determinado produto.O número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200. 3. Conta-se o nº de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. O número de acidentes em questão pode ser: 0, 1, 2… Como não temos um valor que limite esse número, supomos que o número de acidentes é qualquer inteiro não negativo. 4. Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo. VARIÁVEL ALEATÓRIA variável aleatória contínua os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais discreta os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável 0 1 2 3 4 ... número de defeitos em ... Ex. 0 Ex. tempo de resposta de ... A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer. Distribuição de Probabilidades Seja a variável aleatória X = número obtido no lançamento de um dado comum. Se assumirmos o dado perfeitamente equilibrado, podemos alocar as seguintes probabilidades aos valores possíveis de X: Distribuição de Probabilidades Seja a variável aleatória X = número obtido no lançamento de um dado comum. Se assumirmos o dado perfeitamente equilibrado , podemos alocar as seguintes probabilidades aos valores possíveis de X: Distribuição de Probabilidades Valores Possíveis x Probabilidades p(x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Total 1 Ou, mais precisamente, p(j) = 1/6 (j =1, 2, 3, 4, 5, 6) Seja uma urna com três bolas brancas e duas pretas. Extrair aleatoriamente duas bolas, sendo uma após a outra, tal que repomos na urna a primeira bola antes de extrairmos a segunda, ou seja com reposição Os possíveis resultados de X = número de bolas pretas na amostra Sortear 2 bolas com reposição Distribuição de Probabilidades 3/5 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 x p(x) 0 9/25 (0,36) 1 12/25 (0,48) 2 4/25 (0,16) (10) (20 ) Para se obter a probabilidade de X=0, calcula-se a probabilidade de ocorrer bola branca na primeira e bola branca na segunda., ou seja (3/5).(3/5)=9/25 Para se obter a probabilidade de X=2 é dada por (2/5).(2/5)=4/25 Para se obter a probabilidade de X=1 que ocorre quando acontecer a bola branca na primeira e bola preta na segunda [com probabilidade (3/5). (2/5)=6/25] ou, bola preta na primeira e bola branca na segunda [com probabilidade (2/5). (3/5)=6/25] Logo a probabilidade de X=1 é 12/25 Distribuição de Probabilidades 3/5 2/5 2/4 2/4 3/4 1/4 Sortear 2 bolas sem reposição X = número de bolas pretas na amostra x p(x) 0 6/20 (0,30) 1 12/20 (0,60) 2 2/20 (0,10) (10) (20) Distribuição de Probabilidades Sortear 2 bolas X = número de bolas pretas na amostra x p(x) 0 0,30 1 0,60 2 0,10 Distrib. de X sem reposição Distrib. de X com reposição x p(x) 0 0,36 1 0,48 2 0,16 Distribuição de Probabilidades Se X for discreta, com possíveis valores {x1, x2, ...},então a distribuição de probabilidades de X pode ser chamada pela função de probabilidade, que associa a cada valor possível xi a sua probabilidade de ocorrência p(xi), ou seja: p(xi) = p(X= xi) (i = 1, 2, ...) Uma função de probabilidade deve satisfazer: a) p(xi) ≥ 0 b) Ʃp(xi) =1 Função de Probabilidade Gráficos que representam a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta. Gráfico da Distribuição de Probabilidades Outra forma de representar uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória é através sua função de distribuição acumulada, que é definida por: Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada descreve a probabilidade de ocorrer um valor até x. Altura de cada salto equivale ao valor da probabilidade naquele ponto. Função de Distribuição Acumulada Considere uma variável aleatória X e sua distribuição de probabilidades. A média ou valor esperado de uma variável aleatória X é dado por: Variável Aleatória Discreta: Valor Esperado Considere uma variável aleatória X e sua distribuição de probabilidades. A média ou valor esperado de uma variável aleatória X é dado por: Variável Aleatória Discreta: Valor Esperado Considere uma variável aleatória X e sua distribuição de probabilidades. A variância de uma variável aleatória X é dada por: Variável Aleatória Discreta: Variância e Desvio Padrão Seja a variável aleatória X = número obtido no lançamento de um dado comum, em que a função de probabilidade é dada por: p(j) = 1/6 (j =1, 2, 3, 4, 5, 6). Calcular o valor esperado e a variância. Valor Esperado e Variância Seja a variável aleatória X = número obtido no lançamento de um dado comum, em que a função de probabilidade é dada por: p(j) = 1/6 (j =1, 2, 3, 4, 5, 6). Calcular o valor esperado e a variância. E(X) = 1.(1/6) + 2.(1/6) + 3.(1/6) + 4.(1/6) + 5.(1/6) + 6.(1/6) = 3,5 E(X2)=12.(1/6)+22.(1/6)+32.(1/6)+42.(1/6)+52.(1/6)+62.(1/6) = 15,167 Assim V(X) = E(X2) – μ2 = 15,167 – (3,5) 2 = 2,92 Podemos interpretar o valor esperado como a média aritmética dos resultados da variável aleatória se o experimento pudesse ser repetido infinitas vezes. Assim se pudéssemos lançar o dado infinitas vezes, obteríamos, em média, 3,5 pontos por lançamento. Valor Esperado e Variância j k j j pxE = == 1 (X) = == k j jj pE x 1 22)(X EXEMPLO Considere que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação de três dias. x 0 1 1 1 2 2 2 3 Possibilidades BBB BBR BRB RBB BRR RBR RRB RRR Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216 EXEMPLO x p(x) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0,064 0 1 2 3 0,216 0,432 0,288 Distribuição de probabilidade de X: EXEMPLO X = número de dias com falhas na rede. ( ) == ii pxXE E(X) = 0(0,064) + 1(0,288) + 2(0,432) + 3(0,216) = 1,8 x p(x) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 EXEMPLO X = número de dias com falha na rede. x p(x) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 V(X) = (0 – 1,8)2(0,064) + (1 – 1,8)2(0,288) +(2 – 1,8)2(0,432) + (3 – 1,8)2(0,216) = 0,72 ( ) ( ) −== ii pxXV 22 EXEMPLO Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir: Exercícios de Aplicação Nº de Acidentes 0 1 2 3 4 Nº de dias 12 18 10 8 2 Designe por X a variável aleatória que conta onúmero de acidentes diários nesse local. a) Defina a sua função de probabilidade; b) Deduza a função acumulada ou F(x); c) Calcule o valor esperado, variância e desvio padrão; Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir: Exercícios de Aplicação Nº de Acidentes 0 1 2 3 4 Nº de dias 12 18 10 8 2 a) A função de probabilidade da variável X é dada por: f(0) = 12/50= 0,24 f(1) =18/50= 0,36 f(2)=10/50=0,20 f(3)=8/50=0,16 f(4)=2/50= 0,04 xi 0 1 2 3 4 p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04 Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir: Exercícios de Aplicação xi 0 1 2 3 4 p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04 Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir: Exercícios de Aplicação xi 0 1 2 3 4 p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04 Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir: Exercícios de Aplicação c) Calcule o valor esperado, variância e desvio padrão; xi 0 1 2 3 4 p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04 Durante 50 dias registrou-se o número de acidentes diários ocorridos num determinado local. Os dados obtidos estão na tabela a seguir: Exercícios de Aplicação c) Calcule o valor esperado, variância e desvio padrão; xi 0 1 2 3 4 p(xi) 0,24 0,36 0,20 0,16 0,04 V(x)= 𝑬 𝒙𝟐 − 𝐸 𝑥 𝟐 = 1,28 ∴ V(x)= 1,28 σ x =1,13