Importância da FFT na Matemática

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Capítulo 11
FERRAMENTAS DE ANÁLISE:
ANÁLISE DE FOURIER
Quais foram os Dez Eventos Mais Importantes em Matemá-
tica nos últimos cem anos? (Talvez você imagine que um deles
foi a sua aprovação nas disciplinas de cálculo.) Muita gente
acredita que os dois eventos mais importantes tenham sido a
FFT e a demonstração do último teorema de Fermat. Certamen-
te, a demonstração de Andrew Wile do teorema de Fermat foi
importante para a matemática pura, mas a FFT supera essa de-
monstração quanto à utilidade e às aplicações práticas. O de-
senvolvimento da FFT nos anos 1960 forneceu uma ferramen-
ta usada milhões de vezes todos os dias em diversas atividades
como análise de sinais de voz, projeto de raquetes de tênis,
engenharias civil, mecânica e elétrica, exploração de petróleo,
química, física, tecnologia médica, astronomia e telecomuni-
cações.
Neste capítulo, você aprenderá como usar a FFT do EXCEL
para processamento digital básico de sinais. Essas técnicas são
extraordinariamente úteis em engenharia e em ciência e alcan-
çaram enorme importância econômica na indústria de entreteni-
mento em filmes como Titanic, Toy Story, Parque dos Dinos-
sauros, Guerra nas Estrelas e Matrix1. Você poderia dizer que o
Titanic é apenas a ponta do iceberg.
DE QUE TRATA ESTE CAPÍTULO
A transformada de Fourier é uma das ferramentas mais impor-
tantes nas aplicações práticas de ciência e de engenharia. Apre-
sentaremos agora um de seus algoritmos discretos de importân-
cia industrial e a ferramenta mais poderosa do EXCEL, a Trans-
formada Rápida de Fourier (FFT — Fast Fourier Transform). É
fácil usar uma planilha para realizar tarefas freqüentemente ti-
das como complicadas e sofisticadas. Prepare-se. Este capítulo
mostrará como usar a FFT das Ferramentas de Análise do EXCEL.
Você aprenderá também alguns truques que não são abordados
na Ajuda. Neste capítulo você aprenderá:
• como usar a caixa de diálogo FFT do EXCEL,
• quando aplicar a defasagem de Nyquist (mais-um-menos-um),
• uso (e abuso) do preenchimento de zeros de um conjunto
de dados,
• limitações devidas à amostragem (freqüência de Nyquist e
ambigüidade de freqüência [aliasing]), da FFT e da FFT inversa,
• como alterar a escala de freqüência e como usar a janela
de dados,
• como usar a densidade espectral de potência (DEP) e o
teorema de Parseval,
• como extrair informações de dados experimentais.
11.1 SISTEMAS LINEARES
A FFT é particularmente útil para analisar sistemas lineares. Por
quê? Porque em muitos casos a análise é mais fácil e mais pode-
rosa no domínio da freqüência do que no domínio original dos
dados (em geral, o tempo). Fisicamente, um sistema linear é aquele
no qual a saída (resposta) é diretamente proporcional à entrada
(estímulo). Matematicamente, um sistema linear é descrito por
equações lineares, e assim fica assegurada a validade de aplica-
ção do princípio da superposição. Há uma fronteira levemente
nebulosa entre sistemas lineares e não-lineares, no sentido mate-
mático, porque alguns sistemas fisicamente não-lineares são des-
critos por equações não-lineares que podem ser transformadas em
equações lineares com coeficientes variantes no tempo. No mun-
do físico muitos sistemas são intrinsecamente não-lineares, mes-
mo em níveis de potência muito baixos, e a maioria dos sistemas
lineares tornam-se não-lineares em níveis elevados de potência.
Uma medida prática da linearidade é que as freqüências da
saída são as mesmas freqüências da entrada; nenhuma freqüên-
cia nova aparece na saída. Um dos motivos pelos quais a Trans-
formada de Fourier é tão útil é que quantidades muito peque-
nas de energia podem ser medidas no domínio da freqüência,
mesmo na presença de grandes quantidades de energia em ou-
tras freqüências. A identificação e a eliminação de energia de
harmônicos e de sub-harmônicos é o assunto importante de in-
teresse atual. Como exemplo prático, a forma de onda em sis-
temas elétricos de potência é mantida senoidal com um grau
elevado de precisão uma vez que a presença de correntes de
freqüências harmônicas mesmo em pequena quantidade pode
acarretar conseqüências econômicas sérias e causar interferên-
cias nos circuitos de controle e na energia transportada pelo
condutor neutro.
1 Tradução adotada no Brasil para os títulos originais em inglês: Titanic, Toy Story, Jurassic Park, Star Wars e The Matrix.(N.T.)
FERRAMENTAS DE ANÁLISE: ANÁLISE DE FOURIER 161
Os sinais senoidais (e, em conseqüência, as exponenciais com-
plexas) parecem ser os blocos construtivos da natureza. Por que
estes sinais desempenham um papel tão dominante? Uma razão
é que, ao excitar um sistema linear com uma função senoidal no
domínio do tempo, a resposta em regime permanente ao longo
de todo o sistema é senoidal diferindo de um ponto a outro, no
máximo, em amplitude e fase. O sistema linear pode ser de com-
plexidade ilimitada; a resposta permanece senoidal. Nenhuma
outra função periódica tem esta característica.
Além disso, nenhuma outra função periódica permanece inal-
terada ao ser somada a uma função semelhante, porém de am-
plitude e fase diferentes. Uma senóide, ao ser adicionada a outra
senóide de mesmo período, mas com amplitude fase e diferen-
tes, produz uma função com a mesma forma senoidal das que a
compõem. (Experimente fazer isto em uma planilha da pasta de
trabalho FOURIER.) O Professor Ernst Guillemin (MIT) cha-
ma isto de uma “propriedade sobrenatural”. O que consideramos
lugar-comum é na realidade não usual.
A forma de uma senóide é única. Em um certo sentido, é a
mais suave de todas as funções. Uma onda acústica senoidal pura
soa bem no ouvido humano. A derivada de uma senóide também
é senoidal, e portanto a integral de uma senóide é também uma
senóide. Somente a amplitude e a fase modificam-se pela deri-
vação e integração; a forma senoidal é invariável em relação à
derivação e à integração. Em geral, você sabe que a derivação
tende a acentuar irregularidades de uma função e a integração
tende a suavizar essas irregularidades. A senóide é única quanto
ao fato de sua forma ser invariante em relação às operações de
derivação e de integração, não importando o número de vezes
que essas operações sejam repetidas.
Na Seção 4.4, vimos que a série de Fourier, composta de senos
e de co-senos, permite que você aproxime uma função periódica
arbitrária (sujeita às condições de Dirichlet) com o menor erro
quadrático. Indo aos limites de períodos arbitrariamente longos
e curtos você pode representar a maioria das funções (de inte-
resse prático) do tempo ou do espaço por uma série de senóides.
