derivados parciais

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**16. Derivadas Parciais:**
As derivadas parciais são uma extensão do conceito de derivada para funções de várias variáveis. Elas são fundamentais em cálculo multivariado e têm muitas aplicações em física, engenharia, economia e outras áreas.
1. **Definição:**
 - Seja \( f(x, y) \) uma função de duas variáveis. A derivada parcial de \( f \) em relação a \( x \), denotada por \( \frac{\partial f}{\partial x} \), é a taxa de variação instantânea de \( f \) com relação a \( x \), mantendo \( y \) constante.
 - Analogamente, a derivada parcial de \( f \) em relação a \( y \), denotada por \( \frac{\partial f}{\partial y} \), é a taxa de variação instantânea de \( f \) com relação a \( y \), mantendo \( x \) constante.
2. **Cálculo:**
 - Para calcular uma derivada parcial, tratamos uma variável como variável independente e as outras como constantes. Isso nos permite calcular a derivada como se estivéssemos lidando com uma função de uma variável.
 - Por exemplo, para encontrar \( \frac{\partial f}{\partial x} \), tratamos \( y \) como uma constante e derivamos \( f \) em relação a \( x \) normalmente.
3. **Interpretação Geométrica:**
 - Geometricamente, uma derivada parcial em um ponto \( (x_0, y_0) \) representa a inclinação da superfície definida pela função \( f(x, y) \) ao longo da direção da variável em questão no ponto \( (x_0, y_0) \).
4. **Aplicações:**
 - As derivadas parciais são usadas em muitas áreas, incluindo física, para descrever taxas de variação de grandezas como temperatura e pressão em um ponto específico de um campo; e em economia, para otimização de funções de várias variáveis, como produção e custos.
As derivadas parciais são uma ferramenta essencial para analisar o comportamento de funções de várias variáveis e encontrar pontos críticos, onde a função atinge máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Elas são fundamentais em cálculo multivariado e desempenham um papel crucial na modelagem e análise de sistemas complexos.