Manual de neurologia

Darwin Mapute

29/04/2024

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Neurofisiologia Neuroquimica

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Eng.º M. A. Mazoca
1ª Edição 2017

E restituir-vos-ei os anos que comeu o gafanhoto, a locusta, e o pulgão e a lagarta,
o meu grande exército que enviei contra vós. E comereis abundantemente e
vos fartareis, e louvareis o nome do Senhor vosso Deus, que procedeu
para convosco maravilhosamente; e o meu povo nunca
mais será envergonhado. - Joel 2: 25-26

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

LISTA DE TABELAS III
LISTA DE FIGURAS IV
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS I
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1
1.1. IMPORTÂNCIA E APLICAÇÃO DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2
1.2. CONCEITOS PRINCIPAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 3
1.3. TIPOS DE APOIOS OU SUPORTES 6
1.4. TIPOS DE CARREGAMENTOS E SUAS APLICAÇÕES 7
1.5. CLASSIFICAÇÃO DAS VIGAS 9
1.6. CÁLCULO DAS REACÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 10
CAPÍTULO 2. ESFORÇOS NUMA SECÇÃO TRANSVERSAL 13
2.1. PRINCÍPIO DE CORTE 13
2.2. CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS 14
2.3. CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS NUMA SECÇÃO EM ESTRUTURAS PLANAS 16
2.4. DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS INTERNOS 27
2.5. ESFORÇOS INTERNOS NUMA SECÇÃO EM ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS 32
CAPÍTULO 3. COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS 34
CAPÍTULO 4. DEFINIÇÃO DA TENSÃO 35
4.1. CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS 36
4.1.1. MATERIAL FRÁGIL 36
4.1.2. MATERIAL DÚCTIL 37
4.2. TENSÃO ADMISSÍVEL 38
4.3. LEI DE HOOKE 38
4.3.1. FORMA GERAL DA LEI DE HOOKE 39
CAPÍTULO 5. TRACÇÃO E COMPRESSÃO 42
5.1. TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 42
5.2. TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 48
5.3. TENSÕES E DEFORMAÇÕES TÉRMICAS 49
CAPÍTULO 6. TEORIA DE ELASTICIDADE 58
6.1. DEFINIÇÃO DAS TENSÕES 58

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

6.2. ESTADOS DE TENSÃO 60
6.2.1. ESTADO MONOAXIAL DE TENSÃO 60
6.2.2. ESTADO BIAXIAL (PLANO) DE TENSÃO 62
6.3. CÍRCULO DE MOHR 69
6.3.1. PASSOS PRINCIPAIS PARA A CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR 69
CAPÍTULO 7. FLEXÃO 73
7.1. GEOMETRIA DE ÁREAS PLANAS 74
7.1.1. MOMENTOS ESTÁTICOS 74
7.1.2. MOMENTOS DE INERCIA E PRODUTOS DE INERCIA 77
7.1.3. TRANSPOSIÇÃO DOS EIXOS DE INERCIA PARALELOS – TEOREMA DE STEINER 78
7.1.4. TRANSPOSIÇÃO ANGULAR DOS EIXOS DE INÉRCIA 80
7.1.5. MOMENTOS E EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA 80
7.2. DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES 88
7.2.1. FLEXÃO RECTA 88
7.2.3. FLEXÃO DESVIADA 89
7.3. DEFORMAÇÃO DEVIDA À FLEXÃO RECTA – EQUAÇÃO DA LINHA NEUTRA 92
7.3.3. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA E DE TRANSIÇÃO 95
CAPÍTULO 8. TORÇÃO 102
8.1. DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM VEIO CIRCULAR 102
8.2. FÓRMULA DE TORÇÃO 104
8.2.1. VEIO COM SECÇÃO TRANSVERSAL MACIÇA 106
8.2.2. VEIO COM SECÇÃO TRANSVERSAL OCA 108
8.3. TENSÃO DE TORÇÃO MÁXIMA ABSOLUTA 109
8.4. MOMENTO TORSOR OU TORQUE 114
8.5. TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA 115
8.5.1. PROJECTO DO VEIO 116
8.6. ÂNGULO DE TORÇÃO 118
8.6.1. TORQUE E ÁREA DE SECÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTES 120
8.6.2. CONVENÇÃO DE SINAIS 121
8.7. ESTRUTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS CARREGADAS POR UM TORQUE 138
CAPÍTULO 9. TEOREMA DE CASTEGLIANO 147
9.1. BASES TEÓRICAS 147
9.2. APLICAÇÃO DO TEOREMA DO CASTEGLIANO EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 152
9.3. APLICAÇÃO DO TEOREMA DE CASTEGLIANO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 155
9.3.1. ESTRUTURAS EXTERIORMENTE HIPERESTÁTICAS 155
9.3.2. ESTRUTURAS INTERIORMENTE HIPERESTÁTICAS 159
CAPÍTULO 10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 165

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Coeficiente de Poisson ................................................................................ I
Tabela 2. Módulo de elasticidade dos materiais .......................................................... I
Tabela 3. Pressão ....................................................................................................... I
Tabela 4. Peso específico dos materiais .................................................................... II
Tabela 5. Coeficiente de dilatação térmica dos materiais........................................... II
Tabela 6. Limites de escoamento e de ruptura de alguns materiais .......................... III
Tabela 7. Tipos de apoios ou suportes de estruturas ................................................. 6
Tabela 8. Tipos de carregamentos de estruturas e suas aplicações .......................... 8
Tabela 9. Classificação das vigas .............................................................................. 9
Tabela 10 – Tabela de cálculo .................................................................................. 86
Tabela 11 – Tabela de cálculo .................................................................................. 87
Tabela 12 - Tabela de cálculo ................................................................................ 154
Tabela 13 – Tabela de cálculo ................................................................................ 155
Tabela 14 – Tabela de cálculo ................................................................................ 157
Tabela 15 – Tabela de cálculo ................................................................................ 159

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Parafusos usados no acoplamento duma estrutura metálica submetidos
à tensão. ..................................................................................................................... 1
Figura 1.2 - Campo de aplicação da resistência dos materiais .................................. 3
Figura 1.3 - Solicitação estática .................................................................................. 5
Figura 1.4 - Solicitação variável .................................................................................. 6
Figura 1.5 - Exemplo 1.1 .......................................................................................... 11
Figura 1.6 - Exemplo 1.2 .......................................................................................... 12
Figura 2.1 - Análise de forças internas [Fonte: WELZK, Frank-Joachim] ................. 13
Figura 2.2 - Sentido positivo dos momentos e das rotações .................................... 14
Figura 2.3 - Coordenadas cartesianas...................................................................... 14
Figura 2.4 - Classificação dos esforços internos ...................................................... 15
Figura 2.5 - Esforços seccionais ............................................................................... 15
Figura 2.6 - Acção dos esforços seccionais [Fonte: WELZK, Frank-Joachim] ......... 16
Figura 2.7 - Exemplo 2.1 .......................................................................................... 18
Figura 2.8 - Exemplo 2.2 .......................................................................................... 20
Figura 2.9 - Exemplo 2.3 .......................................................................................... 21
Figura 2.10 - Exemplo 2.4 ........................................................................................ 22
Figura 2.11 - Exemplo 2.5 ........................................................................................ 24
Figura 2.12 - Cargas perpendiculares ao eixo da viga ............................................. 26
Figura 2.13 – Corte da viga por duas secções transversais ..................................... 26
Figura 2.14 - Exemplo 2.6 ........................................................................................ 33
Figura 2.15 - Exemplo 2.7 ........................................................................................ 37
Figura 3.1 - Corpo-de-prova ..................................................................................... 34
Figura3.2 - Máquinas de ensaio de tracção ............................................................. 35
Figura 3.3 - Extensômetro por resistência eléctrica .................................................. 36
Figura 4.1 - Barra prismática sob tracção ................................................................. 35
Figura 4.2 - Tensão normal na barra prismática ....................................................... 36
Figura 4.3 - Diagrama típico de um material frágil .................................................... 36
Figura 4.4 - Diagrama tensão-deformação convencional para material dúctil (aço) . 37
Figura 5.1 - Carregamentos por tracção e compressão ........................................... 42
Figura 5.2 - Tensões e deformações térmicas ......................................................... 50
Figura 6.1 - Definição das tensões ........................................................................... 59
Figura 6.2 - Barra sujeita à tracção .......................................................................... 60
Figura 6.3 - Estado monoaxial de tensão ................................................................. 61
Figura 6.4 - Estado biaxial de tensão ....................................................................... 63
Figura 6.5 - Tensões que aparecem numa faceta inclinada ..................................... 64
Figura 6.6 - Círculo de tensões ou Círculo de Mohr ................................................. 69
Figura 6.7 - Círculo de Mohr para o estado triaxial de tensão .................................. 71
Figura 7.1 - Viga em consola sob flexão................................................................... 73
Figura 7.2 - Superfície e linha neutra apresentadas num trecho de uma viga flectida
................................................................................................................................. 74
Figura 7.3 - Exemplo 7.1 .......................................................................................... 76
Figura 7.4 - Momentos e produtos de inércia ........................................................... 77
Figura 7.5 - Flexão recta........................................................................................... 88
Figura 7.6 - Flexão desviada .................................................................................... 90
Figura 7.7 - Equação da deformada ......................................................................... 93
Figura 8.1 - Torção de um veio altamente deformável ........................................... 102