A senóide é o bloco construtivo fundamental com o qual pode-
mos construir todos os outros componentes e nos permite deter-
minar a resposta a uma excitação qualquer se conhecermos a
resposta a senóides.
• A série de Fourier é associada a funções periódicas, sendo
o seu espectro discreto.
• A transformada analítica de Fourier é associada a funções
não-periódicas e o espectro é contínuo.
A versão analítica da transformada de Fourier é surpreendente
de muitas formas, porém a mais óbvia é que você pode repre-
sentar uma função não-periódica por uma coleção de funções
periódicas!
É impossível deixar de enfatizar a importância da senóide e dos
métodos de Fourier nos campos de engenharia e ciência. Se não
existissem, a senóide e esses métodos teriam de ser inventados.
11.2 BLOCOS CONSTRUTIVOS
11.3 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
Vejamos a versão em planilha da FFT. A FFT é um algoritmo da
transformada discreta de Fourier dotada de uma rapidez não usu-
al. Na realidade, há diversas versões da FFT. A FFT do EXCEL
requer que o número de pontos de dados nos domínios original e
da transformada seja uma potência inteira de 2, como 128, 256,
512, 1024 e assim por diante. Além disso, as seqüências do sinal
original e da transformada devem ter o mesmo número de pontos.
Abra a pasta de trabalho FFT-IFFT e a Fig. 11-1 será exibida.
Essa pasta de trabalho requer muitas explicações e nós a ana-
lisaremos linha por linha. A FFT-IFFT calcula a FFT de um si-nal para obter o espectro e, em seguida, calcula a FFT Inversa
(ou IFFT) para recuperar o sinal original.
Dica
Observe na pasta de trabalho FFT-IFFT que os dados de entrada
são números reais puros. A FFT produz um conjunto de dados
complexos e os resultados da IFFT são dados reais não-numéri-
cos (texto) que retornam ao domínio dos dados originais. Você
deve transformar a saída IFFT em dados numéricos usando a fun-
ção de planilha IMREAL, conforme mostra a linha 21 da tela.
A planilha não recalcula automaticamente a FFT e a IFFT.
Assim, toda vez que os dados de entrada forem alterados você
precisará chamar a FFT e efetuar de novo as operações. Você
pode criar uma macro para automatizar esta tarefa. Há diversos
truques para se usar a FFT; vamos examiná-los passo a passo.
Veja a caixa de diálogo na Fig. 11-2.
Os valores das variâncias mostrados nas células D4 e G4 for-
necem uma forma rápida de comparar a entrada com o resultado
da aplicação da FFT e, em seguida, da aplicação da IFFT.
Certifique-se de que atribuiu o mesmo número de células
ocupadas com os dados de entrada à linha ou coluna onde deseja
que a seqüência de dados transformados vá residir. Na caixa de
diálogo mostrada na tela da Fig. 11-1 observe a caixa de verifi-
cação Inversa. Se quiser obter a FFT ela não deverá ser ativada.
Se, no entanto, quiser obter a IFFT, deverá ativá-la.
Utilizaremos as funções complexas IMREAL e IMAGINÁ-
RIO para separar os dados transformados de modo que tenha-
mos as partes real e imaginária e, em seguida, usaremos IMABS
e IMARG para magnitude e fase. Veja o Cap. 7 para uma revi-
são dessas funções de planilha. Se a Análise de Dados não esti-
ver disponível como opção do menu Ferramentas, execute o pro-
grama de instalação do EXCEL e inclua essa opção.
A planilha contém a transformada direta, que chamaremos
de FFT, e a transformada inversa, que chamaremos de IFFT.
Testaremos a exatidão das transformações aplicando primei-
ro a transformada direta e, em seguida, a transformada inver-
sa para determinar quão perto chegamos dos dados originais.
�
162 CAPÍTULO ONZE
Observe que o sinal de teste usado na planilha é um teste de
dois tons consistindo em duas ondas senoidais de amplitudes
e de freqüências diferentes. O sinal de dois tons é um teste
padrão para medir a distorção por intermodulação, que é um
efeito não-linear. Se o sistema sob teste for linear, as únicas
freqüências na saída serão as freqüências da entrada. Se o sis-
tema for não-linear, aparecerão freqüências misturadas (como
somas e diferenças). O ouvido humano é não-linear e esta é a
razão pela qual ouvimos freqüências misturadas e a música
soa agradável.
A Fig. 11-3 mostra erros muito pequenos envolvidos na trans-
formação do domínio de origem dos dados em FFT e na trans-
formação inversa do espectro para o original, usando a IFFT.
Mais tarde executaremos alguns cálculos analíticos para que você
possa comparar os resultados da FFT com os exatos.
A FFT é um recurso extremamente poderoso, mas possui al-
gumas peculiaridades das quais você deve estar ciente. Uma fonte
principal de erros relativos aos dados não-periódicos é que a FFT
supõe sempre que os dados são periódicos. Como conseqüência
disto, a FFT pode se tornar imprecisa à medida que você se apro-
xima das extremidades positiva e negativa do eixo das freqüên-
cias.
Essa periodicidade imposta fica evidente ao comparar os re-
sultados da FFT com os resultados exatos de parte real e imagi-
nária, de magnitude e fase, bem como o gráfico polar da parte
imaginária em função da parte real. O gráfico polar sempre fe-
cha porque a FFT supõe a ligação suave com um conjunto de
dados idênticos nas extremidades direita e esquerda. Vamos fa-
zer um resumo de algumas dicas e truques necessários para que
a operação com a FFT seja bem-sucedida.
Fig. 11-1 Tela inicial da planilha Principal da pasta de trabalho FFT-IFFT. A caixa de diálogo Análise de Fourier está ativada. Examine a linha 15
na tela do seu computador. O conteúdo dessa linha é complexo. O sinal de entrada consiste em dois sinais senoidais de amplitudes e freqüências
diferentes.
Fig. 11-2 Caixa de diálogo da Análise de Fourier. Marque a caixa de verificação Inversa para efetuar a operação IFFT. Aqui está selecionada a
opção Intervalo de Saída.
FERRAMENTAS DE ANÁLISE: ANÁLISE DE FOURIER 163
�
Vamos analisar essa planilha em detalhes. Abra o arquivo FFT-
IFFT e vá testando à medida que seguir as explicações aqui apre-
sentadas. Neste exemplo utilizaremos uma transformada com 128
pontos. As linhas a seguir consistem em células que vão da co-
luna A até a coluna DX.
