Distâncias entre Reta e Plano

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De Reta a Plano: Sejam 𝑟 uma reta e α um
plano em ℝ3. Se 𝑟 e α são transversais ou 𝑟
está contida em α, então a distância entre
eles é zero.
Se 𝑟 e α são paralelos, então a distância
entre eles é igual à distância de um ponto da
reta ao plano.
Em termos de estratégia para o cálculo da
distância de uma reta a um plano, sugiro que
verifiquem incialmente se eles são transver-
sais. Caso sejam, a distância é zero. Caso não
Distâncias
sejam, a distância entre eles será a distância
de um ponto qualquer da reta ao plano (note
que neste caso, se a distância der zero, então
a reta está contida no plano).
Exemplo 5: Determine a distância da reta
𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2, 1, 5 + 𝑡 4, 2, 3 , 𝑡 ∈ ℝ, ao plano
π: −3𝑥 + 4𝑧 = 1.
Solução: 𝑣 = 4, 2, 3 é um vetor diretor de 𝑟 e
𝑛 = −3, 0, 4 é um vetor normal a π.
𝑣 . 𝑛 = 4, 2, 3 . −3, 0, 4
𝑣 . 𝑛 = −12 + 0 + 12 = 0 .
Logo, 𝑟 ⊂ π ou 𝑟 ⫽ π . Consequentemente,
para calcular a distância de 𝑟 a π vamos
tomar um ponto de 𝑟 e calcular a distância
deste ponto a π.
Pela equação vetorial de 𝑟, 𝑃 = −2, 1, 5 é
um ponto de 𝑟. Calculemos 𝑑 𝑃, π : bem, para
isso precisamos de um ponto 𝐴 do plano.
Substituindo 𝑥 = 1 na equação do plano e
considerando 𝑦 = 0 , obtemos 𝑧 = 1 . Sendo
assim, 𝐴 = 1, 0, 1 é um ponto do plano π.
Distâncias
𝑑 𝑟, π = 𝑑 𝑃, π =
𝐴𝑃. 𝑛
𝑛
𝑑 𝑟, π =
−3, 1, 4 . −3, 0, 4
−3 2 + 4 2
=
25
5
= 5.
Exemplo 6: Determine a distância entre a reta
𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2, 1, 5 + 𝑡 4, 2, 3 , 𝑡 ∈ ℝ, e o plano
π: 𝑥 − 𝑦/2 − 5𝑧 = 10.
Solução: 𝑣 = 4, 2, 3 é um vetor diretor de 𝑟 e
𝑛 = 1,−1/2,−5 é um vetor normal a π.
𝑣 . 𝑛 = 4, 2, 3 . 1, −1/2,−5 = −12 ≠ 0 .
Logo, 𝑟 e π são transversais ⇒ 𝑑 𝑟, π = 0.
Entre dois Planos: Se dois planos α e β são
transversais ou coincidentes (α = β ), então a
distância entre eles é zero.
Se α e β são paralelos, então a distância
entre eles é igual à distância de um ponto de
um dos planos ao outro.
Em termos de estratégia para o cálculo da
distância entre α e β, sugiro que verifiquem ini-
cialmente se eles são transversais. Caso sejam,
𝑑 α, β = 0 . Caso não sejam, 𝑑 α, β será a
distância de um ponto qualquer de um deles ao
outro (neste caso, se 𝑑 α, β = 0, então α = β).
Distâncias
Exemplo 7: Determine a distância entre os
planos α: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 e β: 2𝑥 = −6 − 2𝑦 − 2𝑧.
Solução: Organizando as equações fica fácil
notar que o vetor normal ao plano α , 𝑛1 =
1, 1, 1 , é paralelo ao vetor normal ao plano β,
𝑛2 = 2, 2, 2 , já que 𝑛2 = 2𝑛1. Logo, α e β não
são transversais. Portanto, vamos tomar um
ponto 𝐴 ∈ α a fim de calcular 𝑑 α, β , uma vez
que 𝑑 α, β será igual a 𝑑 𝐴, β .
Substituindo 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 na equação de α,
obtemos 𝑧 = 4. Sendo assim, 𝐴 = 0, 0, 4 ∈ α.
Distâncias
Analogamente, substituindo 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0
na equação de β , obtemos 𝑧 = −3 . Sendo
assim, 𝐵 = 0, 0, −3 é um ponto do plano β.
Logo,
𝑑 α, β = 𝑑 𝐴, β =
𝐴𝐵. 𝑛2
𝑛2
=
0, 0, −7 . 2,2,2
2 2 + 2 2 + 2 2
=
14
2 3
=
7 3
3
.
Distâncias
Exemplo 8: Determine a distância entre os
planos δ:−𝑥 + 3𝑦 = 0 e σ: 3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 1.
Solução: Verifiquemos se o vetor normal ao
plano δ , 𝑛1 = −1, 3, 0 , é paralelo ao vetor
normal ao plano σ, 𝑛2 = 3,−1, 4 :
𝑛1 × 𝑛2 =
𝑖 𝑗 𝑘
−1 3 0
3 −1 4
= 𝑖 3.4 + 𝑗 0.3 +
+ 𝑘 −1. (−1 ) − 𝑘 3.3 + 𝑖 0. −1 + 𝑗 4. −1
= 12, 4, −8 ≠ 0 . Ou seja, não são paralelos. Logo, δ
e σ são transversais ∴ 𝑑 δ, σ = 0.