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

Figura 8.2 - Ângulo de torção ................................................................................. 103
Figura 8.3 - Deformação por cisalhamento do elemento ........................................ 103
Figura 8.4 - Variação da deformação por cisalhamento ........................................ 104
Figura 8.5 - Variação da tensão de cisalhamento ao longo da recta radial da secção
transversal .............................................................................................................. 105
Figura 8.6 - Veio com secção transversal maciça .................................................. 106
Figura 8.7 - Variação da tensão de cisalhamento no veio maciço .......................... 107
Figura 8.8 - Eixo de madeira submetido à torção ................................................... 107
Figura 8.9 - Variação da tensão de cisalhamento no veio oco ............................... 109
Figura 8.10 - Exemplo 8.1 ...................................................................................... 111
Figura 8.11 - Exemplo 8.2 ...................................................................................... 111
Figura 8.12 - Exemplo 8.3 ...................................................................................... 112
Figura 8.13 - Veio em consola submetido à torção ................................................ 114
Figura 8.14 - Exemplo 8.4 ...................................................................................... 117
Figura 8.15 - ângulo de torção ................................................................................ 119
Figura 8.16 - Veio sob torção ................................................................................. 120
Figura 8.17 - Máquina de teste de torção ............................................................... 121
Figura 8.18 - Convenção de sinais do torque e do ângulo de torção ..................... 122
Figura 8.19 - Exemplo de uso de convenção de sinais .......................................... 122
Figura 8.20 - Exemplo 8.6 ...................................................................................... 124
Figura 8.21 - Problema 8.1 ..................................................................................... 126
Figura 8.22 - Problema 8.6 ..................................................................................... 132
Figura 8.23 - Problema 8.7 ..................................................................................... 133
Figura 8.24 - Estruturas estaticamente indeterminadas sob torção ........................ 138
Figura 9.1 - Viga carregada por forças e momentos............................................... 147
Figura 9.2 - Trabalho produzido pelas forças ......................................................... 148
Figura 9.3 - Exemplo 9.1 ........................................................................................ 153
Figura 9.4 - Exemplo 9.2 ........................................................................................ 154
Figura 9.5 - Exemplo 9.3 ........................................................................................ 156
Figura 9.6 - Exemplo 9.4 ........................................................................................ 158
Figura 9.7 - Exemplo 9.5 ........................................................................................ 161
Figura 9.8 - Diagramas dos esforços internos em estruturas interiormente
hiperestáticas ......................................................................................................... 163
Propriedades Mecânicas dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

I
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

Tabela 1. Coeficiente de Poisson
Material 𝝂 Material 𝝂
Aço 0,25 − 0,33 Latão 0,32 − 0,42
Alumínio 0,32 − 0,36 Zinco 0,21
Bronze 0,32 − 0,35 Pedra 0,16 − 0,34
Cobre 0,31 − 0,34 Vidro 0,25

Tabela 2. Módulo de elasticidade dos materiais
Material
Modulo de
elasticidade
𝑬 [𝑮𝑷𝒂]
Material
Modulo de
elasticidade,
𝑬 [𝑮𝑷𝒂]
Aço 210 Latão 117
Alumínio 70 Ligas de Alumínio 73
Bronze 112 Ligas de chumbo 17
Cobre 112 Ligas de estanho 41
Chumbo 17 Ligas de magnésio 45
Estanho 40 Ligas de titânio 114
Ferro 200 Magnésio 43
Zinco 96 Liga de níquel (Monel) 179
Madeira 8 − 12

Observação:
É comum encontrar-se o módulo de elasticidade em 𝑀𝑃𝑎 (megapascal):
𝐸9ç; = 2,1 × 10> 𝑀𝑃𝑎 − 𝐴ç𝑜
𝐸AB = 0,7 × 10> 𝑀𝑃𝑎 − 𝐴𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜
𝐸IJ = 1,12 × 10> 𝑀𝑃𝑎 − 𝐶𝑜𝑏𝑟𝑒

Tabela 3. Pressão
Para obter
Multiplicar 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚T 𝑘𝑃𝑎 𝑚𝑚𝐻𝑔 𝑎 0℃ 𝑝𝑠𝑖
𝒂𝒕𝒎 1,0332 101,3171 760 14,696
𝒃𝒂𝒓 1,019716 100 750,062 14,50368
𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎𝟐 − 98,03922 735,5592 14,22334
𝒌𝑷𝒂 0,01020 − 7,5006 0,14504
𝒎𝒎𝑯𝒈 𝒂 𝟎℃ 0,001360 0,133322 − 0,019337
𝒑𝒔𝒊 0,070307 6,89465 51,715 −

Propriedades Mecânicas dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

Tabela 4. Peso específico dos materiais
Material Peso específico
𝜸 [𝑵/𝒎𝟑] Material Peso específico
𝜸 [𝑵/𝒎𝟑]
Aço 7,70 × 10j Gasolina 15℃ 0,83 × 10j
Água destilada 0,98 × 10j Gelo 0,88 × 10j
Alvenaria de tijolo 1,47 × 10j Graxa 0,90 × 10j
Alumínio 2,55 × 10j Latão 8,63 × 10j
Bronze 8,63 × 10j Leite 15℃ 1,02 × 10j
Borracha 0,93 × 10j Magnésio1,72 × 10j
Cal hidratado 1,18 × 10j Níquel 8,50 × 10j
Cerveja 1,00 × 10j Ouro 18,95 × 10j
Cimento em pó 1,47 × 10j Papel 0,98 × 10j
Concreto 2,00 × 10j Peroba 0,78 × 10j
Cobre 8,63 × 10j Pinho 0,59 × 10j
Cortiça 0,24 × 10j Platina 20,80 × 10j
Chumbo 11,0 × 10j Porcelana 2,35 × 10j
Diamante 3,43 × 10j Prata 9,80 × 10j
Estanho 7,10 × 10j Talco 2,65 × 10j
Ferro 7,70 × 10j Zinco 6,90 × 10j

Tabela 5. Coeficiente de dilatação térmica dos materiais
Material
Coeficiente de
dilatação térmica
𝜶 [ ℃l𝟏]
Material
Coeficiente de
dilatação térmica
𝜶 [ ℃l𝟏]
Aço 1,2 × 10l> Latão 1,87 × 10l>
Alumínio 2,3 × 10l> Magnésio 2,6 × 10l>
Bronze 1,87 × 10l> Níquel 1,3 × 10l>
Borracha a 𝟐𝟎℃ 7,7 × 10l> Ouro 1,4 × 10l>
Chumbo 2,9 × 10l> Platina 0,9 × 10l>
Cobre 1,67 × 10l> Prata 2,0 × 10l>
Estanho 2,6 × 10l> Tijolo 0,6 × 10l>
Ferro 1,2 × 10l> Porcelana 0,3 × 10l>
Zinco 1,7 × 10l> Vidro 0,8 × 10l>

Propriedades Mecânicas dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

III

Tabela 6. Limites de escoamento e de ruptura de alguns materiais
Material Limite de escoamento
𝜎o [𝑀𝑃𝑎]
Limite de ruptura
𝜎p [𝑀𝑃𝑎]
Aços
ASTM-A36 (0,25-0,30%C) 250 400 − 500
ASTM-A570 (0,25%C) 230 360
SAE 1008 (0,08%C) 170 305
SAE 1010 (0,10%C) 180 325
SAE 1020 (0,10%C) 210 380
SAE 1045 (0,45%C) 310 560
Ferro fundido
Cinzento − 200
Branco − 450
Preto – F − 350
Preto – P − 550
Nodular − 670
Matérias não ferrosos
Alumínio 30 − 120 70 − 230
Duralumínio 100 − 420 200 − 500
Cobre 60 − 320 230 − 350
Bronze ao níquel 120 − 650 300 − 750
Magnésio 140 − 200 210 − 300
Titânio 520 600
Zinco − 290
Materiais não metálicos
Borracha − 20 − 80
Concreto − 0,8 − 7
Madeira
Pinho − 100 − 120
Eucalipto − 100 − 150
Plásticos
Nylon − 80
Vidro
Vidro plano − 5 − 10

Observação: o aço SAE 1045 não é usado na estrutura propriamente dita, mas
somente nos esticadores de tirante dela.
Para aços usados em estruturas metálicas não são desejados teores de
carbono médios ou altos. Os teores devem estar entre 𝟎, 𝟏𝟎 − 𝟎, 𝟑𝟎% de Carbono,
por permitirem solda eléctrica sem cuidados especiais.

ASTM – American Society of Testing Materials
SAE – Society of Automotive Engineers
ISO – International Organization of Standardization

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

Vós servos, sujeitai-vos com todo o temor ao Senhor, não somente ao bom
e humano, mas também ao mau; porque é coisa agradável
que alguém, por causa da consciência para com Deus,
sofra agravos, padecendo injustamente
1Pedro 2: 18-19
Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

1
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações
entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças
internas que actuam dentro do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo da
deformação do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando ele está submetido a
forças externas.
No projecto de qualquer estrutura ou máquina é necessário primeiro usar os
princípios da estática para determinar as forças que actuam tanto sobre como no
interior de seus vários membros. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua
estabilidade dependem não só das cargas internas como também do tipo de material
do qual esses elementos são feitos. Assim, a determinação precisa e a compreensão
do comportamento do material são de vital importância para o desenvolvimento das
equações usadas na resistência dos materiais. Observe que muitas fórmulas e
procedimentos de projecto, definidos nas normas da engenharia e usados na prática,
baseiam-se nos fundamentos da resistência dos materiais e, por essa razão,
compreender os princípios dessa matéria é muito importante.

Figura 1.1 - Parafusos usados no acoplamento duma estrutura metálica submetidos à tensão.

Na Resistência dos materiais são estudados corpos sólidos submetidos à
acção de forças exteriores, os quais se encontram no estado de equilíbrio. Por
Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

2
conseguinte, a teoria de Resistência dos Materiais baseia-se de uma maneira geral
nas leis e nos teoremas da mecânica geral, e em particular nas leis da Estática. Sem
o conhecimento profundo daquelas leis o estudo da Resistência dos Materiais é
impossível.
Deveremos, no entanto, abandonar a hipótese de um corpo totalmente rígido e
considerar nos nossos estudos os estados de tensão e de deformação internos
produzidos pela carga exterior que determinam as dimensões necessárias para os
elementos estruturais. O objectivo da resistência dos materiais consiste em elaborar
e pôr à disposição dos projectistas as bases para a determinação dos estados de
tensão e de deformação e para o dimensionamento dos elementos estruturais
técnicos, considerando ao mesmo tempo uma segurança suficiente e um óptimo
aproveitamento do material (Optimização).

1.1. Importância e Aplicação da Resistência dos Materiais
A Resistência dos Materiais é muito importante para a formação dos
engenheiros. Seus métodos são necessários aos projectistas de estruturas
marítimas, aos engenheiros civis e aos arquitetos no projecto de pontes e edifícios,
aos engenheiros mecânicos e químicos para o projecto de mecanismos e de
reservatórios sob pressão, aos metalúrgicos, aos eletricistas, etc.
Em todas as construções de engenharia, as partes de uma estrutura devem
ser devidamente proporcionadas para resistir às cargas que agem sobre elas. Como
exemplo podem-se citar: as paredes de um reservatório sob pressão devem resistir à
pressão interna; as lajes de piso de um edifício devem suportar o seu peso próprio e
a devida sobrecarga; o veio de uma máquina deve ter dimensões adequadas para
transmitir o momento de torção especificado; a asa de um avião deve suportar com
segurança as cargas aerodinâmicas que agem sobre ela durante o voo ou na
aterrissagem.
Esse assunto vem sendo estudado há muitos anos, como é possível verificar
nos famosos trabalhos de Leonardo da Vinci (1452-1519) e Galileo Galilei (1564-
1642) que fizeram diversas experiências para a determinação da resistência de
cabos, barras e vigas, sem contudo desenvolver qualquer estudo teórico para explicar
os resultados de seus experimentos. A eles seguiram-se outros estudiosos como
Leonard Euler (1701-1783), Coulomb, Poisson, Navier, Saint Venant e Cauchy que,
por sua vez, desenvolveram teorias fundamentais.

Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

Figura 1.2 - Campo de aplicação da resistência dos materiais

1.2. Conceitos principais da resistência dos materiais

O problema fundamental da resistência dos materiais é o dimensionamento
de estruturas, das máquinas e dos equipamentos em geral, bem como dos seus
elementos e a apresentação do respectivo certificado de segurança. Isto significa:

§ Uma comparação das solicitações máximas possíveis esperadas com as
solicitações admissíveis dos materiais usados;

§ A determinação do estado de deformação das construções, uma vez que pelo
seu dimensionamento devem ser garantidas não só uma segurança suficiente
mas também deformações dentro de limites determinados;

§ A garantia da estabilidade das estruturas;

§ A economia dos materiais disponíveis.

Ao contrário da estática onde são estudadas apenas as resultantes as forças
internas aplicadas em qualquer secção transversal de um elemento estrutural, na
resistência dos materiais não só se determinam os valores e as direcções das forças
internas mas também a sua distribuição sobre assecções transversais. As forças
internas, no entanto, só podem ser determinadas independentemente das
deformações no caso de estruturas isostáticas. Todavia, a maioria dos problemas é
hiperestática de modo que só tendo em conta deformações se podem determinar as
forças internas.
A relação entre as forças internas e as deformações provocadas pelo
carregamento determina-se pelas leis da teoria de elasticidade, das quais a mais
simples é a “Lei de Hooke”. O cientista Hooke estabeleceu em 1676 a tese seguinte:
“quão é a deformação, tal é a força”. Isto significa que a deformação é directamente
proporcional à força actuante. Esta proporcionalidade constitui a base para a
Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

4
aplicabilidade do “Princípio de Sobreposição”. Em conformidade com esse
princípio, as deformações e as forças internas são independentes da ordem temporal
da aplicação das forças externas. Isto significa que no caso de se aplicarem várias
forças num Sistema, as forças internas, as tensões e as deformações produzidas por
cada uma das forças se determinam separadamente, obtendo-se o resultado final
como soma vectorial dos resultados parciais.

Princípio de Sobreposição

As dimensões geométricas de um corpo real variam devido à acção de forças
externas. Ao retirar a carga as dimensões restabelecem-se total ou parcialmente. A
propriedade dos corpos de restabelecer as suas dimensões geométricas denomina-
se “elasticidade”.
Em conformidade com isso, os materiais que obedecem à lei de Hooke são
considerados como elásticos. Na realidade, verificam-se nos corpos reais, maiores
ou menores desvios de elasticidade absoluta. Os desvios aumentam com os valores
das cargas actuantes. As deformações residuais irreversíveis são denominadas
plásticas e a sua existência torna necessária a aplicação das leis da “Plasticidade”.
Nos materiais poliméricos e nos elementos estruturais submetidos a temperaturas
elevadas ocorre o fenómeno da “Viscoelasticidade”, isto é, sob a acção de cargas
constantes, as deformações variam com a duração do carregamento. Na nossa
abordagem limitar-nos-emos a deformações absolutamente elásticas. Os problemas
da plasticidade e da viscoelasticidade não serão analisados.
Para além disso, pressuporemos deformações pequenas quando
comparadas com as dimensões dos elementos estruturais. Como abandonamos a
hipótese fictícia do corpo rígido, deveriam também ser estabelecidas, com rigor, as
condições de equilíbrio no corpo deformado. No entanto, como trataremos apenas
deformações pequenas, continuaremos a estabelecer as condições de equilíbrio dos
elementos não deformados. Fala-se neste caso da “teoria da primeira ordem”, que
traz consigo simplificações consideráveis.
No caso de carregamentos com sequência, deve-se aplicar cada uma das
cargas na estrutura não deformada, isto é, cada carga seguinte carrega a estrutura
da mesma maneira como a carga inicial. Por isso, pode ser alterada a ordem de
aplicação das cargas.
No entanto, para alguns problemas, por exemplo, os de estabilidade, a teoria
da primeira ordem não tem aplicação. Nesse caso, as condições de equilíbrio
estabelecem-se obrigatoriamente com a estrutura deformada, porque são admitidas
nestes problemas deformações grandes (teoria da segunda ou terceira ordem).
Então, para esses casos, há que considerar a presença de termos que na teoria da
primeira ordem se consideram desprezíveis.
Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

5
Na Resistência dos Materiais, assim como em qualquer outro ramo das
ciências, o estudo da resistência de um objecto real começa com a determinação de
um “esquema de cálculo” ou “modelo de cálculo”, que significa frequentemente
uma certa simplificação do problema. Esta simplificação torna-se necessária em todos
os casos, uma vez que se verifica a impossibilidade de solucionar um problema
considerando todas as suas particularidades, por serem em número ilimitado.
Portanto, desprezaremos tudo o que se revela como secundário em relação
ao essencial, isto é, não tomaremos em conta as particularidades sem importância
respeitante à resistência da estrutura. Em relação às propriedades mecânicas dos
elementos estruturais basear-nos-emos nas seguintes suposições:
§ Todos os materiais são considerados como meios contínuos e homogéneos,
independentemente das particularidades da sua microestrutura. Um material é
homogéneo quando as suas propriedades não dependem do volume do
corpo. Disto provém o conceito do meio contínuo. Um meio contínuo
caracteriza-se pela ocupação contínua de todo o volume que lhe é atribuído;

§ Supõe-se que o material tenha as mesmas propriedades em todas as
direcções, isto é, seja isotrópico. Isto significa que as propriedades de um
corpo destacado de um meio contínuo não dependem da sua orientação
angular original dentro deste meio. Embora cada cristal de um metal, tomado
separadamente, seja anisotrópico, o metal no seu total é considerado
isotrópico, uma vez que o volume real contém um grande número de cristais
dispostos aleatoriamente. Porém, existem também materiais anisotrópicos
como, por exemplo, a madeira, cujas propriedades dependem da orientação
das fibras.

Introduzem-se frequentemente simplificações na geometria dos corpos reais
considerando-os compostos de corpos regulares da estereometria (cubos,
paralelepípedos, cilindros, esferas, etc.). Dependerá, pois, da experiência prática do
engenheiro, na medida em que consiga separar o secundário do essencial, facilitar o
trabalho sem desobedecer as exigências práticas estabelecidas ou requeridas no
modelo real. Por outro lado, o engenheiro deve contar sempre com os perigos
possíveis que podem resultar do seu trabalho para a saúde e a vida dos outros, bem
como para a economia do país e proteção do meio ambiente.
Se não fizer outra referência, suporemos que a
carga atinja o seu valor final muito devagar, não
instantaneamente, crescendo do valor zero até ao seu
valor final, como está representado na Figura 1.3. Nesta
condição o elemento estrutural dispõe do tempo
necessário para formar em cada momento o estado de
equilíbrio entre as forças externas e internas. Fala-se,
neste caso, de uma solicitação estática. Figura 1.3 - Solicitação estática
Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

6
As cargas introduzidas rapidamente provocam vibrações e aumentam os
esforços até ao dobro (Figura 1.4.a). Sob a acção de choques ou impulsos os esforços
podem alcançar um múltiplo da solicitação estática (Figura 1.4.b). Conhece-se
também, sobretudo devido à acção de máquinas, solicitações periódicas (Figura
1.4.c) que levam à fadiga dos materiais. Para além disso, surgem, por vezes,
solicitações totalmente irregulares, não estacionárias, acidentais (Figura 1.4.d) que
são produzidas, por exemplo, pelos carros sobre pontes ou pelo vento que actua nas
estruturas da engenharia civil.

Figura 1.4 - Solicitação variável
O nosso estudo da resistência dos materiais limitar-se-á ao estudo das
solicitações estáticas em estruturas isostáticas e hiperestáticas.

1.3. Tipos de apoios ou suportes

A tabela a seguir ilustra os tipos de apoios e suportes convencionais que
passaremos a usar nos capítulos seguintes para efectuar o estudo das estruturas
submetidas a vários tipos de solicitação.

Tabela 7. Tipos de apoios ou suportes de estruturas
Tipo de Apoio Reacções de apoio
Cabo – neste tipo de apoio aparece
apenas uma reacção (tracção) na
direcção do cabo.

Uma incógnita: 𝑭

Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

7
Apoio móvel - neste tipo de apoio
aparece apenas uma reacção.

Uma incógnita: 𝑭

Plano inclinado - neste tipo de apoio
aparece apenas umareacção
perpendicular ao plano.

Uma incógnita: 𝑭

Apoio fixo - neste tipo de apoio
aparecem duas reacções de apoio nos
eixos ortogonais.

Duas incógnitas: 𝑭𝒛 𝒆 𝑭𝒚

Pino interno - neste tipo de apoio
aparecem duas reacções de apoio nos
eixos ortogonais.

Duas incógnitas: 𝑭𝒛 𝒆 𝑭𝒚

Encastramento - neste tipo de apoio
aparecem duas reacções nos eixos
ortogonais e um momento flector.

Três incógnitas: 𝑭𝒛 , 𝑭𝒚 𝒆 𝑴𝒙

1.4. Tipos de carregamentos e suas aplicações

Na tabela a seguir apresentam-se alguns carregamentos típicos de estruturas
na prática de engenharia e as suas respectivas reacções nos apoios.
Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

8
Tabela 8. Tipos de carregamentos de estruturas e suas aplicações
Tipo de carregamento Reacções nos apoios
Forças concentradas

Carga uniformemente distribuída

Carga uniformemente variável

Momento concentrado

Observações:
§ Para o cálculo das reacções de apoio, a carga uniformemente distribuída é
substituída por uma força concentrada equivalente 𝑸 igual a área da figura
geométrica descrita pela carga e que passa pelo seu centroide: 𝑄 = 𝑞. 𝑙

Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

9
§ Para o cálculo das reacções de apoio, a carga uniformemente variável é
substituída por uma força concentrada equivalente 𝑸 igual a área da figura
geométrica descrita pela carga e que passa pelo seu centroide: 𝑄 = (𝑞. 𝐿)/2

§ Para o cálculo das reacções de apoio, o binário de forças pode ser substituído
por um momento correspondente 𝑴 no polo, que será igual à força multiplicada
pela distância entre as forças que formam o binário: 𝑀 = 𝐹. 𝑎

1.5. Classificação das vigas

Na tabela a seguir apresentam-se algumas classificações típicas de vigas na
prática de engenharia.