Linha 7: contém o eixo dos tempos. Ela é construída usando
[Editar][Preencher][Seqüência]
Linha 9: contém o sinal de entrada, duas ondas senoidais com
valores diferentes de amplitude e de freqüência. A fórmula na
célula A9 é =SEN(A7)+0,5*SEN(0,9*A7).
Linha 11: contém o deslocamento de Nyquist (sinal mais-um-
menos-um). A fórmula na célula A11 é =COS(A7*PI()). Esta
fórmula produz os valores �1 e �1 para o sinal mais-um-me-
nos-um. Veja a Seção 11.6.
Linha 13: contém o sinal de entrada mais-um-menos-um. A
fórmula na célula A13 é =A9*A11. A linha 13 é a entrada da
FFT; na caixa de diálogo as 128 células selecionadas são
A13:DX13. O objetivo do sinal mais-um-menos-um é produzir
transformadas de Fourier que se pareçam com as que você vê nos
livros, ou seja, com o espectro centrado.
Linha 15: contém a saída da FFT. O conteúdo da célula A15 é
uma grandeza não-numérica que se assemelha ao número
�1,22040916853706. Veja as outras células da linha 13. Por
exemplo, a célula B13 contém �1,22040916853706� 1,801815
90622879E-002i. Observe o “i” ao final do segundo número,
indicando que ele é imaginário. O conteúdo da célula B13 é um
número complexo.
Linha 17: contém a densidade espectral de potência do sinal. A
fórmula na célula A17 é =IMABS(A15)^2/128. A função de
planilha IMABS calcula o valor absoluto de A15 e o resultado é
elevado ao quadrado para se obter a potência. A potência é dividida
por 128 para a normalização adequada (veja o teorema de Parseval).
Linha 19: contém a inversa da FFT, ou seja, a IFFT da linha 15.
Observe que esta linha está na forma não-numérica; o 0 na célu-
la A19 está no lado esquerdo da célula. Esta linha não pode ser
convertida em gráfico.
Linha 21: contém a parte real da linha 19. Observe que o 0 na
célula A21 está no lado direito da célula. A fórmula na célula 21
é =IMREAL(A19)*A11. A função de planilha IMREAL recu-
pera a parte real do conteúdo da célula A19 e a multiplicação por
A11 faz uma operação oposta a da multiplicação pelo sinal mais-
um-menos-um.
Linhas 23 a 30: mostram o efeito de não usar a operação de
multiplicar pelo sinal mais-um-menos-um. Se não estiver inte-
ressado em visualizar o espectro e desejar apenas usá-lo no cál-
culo, você não precisa da operação com o sinal mais-ou-menos.
Linha 32: calcula a diferença entre o sinal de entrada original,
linha 9, e a parte real da IFFT, linha 30. Considerando todos os
cálculos envolvidos para efetuar a FFT e, em seguida a IFFT, os
erros são bastante pequenos. Esta linha é mostrada graficamente
na Fig. 11-3.
Dica
A saída da IFFT é apresentada na forma não-numérica e inclui a
defasagem de Nyquist se à entrada da FFT tiver sido aplicada a
defasagem de Nyquist. Caso você deseje visualizar a saída ou
gerar um gráfico, utilize a função de planilha IMREAL para re-
cuperar a parte real da IFFT e multiplique novamente pela fun-
ção “mais-um-menos-um” que produz a defasagem de Nyquist
a fim de desfazer o processamento original antes da FFT. Por
exemplo, o conteúdo IFFT da célula B19 é mostrado como
�1,23313443962164, mas está em forma não-numérica. A fór-
mula na célula B21 é =IMREAL(B19)*B11. Essa operação trans-
forma o conteúdo da célula B19 em forma numérica e a fórmu-
la na célula B11 desfaz a defasagem de Nyquist existente.
Por um instante, vamos fazer uma pequena digressão e exe-
cutar o cálculo analítico de uma transformada de Fourier como
objetivo de ajudar você a ter uma intuição sobreo procedimento
numérico.
Fig. 11-3 Erros entre os dados originais e os resultantes da aplicação da FFT seguida da operação inversa IFFT. Observe que os erros são, no
máximo, umas poucas partes em 1015. Este gráfico está disponível na pasta de trabalho FFT-IFFT.
11.4 DETALHES DA PLANILHA FFT-IFFT
164 CAPÍTULO ONZE
Para tratar do assunto de forma completa, vejamos como fica a
transformada de Fourier em seu formato analítico. Vamos dar um
exemplo simples utilizando o cálculo elementar que produzirá um
resultado exato e você poderá compará-lo com o obtido através
da FFT. Há diversas formas para definir a transformada, mas a que
se segue é conveniente para os propósitos que temos em vista:
onde f(t) é uma forma de onda no domínio original (aqui o do-
mínio é o do tempo t) e F(�) é o espectro no domínio de freqüên-
cia. A freqüência � é medida em rad/s. Lembre-se de que � �
2�f, onde f é a freqüência em Hz.
As Eqs. (11-1) e (11-2) são realmente notáveis; muitos livros fo-
ram escritos sobre elas. A Eq. (11-1) é chamada de transformada di-
reta e a Eq. (11-2) é chamada de transformada inversa. A utilização
dessas integrais é freqüentemente uma tarefa desafiadora, mas veja-
mos como é fácil (e instrutivo) aplicá-las a um dos sinais mais usa-
dos, o pulso retangular. Bilhões de pulsos como estes são usados a
cada segundo de cada dia nos sistemas digitais em todo o mundo.
Obtenhamos o espectro de um pulso de amplitude A e largura
T. Admita que o pulso esteja centrado em t � 0, isto é, que co-
meça em �T/2 e termina em �T/2.
O pulso é representado graficamente na Fig. 11-4. Vamos inse-
rir agora esta função na Eq. (11-1):
Este é o tipo de integral que você aprendeu na primeira ou na
segunda semana do curso de cálculo. Observe que se trata de uma
integral definida em t de modo que o resultado será uma função
de � que depende do valor de T. Faça a integração:
Esse procedimento é facilmente calculado como:
A Eq. (11-7), provavelmente, seria entendida por um matemáti-
co, mas para a maioria das pessoas é preciso escrever a Eq. (11-
7) em uma forma mais compreensível e que possa ser represen-
tada graficamente. Em primeiro lugar, multiplique o numerador
e o denominador por �1 e você obterá uma fórmula mais fami-
liar:
Lembre-se de que o seno pode ser representado em termos de
exponenciais complexas como:
assim a Eq. (11-8) pode ser escrita como
A função da Eq. (11-10) é tão comum que é chamada da função
“seno de x sobre x”. A Fig. 11-4 mostra o pulso e seu espectro. O
pulso é restrito no tempo mas o espectro se espalha de menos
11.5 TRANSFORMADA DE FOURIER, EXEMPLO ANALÍTICO
Fig. 11-4 Curva superior: pulso retangular simétrico,
centrado na origem do eixo dos tempos. Curva inferi-
or: parte central do espectro correspondente. O gráfi-
co corresponde ao cálculo analítico, não ao resultado
da aplicação da FFT do EXCEL. Para obter uma sepa-
ração entre os gráficos, visando a uma maior clareza,
o gráfico do pulso foi deslocado para cima uma uni-
dade de amplitude e o do espectro, deslocado para
baixo uma unidade de amplitude.
