AULA 5 ANUIDADES - MOD BÁSICO

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UFRRJ - DCAC - 2013 (Notas de Aula) AULA 5 – ANUIDADES 
 MODELO BÁSICO 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
1 
 
 
AULA 5 
ANUIDADES OU RENDAS CERTAS 
MODELO BÁSICO 
 
 
Todos os direitos reservados a 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 
1- Entender o conceito de anuidades ou rendas certas; 
2- Classificar as diversas anuidades; 
 
3- Entender os conceitos de valor acumulado e valor atual do modelo básico de uma 
anuidade; 
 
4- Saber calcular as variáveis que envolvem as questões do modelo básico de uma 
anuidade; 
 
5- Interpretar e resolver os problemas propostos de modelo básico de uma anuidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 1- DEFINIÇÕES 
 
Anuidades ou Rendas Certas: é uma sucessão, finita ou infinita, de termos em geral iguais, feitos em 
datas pré-estabelecidas. 
 
Termos: são valores que constituem as anuidades; ou as rendas certas; ou as prestações; ou os 
pagamentos periódicos; ou recebimentos periódicos; ou depósitos. 
 
Intervalo de Pagamento ou Período: é o tempo decorrido entre os termos sucessivos de uma 
anuidade. 
 
Prazo de uma Anuidade: é o tempo decorrido entre o começo do primeiro intervalo de pagamento e 
o fim do último intervalo de pagamento. 
 
Anuidade Certa: quando o prazo de uma anuidade é fixo - datas do primeiro e do último pagamento 
são fixas. 
 
Anuidade Contingente: quando o prazo da anuidade depende de algum fato incerto. 
 
Anuidade Simples: quando o intervalo de pagamento e o período de capitalização dos juros 
coincidem. 
Anuidade Geral: quando o intervalo de pagamento e o período de capitalização dos juros não 
coincidem. 
 
 
 
 2- CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES 
Classificaremos as anuidades de acordo com quatro dados: prazo, valor, forma, e período dos 
termos. 
 
2.1- Quanto ao Prazo dos Termos 
 Podem ser: 
a) temporárias: quando a duração for limitada 
 
b) perpétuas: quando a duração for ilimitada 
 
 
2.2- Quanto ao Valor dos Termos 
 Podem ser: 
a) Constantes: quando todos os termos são iguais. 
 
b) Variáveis: quando os termos não são iguais entre si. 
 
 
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2.3- Quanto a Forma dos Termos 
Podem ser: 
a) Imediatas: quando o primeiro termo ocorre no primeiro período, e sub-dividem- se em: 
a.1) Postecipadas ou Vencidas: quando os termos ocorrem no final dos períodos. 
 
a.2) Antecipadas ou a Vencer: quando os termos ocorrem no início dos períodos. 
 
b) Diferidas: quando o primeiro termo não ocorre no primeiro período, e subdividem-se em: 
 
b.1) Postecipadas ou Vencidas: quando os termos ocorrem no final dos períodos, ou seja, 
após desconsiderada a carência, o primeiro termo ocorre um período após o término da 
carência ou deferimento. 
 
b.2) Antecipadas ou a Vencer: quando os termos ocorrem no início dos períodos, ou seja, 
após desconsiderada a carência, o primeiro termo coincide com o final da carência ou 
deferimento. 
 
 
2.4- Quanto ao Período dos Termos 
 Podem ser: 
a) Periódicas: quando todos os intervalos entre os termos são iguais. 
 
b) Não-Periódicas: quando os intervalos entre os termos não são iguais. 
 
 
2.5- Quadro de Resumo 
 
 
 
Anuidades 
Certas 
Contigentes 
Periód. 
Não-periód. 
Temp. 
Perp. 
Const. 
Variáv. 
Imediatas 
Diferidas 
Postecipadas. 
Antecipadas 
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3- MODELO BÁSICO DE ANUIDADES 
 
3 1- Introdução 
 Entendemos, por modelo básico de anuidades, as anuidades que são simultaneamente: 
temporárias, constantes, imediatas postecipadas, e periódicas. 
 