Tabela 9. Classificação das vigas
Classificação das vigas
§ Vigas simplesmente apoiadas

§ Viga bi-encastrada

§ Viga encastrada-apoiada

Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

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10
§ Viga em consola

§ Viga em balanço nas duas extremidades

1.6. Cálculo das reacções de apoio em estruturas isostáticas

O cálculo das reacções de apoio em estruturas isostáticas é feito apenas
estabelecendo as condições de equilíbrio da estrutura, que genericamente são:
§ →: o somatório de todas as forças que agem no sentido horizontal (x ou z) deve
igual a zero.

§ ↑: o somatório de todas as forças que agem no sentido vertical (y) deve ser
igual a zero.

§ ↺ 𝑨 𝑜𝑢 ↻ 𝑨: o somatório dos momentos no sentido indicado em relação a um
ponto qualquer (A) escolhido convenientemente, deve ser igual a zero.

Nota: pode-se, também, estabelecer-se duas condições de equilíbrio fazendo-
se o somatório dos momentos em relação a dois pontos quaisquer (A e B) e
estabelecer-se a condição de equilíbrio de forças apenas numa direcção, tendo-se
assim, as três condições de equilíbrio gerais.

Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

11
Exemplo 1.1

Para a estrutura representada na Figura 1.5, pede-se para determinar as
reacções nos apoios, negligenciando o peso da viga.
Dados: 𝐹 = 4 𝑘𝑁; 𝑞 = 2𝑘𝑁/𝑚; 𝑎 = 1 𝑚; 𝑏 = 0,5 𝑚

Figura 1.5 - Exemplo 1.1

Solução

Passo 1. Antes de estabelecer as condições de equilíbrio, é necessário fazer o
diagrama de corpo livre, substituindo-se o binário de forças por um momento
concentrado:

Passo 2. Cálculo do momento concentrado:
𝑀 = 𝐹 × 𝑏 = 4 × 0,5 = 2 𝑘𝑁.𝑚

Passo 3. Cálculo das reacções nos apoios
⟶: 𝐴� = 0 𝑨𝒛 = 𝟎
↑ : 𝐴� + 𝐵 − 𝑞. 𝑎 − 𝐹 = 0 𝑨𝒚 = −𝟎, 𝟓 𝒌𝑵
𝐴 ↺ : 𝐵. 2𝑎 +
1
2𝑞. 𝑎
T − 𝑀 − 𝐹. 3𝑎 = 0 𝑩 = 𝟔, 𝟓 𝒌𝑵
Capítulo 1 - Introdução à Resistência dos Materiais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Eng.º M. A. Mazoca

Exemplo 1.2
Para a estrutura representada na
Figura 1.6, pede-se para
determinar as reacções nos apoios,
negligenciando o peso da viga.
Dados: 𝐹 = 𝑞. 𝑙 ; 𝑞 = 1𝑘𝑁/𝑚
𝑙 = 1500 𝑚𝑚 ;
1
3 𝑙 = 500 𝑚𝑚
Solução

Passo 1. Antes de estabelecer as condições de equilíbrio, é necessário fazer o
diagrama de corpo livre:

Passo 2. Cálculo das reacções de apoio:
→: 𝐴� − 𝐹 = 0 𝐴� = 𝐹 = 𝑞𝑙 𝑨𝒛 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑵
↑ : 𝐴� − 𝑞𝑙 = 0 𝐴� = 𝑞𝑙 𝑨𝒚 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑵
↻ 𝐴: 𝑀A +
1
2𝑞𝑙
T −
1
3𝐹𝑙 = 0 𝑀A =
1
3𝑞𝑙
T −
1
2 𝑞𝑙
T 𝑴𝑨 = 𝟑𝟕𝟓 𝑵.𝒎

Figura 1.6 - Exemplo 1.2

Porque sai o sol com ardor, e a erva seca, e a sua flor cai, e a formosa aparência
do seu apecto perece: assim se murchará, também,
o rico, nos seus caminhos. – Tiago 1:1

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

13
CAPÍTULO 2. ESFORÇOS NUMA SECÇÃO TRANSVERSAL

2.1. Princípio de corte

Embora comummente o problema da determinação dos esforços numa secção
e dos seus diagramas se considere como parte da estática, queremos tratá-lo
pormenorizadamente antes de chegarmos ao próprio assunto da "Resistência dos
materiais", tendo em conta a importância básica que cabe àquele problema.
Na estática estudámos como as forças exteriores aplicadas num corpo se
distribuem pelos apoios. Como estruturas isostáticas determinamos facilmente,
usando equações de equilíbrio, as reacções de apoio como funções das forças
externas aplicadas ao corpo.
Queremos investigar, agora, como o corpo sólido está em condições de
transmitir as cargas exteriores aos apoios, como se realiza a comunicação entre as
forças exteriores e as reacções de apoio. Esta comunicação resulta da acção das
forças internas, provocadas pelo carregamento da estrutura, que se opõem à
deformação e garantem a ligação interna dos corpos solicitados. Trata-se de forças
internas de coesão molecular que só se manifestam se o corpo for seccionado.
Para investigarmos as forças internas imaginemos um corpo qualquer, sob a
acção de um sistema de forças que satisfaça às condições de equilíbrio, seccionado
por uma superfície plana (Figura 2.1).

Figura 2.1 - Análise de forças internas [Fonte: WELZK, Frank-Joachim]

As acções moleculares exercidas pela parte direita (parte B) sobre a parte
esquerda (A) manifestam-se através da força resultante R, que passa pelo ponto de
referência S, e do momento resultante M, relacionado com o mesmo ponto, e
equilibram, evidentemente, a acção das forças F1 e F2.
Da mesma maneira, as forças internas actuantes sobre a parte direita
representam a acção das forças exteriores aplicadas na parte esquerda e equilibram
a acção das forças que se aplicam na parte direita. Portanto, pode-se determinar a
resultante R e o momento M indiferentemente, a partir das forças exteriores situadas
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

14
à esquerda do ponto de corte ou a partir das forças situadas à direita da secção,
invertendo-se, apenas os sentidos ao mudar o lado da secção considerada.
Para facilitar o estudo posterior é mais cómodo escolher como ponto de
referência S o centro de gravidade da secção transversal. A resultante R e o momento
M aplicados em cada parte do corpo seccionado são, pelas condições de equilíbrio,
iguais e opostos.
O método de seccionar o corpo para que asforças internas surjam
explicitamente é denominado “princípio do corte”.
Para determinar facilmente o esforço interno em cada secção seccionada
deve-se decompor a força resultante R e o momento resultante M em componentes
segundo direcções distintas que são as direcções dos eixos das coordenadas usadas.
Portanto, torna-se necessário estabelecer convenções sobre o sistema de
coordenadas e sobre os sinais a adoptar em todos os capítulos seguintes, quando em
contrário nada for assinalado.
Aplicaremos coordenadas cartesianas que formam um triedro de referência
sinistrógiro ou direito (Figura 2.3). A posição espacial do sistema de coordenadas
é arbitrária, mas em geral fixa-se de modo que o eixo 𝒛 coincida com o eixo do corpo
em questão.
O sinal ⨀ significa que o vector unitário que define o terceiro eixo se orienta de
trás para a frente do plano da figura.
O sinal ⊗ indica que o eixo está orientado para trás da figura.

Figura 2.3 - Coordenadas cartesianas

Definimos como “sentido positivo dos momentos e das rotações” o sentido
da rotação de um saca-rolhas quando progride segundo o sentido positivo do eixo
considerado (Figura 2.2).

2.2. Classificação dos esforços internos

As forças e os momentos internos serão considerados positivos se os seus
vectores têm os sentidos positivos dos respectivos eixos coordenados quando a
normal exterior da secção transversal em que actuam também tem sentido positivo,
Figura 2.2 - Sentido positivo dos
momentos e das rotações
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

15
ou quando os ditos vectores têm sentidos opostos aos dos eixos em causa, se a
normal exterior também tem sentido oposto ao eixo positivo (Figura 2.4).

Figura 2.4 - Classificação dos esforços internos
Decompondo a resultante R e o momento M da Figura 2.1 em componentes
segundo os eixos das coordenadas x, y e z obtêm-se os seguintes esforços
seccionais (Figura 2.5):

Figura 2.5 - Esforços seccionais
§ Esforço normal N, cuja tendência é comprimir (sinal negativo) ou traccionar
(sinal positivo, Figura 2.6.a) a secção.

§ Esforços transversos 𝑻𝒙 𝒆 𝑻𝒚, cuja tendência é cortar a secção ou provocar
o deslizamento mútuo das secções (Figura 2.6.b).

§ Momento torçor 𝑴𝒕, cuja tendência é torcer a secção em torno da sua normal
(Figura 2.6.c).

§ Momentos flectores 𝑴𝒙 𝒆 𝑴𝒚, cuja tendência é girar a secção em torno dos
eixos localizados no seu próprio plano, x e y respectivamente, comprimindo
uma parte da secção transversal e distendendo (traccionando) a outra (Figura
2.6.d).
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

16
Algumas das componentes de R e M representadas na Figura 2.5 são dirigidas
contrariamente aos sentidos positivos dos eixos coordenados, sendo por isso
designadas por sinais negativos.
O esforço normal N é um esforço actuando na direcção do eixo do corpo,
portanto, normalmente ao plano da secção transversal. E a soma algébrica das
projecções das forças exteriores situadas de um mesmo lado da secção, sobre a
normal à mesma.