FERRAMENTAS DE ANÁLISE: ANÁLISE DE FOURIER 165
infinito a mais infinito. A Fig. 11-4 mostra o pulso completo, mas
apenas a parte central do espectro é apresentada.
Observe que na Fig. 11-4 o pulso é limitado no domínio do
tempo mas o espectro é ilimitado; existe de menos infinito a mais
infinito. Contudo, a maior parte da energia está concentrada em
torno de zero. É útil realizar uma medida quantitativa para saber
como essa energia está concentrada, em outras palavras, para
conhecer a largura de faixa do sinal. Uma forma de definir a
largura de faixa é baseada na Eq. (11-12). O lóbulo central con-
tém a maior parte da energia e o primeiro valor nulo ocorre, de
cada lado do máximo em:
Dessa forma, a freqüência do primeiro nulo, isto é, a largura de
faixa, é dada por:
(Recorde: � � 2�f.) Por exemplo, um pulso com largura de 1�s
tem uma largura de faixa de 1 MHz. Há energia considerável fora
dessa largura de faixa, mas a maioria está no interior dela. Que
percentual da energia total está no interior da largura de faixa?
(Veja o Exercício 7 no fim deste capítulo.) O Exercício 4 mos-
trará a você numericamente como a largura do pulso controla a
largura de faixa.
Observação: nos sistemas digitais a largura de faixa também
refere-se à velocidade possível de envio dos dados por meio de
uma conexão. Em geral, essa largura de faixa é medida em bits
por segundo. Uma página cheia com um texto em inglês tem cerca
de 16.000 bits. Um modem com uma boa linha telefônica pode
transmitir cerca de 56.000 bps. Uma tela animada de vídeo re-
quer, a grosso modo, 10.000.000 bps, dependendo da compacta-
ção que estiver sendo utilizada.
De modo geral, quando a forma de onda for apenas uma fun-
ção real, o espectro será complexo. Nesse caso em particular, um
exemplo analítico simples, as partes imaginárias se anulam e,
assim, podemos representar o espectro por uma função real, usan-
do a representação complexa da função seno, Eq. (11-10).
Dicas
Um espectro complexo pode ser representado por suas partes real
e imaginária, bem como por suas magnitude e fase. No labora-
tório, em geral, você mede a magnitude e a fase de um espectro
e esta é, provavelmente, a forma mais fácil de interpretá-lo.
Quando a forma de onda é centrada (simétrica) no domínio
original dos dados, tanto a fase como a parte imaginária do es-
pectro têm zero como valor.
Algumas formas de onda não são simétricas no domínio do
tempo (por exemplo, todas as formas de onda que começam em
t = 0 são não-simétricas). Formas de onda assimétricas têm sem-
pre um espectro com fase e parte imaginária não-nulas. Teste esta
propriedade para comprovar essa realidade (veja o Exercício 1
no final deste capítulo).
As integrais do par de transformadas de Fourier parecem sim-
ples mas, com freqüência, são extraordinariamente difíceis. Em
muitos casos elas não existem na forma analítica conhecida. Da-
dos experimentais sempre contêm ruído (os dados não são funções
analíticas completas) e, portanto, os métodos analíticos não podem
ser utilizados. Devem ser usados métodos numéricos como a FFT.
Os métodos numéricos já existiam antes da FFT mas, em geral,
exigiam a realização de inúmeros cálculos, tornando-os imprati-
cáveis para uso comum. As transformadas de Fourier sem a FFT
requerem um volume de operações de cálculo proporcional a n2,
onde n é o número de pontos de dados. As operações de FFT ge-
ralmente requerem operações proporcionais ao logaritmo de n.
Como resultado, a análise de grandes conjuntos de dados com a
FFT pode ser feita agora em microssegundos em vez de anos.
Vamos continuar a analisar a defasagem de Nyquist, o preen-
chimento com zeros, a normalização de freqüência, a amostra-
gem e a ambigüidade e a janela de dados, além de mostrar como
utilizar esses detalhes com a FFT do EXCEL.
�
11.6 DEFASAGEM DE NYQUIST, SINAL MAIS-UM-MENOS-UM
A aplicação da FFT a um conjunto de dados brutos pode
surpreendê-lo no início, pois tem como resultado um espectro
estranho, que contém a parte central nas extremidades do grá-
fico e as extremidades no centro. Os resultados da FFT não se
parecem com a curva inferior da Fig. 11-4. Multiplicando cada
um dos pontos de dados ímpares por –1 antes da operação da
FFT obtemos um espectro que se parece com o que seria obti-
do no cálculo manual. Esta operação de pré-processamento é
chamada de defasagem de Nyquist, ou multiplicação pelo si-
nal mais-um-menos-um. Ela foi inventada por Harry Nyquist,
nos Bell Labs (hoje Lucent Technologies, http://www.
lucent.com).
Caso não haja interesse em examinar o espectro diretamente,
mas somente em usá-lo para outros cálculos, você poderá elimi-
nar a defasagem de Nyquist, que consome tempo e ocupa o com-
putador. Para ver como a defasagem de Nyquist é aplicada, uti-
lize o mouse para testar as linhas 9 e 11 da planilha FFT-IFFT
mostrada na Fig. 11-1.
166 CAPÍTULO ONZE
Se os dados originais não tiverem um número de pontos correspon-
dente a uma potência de 2, vocêpode adicionar zeros aos dados para
aproximar o número de pontos à potência de 2. Por exemplo, para 118
pontos de dados adicione 10 zeros fazendo o número total igual a 128.
Por que não adicionar 138 zeros e levar o número de pon-
tos para 256? Experimente fazer isto e observe o que aconte-
ce. A primeira coisa que você nota é que o espectro parece
mais suave, mas não adicionou qualquer informação! A van-
tagem do preendimento com zeros é que, estatisticamente
falando, a variância é diminuída artificialmente ao introduzir
os zeros. Teste o procedimento de preencher com zeros um pe-
queno conjunto de dados, digamos 14 pontos. Adicione 2 zeros
para ir a 16 pontos e observe a FFT. Compare-a com a adição de
18, 50 e 114 zeros. Veja o Exercício 9 no final deste capítulo.
