Logaritmos: Definição e Aplicações

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Seção 9.1
 Objetivos
 Calcular logaritmos a 
partir da definição.
 Calcular logaritmos 
aplicando propriedades.
 Aplicar o conceito de 
logaritmo na resolução 
de problemas.
 Termos e conceitos
• logaritmo
• logaritmo decimal
Logaritmo
 Os fundamentos da teoria 
dos logaritmos
Como estaria hoje o conhecimento astronômico se 
o matemático e astrônomo alemão Johannes Kepler 
(1571-1630) tivesse à sua disposição uma dessas 
modernas calculadoras eletrônicas, tão comuns 
no nosso dia a dia?
Essa questão provoca algumas reflexões 
interessantes, por exemplo: o tempo despendi-
do por Kepler em cálculos desgastantes, como 
3,25694 3 1,78090 ou 3,25694 4 1,78090, tão 
frequentes em estudos astronômicos, poderia 
ter sido empregado em pesquisas e, talvez, tivéssemos hoje uma quarta 
lei de Kepler.
Até o século XVII, porém, cálculos envolvendo multiplicações ou divi-
sões eram bastante trabalhosos, não só na Astronomia mas em todas as 
ciências que tratassem de medidas. O escocês John Napier (1550-1617), 
também conhecido como Neper, preocupou-se seriamente em simplificar 
esses cálculos e, após vinte anos de pesquisas, publicou, em 1614, o resul-
tado de seus estudos, apresentando a teoria dos logaritmos. O princípio 
básico dos logaritmos é: transformar uma multiplicação em adição ou uma 
divisão em subtração, pois adicionar ou subtrair números é normalmente 
mais rápido que multiplicá-los ou dividi-los.
A ideia de Neper é relativamente simples: representam-se os números 
positivos como potências de um mesmo número. Por exemplo, cada coluna 
da tabela abaixo apresenta um número e a respectiva representação como 
potência de base 10. Assim, na primeira coluna, temos 1,78090 5 100,25064.
Com essa tabela, podem-se calcular:
Número 1,78090 1,82881 3,25694 5,80029
Potência de base 10 100,25064 100,26217 100,51281 100,76345
4a coluna da tabela
conserva-se a base 10 e 
adicionam-se os expoentes
1a coluna da tabela
3a coluna da tabela
 Observe que o produto foi calculado pela soma dos expoentes das po-
tências de dez.
b) 3,25694 4 1,78090 5 100,51281 4 100,25064 5 100,51281 2 0,25064 5 100,26217 5 1,82881
 Observe que o quociente foi calculado pela diferença dos expoentes 
das potências de dez.
 John Napier, criador 
dos logaritmos.
Notas:
1. A base dez foi sugerida a Neper pelo matemático Henry Briggs (1561- 
-1630), que publicou em 1617 a primeira tabela de logaritmos. 
2. O vocábulo logarithmus foi criado por Neper pela junção das palavras 
gregas: logos, que significa “razão” ou “cálculo”, e arithmós, que significa 
“número”.
a) 3,25694 3 1,78090 5 100,51281 3 100,25064 5 100,51281 1 0,25064 5 100,76345 5 5,80029
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98
.
CAP 9.indb 282 03.08.10 12:54:07
 O conceito de logaritmo
Para desmistificar desde já a palavra logaritmo, saiba que esse nome foi criado por Neper 
para substituir a palavra “expoente”, conforme explicamos a seguir.
Considere uma potência qualquer de base positiva e diferente de 1, por exemplo:
34 5 81
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Dizemos que 4 é o logaritmo de 
81 na base 3. Em símbolos, escrevemos:
34 5 81 [ log3 81 5 4
Exemplos
a) 24 5 16 [ log2 16 5 4 b) 322 5 
1
 __ 
9
 [ log3 
1
 __ 
9
 5 22 c) @ 1 __ 
5
 # 3 5 
1
 ____ 
125
 [ log 
 