 
3 2- Valor Acumulado 
 O valor acumulado "S" de uma anuidade simples de "n" termos feitos no fim dos períodos é o 
valor datado equivalente do conjunto desses termos devidos no final do prazo da anuidade, isto é, no 
final do último período - último termo. 
 A representação gráfica do modelo de uma Anuidade Postecipada é a seguinte: 
 
Anuidade Postecipada 
 
 
Onde: 
 S : Valor Acumulado ou Montante de uma Anuidade: [$] 
 R : Termos de uma Anuidade: [$/T] 
 n : Número de Termos durante o Prazo da Anuidade 
 i : Taxa Efetiva de Juros (Taxa por Período de Capitalização): [1/T] 
 
Assim, o valor acumulado "S" no fim de um número de períodos (prazo) é: 
 
S = R + R (1 + i) + R (1 + i)2 + R (1 + i)3 + … + R (1 + i)n−1 (1) 
 
Multiplicando ambos os membros da equação por (1+ i) fica: 
 
S (1 + i) = R (1 + i) + R (1 + i)2 + R (1 + i)3 + … + R (1 + i)n (2) 
 
R 
0 1 n − 1 
Prazo = n 
2 n 
R R R 
Início Fim 
1º período 
de capitaliz. 
Início do Prazo 
Valor Acumulado = S 
R = [$/T] => Termos Postecipados 
Fim do Prazo 
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Subtraindo a equação (2) da equação (1) fica: 
 S i = R (1 + i)n − R 
 S i = R [(1 + i)n − 1] 
 S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) 
 i 
Onde: (1 + i)n − 1 = sn i 
 i 
O fator de acumulação para "n" termos, ou valor acumulado de $ 1,00 por período para "n" 
termos. (lê-se " ângulo n em i" ). 
 O fator sn i pode ser calculado, conforme expressão acima, ou então procurado em tabelas 
financeiras, onde o resultado é apresentado para taxas e períodos mais usuais. 
 
 
Ex. 1: Achar o valor acumulado para quinze termos mensais vencidos de $ 200 e taxa de juros de 12% 
ao semestre acumulado mensalmente. 
 
 R = $ 200/mês i = (12%) (1/6) = 2% a.m. n = 15 S = ? 
Solução: S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) 
 i 
S = 200 [(1,02)15 − 1] ou S = 200 (s15 2%) 
 0,02 
 
S = 200 (1,3459 − 1) ou S = 200 (s15 2%) 
 0,02 
S = 200 (17,2934) = $ 3.458,68 
Resposta: $ 3.458,68 
 
 
Ex. 2: Achar o fator de acumulação de uma anuidade postecipada para um ano e meio a uma taxa de 
juros de 3% a.t. 
 
 i = 3% a.t. prazo = 1,5 anos ⇒ n = (1,5) (4) = 6 trim. sn i = ? 
Solução: [(1 + i)n − 1] = (sn i) 
 i 
s6 3% = (1,03)6 − 1 
 0,03 
 
s6 3% = 1,1941 − 1 
 0,03 
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s6 3% = 0,1941 
 0,03 
s6 3% = 6,47 
Resposta:6,47 
 
 
Ex. 3: Achar o montante de uma anuidade de $ 350 por semestre durante seis anos e meio se o 
dinheiro valer 1% a.m. capitalizado semestralmente. 
 
R = $ 350/sem. i = (1%) (6) = 6% a.s. n = (6,5) (2) = 13 S = ? 
Solução: S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) 
 i 
S = 350 [(1,06)13 − 1] ou S = 350 (s13 6%) 
 0,06 
S = 350 (18,8821) 
S = $ 6.608,74 
Resposta: $ 6.608,74 
 
 
Ex. 4: A fim de constituir uma poupança, uma pessoa deposita $ 1.480 no fim de cada quadrimestre, 
numa instituição financeira que paga 7% a.q. Qual será seu montante no fim de seis semestres? 
 
R = $ 1.480/quad i = 7% a.q. 
Prazo = 6 sem = 36 meses = 9 quad. => n = 9 dep. quad. S = ? 
Solução: Data Focal = Nove quadrimestres 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
∑ Dep.(DF = 9) = S = R [(1 + i)n − 1] ou S = R (sn i) 
 i 
 
∑ Dep.(DF = 9) = 1.480 [(1,07)9 − 1] ou S = 1.480 (s9 7%) 
 0,07 
∑ Ret.(DF = 9) = 0 
Saldo(DF = 9) = X 
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Equação de Valor (DF = 9 quad.): 1.480 (s9 7%) = X 
1.480 (11,9780) = X 
X = $ 17.727,44 
Resposta: $ 17.727,44 
 
 
Ex. 5: Um investidor depositou $ 450 por trimestre durante trinta meses em um determinado 
investimento cuja rentabilidade era 4,2% a.t. Calcular o saldo após o último depósito. 
 