11.7 PREENCHENDO DADOS COM ZEROS
11.8 ALTERANDO A ESCALA DE FREQÜÊNCIAS
Como a FFT é uma transformada discreta, há uma conexão com
a freqüência de Nyquist e com o teorema da amostragem de
Nyquist. Se o intervalo de amostragem for ∆t segundos então a
freqüência de amostragem associada será:
Para uma tabela de aquisição de dados que pode coletar 105 da-
dos por segundo, �t é 10�5 s. Se o número total de amostras for
N, então o intervalo de freqüência entre os pontos de dados do
espectro após o processamento com FFT é:
Por exemplo, se N for igual a 512 amostras e �t for 10 �s a esca-
la de freqüência entre os pontos de dados do espectro é de 195,3125
Hz. A informação está localizada exclusivamente nesses pontos de
dados. Não há nada entre eles. Aumentar o número de amostras
diminuiu a escala. Coletar mais amostras é sempre uma boa idéia
porque aumenta o número de informações, mas isto também requer
mais tempo e mais potência de cálculo. Use a pasta de trabalho
ESCALA DE FREQÜÊNCIA para ver como isso é feito.
11.9 AMOSTRAGEM E AMBIGÜIDADE (ALIASING)
Nyquist demonstrou que é possível reconstruir completamente um
sinal contínuo a partir de amostras igualmente espaçadas, sob a
condição de que a maior freqüência segura que você deseja atin-
gir seja inferior à metade da freqüência de amostragem. A amos-
tragem com uma freqüência mais baixa resulta em um fenômeno
chamado de mascaramento de freqüência (aliasing). Esse fenô-
meno ocorre quando uma freqüência alta fica mascarada como se
fosse uma freqüência baixa. O efeito estroboscópico pode ser vis-
to no cinema (exemplo de sistema com dados amostrados a uma
taxa de 24 Hz),2 onde nos filmes de faroeste as rodas das carrua-
gens parecem se mover vagarosamente ou para trás.
Ao coletar dados a freqüência deve ser mantida bem abaixo da
Nyquist. Em um sistema de aquisição de dados com freqüência de
amostragem igual a 100 kHz, a freqüência de Nyquist é de 50 kHz.
A maioria das placas de som dos computadores possui uma freqüên-
cia de amostragem de 44,1 kHz com uma freqüência de Nyquist
associada de 22,05 kHz, o que está ligeiramente acima do limite
superior da audição humana. Talvez alguns sistemas digitais de
som tenham uma especificação 8 vezes maior do que a amostra-
gem. Isso significa que a freqüência de Nyquist é oito vezes a mais
alta freqüência amplificada pelo sistema. A sobreamostragem
permite o uso de filtros baratos e simples após a conversão A/D.
Filtros anti aliasing são filtros passa-baixas usados antes de
conversores A/D para reduzir a energia acima da freqüência de
Nyquist antes da conversão análogo-digital. Os filtros anti-
aliasing devem ter uma característica de fase linear na faixa
passante a fim de minimizar a distorção de fase.
Abra a pasta de trabalho DADOS-ALIAS e teste o aliasing
na planilha (veja o Exercício 7 no final deste capítulo). Nessa
pasta de trabalho a taxa de amostragem é constante e a freqüên-
cia da onda senoidal é ajustável. Construa uma planilha que
mantenha constante o valor da freqüência da onda senoidal e
ajuste a taxa de amostragem. A Fig. 11-5 mostra a tela inicial da
pasta de trabalho DADOS-ALIAS.
Dica
Você pode combinar as operações de defasagem de Nyquist e de colocação de janelas nos dados (Seção 11.10) em uma única etapa da planilha.
Elas constituem operações de pré-processamento. Tudo o que precisa fazer é multiplicar o ponto de dados bruto pela fórmula da janela de
dados e pela fórmula de Nyquist.
Por exemplo, se o ponto de dados bruto estiver na célula A7, a fórmula na célula A8 poderia ser =A7*(0,5-0,5*COS(2*PI()*A$6/
128))COS(A6*PI()). Aqui, a fórmula que multiplica a célula A8 é a da janela de von Hann (Seção 11.10), e esta é ainda multiplicada pela
defasagem de Nyquist COS(A6*PI()). Nesta fórmula o eixo dos tempos é representado pela linha 6.
�
2 A ilusão do movimento contínuo é obtida explorando a retenção da retina através da exibição de 24 quadros por segundo. (N.T.)
FERRAMENTAS DE ANÁLISE: ANÁLISE DE FOURIER 167
O teorema de Nyquist estabelece a conexão entre os sinais con-
tínuos no tempo e as informações digitalizadas (discretas), mas
não encerra a questão. A largura do pulso, bem como o início e
o fim da amostragem são importantes em termos de vazamento
de espectro. O início e a interrupção repentinos da amostragem
de um sinal contínuo no tempo comprometem a resolução de
freqüência; o vazamento de espectro refere-se ao aparente es-
palhamento de energia em freqüências adjacentes causado pelo
início e pela interrupção na aquisição de dados.
As janelas de dados foram inventadas para lidar com esse
problema tentando suavizar o início e o fim do bloco de dados.
Há muitos tipos de janelas em uso. Cada um deles possui atri-
butos especiais e não há, no momento, nenhum meio de afir-
mar qual é o melhor. Na verdade, nem é útil perguntar qual é o
melhor, pois não há como decidir isso devido à multiplicidade
de parâmetros associados às janelas, além do objetivo funda-
mental que é dar ênfase à resolução. Para tornar o tutorial mais
simples, a Fig. 11-1 não utiliza janelas de qualquer espécie, mas
isso não é totalmente verdadeiro porque significa que está sen-
do usada automaticamente uma janela retangular. Uma janela
retangular possui início e interrupção repentinos. Em geral, é a
pior opção.
Entre as janelas comuns que são fáceis de usar em planilhas
estão as de Hamming, Von Hann, Kaiser-Bessel e Blackman-
Harris. Essas janelas, mostradas na Tabela 11-1, são bem me-
lhores do que a janela retangular; algumas vezes o aperfeiçoa-
mento pode proporcionar um fator de redução de 109 no vaza-
mento de espectro.
Qual é a melhor janela? Não há resposta para a pergunta,
porque a resposta depende do que é considerado “melhor” em
cada situação particular. Há quatro pontos importantes a serem
considerados ao escolher uma janela, além disso as janelas são
comparadas usando pelo menos sete parâmetros. Para obter uma
abordagem sobre essas alternativas, consulte o livro de Brigham
e o artigo de Harris indicados como referências no final deste
capítulo. Uma solução prática para usar as janelas consiste em
analisar os dados usando as diferentes janelas a fim de optar por
aquela que parece lhe oferecer os “melhores” resultados.
As cinco janelas da Tabela 11-1 são definidas pelos valores
dos coeficientes na equação de janela:
onde n é um ponto de dados; N é o número total de pontos de
dados da janela. Essa janela é instalada para 0 	 n 	 N � 1. Para
uso com a FFT, N é um número inteiro com potência de 2.
