Posições Relativas de Retas

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Retas Concorrentes: Duas retas 𝑟 e 𝑠 são
concorrentes se elas possuem exatamente
um ponto em comum.
Em outras palavras, duas retas são
concorrentes se elas se cruzam. Isso
significa que a interseção entre elas é um
ponto.
Posições Relativas Entre Duas Retas
Exemplo 1: Prove que as retas 𝑟 e 𝑠 definidas
pelas equações abaixo são concorrentes e em
seguida determine o ponto de encontro entre
elas.
𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5, 2, −1 + 𝑡 1, 3, 2 , 𝑡 ∈ ℝ
𝑠: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,−4, 6 +𝑚 2, 4,−1 , 𝑚 ∈ ℝ.
Uma possível estratégia para verificação de
que duas retas são concorrentes (ou não) é
tentar determinar o ponto de encontro entre
elas.
Posições Relativas Entre Duas Retas
Posições Relativas Entre Duas Retas
Posições Relativas Entre Duas Retas
Posições Relativas Entre Duas Retas
Retas Paralelas: Já sabemos que duas retas 𝑟
e 𝑠 são paralelas se um vetor diretor de 𝑟 e
um vetor diretor de 𝑠 são paralelos e sendo
paralelas, temos duas possibilidades:
i) 𝑟 e 𝑠 não têm pontos em comum ou
ii) 𝑟 e 𝑠 são coincidentes (ou seja, são iguais).
Posições Relativas Entre Duas Retas
Exemplo 2: Verifique que as retas 𝑟 e 𝑠
definidas pelas equações abaixo são paralelas
e em seguida determine se elas são
coincidentes ou não.
𝑟: ൞
𝑥 = −1 + 𝑡
𝑦 = 2 + 3𝑡
𝑧 = 1/2 − 𝑡 , onde 𝑡 ∈ ℝ
𝑠: ൞
𝑥 = 1/2 + 5𝑚
𝑦 = 2 + 9/2 + 15𝑚
𝑧 = −1 − 5𝑚 , onde 𝑚 ∈ ℝ.
Uma possível estratégia neste caso, seria
verificar se os vetores diretores que obtemos
imediatamente das equações são paralelos.
Caso a resposta seja negativa, a conclusão é que
as retas não são paralelas.
Caso a resposta seja positiva, basta tomar um
ponto de uma das retas e verificar se esse ponto
pertence à outra. Se pertencer, então elas são
coincidentes. Se não pertencer, elas são paralelas,
mas não coincidentes (não possuem pontos em
comum.)
Posições Relativas Entre Duas Retas
Posições Relativas Entre Duas Retas
Posições Relativas Entre Duas Retas
Retas Reversas: Duas retas 𝑟 e 𝑠 são reversas
se elas não são paralelas e não possuem
pontos em comum.
Neste caso, elas estão contidas em planos
paralelos distintos.
Posições Relativas Entre Duas Retas
Exemplo 3: Verifique que as retas 𝑟 e 𝑠
definidas pelas equações abaixo são reversas.
𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −6, 1, 3 + 𝑡 1, 5, −2 , 𝑡 ∈ ℝ
𝑠: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,−4, 6 + 𝑚 2, 4,−1 , 𝑚 ∈ ℝ.
Uma possível estratégia para verificação de
que duas retas são reversas (ou não) é tentar
determinar o ponto de encontro entre elas.
Se não existir ponto em comum entre as
retas, em seguida verificamos que seus
vetores diretores não são paralelos para
concluir que elas são reversas.
Posições Relativas Entre Duas Retas
Posições Relativas Entre Duas Retas
Posições Relativas Entre Duas Retas
Definição: Um vetor normal 𝑛 a um plano π é
um vetor não nulo que é ortogonal a qualquer
segmento de reta contido em π. Consequen-
temente, 𝑛 será ortogonal a qualquer vetor 𝐴𝐵
com extremidades em π (isto é, a qualquer vetor
𝐴𝐵 tal que 𝐴, 𝐵 ∈ π).
Equação Geral do Plano
Seja 𝑃0 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 um ponto de um plano π
e seja 𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 um vetor normal a π.
Um ponto 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 pertence a π se, e
somente se, 𝑃𝑃0 . 𝑛 = 0, isto é, se e somente se,
Equação Geral do Plano
𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0 . 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 0
𝑥 − 𝑥0 𝑎 + 𝑦 − 𝑦0 𝑏 + 𝑧 − 𝑧0 𝑐 = 0
𝑥𝑎 − 𝑥0𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑦0𝑏 + 𝑧𝑐 − 𝑧0𝑐 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 ,
onde 𝑑 = −𝑥0𝑎 − 𝑦0𝑏 − 𝑧0𝑐.
A equação dentro da caixa vermelha é
conhecida como equação geral do plano π.
Equação Geral do Plano
Exemplo 4: Seja π o plano que tem 𝑛 = 5, 2, 3
como vetor normal e que passa pelo ponto
𝑃0 = −1, 0, 2 .
a) Determine a equação geral de π.
b) Determine dois pontos que pertencem a π e
que sejam diferentes de 𝑃0.
Equação Geral do Plano