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Instituto Federal Da Paraiba Campus Patos

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Rian Campos

29/04/2024

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Equações Diferenciais I

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Equações Diferenciais Lineares
Encontro 22
Rodrigo C M Nemer
UAMat/CCT/UFCG
23/04/2024
e-mails: rodrigo.cohen@professor.ufcg.edu.br
rodrigocmnemer@mat.ufcg.edu.br
Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 23/04/2024 1 / 10
rodrigo.cohen@professor.ufcg.edu.br
rodrigocmnemer@mat.ufcg.edu.br
Veremos hoje:
Sistemas de Equações Diferenciais de Primeira ordem
Teorema de Existência e Unicidade;
Sistemas lineares:
▶ Conceitos e resultados preliminares;
▶ Teorema de existência e unicidade;
▶ Sistemas lineares homogêneos, conjunto fundamental de soluções.
Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 23/04/2024 2 / 10
Teorema de Existência e Unicidade para sistemas de EDOs
Teorema de Existência e Unicidade para sistemas de primeira ordem – caso geral
Seja o PVI formado pelo sistema (♥) e condições iniciais x1(t0) = x01 , . . . , xn(t0) = x0n . Se fi e
∂fi
∂xj
, i , j = 1, . . . , n, são cont́ınuas em uma região aberta do espaço (t, x1, . . . , xn) contendo
(t0, x
0
1 , . . . , x
0
n ), então existe um intervalo aberto I ∋ t0 no qual há uma única solução do PVI.
Exemplo
Estude a existência e unicidade de solução para o PVI
x ′1 = ln(x1 + x2),
x ′2 = tan(x1.x2),
x1(2) = 13, x2(2) = −π.
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Definição – sistema com n EDLs
A forma mais geral de um sistema de EDOs com n equações lineares é
x1
′ = p11(t)x1 + p12(t)x2 + . . .+ p1n(t)xn + g1(t) ,
x2
′ = p21(t)x1 + p22(t)x2 + . . .+ p2n(t)xn + g2(t) ,
... =
...
... ,
xn
′ = pn1(t)x1 + pn2(t)x2 + . . .+ pnn(t)xn + gn(t) ,
o qual pode ser escrito em notação matricial
x1
′
x2
′
...
xn
′
 =

p11(t) p12(t) . . . p1n(t)
p21(t) p22(t) . . . p2n(t)
...
...
. . .
...
pn1(t) pn2(t) . . . pnn(t)


x1
x2
...
xn
+

g1(t)
g2(t)
...
gn(t)

ou ainda
x ′ = A(t)x + g(t),
onde x = (x1, . . ., xn)
T , A(t) = (pij(t))i ,j=1,...,n e g(t) = (g1(t), . . . , gn(t))
T .
Neste caso, se g ≡ 0, dizemos que o sistema é homogêneo; caso contrário, não homogêneo.
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Um PVI com um sistema de EDLs pode ser escrito em forma matricial{
x ′ = A(t)x + g(t),
x(t0) = x0,
onde x0 = (x1(t0), . . . , xn(t0))
T .
Teorema de Existência e Unicidade para sistemas de EDLs
Se as funções pij , gi , i , j = 1, . . . , n, forem cont́ınuas em um intervalo aberto I contendo t0,
então o PVI {
x ′ = A(t)x + g(t),
x(t0) = x0,
possui solução única em I .
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Exemplo
Considere o PVI {
x ′ = Ax + g(t),
x(0) = (1, 2)T ,
com A =
(
1 2
−1 1,
)
e g(t) = (sen(t), et)T . O que se pode dizer sobre a existência e
unicidade de solução para esse problema?
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Sistemas Lineares Homogêneos
Exemplo
Mostre que
x (1) =
(
e3t
2e3t
)
= e3t
(
1
2
)
, x (2) =
(
e−t
−2e−t
)
= e−t
(
1
−2
)
são soluções de
x ′ =
(
1 1
4 1
)
x ,
assim como c1x
(1) + c2x
(2), quaisquer que sejam c1, c2 ∈ R.
Teorema
Se x (1), x (2) são soluções do sistema homogêneo
x ′ = A(t)x ,
então qualquer combinação linear c1x
(1) + c2x
(2) também o é.
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Definição – Wronskiano
Sejam x (1), . . . , x (n) soluções de um sistema com n EDLs homogêneo (SLH), e considere a
matriz X = X (t) de ordem n cujas colunas são x (k), i.e.,
X (t) =
(
x (1) x (2) . . . x (n)
)
.
O conjunto {x (1), x (2), . . . , x (n)} é linearmente independente em t0 se, e somente se,
det(X (t0)) ̸= 0. Esse determinante é chamado Wronskiano de {x (1), x (2), . . . , x (n)} no
ponto t0 e é denotado por W (x (1), x (2), . . . , x (n))(t0)
Teorema
Se x (1), x (2), . . . , x (n) são soluções de um SLH em um intervalo I , então o Wronskiano
W (x (1), x (2), . . . , x (n))(t0) ou é zero ou não se anula em I .
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Teorema
Se as funções x (1), x (2), . . . , x (n) são soluções LI de um SLH em um intervalo I , então
qualquer solução do SLH pode ser escrita como combinação linear de x (1), x (2), . . . , x (n).
Definição – solução geral, conjunto fundamental de soluções
Nas condições do teorema anterior, a expressão
Φ(t) = c1x
(1) + c2x
(2) + . . .+ cnx
(n)
é a solução geral do SLH. O conjunto {x (1), x (2), . . . , x (n)} é chamado conjunto
fundamental de soluções do SLH.
Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 23/04/2024 9 / 10
Teorema
Suponha que o PVI {
x ′ = A(t)x ,
x(t0) = ei ,
tem solução única em um intervalo I ∋ t0, onde ei é o i-ésimo vetor da base canônica de Rn, e
seja Φ(i) tal solução, para cada i = 1, . . . , n. O conjunto
{Φ(1),Φ(2), . . . ,Φ(n)}
é um conjunto fundamental de soluções para o SLH.
Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 23/04/2024 10 / 10