R = $ 450/trim i = 4,2% a.t. 
 Prazo = 30 meses n = (30) (1/3) = 10 Saldo = X = ? 
Solução: Data Focal = Dez trimestres 
 
 
 
 
 
R = $ 450/trim 
0 1 10 
S 
n = 10 
i = 4,2% a.t Trim. 
DF 
Saldo = X = ? 
R = $ 1.480/quad 
0 1 9 
 S 
n = 9 
i = 7% a.q 
Quad. 
DF 
Saldo = X = ? 
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∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
∑ Dep.(DF = 10) = S = R [(1 + i)n − 1] ou S = R (sn i) 
 i 
 
∑ Dep.(DF = 10) = S = 450 [(1,042)10 − 1] ou S = 450 (s10 4,2%) 
 0,042 
∑ Ret.(DF = 10) = 0 
Saldo(DF =10) = X 
Equação de Valor (DF = 10 trim.): 450 (s10 4,2%) = X 
450 (12,1181) = X 
X = $ 5.453,15 
Resposta: $ 5.453,15 
 
 
 
NOTA: 
 ���� Como não está explícito no enunciado se os termos (depósitos) são vencidos, isto é, 
postecipados, (final de cada período) serão sempre vencidos. 
 
 
 
Ex. 6: Um estudante efetuará depósitos mensais postecipados de $ 780 durante quatro anos, em uma 
poupança. Este dinheiro se destinará ao custeamento de sua formatura. Se a taxa de juros da poupança 
for 6% a.q. composta mensalmente, quanto ele poderá resgatar no final do prazo? 
 
R = $ 780/mês i = (6%) (1/4) = 1,5% a.m. 
 Prazo = (4) (12) = 48 meses n = 48 
Saldo = X =? (final do prazo => após último depósito) 
Solução: Data Focal = Quarenta e oito meses 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) = X 
∑ Dep.(DF = 48) = S = R [(1 + i)n − 1] ou S = R (sn i) 
 i 
Dep.(DF = 48) = 780 [(1,015)48 − 1] ou S = 780 (s48 1,5%) 
 0,015 
∑ Ret.(DF = 48) = 0 
Saldo(DF = 48) = X 
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Equação de Valor (DF = 48 meses): 780 (s48 1,5%) = X 
780 (69,5652) = X 
 X = $ 54.260,86 
Resposta: $ 54.260,86 
 
 
Ex. 7: Joana depositou inicialmente em um fundo $ 34.000; depois ela fez mais seis depósitos 
bimestrais vencidos de $ 1.760 neste mesmo fundo. Sabendo-se que a rentabilidade do fundo foi 4% 
a.b., qual será o valor acumulado após o último depósito? 
 
Dep. Inicial = $ 34.000 i = 4% a.b. n = 6 
R = $ 1.760/bim. Saldo = X = ? 
 
Solução: Data Focal = Seis bimestres 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 6) = Dep. Inicial(DF = 6) + S(DF = 6) 
 
Dep. Inicial(DF = 6) = 34.000 (1,04)6 
 
S(DF = 6) = R [(1 + i)n − 1] = 1.760 [(1,04)6 − 1] ou 
 i 0,04 
S = R (sn i) = 1.760 (s6 4%) 
∑ Dep.(DF = 6) = 34.000 (1,04)6 + 1.760 (s6 4%) 
R = $ 780/mês 
0 1 48 
S 
n = 48 
i = 1,5% a.m. 
Meses 
DF 
Saldo = X = ? 
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∑ Ret.(DF = 6) = 0 
Saldo(DF = 6) = X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor (DF = 6 bim.): 34.000 (1,04)6 + 1.760 (s6 4%) = X 
 
34.000 (1,2653) + 1.760 (6,6330) = X 
X = 43.020,20 + 11.674,08 
X = $ 54.694,28 
Resposta: $ 54.694,28 
 
 
Ex. 8: Foi depositado inicialmente em uma poupança $ 155.000; depois foram feitas retiradas 
trimestrais de $ 3.100 durante nove semestres desta mesma poupança. Se a mesma pagar uma taxa de 
juros de 3,5% a.t, qual será o saldo após a última retirada? 
 
