VGA - Slides da Aula 9

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Definição: Um vetor normal 𝑛 a um plano π é
um vetor não nulo que é ortogonal a qualquer
segmento de reta contido em π. Consequen-
temente, 𝑛 será ortogonal a qualquer vetor 𝐴𝐵
com extremidades em π (isto é, a qualquer vetor
𝐴𝐵 tal que 𝐴, 𝐵 ∈ π).
Equação Geral do Plano
Seja 𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 um ponto de um plano π
e seja 𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 um vetor normal a π.
Um ponto 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 pertence a π se, e
somente se, 𝑃0𝑃 . 𝑛 = 0, isto é, se e somente se,
Equação Geral do Plano
𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0 . 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 0
𝑥 − 𝑥0 𝑎 + 𝑦 − 𝑦0 𝑏 + 𝑧 − 𝑧0 𝑐 = 0
𝑥𝑎 − 𝑥0𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑦0𝑏 + 𝑧𝑐 − 𝑧0𝑐 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 ,
onde 𝑑 = −𝑥0𝑎 − 𝑦0𝑏 − 𝑧0𝑐.
A equação dentro da caixa vermelha é
conhecida como equação geral do plano π.
Equação Geral do Plano
Exemplo 4: Seja π o plano que tem 𝑛 = 5, 2, 3
como vetor normal e que passa pelo ponto
𝑃0 = −1, 0, 2 .
a) Determine a equação geral de π.
b) Determine dois pontos que pertencem a π e
que sejam diferentes de 𝑃0.
Equação Geral do Plano
Equação Geral do Plano
Exemplo 5: Seja α o plano que passa pelos
pontos 𝑃1 = 1, 5, 4 , 𝑃2 = 3, 1, 2 e 𝑃3 = 0,−2, 0 .
a) Determine a equação geral de α.
b) Os pontos 10, 0, 1 e 1,−5, 1/2 pertencem ao
plano α? Justifique com cálculos.
Equação Geral do Plano
Equação Geral do Plano
Equação Geral do Plano
Algumas observações:
i) O vetor normal 𝑛 a um plano π é
diferente do vetor nulo e não é único, pois
qualquer vetor paralelo 𝑛 que não seja
nulo também será um vetor normal a π.
ii) “A” equação geral de um plano não é
única, pois depende da escolha de um
vetor normal e de um ponto do plano.
Equação Geral do Plano
iii) Se 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 é a equação
geral do plano π, então 𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 é um
vetor normal a π.
iv) Para obter pontos de um plano a partir
de uma equação geral dele, basta atribuir
valores a duas das três variáveis e
determinar o valor correspondente da
terceira.
Equação Geral do Plano
Seja 𝑃0 um ponto de um plano π e sejam
𝑢 e 𝑣 vetores paralelos a π, tais que 𝑢 e 𝑣
não sejam paralelos entre si. (Diremos que
um vetor é paralelo a um plano se ele é
ortogonal a um vetor normal do plano.)
Prova-se que um ponto 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
qualquer de ℝ3 pertence ao plano π se, e
somente se,
𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑢 + 𝑠𝑣 , onde 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ.
Equação Vetorial do Plano
Ou seja, um ponto 𝑃 qualquer de ℝ3
pertence ao plano π se, e somente se, o vetor
𝑃0𝑃 pode ser escrito como uma combinação
linear de 𝑢 e 𝑣 .
A equação anterior (dentro da caixa
vermelha) é chamada de equação vetorial do
plano π que passa por 𝑃0 e que tem a direção
dos vetores 𝑢 e 𝑣 .
Neste caso dizemos que 𝑠 e 𝑡 são os
parâmetros e que 𝑢 e 𝑣 são vetores diretores
de π.
Equação Vetorial do Plano
A partir da equação vetorial, podemos
escrever as equações paramétricas do plano π.
Supondo 𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 , 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e
𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 , temos que a equação vetorial
𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑢 + 𝑠𝑣 pode ser reescrita em termos
de suas coordenadas da seguinte forma:
π: ቐ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑥1𝑡 + 𝑥2𝑠
𝑦 = 𝑦0 + 𝑦1𝑡 + 𝑦2𝑠
𝑧 = 𝑧0 + 𝑧1𝑡 + 𝑧2𝑠, onde 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ.
Equações Paramétricas do Plano
As três equações anteriores formam um
sistema de equações paramétricas para o plano
π, ou, simplesmente, as equações paramétricas
do plano π.
Exemplo 6: Seja α o plano que passa pelos
pontos 𝑃1 = 1, 5, 4 , 𝑃2 = 3, 1, 2 e 𝑃3 = 0,−2, 0 .
a) Determine uma equação vetorial de α.
b) Determine um sistema de equações
paramétricas para α.
c) Os pontos 7, 4, 3 e 2, 1, 3 pertencem ao
plano α? Justifique com cálculos.
d) Dê exemplo de dois pontos pertencentes ao
plano α que sejam diferentes de 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3.
Algumas observações:
i) Os vetores diretores de um plano não são
únicos e para usá-los na escrita de uma
equação vetorial ou de um sistema de
equações paramétricas, é necessário que eles
sejam não paralelos.
ii) “A” equação vetorial de um plano, assim
como suas equações paramétricas, não são
únicas, pois dependem das escolhas dos
vetores diretores e de um ponto do plano.
Equações Vetorial e Paramétricas do Plano
iii) Para obter pontos de um plano a partir
de uma equação vetorial ou de um
sistema de equações paramétricas, basta
atribuir valores reais para os parâmetros e
calcular as coordenadas do ponto obtido.
iv) Três pontos não colineares ou duas
direções não paralelas e um ponto
determinam unicamente um plano.
Equações Vetorial e Paramétricas do Plano