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Lista 5 – Vetores e Geometria Analítica 
 
 
1. Seja 𝛽 o plano definido pelas equações paramétricas abaixo 
{
 𝑥 = −1 + 𝑡 − 2𝑠 
 𝑦 = 3 + 2𝑡 + 5𝑠 
 𝑧 = 𝑡 − 𝑠, 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ. 
 
Determine a posição relativa e a interseção entre 
a) 𝛽 e o eixo 𝑦 
b) 𝛽 e o eixo 𝑧 
c) 𝛽 e a reta 𝑟 definida pela equação (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (10, 0, −2) + 𝜆(−1, 7, 0), 𝜆 ∈ ℝ. 
 
2. Sejam 𝑚 e 𝑘 as retas definidas, respectivamente, pelas equações paramétricas abaixo 
{
 𝑥 = 𝑡 
 𝑦 = 1 − 𝑡 
 𝑧 =
 1 
2
+ 2𝑡, 𝑡, ∈ ℝ. 
 {
 𝑥 = 5 + 𝑠 
 𝑦 = −8 − 5𝑠 
 𝑧 =
49
6
−
 𝑠 
3
, 𝑠 ∈ ℝ. 
 
Existe um plano α que contenha as retas 𝑚 e 𝑘? Justifique a resposta e se a resposta for sim, 
determine uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano α. 
 
3. Considere T o tetraedro de vértices 𝐴 = (−1, 0, 1), 𝐵 = (0, 1, 0), 𝐶 = (0, 2, 2) e 𝐷 = (1, 1, 5). 
a) Determine um sistema de equações paramétricas para o plano que contém a face ABD do 
tetraedro T. 
b) Determine uma equação geral do plano que contém a face ABC do tetraedro T. 
 
4. Determine o ângulo formado entre 
a) a reta 𝑟 definida pela equação (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, √3, 6) + 𝜆(−1, 0, 1), 𝜆 ∈ ℝ e o plano α, de 
equação geral 2𝑧 = −5; 
b) os planos de equação geral 𝑥 − 𝑦 = 1/2 e 2𝑥 − 𝑦 + √3𝑧 = 0. 
 
5. Determine a posição relativa e a interseção entre os planos, em cada caso: 
a) 𝛼: − 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1 e 𝛽: − 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0 
b) 𝛾: {
 𝑥 = 𝑡 − 3𝑠 
𝑦 = 5 + 2𝑠 
 𝑧 = −1 + 𝑡, 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ 
 e 𝜑: 4𝑥 + 6𝑦 − 4𝑧 = 34 . 
c) 𝜎: {
 𝑥 = 1/2 − 𝑡 − 2𝑠 
𝑦 = √2 − 2𝑡 + 𝑠 
 𝑧 = 𝑡 + 𝑠 , 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ 
 e 𝜉: {
 𝑥 = 2 − 3𝑎 + 𝑏 
𝑦 = 3 − 𝑎 − 3𝑏 
 𝑧 = 4 + 2𝑎 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
 . 
 
Respostas: 
1) a) O plano 𝛽 e o eixo 𝑦 são transversais e a interseção entre 𝛽 e o eixo 𝑦 é o ponto (0, −4, 0). 
b) O plano 𝛽 e o eixo 𝑧 são transversais e a interseção entre 𝛽 e o eixo 𝑧 é o ponto (0, 0, 4/9). 
c) O plano 𝛽 e a reta 𝑟 são paralelos e 𝛽 ∩ 𝑟 = ∅. 
2) Sim porque as retas 𝑚 e 𝑘 são concorrentes (o ponto de encontro entre elas é (4, −3, 17/2)). A 
equação 31𝑥 + 7𝑦 − 12𝑧 = 1 é uma equação geral do plano α e abaixo está um possível sistema 
de equações paramétricas para o plano α: 
{
 𝑥 = 𝑡 + 𝑠 
 𝑦 = 1 − 𝑡 − 5𝑠 
𝑧 =
1
 2 
+ 2𝑡 −
𝑠
 3 
, 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ .
 
3) a) 
{
 𝑥 = −1 + 2𝑝 + 𝑞 
 𝑦 = 𝑝 + 𝑞 
𝑧 = 1 + 4𝑝 − 𝑞, 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ . 
 
b) 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −2 
4) a) π/4 rad 
b) arccos(3/4) rad 
5) a) Os planos são transversais. Além disso, 𝛼 ∩ 𝛽 é a reta de equação vetorial (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(4, 1, 1) + 𝜆(−11, −2, −3), 𝜆 ∈ ℝ . 
b) Os planos são coincidentes. Logo, 𝛾 ∩ 𝜑 = 𝛾 = 𝜑. 
c) Os planos são paralelos. Logo, a interseção entre eles é vazia.