Dep. Inicial = $ 155.000 i = 3,5% a.t. 
R = ($ 3.100/trim) n = (9) (2) = 18 Saldo = X = ? 
Solução: Data Focal = Dezoito trimestres 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 18) = Dep. Inicial(DF = 18) = 155.000 (1,035)18 
 
∑ Ret(DF = 18) = S = R [(1 + i)n − 1] ou S = R (sn i) 
 i 
R = $ 1.760/bim. 
0 1 6 
DF 
S 
 n = 6 
i = 4% a.b. 
Bim. 
Saldo = X = ? 
$ 34.000 
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∑ Ret(DF = 18) = 3.100 [(1,035)18 − 1] ou S = 3.100 (s18 3,5%) 
 0,035 
Saldo(DF = 18) = X 
 
 
 
Equação de Valor (DF = 18 trim.): 155.000 (1,035)18 − 3.100 (s18 3,5%) = X 
155.000 (1,8575) − 3.100 (24,4997) = X 
287.912,50 − 75.949,07 = X 
X = $ 211.963,43 
Resposta: $ 211.963,43 
 
 
Ex. 9: Foram feitos depósitos vinte depósitos mensais de $ 1.350, em uma poupança. Calcular o saldo 
um ano após o último depósito para uma taxa de juros de 2,5% a.m. 
 
R = $ 1.350,00/mês n = 20 i = 2,5% a.m. 
 Saldo = X =? (um ano após último depósito) 
Solução: Data Focal = Trinta e dois meses 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
∑ Dep(DF = 32) = S (1,025)12 = R [(1 + i)n − 1] (1,025)12 = R (sn i) (1,025)12 
 i 
∑ Dep(DF = 32) = 1.350 [(1,025)20 − 1] (1,025)12 = (1.350) (s20 2,5%) (1,025)12 
 0,025 
∑ Ret.(DF = 32) = 0 
R = $ 3.100/trim. 
0 1 18 
DF 
S 
n = 6 
i = 3,5% a.t.. 
Trim. 
Saldo = X = ? 
$ 155.000 
0 
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Saldo(DF = 32) = X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor (DF = 32meses ): 1.350 (s20 2,5%) (1,025)12 = X 
1.350 (25,5447) (1,3449) = X 
X= $ 46.379,34 
Resposta: $ 46.379,34 
 
 
Ex. 10: Carlos depositou durante três anos e meio, $ 1.900 por trimestre em um fundo, depois fez uma 
retirada de $ 6.000 deste mesmo fundo no início do quinto ano. Quanto terá no fundo um semestre 
após a retirada se a rentabilidade do fundo for 3% a.t? 
 
R = $ 1.900/trim. n = (3,5) (4) = 14 
Ret = $ 6.000 (início 5o ano = final do 4o ano => 4 x 4 = 16 trim). 
Saldo = X = ? (um sem. após última retirada = 16 + 2 = 18) 
i = 3% a.t. 
Solução: Data Focal = Dezoito Trimestres 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 18) = S (1,03)4 = (1.900,00) (s 14 3%) (1,03)4 
∑ Ret.(DF = 18) = (6.000) (1,03)2 
Saldo(DF = 18) = X 
Equação de Valor (DF = 18 trim. ): 1.900 (s14 3%) (1,03)4 − 6.000 (1,03)2 = X 
1.900 (17,0863) (1,1255) − 6.000 (1,0609) = X 
X = $ 36.538,20 − 6.365,40 
R = $ 1.350/mês 
0 1 20 
DF 
S 
n = 20 
i = 2,5% a.m. 
Meses 
DF 
Saldo = X = ? 
32 
(1,025)12 
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X = $ 30.172,80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: $ 30.172,80 
 
 
Ex. 11: Depositou-se durante dois anos, $ 2.500 por bimestre em uma poupança fundo, depois fez uma 
retirada desta mesma poupança no terceiro ano. Se o saldo meio ano após a retirada for $ 74.800 e a 
rentabilidade da poupança for 2,5% a.b, quanto foi retirado? 
 