1
 __ 
5
 
 
1
 ____ 
125
 5 3
Definimos:
Sendo a e b números reais positivos, com b % 1, chama-se logaritmo de a na base b o expo-
ente x tal que bx 5 a.
logb a 5 x [ bx 5 a
Na sentença logb a 5 x:
• a é o logaritmando;
• b é a base do logaritmo;
• x é o logaritmo de a na base b.
Exemplos
a) log5 25 é o expoente x da potência de base 5 tal que 5x 5 25.
 Então:
 Assim, log2 
1
 ___ 
32
 5 25.
 Assim, log7 
5
 dll 72 5 
2
 __ 
5
 .
 Assim, log3 1 5 0.
2x 5 
1
 ___ 
32
 [ 2x 5 225
} x 5 25
7x 5 
5
 dll 72 [ 7x 5 7 
2
 __ 
5
 
} x 5 
2
 __ 
5
 
b) log2 
1
 ___ 
32
 é o expoente x da potência de base 2 tal que 2x 5 
1
 ___ 
32
 .
 Então:
d) log7 
5
 dll 72 é o expoente x da potência de base 7 tal que 7x 5 
5
 dll 72 .
 Então:
c) log3 1 é o expoente x da potência de base 3 tal que 3x 5 1.
 Então:
 Assim, log5 25 5 2.
5x 5 25 [ 5x 5 52
} x 5 2
3x 5 1 [ 3x 5 30
} x 5 0
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CAP 9.indb 283 03.08.10 12:54:08
Logaritmo decimal
Suponha que um pequeno dado seja 
solto sobre a superfície terrestre: o 
impacto da sua queda liberará energia 
e fará a superfície vibrar levemente. Se 
o dado for substituído por um tijolo, a 
energia liberada fará vibrar mais inten-
samente essa superfície. Imagine, agora, 
que um cubo maciço de granito com 
2 km de aresta seja solto de uma altura de 
280 km: a energia liberada será equiva-
lente a 200 trilhões de quilowatt-hora 
(kWh). Essa foi a medida da energia libera-
da pelo terremoto ocorrido em São Fran-
cisco, Califórnia, em 1906. Mais violento 
ainda foi o terremoto que arrasou Lisboa 
em 1755, liberando energia equivalente a 
350 trilhões de kWh.
A intensidade de um terremoto pode ser medida pela escala Richter, criada pelo sismólogo 
norte-americano Charles Francis Richter (1900-1985). Nessa escala, a intensidade I de um ter-
remoto em função da energia E liberada pelo terremoto, em quilowatt-hora, é dada por:
I 5 
2
 __ 
3
 log 
E
 ___ 
E0
 
em que E0 5 7 3 1023 kWh e o logaritmo é decimal, isto é, tem base 10.
Notas:
1. A existência e unicidade de logb a é garantida pelas condições: a . 0, b . 0 e b % 1. Ou seja, se 
alguma dessas restrições não for obedecida, não estará garantida a existência ou a unicidade 
do logaritmo. Por exemplo, de acordo com a definição:
• log2 (24) deveria ser um único número x tal que 2x 5 24, o que é impossível, pois qualquer 
potência de base positiva é positiva.
• log1 2 deveria ser um único número x tal que 1x 5 2, o que é impossível, pois qualquer potência 
de base 1 é igual a 1.
• log1 1 deveria ser um único número x tal que 1x 5 1, porém existem infinitos valores de x que 
satisfazem essa igualdade.
2. É importante observar a estreita ligação entre o logaritmo e a função exponencial. Por exemplo, 
o cálculo de um logaritmo recai na resolução de uma equação exponencial. Mais adiante, no 
estudo da função logarítmica, vamos detalhar melhor essa relação.
Exemplo
log 100 é o expoente x da potência de base 10 tal que 10x 5 100.
Temos:
10x 5 100 [ 10x 5 102
} x 5 2
Assim: log 100 5 2
Chama-se logaritmo decimal aquele cuja base é 10.
Indica-se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica 
subentendida).
 Vista da cidade de São Francisco, no estado da Califórnia, 
após o terremoto de 1906.
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