VGA - Slides da Aula 11

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Definição (posição relativa entre retas e
planos): Se a interseção entre uma reta 𝑟 e um
plano β é vazia, dizemos que 𝑟 e β são
paralelos; se a interseção entre 𝑟 e β é um
único ponto, dizemos que 𝑟 e β são
transversais; se a interseção entre 𝑟 e β é 𝑟,
dizemos que 𝑟 está contida em β.
Definição (duas possibilidades de retas que
formam 90°): Sejam 𝑟 e 𝑠 retas que formam
90°. Se 𝑟 e 𝑠 são concorrentes, então diremos
que 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares. Se 𝑟 e 𝑠 são
reversas, diremos que 𝑟 e 𝑠 são ortogonais.
Algumas Nomenclaturas
Definição: O ângulo entre uma reta 𝑟 e um
plano β é o complemento do menor ângulo
possivelmente formado entre um vetor
normal a β e um vetor diretor de 𝑟.
Ângulo Entre Reta e Plano
Exemplo 1: Sejam 𝑟 uma reta e 𝛽 um plano,
ambos definidos pelas equações abaixo:
𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0,1,0 + 𝑡 −3,−3, 0 , 𝑡 ∈ ℝ
𝛽: 𝑦 + 𝑧 − 10 = 0 .
Determine a medida do ângulo formado
entre 𝑟 e 𝛽 em radianos.
Definição: O ângulo θ entre dois planos α e
β é o menor ângulo possivelmente formado
entre um vetor normal ao plano α e um
vetor normal ao plano β. Logo,
0 ≤ θ ≤
π
2
.
Quando o ângulo formado entre dois
planos é 90°, dizemos que os planos são
perpendiculares ou ortogonais.
Ângulo Entre Planos
Exemplo 2: Sejam 𝛼, 𝛽, π e 𝜌 os planos defi-
nidos pelas equações abaixo:
𝛼: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −3 𝛽: 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
π:−𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 7 𝜌: −𝑦 + 𝑧 = 0
Determine:
a) o ângulo entre os planos 𝛼 e 𝛽;
b) o ângulo entre os planos 𝛽 e π;
c) o ângulo entre os planos π e 𝜌;