R = $ 2.500/bim. → n = (2) (6) = 12 
Ret = X = ? (final do 3o ano ⇒ (3) (6) =18 bim) 
i = 2,5% a.b. 
Saldo = $ 74.800 (seis meses após última retirada = 18 + 3 = 21 bim.) 
Solução: Data Focal = Vinte e um bimestres 
 
 
 
 
 
 
 Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 21) = S (1,025)9 = (2.500) (s12 2,5%) (1,025)9 
∑ Ret.(DF = 21) = X (1,025)3 
Saldo(DF = 21) = $ 74.8000 
 
 
 
R = $ 2.500/bim. 
0 1 12 
S 
n = 12 
i = 2,5% a.b. 
Bim. 
$ 74.800 
18 
X 
21 
DF 
R = $ 1.900/trim. 
0 1 14 
S 
n = 14 
i = 3% a.t. 
Trim. 
DF 
Saldo = X = ? 
16 
$ 6.000 
18 
R = $ 2.500/bim. 
0 1 12 
S 
n = 12 
i = 2,5% a.b. 
Bim. 
$ 74.800 
18 
X 
21 
DF 
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∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 21) = S (1,025)9 = (2.500) (s 12 2,5%) (1,025)9 
∑ Ret.(DF = 21) = X (1,025)3 
Saldo(DF = 21) = 74.800 
Eq. de Valor (DF = 21 bim. ): 2.500 (s12 2,5%) (1,025)9 − X (1,025)3 = 74.800 
2.500 (13,80) (1,25) − X (1,08) = 74.800 
X = 74.800 − 43.125 
 1,08 
X = $ 29.328,70 
Resposta: $ 29.328,70 
 
 
Ex. 12: Um atacadista deve $ 6.200 vencível em quatro meses e mais um pagamento vencível em um 
ano. Não podendo pagá-los nestes prazos de vencimento deseja reformá-lo de tal modo a fazer em dez 
pagamentos mensais vencidos de $ 1.530. Qual seria o valor do pagamento vencível em um ano para 
uma taxa de juros de 10% a.q. capitalizado mensalmente? 
 
$ 6.200,00 → 4 meses 2º pag. = X = ? → 12 meses 
R = ? ($/mês) → n = 10 i = 2,5% a.m. 
Solução: Data Focal = Doze meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Obrig.(DF = 12) = ∑ Pagam.(DF = 12) 
 
∑ Obrig.(DF = 12) = 6.200 (1,025)8 + X 
R = $ 1.530/mês 
0 1 12 
S 
n = 10 
Meses 
$ 6.200 X = ? 
10 
DF 
4 
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15 
∑ Pagam.(DF = 12) = 1.530 (s10 2,5%) (1,025)2 
Equação de Valor (DF = 12): 6.200 (1,025)8 + X = 1.530 (s10 2,5%) (1,025)2 
 
6.200 (1,025)8 + X = 1.530 [(1,025)10 − 1] (1,025)2 
 0,025 
7.554,10 + X = (17.141,17) (1,05) 
X = $ 10.444,13 
Resposta: $ 10.444,13 
 
 
Ex. 13: Foi depositado inicialmente em uma poupança $ 67.000; em seguida foram feitos quinze 
depósitos mensais de $ 1.740; depois foram feitas duas retiradas iguais a $ 25.800, uma no 20º mês e a 
outra no início do 26º mês. Calcular o saldo no final do 29º mês para uma taxa de juros de 4% a.m. 
 
Dep. Inicial = $ 67.000 
R = ($ 1.740/mês) → n = 15 
Ret. = $ 25.800,00 (final do 20º mês) 
Ret. = $ 25.800,00 (início do 26º mês = final do 25º mês) 
Saldo (29º mês) = X = ? 
i = 4% a.m. 
Solução: Data Focal = Vinte e nove meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 29) = 67.000 (1,04)29 + 1.740 (s15 4%) (1,04)14 
R = $ 1.740,00/mês 
0 1 15 
DF 
S 
n = 15 
i = 4% a.m. 
meses 
$ 67.000,00 
20 25 29 
$ 25.800,00 $ 25.800,00 
Saldo = X = ? 
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16 
∑ Ret.(DF = 29) = 25.800 (1,04)9+ 25.800 (1,04)4 
Saldo(DF = 29) = X 
Equação de Valor (DF = 29 meses ): 
 67.000 (1,04)29 + 1.740 (s15 4%) (1,04)14 − [25.800 (1,04)9 + 25.800 (1,04)4] = X 
 67.000 (1,04)29 + 1.740 (20,0236) (1,04)14 − 25.800 (1,04)9 − 25.800 (1,04)4 = X 
X = $ 202.379,26 
Resposta: $ 202.379,26 
 
 
Ex. 14: Bia depositou ao final de cada bimestre $ 950 durante dois anos em um fundo, e depois fez 
mais dois depósitos iguais de $ 3.700 um no terceiro ano e o outro no final do quarto ano. Qual será o 
saldo do fundo no início do sexto ano para uma taxa de juros de 4% a.b? 
 
