Unidade IV Sistemas Lineares

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Álgebra Linear I
Sistemas Lineares
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Douglas Tinti
Revisão Textual:
Profa. Ms. Luciene Oliveira da Costa Santos
5
Nesta unidade, estudaremos os Sistemas Lineares 2 x 2 e 3 x 3 por meio da sua origem 
histórica, conceitualização, aplicabilidade e procedimentos de resolução. 
Serão propostos diversos exemplos. Tente resolvê-los também! 
Esta pode ser uma estratégia de estudos para você. É importante que exercite e aprofunde seus 
estudos: resolva os exercícios propostos e busque outros nas referências bibliográficas sugeridas. 
E participe do fórum de discussões, assista à aula em vídeo e não esqueça de conferir as 
datas de avaliação. Fique atento(a)! 
Havendo qualquer dúvida, contate seu tutor para auxiliá-lo(a). 
• Conceituar Sistemas Lineares, bem como exemplificar sua aplicabilidade.
• Estudar propriedades, teoremas e métodos que contribuem para a solução 
de um Sistema Linear.
• Resolver Sistemas Lineares 2 x 2 e 3 x 3.
• Relacionar Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.
• Exercitar os conhecimentos adquiridos ao longo do estudo desta unidade.
Sistemas Lineares
• Origem Histórica
• Definição
• Métodos para solucionar um Sistema Linear
• Sistema Linear Escalonado – Método do Escalonamento ou 
Eliminação de Gauss
• Classificação e Discussão de um Sistema Linear
• Representação de um Sistema Linear na forma de Matrizes
6
Unidade:Sistemas Lineares
Contextualização
Nesta unidade, abordaremos o conceito de Sistemas Lineares evidenciando sua relação com 
as Matrizes e os Determinantes. 
No âmbito da história da matemática, acredita-se que o primeiro povo a utilizar um método 
sistemático para solucionar sistemas de equações lineares tenha sido os chineses. 
Em sua essência, o método utilizado pelos chineses é idêntico ao método do escalonamento ou 
de eliminação de Gauss. Os chineses utilizavam como “calculadora” um tabuleiro quadriculado 
e um conjunto de barras de marfim ou bambu para representar os números. Essa ferramenta foi 
batizada de ábaco chinês que foi sendo aperfeiçoado ao longo do tempo.
Fonte: Thinkstock/Getty Images
Ábaco Chinês
Podemos utilizar as matrizes para representar um sistema linear e o determinante para, 
dentre outras coisas, indicar se um sistema linear é possível e determinado (SPD), possível e 
indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Além disso, o avanço da produção de conhecimento 
matemático nos proporcionam utilizar diferentes regras e técnicas para resolver um sistema 
linear como, por exemplo, a Regra de Cramer ou a Eliminação de Gauss (escalonamento).
Que tal aprofundarmos nossos conhecimentos acerca desses pontos? Vamos lá?
7
Origem Histórica
A palavra Sistema deriva do grego systema (sy significa ‘junto’ e sta significa ‘permanecer’) 
é o conjunto de equações que devem ser resolvidas “juntas”, ou seja, os resultados devem 
satisfazê-las simultaneamente.
Historicamente, sabe-se que o matemático inglês Arthur Cayley, em 1858, foi considerado o 
primeiro matemático a representar Sistemas Lineares na forma de matrizes.
Entretanto, sabe-se que, em civilizações antigas, como Egito, Babilônia, China e Índia, foram 
encontrados documentos que apresentavam situações do cotidiano e situações algébricas que 
eram resolvidas considerando equações simultâneas.
Defi nição
Denomina-se Sistema de Equações um conjunto de equações que apresenta as mesmas incógnitas. 
Chama-se equação linear nas incógnitas x1, x2, ..., xn toda equação que pode ser apresentada 
na forma:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
Em que a1, a2, ..., an são constantes reais chamadas de coeficientes das incógnitas e b é uma 
constante real chamada de termo independente da equação.
Todo sistema de equações formado exclusivamente por equações lineares é chamado de 
Sistema Linear.
Exemplos:
2 3 13
3 5 10
x y
x y
+ =
 − =
É um sistema linear 2 x 2 (incógnitas x e y)
4 2 1
3 6
x y z
x y z
+ − =
 − + =
É um sistema linear 2 x 3 (incógnitas x, y e z)
2 0
2 1
8
x y z
x y z
x y z
− − =
 − − = −
 − + =
É um sistema linear 3 x 3 (incógnitas x, y e z)
8
Unidade:Sistemas Lineares
Métodos para solucionar um Sistema Linear
Chama-se solução de um sistema linear qualquer solução comum a todas as equações 
do sistema. O conjunto S formado por todas as soluções de um sistema linear é chamado de 
conjunto solução do sistema.
Podemos determinar a solução de um sistema linear 2 x 2 (IR x IR) utilizando os métodos da 
adição, substituição e comparação, dentre outros. 
a) Solucionando Sistemas Lineares 2 x 2 pelo método da adição
Exemplo:
Vamos resolver o seguinte Sistema Linear:
3 10
2 5 1
x y
x y
− =
 + =
Observe que, se multiplicarmos a 1ª linha por 5 e somarmos com a 2ª linha, iremos 
cancelar a incógnita y e, assim, determinaremos a incógnita x.
 