Figura 2.6 - Acção dos esforços seccionais [Fonte: WELZK, Frank-Joachim]
Os esforços transversos T são esforços actuando perpendicularmente ao
eixo do corpo, portanto, no plano da secção transversal. São determinados pelas
somas algébricas das projecções das forças exteriores situadas de um mesmo lado
da secção, sobre os eixos coordenados localizados no plano da mesma.
O momento torçor 𝑴𝒕 é um esforço provocado por um conjugado que actua
no plano da secção transversal. É a soma algébrica dos momentos, em relação ao
eixo do corpo, das forças exteriores situadas de um mesmo lado da secção.
Os momentos flectores M são esforços provocados por conjugados que
actuam nos planos perpendiculares ao plano da secção, definidos pelo eixo do corpo
e por cada um dos outros dois eixos coordenados. São as somas algébricas das
projecções, sobre os eixos coordenados localizados no plano da secção transversal,
dos momentos das forças situadas de um mesmo lado da secção, em relação ao
centro de gravidade da mesma.

2.3. Classificação dos esforços internos numa secção em estruturas
planas

Na prática da engenharia as estruturas possuem, frequentemente, um plano
de simetria no qual estão situados todos os eixos dos elementos estruturais e todas
as forças exteriores. Limitemo-nos, por isso, primeiramente, à determinação analítica
dos esforços seccionais de estruturas planas carregadas no plano de simetria 𝒚𝒛.
Os esforços dependem do ponto de corte, quer dizer, são funções das
chamadas "coordenadas de trecho z" a introduzir. Os seus valores podem ser
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

17
determinados para qualquer secção, aplicando as condições de equilíbrio. Como nas
secções em que há descontinuidades da carga ou variações bruscas da direcção do
eixo do elemento estrutural ou da área da secção transversal aparecem também
descontinuidades nas funções dos esforços, é conveniente, subdividir a estrutura em
vários trechos, que começam e terminam nesses pontos de descontinuidade. Ao
subdividir a estrutura em vários trechos, pode-se introduzir para cada trecho "𝒊" uma
coordenada "𝒛𝒊", ou utilizar uma só coordenada geral "𝒛". O segundo método apenas
se aplica em estruturas não ramificadas e sem variações bruscas das secções
transversais e das direcções dos eixos dos seus elementos estruturais.
Com o fim de obtermos para cada trecho as representações analíticas das leis
de variação dos esforços como funções da coordenada 𝒛, imaginemos,
sucessivamente dentro de cada trecho, a estrutura cortada em qualquer secção e
introduzamos os esforços positivos no lugar de corte, estabelecendo, ainda, as
condições de equilíbrio para a parte cortada, ou para a parte restante da estrutura.
Para isso é necessário determinar previamente as reacções de apoio.
A seguir tem-se a resolução de
alguns problemas elucidativos, que
acredita-se serem suficientes para a
melhor compreensão da matéria deste
capítulo. Começaremos por estudar os
esforços internos da estrutura
apresentada no Exemplo 1 do Capítulo 1.
Antes de começarmos a
resolução dos problemas, é necessário
definir as direcções e os sentidos
convencionais dos esforços internos que
surgem quando seccionamos a viga.
Estas convenções são ilustradas na
figura ao lado, para as diferentes
orientações do eixo da viga (vertical ou
horizontal).

Exemplo 2.1
Para a estrutura representada na Figura 2.7, pede-se para determinar as
reacções nos apoios, negligenciando o peso da viga.
Dados: 𝐹 = 4 𝑘𝑁; 𝑞 = 2𝑘𝑁/𝑚; 𝑎 = 1 𝑚; 𝑏 = 0,5 𝑚

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

Figura 2.7 - Exemplo 2.1

Solução:

Passo 1. Fazemos o diagrama de corpo livre, arbitrando-se os sentidos das
reacções nos apoios e calcular as reacções de apoio em função das cargas
externas. Como no capítulo anterior esse trabalho já foi feito, a seguir
apresenta-se apenas o diagrama de corpo livre e os resultados das reacções.

𝑨𝒛 = 𝟎 𝑨𝒚 = −𝟎, 𝟓 𝒌𝑵 𝑩 = 𝟔, 𝟓 𝒌𝑵

Passo 2. Subdividimos a estrutura em trecho, com base nos pontos de
descontinuidade, e introduzimos uma coordenada 𝒛𝟏 , 𝒛𝟐 , 𝒛𝟑 e 𝒛𝟒 para cada
trecho como se mostra na figura a seguir:

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

19 19
Passo 3. Cortamos a estrutura sucessivamente dentro dos trechos, introduzimos
os esforços respeitantes e estabelecemos as condições de equilíbrio.

§ Trecho 1
⟶: 𝑁� = 0
↓: 𝑇� + 𝑞. 𝑧� = 0
𝑧� ↺ : 𝑀� +
1
2𝑞𝑧�
T = 0

𝑁� = 0
𝑇� = −2𝑧�
𝑀� = −𝑧�T

§ Trecho 2⟶: 𝑁T = 0
↓ : 𝑇T + 𝑞. 𝑎 − 𝐴� = 0
𝑧T ↺ : 𝑀T + 𝑞. 𝑎 �
1
2𝑎 + 𝑧T� − 𝐴�. 𝑧T = 0

𝑁T = 0
𝑇T = −2,5 𝑘𝑁
𝑀T = −2,5𝑧T

§ Trecho 3
⟵: 𝑁� = 0
↑ : 𝑇� − 𝐹 = 0
𝑧� ↻ : 𝑀� + 𝐹. 𝑧� = 0

⟵: 𝑁� = 0
↑ : 𝑇� − 𝐹 = 0
𝑧� ↻ : 𝑀� + 𝐹. 𝑧� = 0

§ Trecho 4
⟵: 𝑁j = 0
↑ : 𝑇j + 𝐵 − 𝐹 = 0
𝑧j ↻ : 𝑀j − 𝐵. 𝑧j + 𝐹(𝑎 + 𝑧j) = 0

𝑁j = 0
𝑇j = −2,5 𝑘𝑁
𝑀j = 2,5𝑧j − 4

Exemplo 2.2
Determinar as leis de variação dos esforços seccionais para a estrutura
representada na Figura 2.8.
Dados: 𝐹, 𝑎. 𝐹� = √2𝐹 ; 𝐹 = 𝑞𝑎 ; 𝛼 = 45°

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

20 20

Figura 2.8 - Exemplo 2.2

Solução:

Passo 1. Fazemos o diagrama de corpo livre, arbitrando-se os sentidos das
reacções nos apoios e calcular as reacções de apoio em função das cargas
externas. Podemos, também, nesta fase, subdividir a estrutura em trechos e
introduzir a coordenada 𝒛𝟏, 𝒛𝟐 e 𝒛𝟑 para cada trecho:

→: 𝐴� − 𝐹 = 0
↑ : 𝐴� + 𝐵� − 2𝑞𝑎 − 𝐹 = 0
𝐴 ↺ : 𝐵. 4𝑎 − 𝐹. 3𝑎 − 2𝑞𝑎T = 0

𝐴� = 𝐹
𝐴� =
7
4𝐹
𝐵 = 5
4𝐹

Passo 2. Cortamos a estrutura sucessivamente dentro dos trechos, introduzimos
os esforços respeitantes e estabelecemos as condições de equilíbrio.

§ Trecho 1
→: 𝐴� + 𝑁� = 0
↑ : 𝐴� − 𝑞𝑧� − 𝑇� = 0
𝑧� ↺ : 𝑀� + 𝑞
𝑧�T
2 − 𝐴�𝑧� = 0

𝑁� = −𝐹
𝑇� =
7
4𝐹 − 𝑞𝑧�
𝑀� =
7
4𝐹𝑧� − 𝑞
𝑧�T
2

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

21 21
§ Trecho 2
↑ : 𝐴� − 2𝑞𝑎 − 𝑇T = 0
→ : 𝐴� + 𝑁T = 0
𝑧T ↺ : 𝑀T − 𝐴�(2𝑎 + 𝑧T) + 2𝑞𝑎(𝑎 + 𝑧T) = 0

𝑇T = 𝐴� − 2𝑞𝑎 = −14𝐹
𝑁T = −𝐴� = −𝐹
𝑀T = 𝐹 �32𝑎 −
1
4 𝑧T�

§ Trecho 3
↑ : 𝐵 + 𝑇� = 0
→ : −𝑁� = 0
𝑧� ↺ : 𝐵. 𝑧� −𝑀� = 0

𝑇� = −54𝐹
𝑁� = 0
𝑀� =
5
4𝐹𝑧�

Exemplo 2.3

Para a estrutura representada
na Figura 1.6, pede-se para
determinar as equações dos
esforços internos.
Dados: 𝐹 = 𝑞. 𝑙 ; 𝑞 = 1𝑘𝑁/𝑚
𝑙 = 1500 𝑚𝑚 ;
1
3 𝑙 = 500 𝑚𝑚

Solução:

Passo 1. Fazemos o digrama de corpo livre, arbitrando-se os sentidos das
reacções nos apoios e calcular as reacções em função das cargas externas.
Podemos também, nesta fase, subdividir a estrutura em trechos e introduzir a
coordenada 𝑧� e 𝑧T para cada trecho:

Figura 2.9 - Exemplo 2.3
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

22 22
→: 𝐴� − 𝐹 = 0
↑ : 𝐴� − 𝑞𝑙 = 0
↻ 𝐴: 𝑀A +
1
2𝑞𝑙
T − 13𝐹𝑙 = 0

𝐴� = 𝐹 = 𝑞𝑙
𝐴� = 𝑞𝑙
𝑀A =
1
3𝑞𝑙
T − 12 𝑞𝑙
T

𝑨𝒛 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑵
𝑨𝒚 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑵
𝑴𝑨 = 𝟑𝟕𝟓 𝑵.𝒎

Passo 2. Cortamos a estrutura sucessivamente dentro dos trechos, introduzimos
os esforços respeitantes e estabelecemos as condições de equilíbrio.