As janelas de Hamming e de Von Hann são particularmente
simples. Observe que a janela de Hamming é a única que não
possui zeros nas extremidades da janela.
Por exemplo, usando a Eq. (11-14) com a Tabela 11-1, pode-
mos escrever a equação da janela de Von Hann para N � 128
como:
Fig. 11-5 Exemplo de uma onda senoidal
acima e abaixo da freqüência de Nyquist.
Mude a freqüência B para um valor ele-
vado, como por exemplo 50 vezes a fre-
qüência A. Observe como parece ser
uma freqüência baixa.
11.10 JANELA DE DADOS
TABELA 11-1 Coeficientes de algumas funções comuns
de janela
Nome da Janela a1 a2 a3 a4
Retangular 1,000 0,000 0,000 0,000
de Hamming 0,540 �0,460 0,000 0,000
de Von Hann 0,500 �0,500 0,000 0,000
de Blackman-Harris 0,358 �0,4880,141 �0,011
de Kaiser-Bessel 0,402 �0,498 0,098 �0,001
168 CAPÍTULO ONZE
Uma janela retangular corresponde, na realidade, a não ter uma
janela. Ela serve somente para iniciar e interromper uma seqüên-
cia de dados. Abra uma nova planilha e trace os gráficos das ja-
nelas de Hamming, de Von Hann, de Blackman-Harris e de
Kaiser-Bessel usando a Eq. (11-16) com 64 pontos.
A inserção de dados nas janelas é um tema em aberto. Trata-
se de uma área de pesquisa ativa e as cinco janelas descritas an-
teriormente compreendem um pequeno subconjunto de um gran-
de grupo.
Já utilizamos janelas de dados para melhorar a resolução do
espectro em algumas planilhas anteriores. A inserção de dados
nas janelas é uma etapa de pré-processamento dos dados antes
de aplicar a FFT. Usamos também a defasagem de Nyquist como
forma de pré-processamento na Seção 11.6, mas o objetivo foi
apenas estético, centrar o espectro de modo que se pareça com o
calculado analiticamente.
O vazamento de espectro que ocorre ao selecionar um bloco
de dados pode ser considerado como uma forma de difração
generalizada. O início e a interrupção repentinos de uma seqüên-
cia de dados é responsável por esta difração exatamente como a
borda afiada de uma lente ou de um espelho borra uma imagem
óptica devido à difração. Na verdade, o uso de janelas em óptica
é conhecido como apodização e refere-se a um filtro neutro de
gradiente de densidade aplicado a uma lente ou a um espelho
próximo das bordas. A remoção de parte da energia próxima dos
limites da lente ou da antena atenua os efeitos da difração e au-
menta a resolução da imagem.
Suavizar o início e a interrupção de uma seqüência de dados,
com certeza, reduzirá a freqüência dessa difração. No entanto, a
experiência mostra que é sempre preciso desistir de algo para
ganhar outro. Na realidade há várias soluções de compromisso,
incluindo o nível de lobos laterais, largura de faixa equivalente
de ruído e ganho coerente. Essas soluções de compromisso são
a razão de terem sido inventadas tantas janelas.
Optar por não utilizar as janelas, na realidade, significa utili-
zar uma janela retangular e essa é a pior escolha de todas. Leve
em consideração selecionar um bloco de dados de uma onda
senoidal. Se o bloco de dados incluir um número inteiro de mei-
os-períodos então os dados aumentarão a partir de zero no início
e diminuirão até zero no final, gradativamente. Não é fácil sele-
cionar um bloco de dados com essas características; na maior par-
te do tempo selecionamos como pontos de dados um número
inteiro potência de 2 para uma dada freqüência de amostragem
e, em seguida, processamos os dados. O uso de janelas antes da
FFT pode produzir melhorias surpreendentes na resolução do
espectro, como veremos a seguir.
O uso das janelas envolve a multiplicação dos pontos de da-
dos por uma função de janela. A multiplicação no domínio do
tempo é equivalente à convolução em freqüência; por conseguin-
te, o uso da janela é uma forma de convolução (veja a Seção 12.2).
A pasta de trabalho JANELA DE DADOS, mostrada na Fig.
11-6, tem uma pequena biblioteca de funções de janela que você
pode usar. Podem ser adicionadas novas janelas à sua escolha.
As já embutidas são as janelas retangular, de Von Hann, de
Hamming, de Blackman-Harris e Kaiser-Bessel. As de Von Hann
e de Hamming são particularmente simples. Para selecionar uma
janela, copie a fórmula da célula do tipo de janela nas células
A10:DX10. Por exemplo, para selecionar a janela de Hamming,
copie a célula A30 na linha 10. A Fig. 11-7 mostra um sinal de
teste de duas freqüências com uma janela retangular e a Fig. 11-
8 compara os espectros obtidos usando essas janelas.
As propriedades de mais de vinte janelas comuns estão cata-
logadas no famoso artigo F.J. Harris, “On the use of windows
for harmonic analysis with discrete Fourier transform”, Procee-
dings of the IEEE 66, pp. 5183 (1978) e em E.O. Brigham The
Fast Fourier Transform and Its Applications (Prentice-Hall
1988).
Os resultados da janela de Blackman-Harris são impressio-
nantes, com melhoria superior a 90 dB nas laterais das linhas
espectrais e excelente resolução de duas linhas. Use a pasta de
trabalho para examinar a janela de Blackman-Harris. A janela
de Hamming mais simples, Fig. 11-8, tem boa resolução mas uma
melhoria inferior nas laterais. Observe a pequena diferença ob-
tida ao usar as janelas de Hamming e de Blackman-Harris nos
Fig. 11-6 Tela inicial da planilha Principal da
pasta de trabalho JANELA DE DADOS. A fór-
mula para aplicação da janela de Hamming está
mostrada na célula A10. Observe o efeito da apli-
cação da janela na linha 12.
FERRAMENTAS DE ANÁLISE: ANÁLISE DE FOURIER 169
valores de pico ligeiramente menores dos espectros em compa-
ração com o da janela retangular. A Fig. 11-8 mostra uma razão
pela qual os espectros observados estimam realmente o verda-
deiro estado da natureza.
O sinal de teste de duas freqüências consiste em duas ondas
senoidais. A senóide de freqüência inferior tem uma freqüência
cujo valor é 2/3 da freqüência da outra senóide. A Fig. 11-7
mostra o sinal de teste modificado por uma janela de Hamming
e a Fig. 11-8 mostra uma comparação dos resultados da janela
retangular e da janela de Hamming.
Como na vida, o que você vê depende do tipo de janela atra-
vés da qual você olha. A escolha da melhor janela depende da-
quilo que estiver procurando obter e é uma boa idéia analisar o
espectro usando várias janelas. O problema da estimação obtido
espectral envolvendo dados aleatórios com a FFT, atualmente, é
objeto de interesse para pesquisa.