3 10
2 5 1
x y
x y
− =
 + =
 
15 5 50
2 5 1
____________
17 51
51
17
3
x y
x y
x
x
x
− =
 + =
=
=
=
 
 
Se x = 3, podemos substituir esse valor em uma das equações e determinar o valor de y:
3x- y =10
3.(3) – y = 10
9 – y = 10
- y = 10 – 9
- y = 1
y = -1
Desse modo, S = (3 , -1).
+
9
Sistema Linear Escalonado – Método do Escalonamento ou 
Eliminação de Gauss
Com relação à resolução de Sistemas Lineares, convém destacar que diferentes métodos, como, 
por exemplo, o método do escalonamento. Esse método exige muita atenção e habilidade algébrica.
É importante destacar que um sistema linear é escalonado (ou está na forma escalonada) se, 
e somente se:
I. Todas as equações apresentam as incógnitas em uma mesma ordem.
II. Em cada equação existe pelo menos um coeficiente, de alguma incógnita, não nulo.
III. Existe uma ordem para as equações tal que, de uma equação para outra, aumenta o 
número de coeficientes nulos que antecedem o primeiro coeficiente não nulo.
Exemplos:
Os Sistemas Lineares a seguir estão na forma escalonada:
I. 
3
 1
x y
y
+ =
 =
Observe que na segunda equação a incógnita x assume o 
valor “0”.
II. 
2 3 2
5 4 8
 
 3 6
x y z
y z
z
+ − =
 + =
 =
Observe que na segunda equação a incógnita x assume o 
valor “0” e na terceira equação as incógnitas x e y assumem 
o valor “0”.
III. 
4 2 5
3 3 1
 
 2 4
x y t z
y t z
z
+ − + =
 + − =
 =
Observe que na segunda equação a incógnita x assume o 
valor “0” e na terceira equação as incógnitas x, y e t assumem 
o valor “0”. Assim, podemos concluir que t = 0.
Diante desses exemplos podemos concluir que existem dois tipos de sistemas lineares 
escalonados:
1º tipo: com o número de equações iguais ao número de incógnitas. (Observe I e II). Todo 
Sistema Linear desse tipo é possível e determinado (SPD).
2º tipo: com o número de equações menor que o número de incógnita. (Observe III). Todo 
Sistema Linear desse tipo é possível e indeterminado (SPI).
10
Unidade:Sistemas Lineares
 
 Importante
Prezado aluno fique tranquilo, mais adiante veremos o que significa SPD e SPI
a) Solucionando Sistemas Lineares 2 x 2 pelo Método do Escalonamento
Exemplo:
Resolva o Sistema Linear a seguir pelo Método do Escalonamento:
7
1
+ =
 − =
x y
x y
Em linhas gerais, o Método do Escalonamento consiste em ir “zerando” as incógnitas das 
equações de acordo com a quantidade de equações que possui. Por exemplo, num sistema linear 
2 x 2, precisamos que na 1ª equação haja as incógnitas x e y. Já na 2ª equação precisaremos 
apenas da incógnita y. 
Devemos perguntar: que operação algébrica preciso resolver para “zerar” a incógnita que quero?
Voltemos ao exemplo: quero que a incógnita x da 2ª equação seja “zerada”. Desse modo, 
preciso multiplicar a 1ª equação por (-1) e somar o resultado com a 2ª equação 
(mantendo sempre a 1ª equação). Assim, temos:
 
7
1
+ =
 − =
x y
x y  
7
2 6
+ =
 − = −
x y
 y
multiplicar a 1ª equação por (-1) e 
somar o resultado com a 2ª equação.
Observe que agora temos o sistema linear na forma escalonada.
7
2 6
+ = − = −
x y
 y
11
Agora podemos resolvê-lo:
2 6− = −y
6
2
3−= = =>
−
y y
Se y = 3 podemos substituí-lo na 1ª equação. Assim, temos: 
7
73
7 3
4
+ =
+ =
=
= −
x y
x
x
x
Desse modo, temos que S = (4, 3).
 