§ Trecho 1
↓ : 𝑁� = 0
← : 𝑇� + 𝐹 = 0
𝑧� ↻ : 𝑀� − 𝐹𝑧� = 0

𝑁� = 0
𝑇� = −𝐹
𝑀� = 𝐹𝑧�

§ Trecho 2
←: 𝑁T + 𝐹 = 0
↑ : 𝑇T − 𝑞𝑧T = 0
𝑧T ↻:𝑀T −
1
3𝐹𝑙 +
1
2 𝑞𝑧T
T = 0

𝑁T = −𝐹
𝑇T = 𝑞𝑧T
𝑀T =
1
3𝐹𝑙 −
1
2 𝑞𝑧T
T

Exemplo 2.4

Determinar as equações
dos esforços internos para a
estrutura abaixo representada,
sendo:
Dados: 𝑞¡á£ = 3𝑞¤ ; 𝐹 = 𝑞¤𝑎

Figura 2.10 - Exemplo 2.4
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

23 23
Solução:

Passo 1. Cálculo das reacções de apoio

→: 𝐴� − 𝐹 = 0
↑ : 𝐴� −
1
23𝑞¤ . 3𝑎 = 0
𝐴 ↺ : −𝑀A −
1
23𝑞¤ . 3𝑎 .
1
3 3𝑎 − 𝐹𝑎 = 0

𝑨𝒛 = 𝑭
𝑨𝒚 = 𝟒, 𝟓 𝑭
𝑴𝑨 = −𝟓, 𝟓 𝑭𝒂

Passo 2. Determinação dos esforços internos
Subdividimos a estrutura em dois trechos e introduzimos para cada trecho “𝒊”
uma coordenada “𝒛”". Fazemos coincidir em cada vez a coordenada 𝒛 com o eixo
da parte da estrutura em causa, contando 2, quer a partir da extremidade direita
do trecho, quer da extremidade esquerda. Os sentidos dos 𝒛¥ de vários trechos
são arbitrários, podendo ser opostos. Elementos estruturais verticais são
estudados como um desenho técnico, isto é, do lado direito. Estudando cada
trecho deste modo, introduzimos os esforços positivos. Assim, para a parte do lado
esquerdo do ponto de corte, o esforço normal tem o sentido positivo para a direita,
o esforço transverso tem o sentido positivo para baixo e o momento flector tem o
sentido positivo oposto ao movimento dos ponteiros do relógio, enquanto para a
parte do lado direito do ponto de corte os sentidos são contrários.

§ Trecho 1
→: 𝑁� = 0
↑: 𝐹 − 𝑇� = 0
𝑧� ↺ : 𝑀� − 𝐹𝑧� = 0

𝑁� = 0
𝑇� = 𝐹
𝑀� = 𝐹𝑧�

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

24 24

§ Trecho 2
→: −𝑁T − 𝐹 = 0
↑ : 𝑇T − 𝑞(𝑧T)
𝑧T
2 = 0
𝑧T ↺ : −𝑀T − 𝐹𝑎 − 𝑞(𝑧T).
𝑧T
2 .
𝑧T
3 = 0

𝑁T = −𝐹 = −𝑞¤𝑎
𝑇T = 𝑞¤
𝑧TT
2𝑎
𝑀T = −𝐹𝑎 − 𝑞¤
𝑧T�
6𝑎 = −𝑞¤𝑎T − 𝑞¤
𝑧T�
6𝑎
sendo: 𝑞(𝑧T) = 𝑞¡á£.
𝑧T
3𝑎 = 𝑞¤.
𝑧T
𝑎

Exemplo 2.5
Determinar as equações
dos esforços internos para a
estrutura representada na
figura abaixo ao lado.
Dados:
𝑞, 𝑎 𝐹 = 𝑞. 𝑎

Solução:

Passo 1. Cálculo das reacções de apoio
→: 𝐴� − 𝐹 = 0
↑ : 𝐴� + 𝐵 − 4𝑞𝑎 = 0
𝐴 ↺:𝐵. 3𝑎 − 𝐹𝑎 − 𝑞. 4𝑎. 2𝑎 = 0

𝐴� = 4𝑞𝑎 − 3𝑞𝑎 = 𝑞𝑎
𝐴� = 𝐹 = 𝑞𝑎
𝐵 = 3𝐹 = 3𝑞𝑎

Figura 2.11 - Exemplo 2.5
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

25 25

Passo 2. Determinação das equações dos esforços internos

§ Trecho 1
→: 𝑇� = 0
↑ : 𝑁� + 𝐵 = 0
↺ 𝑧�: 𝑀� = 0

𝑇� = 0
𝑁� = −𝐵 = −3𝑞𝑎
𝑀� = 0

§ Trecho 2
→:𝑇T − 𝐹 = 0
↑ : 𝑁T + 𝐵 = 0
↺ 𝑧T: 𝑀T − 𝐹𝑧T = 0

𝑇T = 𝐹 = 𝑞𝑎
𝑁T = −𝐵 = −3𝑞𝑎
𝑀T = 𝐹𝑧T = 𝑞𝑎𝑧T

§ Trecho 3
←: 𝑁� = 0
↑ : 𝑇� − 𝑞𝑧� = 0
↻ 𝑧�: 𝑀� +
1
2𝑞𝑧�
T = 0

𝑁� = 0
𝑇� = 𝑞𝑧�
𝑀� = −12𝑞𝑧�
T

§ Trecho 4
→: 𝑁j + 𝐴� = 0
↓ : 𝑇j + 𝑞𝑧j − 𝐴� = 0
↺ 𝑧j: 𝑀j +
1
2𝑞𝑧j
T − 𝐴�𝑧j = 0

𝑁j = −𝐴� = −𝑞𝑎
𝑇j = 𝑞𝑎 − 𝑞𝑧j
𝑀j = 𝑞𝑎𝑧j −
𝑞𝑧jT
2

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

26 26
Analisemos agora as relações existentes entre o momento flector, o
esforço transverso e as cargas perpendiculares ao eixo da viga:
Consideremos uma distribuição qualquer da carga vertical q(z) aplicada a uma
viga (Figura 2.12). Essa carga induz na viga um esforço transverso T(z) e um
momento flector M(z).

Figura2.12 - Cargas perpendiculares ao eixo da viga
Cortamos da viga um elemento por duas secções transversais adjacentes,
distante uma da outra de dz e estabelecemos as condições de equilíbrio do elemento.
Ao passar da secção de abcissa z à secção de abcissa z+dz, variam os esforços por
valores diferenciais. Essas variações são consideradas pela primeira parcela de
correcção da série de Taylor

𝑓(𝑧 + 𝑑𝑧) = 𝑓(𝑧) +
𝑑𝑓
𝑑𝑧 𝑑𝑧 +
1
2!
𝑑T𝑓
𝑑𝑧T
(𝑑𝑧)T +⋯

Os esforços seccionais sofrem, pois, um acréscimo diferencial:

Figura 2.13 – Corte da viga por duas secções transversais
As condições de equilíbrio aplicadas no elemento cortado fornecem:
→: −𝑁(𝑧) + 𝑁(𝑧) + 𝑑𝑁 = 0
↑: 𝑇(𝑧) − 𝑇(𝑧) − 𝑑𝑇 − 𝑞(𝑧)𝑑𝑧 = 0
↺ 𝑧: − 𝑀(𝑧) + 𝑀(𝑧) + 𝑑𝑀 − 𝑇(𝑧)
𝑑𝑧
2 − 𝑇(𝑧)
𝑑𝑧
2 − 𝑑𝑇
𝑑𝑧
2 = 0
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

27 27
Desprezamos a última parcela da equação dos momentos por ser infinitamente
pequena comparada com as restantes obtemos:

⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝑁 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑑𝑇
𝑑𝑧 = −𝑞(𝑧)
𝑑𝑀
𝑑𝑧 = 𝑇(𝑧)
⇛
𝑑T𝑀
𝑑𝑧T =
𝑑𝑇
𝑑𝑧 = −𝑞(𝑧)

Percorrendo o trecho da esquerda para a direita constatamos que o esforço
transverso é a derivada do momento flector e a função da carga distribuída q(z) é a
derivada da função do esforço transverso. Disto se conclui que a função T(z)
representa a tangente à função M(z) e que a função do momento flector tem um valor
extremo nas secções em que o esforço transverso é igual a zero.
No caso em que a coordenada z vai da direita para a esquerda obtém-se a
relação:
𝑑T𝑀
𝑑𝑧T = −
𝑑𝑇
𝑑𝑧 = −𝑞(𝑧)
Como se pode facilmente verificar.

2.4. Diagramas dos esforços internos

Como os esforços calculados como funções das coordenadas 𝒛𝒊 não dão uma
ideia sobre a sua variação ao longo da viga, é conveniente usar-se uma
representação gráfica daquelas funções. Para além disso, frequentemente, como por
exemplo no processo do dimensionamento duma estrutura, basta conhecer os valores
extremos dos esforços que podem ser facilmente deduzidos das suas representações
gráficas. As representações gráficas da variação dos esforços ao longo dos eixos dos
elementos estruturais chamam-se “diagrama dos esforços” ou “linhas de estado”.
É importante conhecer pelo exame simples dos diagramas os sinais dos esforços.
Para esse fim marcam-se de um lado do eixo da viga os positivos e do outro os
negativos.
As convenções mais adoptadas são as seguintes:
1. O diagrama do momento flector é representado do lado da fibra de tracção,
isto é, tendo em conta as convenções dos sinais feitas no Capítulo 2.2, os
momentos flectores positivos são marcados do lado debaixo das vigas
horizontais e do lado direito das vigas verticais;

2. O diagrama do esforço transverso representa-se no lado oposto, quer dizer, os
esforços transversos positivos do lado de cima das vigas horizontais e do lado
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

28 28
esquerdo das verticais, enquanto os esforços transversos negativos se
representam respectivamente do lado de baixo e do lado direito das vigas
horizontais e verticais;

3. O diagrama do esforço normal é marcado em qualquer lado dos elementos
estruturais, indicando no próprio diagrama por meio dos sinais “+” e “−“as
regiões de tracção ou compressão respectivamente. Comummente aplica-se,
no entanto, a mesma regra que para o esforço transverso.

Para maior segurança também se pode indicar nos diagramas do momento
flector e do esforço transverso os sinais dos esforços. Como exemplos representamos
a seguir os diagramas correspondentes aos 3 exemplos tratados no capítulo
precedente:
Exemplo 2.1

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

29 29

Exemplo 2.2

Exemplo 2.3
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

30 30
Exemplo 2.4

Exemplo 2.5

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

31 31
Se não se precisar das expressões analíticas das funções dos esforços, os
diagramas dos esforços podem ser traçados simplesmente, renunciando às equações
dos esforços. Para esse fim, calculam-se numericamente os valores dos esforços no
início e no fim de cada trecho. Esses valores marcam-se à escala, com base nas
convenções acima estabelecidas respeitantes aos diagramas dos esforços, a partir
do eixo das estruturas. As ordenadas deste modo fixadas serão sucessivamente
ligadas entre si percorrendo cada trecho da esquerda para a direita, e considerando
as regras a seguir citadas, que têm carácter geral e objectivo didáctico e facilitam
consideravelmente o traçado dos diagramas dos momentos flectores e dos esforços
transversos:

1. Se um trecho é sujeito a nenhumas forças exteriores:

§ O diagrama do momento é uma recta;

§ O diagrama do esforço transverso passa paralelamente ao eixo do trecho

2. Se um trecho é sujeito a uma força concentrada:

§ O diagrama do momento tem um ponto angular nesta secção, cuja ponta
é orientada no sentido da força;

§ O diagrama do esforço transverso salta nesta secção. Intensidade e
direcção do salto correspondem à intensidade e ao sentido da força
aplicada.