Fig. 11-7 Sinal de teste com duas freqüências visto de uma
janela retangular. Observe a interrupção repentina da se-
qüência de dados de 128 pontos. Isso causa vazamento do
espectro.
Fig. 11-8 Esse é o mesmo sinal mostrado na Fig. 11-5, visto aqui
em uma janela (sinal com valores positivos e negativos). A fun-
ção-janela de Hamming tem marcadores circulares.
11.11 DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA (DEP)
O que É Isso?
A densidade espectral de potência fornece a energia do sinal em
cada freqüência. É chamada densidade espectral de potência por
ser análoga a uma densidade de massa. Em outras palavras, inte-
grando a densidade de massa (kg/m3) sobre o volume tem-se a
massa total em kg e integrando-se a DEP (J/Hz) sobre a freqüên-
cia tem-se a energia total em joules. (Lembre-se de que J é a
abreviatura de joule, unidade de energia do sistema SI.) A ener-
gia de um sinal pode ser expressa por:
e de acordo com o teorema de Parseval também é dada por
Quando f(t) for medido em volts e |f(t)|2 em volts2/ohms, que
representa a potência em watts, então a integral ao longo do tempo
170 CAPÍTULO ONZE
fornece a energia. Correspondentemente, se |F(�)| for medido em
volts⋅segundos ou volts/Hz, então |F(�)|2 é medido em unidades
de (volt/Hz)2/ohm, J⋅s, ou J/Hz. A grandeza |F(�)|2 é chamada
de densidade espectral de potência, DEP, ou (menos precisamen-
te) espectro de potência, porque a integração de J/Hz sobre a fre-
qüência produz J.
O que Faz a DEP?
A densidade espectral de potência representa a potência do sinal
em função da freqüência. O procedimento para medir e calcular
a DEP é extremamente importante, pois ela fornece informações
úteis e uma visão geral dos sistemas. A DEP e a DEP cruzada
constituem habitualmente pontos de partida para a análise avan-
çada envolvendo outras funções.
No Cap. 14, voltaremos ao conceito de espectros de potência
e generalizaremos o espectro de potência cruzada, importantes
nas funções de correlação cruzada, identificação de sistemas e
funções de coerência. A medição de espectros de potência é cha-
mada habitualmente de estimação de DEP por motivos que se
tornarão claros adiante.
Normalização da DEP Usando o
Teorema de Parseval
� O teorema de Parseval é útil para a normalização da ener-
gia do espectro, possibilitando a obtenção de resultados quan-
titativos. Estamos interessados na forma discreta desse teo-
rema:
onde N é o número de pontos do conjunto de dados. Na FFT do
EXCEL,o número de pontos será sempre um inteiro potência
de 2.
Uma outra forma do teorema de Parseval é útil no caso de
funções periódicas, caso você tenha a sorte de conhecer a fór-
mula do sinal (e, em conseqüência, conhecer a série de Fourier,
veja o Cap. 4). De um modo geral, você não terá essa informa-
ção para dados experimentais, mas no projeto de sinais e siste-
mas é possível usar a forma:
Aqui, p é período da função e os As e Bs são os coeficientes de
Fourier (veja a planilha FOURIER, no Cap. 4).
Dica
As Eqs. (11-19) e (11-20) podem ser usadas para verificar a exa-
tidão dos cálculos. Por exemplo, se você esquecer de elevar o
valor do espectro ao quadrado, ou se houver um erro no ponto
de dados, esta equação não terá solução. Teste o procedimento
na pasta de trabalho DEP.
Pasta de Trabalho DEP
A Fig. 11-9 mostra a tela Home dessa pasta de trabalho. Abra a
pasta DEP em seu computador e siga os passos indicados à me-
dida que for utilizando as técnicas mostradas aqui.
Composição da Pasta de Trabalho
A coluna A contém o eixo dos tempos. Nela há 128 pontos
no intervalo de células A7:A134.
A coluna B contém o sinal de entrada. Neste exemplo a en-
trada é uma onda senoidal que começa em t � 0. A fórmula da
célula B7 é =SEN(8*PI()/127) para forçar o sinal a zero no
final da seqüência. Essa fórmula será copiada para as células do
intervalo B7:B134. A Fig. 11-9 mostra o sinal de entrada.
A coluna C contém a potência instantânea do sinal de entra-
da. A fórmula da célula C7 é =B7^2 e será copiada para o inter-
valo C7:C134.
A coluna D contém a defasagem de Nyquist. A fórmula da
célula D7 é =COS(A7*PI()). Essa informação é copiada para
as células D7:D134.
Fig. 11-9 Comparação entre as janelas retangular (curva su-
perior) e a de Hamming (curva inferior) aplicadas ao sinal de
teste das duas freqüências. Nenhum deslocamento vertical foi
aplicado; esses são os verdadeiros espectros. Observe a boa re-
solução espectral e o baixo vazamento de espectro da janela
de Hamming. Observe também que a janela de Hamming re-
presentou a potência dos dois sinais de forma mais exata que a
janela retangular. Examine o gráfico mais detalhadamente
usando a pasta de trabalho JANELA DE DADOS.
�
FERRAMENTAS DE ANÁLISE: ANÁLISE DE FOURIER 171
Fig. 11-10 Tela inicial da planilha Principal da pasta de trabalho DEP. Observe os números complexos na coluna F. Observe, também, que o
teorema de Parseval se confirma; a energia de entrada é a mesma energia contida no espectro.
Fig. 11-11 Sinal de entrada do exemplo DEP. Trata-se de um segmento de onda senoidal.
172 CAPÍTULO ONZE
A coluna E contém o sinal de entrada após a aplicação da
defasagem de Nyquist. A fórmula da célula E7 é =B7*D7. Esse
resultado é copiado para as células do intervalo E7:E134.
A coluna F contém o espectro gerado pela aplicação da ferra-
menta Análise de Fourier ativada pelos menus [Ferramentas]-
[Análise de Dados]. O espectro está em F7:F134.
A coluna I contém a densidade espectral de potência (DEP).
A fórmula da célula I7 é =IMABS(F7)^2/128 de acordo com
a Eq. (11-19). Essa expressão é copiada para I7:I134. A Fig. 11-
10 mostra a DEP.
A célula E3 exibe a energia do sinal de entrada. A fórmula
dessa célula é =SOMA(C7:C134).
A célula I3 exibe a energia do espectro, isto é, a DEP somada
ao longo das freqüências. A fórmula dessa célula é =SOMA
(I7:I134). Compare com o resultado da célula E3.