 Importante
Lembre-se que um par ordenado P é sempre constituído por dois pontos, x e y tal que P = (x,y).
b) Solucionando Sistemas Lineares 3 x 3 pelo método do escalonamento
Exemplo:
Resolva o Sistema Linear a seguir pelo Método do Escalonamento:
2 3 7
2 4
3 3 14
+ + =
 + + =
 + + =
x y z
x y z
x y z
Como vimos anteriormente, precisaremos primeiramente “zerar” a incógnita x da 2ª equação 
e, posteriormente, “zerar” as incógnitas x e y da 3ª equação.
Se multiplicarmos a 1ª equação por (-2) e somarmos com a segunda, obteremos:
12
Unidade:Sistemas Lineares
2 3 7
2 4
3 3 14
+ + =
 + + =
 + + =
x y z
x y z
x y z
 
2 3 7
3 5 10
3 3 14
+ + =
 − − = −
 + + =
x y z
 y z
x y z
multiplicar a 1ª equação por (-2) e 
somar o resultado com a 2ª equação.
Se multiplicarmos a 1ª equação por (-3) e somarmos com a terceira, obteremos:
2 3 7
3 5 10
3 3 14
+ + =
− − = −
+ + =
x y z
 y z
x y z
 
2 3 7
3 5 10
3 8 7
+ + =
 − − = −
 − − = −
x y z
 y z
 y z
Multiplicar a 1ª equação por (-3) e 
somar o resultado com a 3ª equação.
Observe que, para que tenhamos o sistema linear na forma escalonada, precisaremos, agora, 
“zerar” a incógnita y da 3ª equação. 
 
 Importante
Lembre-se de que, quando estamos fazendo estas manipulações algébricas, só alteraremos a equação 
que pretendemos “zerar” alguma incógnita. Fique atento(a)!
Para tanto, se multiplicarmos a 2ª equação por (-1) e somarmos com a 3ª equação, teremos:
 
2 3 7
3 5 10
3 8 7
+ + =
− − = −
− − = −
x y z
 y z
 y z
 
2 3 7
3 5 10
3 3
+ + =
 − − = −
 − =
x y z
 y z
 z
multiplicar a 2ª equação por (-1) e 
somar o resultado com a 3ª equação.
Observe que, agora, temos o sistema linear na forma escalonada. Desse modo, podemos 
calcular o valor de cada uma das incógnitas (de baixo para cima geralmente):
13
3 3
1−
− =
=
z
z ( )
3 5 10
3 5 10
3 5 10
3 10 5
3 5
1
5
1
− − = −
− − = −
− +
−
= −
− = − −
− = −
=
y z
y
y
y
y
y
( ) ( )
2 3 7
2 3 7
10 3 7
7
5
0
7
1
+ + =
+ + =
+ − =
+ =
−
=
x z
x
x
x
y
x
Assim, temos que S = (0, 5, -1).
 
 Atenção Atenção
Como já apontado anteriormente, fique atento(a) às regras de sinais, pois um descuido pode gerar erros.
Exercícios propostos:
1) Resolva os seguintes Sistemas Lineares utilizando o Método do Escalonamento:
a) 
3
1
+ =
 − =
x y
x y
b) 
2 5
1
− =
 + =
x y
x y
c) 
2 9
2 6
2 2 1
− + − = −
 + + =
− − + =
x y z
x y z
x y z
Expectativa de Resposta:
1)
a) S = (2, 1)
b) S = (2, -1)
c) S = (2, -1, 3)
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Unidade:Sistemas Lineares
Classifi cação e Discussão de um Sistema Linear
Um Sistema Linear pode ser possível ou impossível. Observe o diagrama a seguir:
Considerando o Determinante de um Sistema Linear, com número de equações igual ao 
número de incógnitas, temos que:
det ≠ 0  Sistema Possível e Determinado (SPD)
det = 0  Sistema Possível e Indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI)
Em um sistema linear 2 x 2, podemos utilizar, também, o critério de proporcionalidade 
para classificar:
1 1 1
2 2 2
a x b y k
a x b y k
+ =
 + =
  
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
a b k SPI
a b k
a b k SI
a b k
a b SPD
a b
= = ⇒
= ≠ ⇒
≠ ⇒
Exemplos:
a) 
7
1
x y
x y
+ =
 − =
Temos que:
1 1
1 1
SPD≠ ⇒
−
15
b) 
7
1
x y
x y
+ =
 + =
1 1 7
1 1 1
SI= ≠ ⇒
c) 
1
1
x y
x y
+ =
 + =
1 1 1
1 1 1
SPI= = ⇒
Para Pensar
Será que há outra forma (não algébrica) de verificar se um sistema linear é SPI, SI ou SPD?
Representação de um Sistema Linear na forma de Matrizes
Podemos representar um sistema linear utilizando a notação de matrizes utilizando os 
coeficientes das incógnitas. Essa representação pode ser útil na utilização do escalonamento 
dado que só estaremos trabalhando com os coeficientes e “ocultando” as incógnitas.
Exemplo:
a) 3
1
+ =
 − =
x y
x y
Pode ser representado por 
1 1 3
1 1 1
   