3. Se um trecho é sujeito a uma carga uniformemente distribuída:

§ O diagrama do momento é uma parábola, cuja convexidade é orientada
no sentido da carga;

§ O diagrama do esforço transverso é uma recta inclinada.

4. Se um trecho é sujeito a uma carga triangularmente distribuída:

§ O diagrama do momento é uma parábola cúbica, cuja convexidade é
orientada no sentido da carga;

§ O diagrama do esforço transverso é uma parábola.

5. No início e no fim duma carga distribuída o diagrama do esforço transverso
tem um ponto angular (uma “quebra”), o diagrama do momento flector passa
tangencialmente da recta para a parábola.

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

32 32
6. Nas secções onde o esforço transverso muda de sinal o momento flector tem
um valor extremo.

7. Num nó rígido em que concorrem apenas duas vigas (variação brusca da
direcção do eixo da estrutura) os momentos flectores em ambos os lados do
nó são iguais (veja Figura 2.13.d).

8. No caso em que 3 ou mais vigas concorrem num nó rígido, o somatório dos
momentos flectores nestas vigas no lugar do nó é nulo.

9. Numa articulação o momento flector é nulo.

Para além disso, essas regras deveriam estar sempre presentes na apreciação
de cada caso particular, uma vez que representam provas úteis para os diagramas
construídos. Com experiência crescente o engenheiro estará em condições, com
estas bases, de desenvolver sucessivamente os diagramas sem calcular os valores
dos esforços em cada ponto de descontinuidade. O tracejado perpendicular ao eixo
estrutural dos diagramas do momento flector e do esforço transverso e o tracejado
paralelo ao eixo do diagrama do esforço normal não tem fim decorativo, servindo para
evitar dúvidas sobre o trecho a que dizem respeito.

2.5. Esforços internos numa secção em estruturas tridimensionais

Em contraposição às estruturas planas em que aparecem apenas 3 esforços
numa secção, nas estruturas espaciais teremos que considerar todos os 6 esforços
apresentados no Capítulo 2.2. As equações dos esforços são encontradas,
imaginando cortada a estrutura sucessivamente em cada trecho limitado por pontos
de descontinuidade adjacentes e estabelecendo de cada uma das vezes as 6
condições de equilíbrio do espaço tridimensional. Os esforços transversos e normal
resultam, como nas estruturas planas, da soma algébrica das componentes das
forças exteriores nas respectivas direcções. Paraa determinação dos momentos tem
de se tomar em consideração, que eles resultam da soma dos momentos produzidos
pelas componentes das forças exteriores nas duas outras direcções:
𝑀£´́´́´⃗ +¶(𝑟�·´́´́⃗ ∗ 𝐹�·´́´́ ⃗ − 𝑟�·´́´́⃗ ∗ 𝐹�·´́´́´⃗ )
¥
= 0
𝑀�´́´́ ´⃗ +¶(𝑟�·´́´́⃗ ∗ 𝐹£·´́ ´́ ⃗ − 𝑟£·´́´́⃗ ∗ 𝐹�·´́´́ ⃗)
¥
= 0
𝑀�´́´́´⃗ +¶(𝑟£·´́´́⃗ ∗ 𝐹�·´́´́´⃗ − 𝑟�·´́´́⃗ ∗ 𝐹£·´́ ´́ ⃗)
¥
= 0
Sendo 𝐹£·´́ ´́ ⃗, 𝐹�·´́´́´⃗ , 𝐹�·´́´́ ⃗ as componentes da força �⃗� segundo os eixos 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧
respectivamente �⃗� = »𝐹£·´́ ´́ ⃗, 𝐹�·´́´́´⃗ , 𝐹�·´́´́ ⃗ ¼, e os 𝑟£·´́´́⃗, 𝑟�·´́´́⃗, 𝑟�·´́´́⃗ as componentes do raio vector 𝑟, da
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

33 33
força �⃗� relacionado com a secção do corte em que consideramos situada a origem
do sistema de coordenadas 𝑟 = »𝑟£·´́´́⃗, 𝑟�·´́´́⃗, 𝑟�·´́´́⃗¼.
Por analogia com os problemas planos, em que fazemos coincidir a
coordenada do trecho 𝒛𝒊 com o eixo do elemento em questão, introduzimos nas
estruturas espaciais para cada trecho 𝒊, uma coordenada 𝒛¥ ao longo do eixo do
trecho, como está indicado na Figura 2.14. Ao estabelecer as equações dos esforços
considera-se a origem do sistema de coordenadas, inicialmente fixado,
sucessivamente situada em cada trecho nos pontos de coordenada 𝒛.

Exemplo 2.6

Para a estrutura tridimensional carregada na
sua extremidade mostrada na figura ao lado, é
necessário:
a) Calcular as reacções de apoio
b) Determinar as equações dos esforços
internos e
c) Desenhar os diagramas dos esforços.
Dados: 𝐹� = 3 𝑘𝑁, 𝐹T = 5 𝑘𝑁 𝑒 𝐹� = 20 𝑘𝑁.

Solução

§ Cálculo das reações de apoio
↑ : 𝐴� − 𝐹� = 0
→ : −𝐴� + 𝐹T = 0
↗ : 𝐴£ − 𝐹� = 0
↑↑ 𝐴: 𝑀A� − 𝐹T. 2 − 𝐹�. 0,5 = 0
→→ 𝐴: −𝑀A� − 𝐹�. 2 + 𝐹�. 3 = 0
↗↗ 𝐴: 𝑀A£ + 𝐹T. 3 + 𝐹�. 0,5 = 0

𝐴� = 20 𝑘𝑁
𝐴� = 5 𝑘𝑁
𝐴£ = 3 𝑘𝑁
𝑀A� = 11,5 𝑘𝑁𝑚
𝑀A� = −31 𝑘𝑁𝑚
𝑀A£ = −25 𝑘𝑁𝑚

Figura 2.14 - Exemplo 2.6
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

34 34
§ Determinação dos esforços internos
Trecho 1: Como a normal exterior do plano da secção transversal tem sentido positivo
(sentido do eixo coordenado z), os esforços vectores têm os sentidos dos eixos
coordenados.
→: 𝑁� + 𝐹T = 0 𝑁� = −5 𝑘𝑁
↑ : −𝑇�� − 𝐹� = 0 𝑇�� = −20 𝑘𝑁
↗ : −𝑇�£ − 𝐹� = 0 𝑇�£ = −3 𝑘𝑁
→→: 𝑀¾� = 0 𝑀¾� = 0
↑↑ : −𝑀�� − 𝐹�𝑧� = 0 𝑀�� = −20𝑧�
↗↗: −𝑀�£ + 𝐹�𝑧� = 0 𝑀�£ = 3𝑧�

Trecho 2: Como a normal exterior do plano da secção transversal tem sentido positivo
(sentido do eixo coordenado x), os esforços vectores têm os sentidos dos eixos
coordenados.

→: 𝑇T� + 𝐹T = 0 𝑇T� = −5 𝑘𝑁
↑ : −𝑇T� − 𝐹� = 0 𝑇T� = −20 𝑘𝑁
↗ : −𝑁T − 𝐹� = 0 𝑁T = −3 𝑘𝑁
→→: 𝑀T� − 𝐹�𝑧T = 0 𝑀T� = 20𝑧T
↑↑ : −𝑀T� + 𝐹�. 1 − 𝐹T𝑧T = 0 𝑀T� = 3 − 5𝑧T
↗↗: −𝑀¾T − 𝐹�. 1𝑚 = 0 𝑀¾T = −20 𝑘𝑁𝑚

Trecho 3: Como a normal exterior do plano da secção transversal tem sentido
negativo (sentido oposto ao eixo coordenado z), os esforços vectores têm sentidos
opostos aos dos eixos coordenados.

→: −𝑁� + 𝐹T = 0
↑ : 𝑇�� − 𝐹� = 0
↗ : 𝑇�£ − 𝐹� = 0
→→: −𝑀¾� − 𝐹�. 2 = 0
↑↑ : 𝑀�� − 𝐹T. 2 + 𝐹�(1 − 𝑧�) = 0
↗↗: 𝑀�£ − 𝐹�(1 − 𝑧�) = 0

𝑁� = 5 𝑘𝑁
𝑇�� = 20 𝑘𝑁
𝑇�£ = 3 𝑘𝑁
𝑀¾� = −40 𝑘𝑁𝑚
𝑀�� = 7 + 3𝑧�
𝑀�£ = 20 − 20𝑧�
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

35 35
Trecho 4: Como a normal exterior do plano da secção transversal tem sentido
negativo (sentido oposto ao eixo coordenado y), os
esforços vectores têm sentidos opostos aos dos eixos
coordenados.
→: −𝑇j� − 𝐴� = 0 𝑇j� = −5 𝑘𝑁
↑ : 𝑁j + 𝐴� = 0 𝑁j = −20 𝑘𝑁
↗ : 𝑇j£ + 𝐴£ = 0 𝑇j£ = −3 𝑘𝑁
→→: −𝑀j� − 𝑀A� + 𝐴£𝑧j = 0 𝑀j� = 31 + 3𝑧j
↑↑ : 𝑀¾j +𝑀A� = 0 𝑀¾j = −11,5 𝑘𝑁𝑚
↗↗: 𝑀j£ = +𝑀A£ + 𝐴�𝑧j = 0 𝑀j£ = 25 − 5𝑧j

§ Diagrama dos esforços seccionais

1. O diagrama do esforço normal é marcado em qualquer lado dos elementos
estruturais, indicando no próprio diagrama por meio dos sinais “+” e “-” as
regiões de tracção ou compressão respectivamente.

2. O diagrama do esforço transverso deve-se traçar tendo em
consideração o sistema de coordenadas convencional
adoptado, isto é, o esforço transverso positivo traça-se do
lado positivo do eixo e o negativo do lado negativo do eixo.