Fig. 11-12 DEP da onda senoidal da Fig. 11-11. Para obter a DEP somente das freqüências positivas, multiplique a DEP por 2 e trace o gráfico
entre os valores da freqüência de 64 a 128. Observe o pequeno vazamento de espectro próximo do valor zero da potência.
O QUE VEM EM SEGUIDA?
Agora você domina os conhecimentos fundamentais necessári-
os à utilização da ferramenta Análise de Fourier do EXCEL nos
outros cursos de formação e, mais tarde, na sua carreira profissi-
REFERÊNCIAS
R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, New York, 1965).
E. O. Brigham, The Fast Fourier Transform and Its Applications (Prentice-Hall 1988).
D. C. Champeney, Fourier Transforms and Their Physical Applications (Academic Press,
New York, 1973).
P. R. Griffiths and G. Pariente, “Deconvolution,” Trends in Analytical Chemistry 5, No. 8, (1986).
F. J. Harris, “On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier
transform,” Proc. IEEE 66, 51-83 (1978).
P. Jansson, Deconvolution of Images and Spectra, (Academic Press, New York 1977).
A. V. Oppenheim and R.W. Schafer. Discrete-Time Signal Processing (Prentice Hall,
Englewood Cliffs, NJ, 1989).
A indústria de entretenimento é uma das forças propulsoras do processamento digital de sinais.
Uma das empresas líderes de mercado é a Pixar Animation Studios. Seu site na web é:
http://www.pixar.com/
A Industrial Light and Magic, fundada por George Lucas (Guerra nas Estrelas). O site da
empresa é:
http://www.lucasfilm.com/
A Society of Motion Picture and Television Engineers (SMPTE) está na vanguarda de téc-
nicas utilizadas neste capítulo, por conta de métodos digitais usados em filmes. Seu site é:
http://www.smpte.org/
A indústria de áudio é a maior usuária das técnicas de processamento digital de sinal. Acesse,
por exemplo:
http://www.digido.com/homepage.html
A Digital Domain criou os efeitos digitais do filme Titanic. Essa empresa foi fundada por
James Cameron (diretor de Titanic), Scott Ross e Stan Winston. O endereço na web é:
http://www.d2.com/
A Manex Visual Effects produziu os surpreendentes efeitos especiais digitais do filme Matrix:
http://www.mvfx.com/
S.D. Landy, “Mapping the universe,” Scientific American 280 (6), 38-45 (1999) June.
onal. O Cap. 12 vai mostrar a você como aplicar a FFT em algu-
mas operações úteis. Iremos explorar a convolução, a deconvo-
lução, a função correlação e as funções coerência e SNR.
FERRAMENTAS DE ANÁLISE: ANÁLISE DE FOURIER 173
Esse artigo mostra como explorar o universo com a densidade espectral de potência; o arti-
go estabelece uma analogia entre a análise espectral acústica e a análise espectral espacial e
como obter uma visão geral.
http://www.sciam.com
T.C. Levin and M.E. Edgerton, “The throat singers of Tuva”, Scientific American 281 (3)
80-87 (1999) September. A densidade espectral de potência revela os segredos dos sons
musicais extraordinários produzidos por cantores nativos do sul da Sibéria.
TESTE SEUS CONHECIMENTOS
1. Crie uma planilha para aplicar uma FFT de 128 pontos a um
decaimento exponencial simples como y(t) � exp(�Kt). Use a de-
fasagem de Nyquist para centrar o espectro. Construa gráficos de
magnitude e fase. Compare o espectro com diferentes valores de
constante de decaimento. Considere K � 0,1, 0,2 e 0,5.
2. No Exercício 1, aplique a FFT sem a defasagem de Nyquist
para um dos valores da constante de decaimento. Construa um
diagrama de magnitude (no eixo y da esquerda) e fase (no eixo y
da direita). Compare os resultados com os do Exercício 1, que
utilizou a FFT com defasagem de Nyquist.
3. Crie uma planilha para aplicar uma FFT de 128 pontos (com
defasagem de Nyquist) a um pulso retangular. Use um pulso
centrado em t = 0 de amplitude 1 e 11 pontos de dados na largu-
ra. Compare os gráficos de magnitude e fase do espectro, para
outras larguras de pulso como 5 e 21. Que relação você vê entre
largura de pulso e largura de faixa?
4. Crie uma planilha para aplicar uma FFT de 128 pontos (com
defasagem de Nyquist) a um pulso retangular. Use um pulso com
um número ímpar de pontos de dados começando em t � 0.
Compare o espectro, para diferentes larguras de pulso como 5 e
21. Compare os resultados com os dos pulsos centrados do Exer-
cício 3. Comente o que aprendeu sobre fase.
5. Crie uma planilha para aplicar a FFT a um pulso retangular
com vários preenchimentos de zeros. Use a defasagem de
Nyquist. Considere um pulso retangular de amplitude 1, largura
7, começando em t = 0. Depois do ponto de dados 7, complete
com zeros o restante da linha ou coluna até 128. Calcule as FFTs
de 16, 32, 64 e 128 pontos. Comente suasobservações sobre o
preenchimento com zeros. (Veja a Seção 11.7.)
6. Considere um sinal de duas freqüências (como aquele da
planilha FFT-IFFT) com uma janela retangular e com uma jane-
la de Kaiser-Bessel. Construa gráficos das magnitudes em dB.
Elabore um gráfico da diferença na magnitude dos espectros.
Constate a melhoria na resolução de freqüência e no vazamento
de espectro.
7. Ambigüidade de freqüência (aliasing). Abra a pasta de traba-
lho ALIAS-DADOS. Use o mouse para testar as fórmulas da
planilha. Observe as ondas senoidais amostradas abaixo, acima,
e bem abaixo da freqüência de Nyquist. Observe como as fre-
qüências altas podem ser mascaradas como freqüências baixas.
(Veja Fig. 11-14.)
8. Utilize a densidade espectral de potência de um pulso retan-
gular e o teorema de Parseval para calcular a energia total no
interior da largura de faixa. Veja Eq. (11-11).
9. Preenchimento com zeros. Elabore uma planilha para um pul-
so retangular com 14 pontos, começando em t � 0. Adicione dois
zeros para obter dezesseis pontos e efetue a operação FFT. Com-
pare esses resultados com os obtidos adicionando 18, 50 e 114
zeros. Descreva as alterações do espectro.
10. Espectro de força. Abra a pasta de trabalho COLISÃO. Ela
contém dados experimentais sobre a colisão de dois ímãs. Um
dos ímãs é fixo e equipado com um sensor de força. O outro ímã
é montado sobre um trilho de ar. Pólos magnéticos semelhantes
produzem uma força de repulsão recíproca. Calcule o espectro
de força. Você deve utilizar o recheio de zeros para fazer com
que o número de pontos de dados seja um número inteiro potên-
cia de 2. Construa gráficos de magnitude e fase do espectro e da
DEP.