VGA - Slides da Aula 10

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Sendo 𝑟 uma reta e π um plano, temos três
possibilidades:
i) 𝑟 πځ é formada por um único ponto,
ii) 𝑟 πځ é igual a 𝑟 (ou seja, 𝑟 ⊂ π) ou
iii) 𝑟 πځ é vazia (ou seja, 𝑟 e π são paralelos).
Interseção de Reta com Plano
Interseção de Reta com Plano
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Sejam 𝑟 a reta cuja equação geral
é 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2, 4,−7 + 𝑡 2, 1, 5 e π o plano
cuja equação geral é 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1. Determine
a interseção entre 𝑟 e π.
Interseção de Reta com Plano
Interseção de Reta com Plano
Interseção de Reta com Plano
Exemplo 2: Determine a interseção do plano 𝛼,
cuja equação geral é 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧/2 = 2, com a
re-ta 𝑚 definida por 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡𝑣 , onde 𝑃 =
𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑃0 = 2,−2, 4 e 𝑣 = 0, 1, 2 .
Interseção de Reta com Plano
Interseção de Reta com Plano
Exemplo 3: Determine a interseção do plano 𝛽
com a reta 𝑘, onde
𝛽: ቐ
𝑥 = 3 + 𝑡 − 2𝑠
𝑦 = −1 + 4𝑡 + 𝑠
𝑧 = 2 + 5𝑡 − 𝑠 , onde 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ
𝑘: ቐ
𝑥 = 1 − 3𝜆
𝑦 = 3 + 6𝜆
𝑧 = 4 + 3𝜆 , onde 𝜆 ∈ ℝ.
Interseção de Reta com Plano
Interseção de Reta com Plano
Interseção de Reta com Plano
Podemos resumir o que fizemos até agora da
seguinte forma: se vamos determinar a interseção
de uma reta 𝑟 com um plano π, então podemos,
inicialmente, comparar um vetor diretor 𝑢 de 𝑟
com um vetor normal 𝑛 de π.
Se 𝑢 e 𝑛 não forem ortogonais, então
i) 𝑟 “perfura” π, isto é, 𝑟 ځ π é um único ponto.
Se 𝑢 e 𝑛 forem ortogonais, então temos duas
possibilidades:
ii) 𝑟 ځ π = 𝑟, isto é, todo ponto de 𝑟 também é de π.
iii) 𝑟 ځ π = ∅, isto é, nenhum ponto de 𝑟 pertence
ao plano π.