3. O diagrama do momento flector é traçado seguindo-se as seguintes
convenções:
§ Se o momento em “x” é positivo, traça-se do lado positivo
do eixo “y” ou do lado negativo do eixo “z”

§ Se o momento em “y” é positivo, traça-se do lado positivo
do eixo “z” ou do lado negativo do eixo “x”

§ Se o momento em “z” é positivo, traça-se do lado positivo
do eixo “x” ou do lado negativo do eixo “y”

§ Se o momento em “x” é negativo, traça-se do lado positivo
do eixo “z” ou do lado negativo do eixo “y”

§ Se o momento em “y” é negativo, traça-se do lado positivo
do eixo “x” ou do lado negativo do eixo “z”

§ Se o momento em “z” é negativo, traça-se do lado positivo
do eixo “y” ou do lado negativo do eixo “x”
Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

36 36
Usando as convenções acima citadas, resultam os seguintes diagramas dos esforços
seccionais:

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

37 37
Exemplo 2.7
Para a estrutura representada na Figura 2.15, pede-se para determinar as
equações dos esforços internos e as respectivas linhas de estado.
Dados: 𝐹� = 100 𝑁, 𝐹T = 150 𝑁, 𝐹� = 75 𝑁, 𝑞 = 2𝑁/𝑐𝑚 , 𝑎 = 50 𝑐𝑚

Figura 2.15 - Exemplo 2.7
Solução

§ Como se pode ver na figura, para a determinação das equações dos esforços
internos e o desenho dos respectivos diagramas, não é necessário conhecer
os valores das reacções de apoio por isso, negligenciaremos o seu cálculo.

Divisão da estrutura em trechos

Trecho 1

§ Como a normal exterior do plano da secção
transversal tem sentido positivo (sentido do
eixo coordenado x), os esforços vectores têm
os sentidos dos eixos coordenados.
↗ : −𝑁� + 𝐹T = 0 𝑁� = 𝐹T
↑ : −𝑇�� − 𝐹� = 0 𝑇�� = −𝐹�
→:𝑇�� − 𝐹� = 0 𝑇�� = 𝐹�
↗↗: −𝑀¾� = 0 𝑀¾� = 0
↑↑ : −𝑀�� + 𝐹�𝑠� = 0 𝑀�� = 𝐹�𝑠�
→→: 𝑀�� − 𝐹�𝑠� = 0 𝑀�� = 𝐹�𝑠�

Capítulo 2 – Esforços numa secção transversal
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

38 38
Trecho 2

§ Como a normal exterior do
plano da secção transversal
tem sentido negativo
(sentido oposto ao eixo
coordenado z), os esforços
vectores têm sentidos
opostos aos dos eixos
coordenados.

→: −𝑁T − 𝐹� = 0 𝑁T = −𝐹�
↗ : 𝑇T£ + 𝐹T = 0 𝑇T£ = −𝐹T
↑ : 𝑇T� − 𝐹� − 𝑞𝑠T = 0𝑇T� = 𝐹� + 𝑞𝑠T
→→: −𝑀¾T − 𝐹�. 3𝑎 = 0 𝑀¾T = −𝐹�. 3𝑎
↗↗: 𝑀T£ + 𝐹�𝑠T + 𝑞
𝑠TT
2 = 0 𝑀T£ = −𝐹�𝑠T − 𝑞
𝑠TT
2
↑↑ : 𝑀T� + 𝐹�. 3𝑎 + 𝐹T𝑠T = 0 𝑀T� = −𝐹�. 3𝑎 − 𝐹T𝑠T

Diagramas dos esforços seccionais

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

Quando, pois, deres esmola, não faças tocar trombetas diante de ti, como fazem os hipócritas nas
sinagogas e nas ruas, para serem glorificados pelos homens. Em verdade vos digo
que já receberam o seu galardão. Mas o, quando tu deres esmola,
não saiba a tua mão esquerda o que faz a tua direita,
para que a tua esmola seja dada ocultamente, e teu
Pai, que vê em secreto, te recompensará
Publicamente - Mateus 6: 2 - 4
Capítulo 3 – Comportamento Mecânico dos Materiais
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

34 34
CAPÍTULO 3. COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS MATERIAIS

A resistência de um material depende da sua capacidade de suportar a carga
sem deformação excessiva ou rotura. Essa propriedade é inerente ao próprio material
e deve ser determinada por experimento. Um dos testes mais importantes a realizar
nesse sentido é o teste de tracção ou compressão. Embora muitas propriedades
mecânicas importantes de um material possam ser determinadas por meio desse
teste, ele é usado principalmente para determinar a relação entre a tensão normal
média e a deformação normal média em muitos materiais da engenharia, tais como
metais, cerâmicas, polímeros e materiais compósitos.
Para realizar o teste de tracção ou compressão é feito um corpo de prova do
material, com o formato e tamanho “padronizados”.

Figura 3.1 - Corpo-de-prova
Antes do teste, são feitas duas pequenas marcas de punção ao longo do
comprimento do corpo-de-prova, distantes de ambas as extremidades, porque a
distribuição da tensão nas é complexa devido à fixação nos acoplamentos em que a
carga é aplicada. Medem-se, então, a área da secção transversal do corpo-de-prova
𝐴¤ e o comprimento de referência 𝐿¤ entre as marcas de punção. Por exemplo,
quando é usado um corpo-de-prova de metal em um teste de tracção, geralmente ele
tem diâmetro inicial 𝑑¤ = 13 𝑚𝑚 e um comprimento de referência 𝐿¤ = 50 𝑚𝑚. A fim
de se aplicar uma carga axial sem flexão do corpo-de-prova, as extremidades são,
em geral, assentadas em juntas universais. Uma máquina de teste, como mostrada
na Figura 3.2, é então usada para estirar o corpo-de-prova com taxa muito lenta e
constante até que ele atinja o ponto de ruptura. A máquina é projectada para ler a
carga necessária para manter o estiramento uniforme.
Capítulo 3 – Comportamento Mecânico dos Materiais
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

35 35

Figura 3.2 - Máquinas de ensaio de tracção
Os dados da carga aplicada são registados a intervalos frequentes à medida
que são lidos no visualizador digital. Além disso, mede-se o alongamento 𝛿 = 𝐿 − 𝐿¤
entre as marcas de punção no corpo-de-prova por meio de um calibre ou um
dispositivo óptico denominado extensômetro. O valor 𝛿 é então usado para calcular
a deformação normal média do corpo-de-prova. Algumas vezes, entretanto, essa
medida não é feita, visto também ser possível obter a deformação directamente, a
partir de um extensômetro por resistência eléctrica como mostrado na Figura 3.3
Capítulo 3 – Comportamento Mecânico dos Materiais
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

36 36

Figura 3.3 - Extensômetro por resistência eléctrica
A operação de tal extensômetro baseia-se na mudança da resistência eléctrica
de um arame muito fino ou pedaço de folha de metal submetido à deformação.
Essencialmente, o extensômetro é colado ao corpo-de-prova em uma direcção
especificada. Se a cola for muito forte em comparação com o extensômetro, então o
extensômetro será na verdade parte integrante do corpo-de-prova, de modo que,
quando o corpo-de-prova for estirado na direcção do extensômetro, o arame e o
corpo-de-prova sofrerão a mesma deformação. Medindo-se a resistência eléctrica do
arame, o extensômetro pode ser calibrado para ler valores da deformação normal
directamente.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

Porém Samuel disse: Tem, porventura, o Senhor tanto prazer em holocaustos e
sacrifícios como em que se obedeça à palavra do Senhor?
Eis que o obedecer é melhor do que o sacrificar,
e o atender melhor do que a gordura
de carneiros. - 1Samuel 15:22

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

35 35
CAPÍTULO 4. DEFINIÇÃO DA TENSÃO

Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados considerando-se o
alongamento de uma barra prismática (barra de eixo recto e de secção constante em
todo o comprimento).
Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças
axiais 𝑭 e 𝑭′ (forças que actuam no eixo barra), que produzem alongamento uniforme
ou tracção na barra. Sob acção dessas forças originam-se esforços internos no
interior da barra. Para o estudo desses esforços internos, considera-se um corte
imaginário na secção m-m, normal ao seu eixo. Removendo-se qualquer parte
cortada do corpo, os esforços internos na secção considerada (m-m) transforma-se
em esforços externos.

Figura 4.1 - Barra prismática sob tracção
Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços internos devem ser
equivalentes à resultante 𝑵(𝒛), também longitudinal de intensidade igual a 𝑭.
Na prática, supõe-se que estes esforços internos sejam distribuídos
uniformemente sobre toda a secção transversal. Quando estas forças são distribuídas
perpendiculares e uniformemente sobre toda a secção transversal, recebem o nome
de tensão normal, sendo comummente designada pela letra grega 𝝈 (sigma).
Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da secção
transversal é obtida dividindo-se o valor do esforço interno normal 𝑵(𝒛) pela área da
secção transversal 𝑨, ou seja,
𝜎 =
𝑁(𝑧)
𝐴 [3.1]
Quando a barra é alongada, a tensão resultante é uma tensão de tracção e se
as forças internas comprimem a barra, tem-se tensão de compressão.
A condição necessária para validar a equação [3.1] é que a tensão 𝜎 seja
uniforme em toda a secção transversal da barra.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

36 36

Figura 4.2 - Tensão normal na barra prismática
O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela letra
grega 𝛿 (delta). O alongamento por unidade de comprimento é denominado
deformação específica e é representado pela letra grega 𝜀 (épsilon):
𝜀 =
𝛿
𝑙 [3.2]
Onde, ∆𝑙 é o alongamento ou o encurtamento da barra e 𝑙 é o comprimento total da
barra.
Note-se que a deformação 𝜀 é uma quantidade adimensional. É de uso
corrente no meio técnico representar a deformação por uma fracção percentual (%)
multiplicando-se o valor da deformação específica por 100.

4.1. Classificação dos Materiais

Os materiais, conforme as suas características, são classificados como
dúcteis e frágeis.

4.1.1. Material frágil

O material é classificado como frágil,
quando submetido a um ensaio de tracção e
não apresenta deformação plástica, passando
da deformação elástica para a ruptura. Os
materiais frágeis ou quebradiços se deformam
relativamente pouco antes da ruptura. São
exemplos de material frágil: o concreto, ferro
fundido, vidro, porcelana, cerâmica, gesso,
cristal, acrílico, baquelite, etc.

Figura 4.3 - Diagrama típico de um material frágil

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ENG.º M. A. MAZOCA

37 37
4.1.2. Material Dúctil

O material é classificado como dúctil, quando submetido a um ensaio de
tracção,