=   −   
b) 
2 9
2 6
2 2 1
− + − = −
 + + =
− − + =
x y z
x y z
x y z
Pode ser representado por 
1 1 2 9
2 1 1 6
2 2 1 1
− − −   
   =   
   − −   
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Unidade:Sistemas Lineares
Regra de Cramer
A Regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de 
determinantes. Trata-se de um recurso importante na resolução de sistemas lineares possíveis e 
determinados, especialmente quando o escalonamento se torna muito trabalhoso.
Considere o sistema linear: 
ax by e
cx dy f
+ =
 + =
Este sistema é possível e determinado quando: 0
a b
D
c d
= ≠ .
A solução desse sistema é dada por:
y
=
=
xDx
D
D
y
D
a) Solucionando Sistemas Lineares 2 x 2 pela Regra de Cramer
Exemplo: 
Resolva o sistema linear a seguir utilizando a Regra de Cramer.
2 3 5
2 3
x y
x y
− =
 + =
Temos que: 
2 3 5
.
1 2 3
−   
=   
   
Assim, 
2 3
4 3 7.
1 2
D
−
= = + =
Como D ≠ 0 o sistema é possível e determinado e poderemos aplicar a Regra de Cramer.
Para calcularmos Dx, iremos substituir a 1ª coluna da matriz pelo resultado da igualdade:
5
3
3
10 9 19
2x
D
−
= = + =
Para calcularmos Dy, iremos substituir a 2ª coluna da matriz pelo resultado da igualdade:
5
3
2
6 5 1
1y
D = = − =
17
Assim, temos que:
19
7
1
7
x
y
Dx
D
D
y
D
= =
= =
Portanto, 
19 1,
7 7
S  =  
 
.
b) Solucionando Sistemas Lineares 3 x 3 pela Regra de Cramer
Exemplo: 
Resolva o Sistema Linear a seguir utilizando a Regra de Cramer.
2 5
2 3 3
4 4
x y z
x y z
x y z
+ − = −
− − − = −
 − − =
Sabemos que 
1 2 1 5
1 2 3 3
4 1 1 4
− −   
   − − − = −   
   − −   
Aplicando a Regra de Sarrus, temos:
1 2 1
1 2 3 36 0, .
4 1 1
D o sistemaé SPD
−
= − − − = − ≠
− −
2 1
2 3 36
1 1
5
3
4
xD
−
−
−
= − − = −
− −
36 1
36
xDx
D
−
= = =
−
1 1
1 3 72
4 1
5
3
4
yD
−
−
−
= − − =
−
72 2
36
yDy
D
= = = −
−
18
Unidade:Sistemas Lineares
1 2
1 2
5
3 72
4 1 4
zD = − − = −
−
−
− 72 2
36
zDz
D
−
= = =
−
Portanto, S = (1, -2, 2).
Trocando Ideias
Você pode calcular o Determinante de uma matriz utilizando o software Excel.
Por exemplo 
1 2 1
1 2 3
4 1 1
D
−
= − − −
− −
Primeiramente, digite os valores dos elementos da matriz numa planilha em branco:
Depois, utilize a fórmula =matriz.determ(matriz digitada).
E, aperte [enter], o Excel exibirá o que D = -36.
19
Exercícios propostos:
2) Resolva os seguintes Sistemas Lineares utilizando a Regra de Cramer:
a) 
6
2
x y
x y
+ =
 − =
b) 
0
2 2 3
2 3
x y z
x y z
x y z
− + =
 + − =
 − − = −
Expectativa de Resposta:
2)
a) S = (4, 2)
b) S = (1, 3, 2)
20
Unidade:Sistemas Lineares
Material Complementar
Vídeos:
Sistemas Lineares 2 x 2
 · Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=w52ZCSD6SzA 
Sistemas Lineares 
 · Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=PpH-bJ8Wrik 
Sistema Linear (3 x 3) no Winplot 
 · Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=MVI2skKtyH8 
Links da Internet:
Portal Khan Academy – Sistemas de equações e inequações. Neste portal você poderá 
praticar um pouco mais os assuntos abordados nesta unidade. 
 · Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations 
Livros:
 · ANTON, H. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
 · GUELLI, O. Contando a história da matemática, equação o idioma da álgebra, 
história da matemática. São Paulo: Ática, 1993.
 · LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos 
e Científicos, 1999.
21
Referências
ANTON, H. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
COELHO, F. U. Um curso de álgebra linear. São Paulo: Edusp, 2001.
LEON, S.J. Álgebra linear com aplicações. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 1999.
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear: teoria e problemas. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 2004. 
STRANG, G. Álgebra Linear e suas aplicações. São Paulo: Cengage, 2010.
VALLADARES, R. J. da C. Álgebra linear. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
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Unidade:Sistemas Lineares
Anotações