R = $ 950,00/bim. i = 4% a.b. n = (2) (6) = 12 
 Depósitos: $ 3.700 (3o ano ⇒ final do 3o ano); e $ 3.700 (final do 4o ano) 
Saldo = X =? (início do 6o ano ⇒ final do 5o ano) 
Solução: Data Focal = Trinta bimestres 
∑ Dep.(DF = 30) = (950) (s 12 3%) (1,04)18 + 3.700 (1,04)12 + 3.700 (1,04)6 
 
∑ Ret.(DF = 30) = 0 
Saldo(DF = 30) = X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R = $ 950/bim. 
0 1 12 
S 
n = 15 
i = 4% a.b. 
Bim. 
DF 
Saldo = X = ? 
18 24 
$ 3.700 $.3.700 
30 
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17 
∑ Dep.(DF = 30) − ∑ Ret.(DF = 30) = Saldo(DF = 30) 
(950) (s 12 3%) (1,04)18 + 3.700(1,04)12 + 3.700(1,04)6 − 0 = X 
Equação de Valor (DF = 30 bim. ): (950) (s 12 3%) (1,04)18 + 3.700(1,04)12 + 3.700(1,04)6 = X 
X = 27.312,93 + 5.923,82 + 4.681,68 
X = $ 37.918,43 
Resposta: $ 37.918,43 
 
 
 
 
3.3- Valor Atual 
 O valordescontado, "A", de uma anuidade simples de "n" termos feitos no final dos períodos é 
o valor datado equivalente do conjunto desses termos devidos, no início do prazo, isto é, o início do 
primeiro período. 
 Uma vez que "A" e "S" são valores datados do mesmo conjunto de termos eles devem ser 
equivalentes entre si. 
 
Lembrando que: S = P (1 + i)n 
e S = R (sn i) = R [(1 + i)n − 1] 
 i 
então: P (1 + i) n = R (sn i) 
Como P se equivale a A, então fica: 
 A = R [1 + i)n 
− 1] 
 i (1 + i)n
 
 
Logo: A = R [1 − (1 + i)−n] ou A = R (an i) 
 i 
Onde: 
 an i = 1 − (1 + i)−n 
 i 
 
O fator an i (lê-se "a ângulo n em i") é chamado de fator de desconto de " n" termos, ou o 
valor descontado de $ 1,00 por período. 
O fator an i pode ser calculado, conforme expressão acima, ou então também procurado em 
tabelas financeiras, onde o resultado é apresentado para taxas e períodos mais usuais. 
 A representação gráfica é a seguinte: 
 
 
Anuidade Postecipada 
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18 
 
 
 
 
Onde: 
 A: Valor Atual ou Valor Descontado de uma Anuidade: [$] 
 
 
Ex. 15: Achar o valor atual e uma anuidade de $ 380,00 feitos no fim de cada mês durante três anos a 
uma taxa de juros de 6% a.t. acumulados mensalmente. 
 
R = $ 380 / mês i = 2% a.m. 
prazo = 3 anos ⇒ n = (3) (12) = 36 A = ? 
 
Solução: A = R [1 − (1 + i)−n] ou A = R (an i) 
 i 
 A = 380 (a36 2%) = 380 [1 − (1 + 0,02)−36] 
 0,02 
A = 380 (a36 2%) = 380 (1 − 0,4902) 
0,02 
A = 380 (a362%) = (380) (25,49) 
A = $ 9.686,20 
Resposta: $ 9.686,20 
 
 
Ex. 16: Achar o fator de valor atual de uma anuidade de quinze termos quadrimestrais a uma taxa de 
juros de 4,8% a.q. a partir do fator de acumulação desta mesma anuidade que é 21,26. 
 
n = 15. i = 4,8% a.q. (s15 4,8%) = 21,26 an i = ? 
R 
0 
1 n − 1 
Prazo = n 
2 n 
R R R 
Início Fim 
1º período 
de capitaliz. 
Início do Prazo 
Fim do Prazo 
Valor Atual = A 
R = [$/T] => Termos Postecipados 
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19 
Solução: an i = (sn i
) (1 + i)−n 
an i = (21,26) (1,048)−15 
an i = 10,52 
Resposta: 10,52 
 
 
Ex. 17: Qual seria o preço à vista de um terreno, se a prazo são necessárias vinte prestações trimestrais 
postecipados de $ 870; sendo que a taxa de juros cobrada no financiamento é 8% a.s. capitalizada 
trimestralmente? 
 
R = $ 870/trim i = (8%) (1/2) = 4% a.t. 
n = 20 Preço à vista = X = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = 0 
Prestações(DF = 0) = A = R (an i
) = R [1 − (1 + i)−n] 
 i 
Prestações(DF = 0) = 870 [1 − (1,04)−20] = 870,00 (a20 4%) 
 0,04 
Preço à Vista(DF = 0) = Preço com Desconto(DF = 0) = X 
Equação de Valor (DF = Zero ): 0 + 870 (a20 4%) = X 
0 + 870 (a20 4%) = X 
X 
0 1 20 
Prazo = n = 20 
i = 4% a.t. 
trim 
R = $ 870/trim 
A 
DF 
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20 
X = (870) (13,5903) (13,5903) 
X = $ 11.823,56 
Resposta: $ 11.823,56 
 
 
Ex. 18: Uma moto, a prazo está sendo vendida por $ 2.500 de entrada e o restante em prestações 
mensais vencidas de $ 270 durante dois anos e meio. Qual seria o preço à vista da moto, se a taxa de 
juros cobrada no financiamento for 3,5% a.m. 
 
Entrada = $ 2.500,00 R = $ 270,00/mês 
Preço à vista = X = ? i = 3,5% a.m. 
prazo = 2,5 (12) = 30 meses ⇒ n = 30 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 2.500 
Prestações(DF = 0) = A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i 
 
Prestações(DF = 0) = 270 [1 − (1,035)−30] = 270 (a30 3,5%) 
 0,035 
Preço à Vista(DF = 0) = Preço com Desconto = X 
Equação de Valor (DF = Zero ): 2.500 + 270 (a30 3,5%) = X 
2.500 + 270 (18,3920) = X 
X = ? 
0 1 30 
DF 
Prazo = n = 30 
i = 3,5% a.m. 
$ 2.500 
meses 
R = $ 270/mês 
A 
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21 
2.500 + 4.965.84 = X 
X = $ 7.465,84 
Resposta: $ 7.465,84 
 
 
Ex. 19: Quanto tem que ser depositado hoje em uma poupança para poder fazer serem feitas dezesseis 
retiradas bimestrais de $ 1.950 à uma taxa de juros de 3% a.m composto bimestralmente? 
 
Dep. inicial = X = ? i = (3%) (2) = 6% a.b. 
R = $ 1.950/bim. n = 16 Saldo = 0 
 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = Dep. Inicial(DF = 0) = X 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i 
 
∑ Ret.(DF = 0) = 1.950 [1 − (1,06)−16] = 1.950 (a16  6%) 
 0,06 
Saldo(DF = 0) = 0 
 
Equação de Valor (DF = Zero ): X − 1.950 (a16  6%) = 0 
X = 1.950 (10,1059) 
X = $ 19.706,51 
Resposta: $ 19.706,51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X = ? 
0 1 16 
DF 
A 
n = 16 
i = 6% a.b. 
Bim. 
R = $ 1.950/bim. 
Saldo = 0 
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22 
Ex. 20: O preço à vista de uma lancha é $ 81.000, e a prazo tem que dar uma entrada e mais trinta e 
quatro prestações mensais de $ 2.700. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 30% a.a. 
capitalizada mensalmente, qual será o valor da entrada? 
 
Preço à vista = $ 81.000 i = (30%) (1/12) = 2,5% a.m. 
R = $ 2.700/mês n = 34 Entrada = X = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = X 
Prestações(DF = 0) = A = 2.700 [1 − (1,025)−34] ou A = 2.700,00 (a34  2,5%) 
 0,025 
Preço à Vista(DF = 0) = Preço com Desconto(DF = 0) = $ 81.000 
Equação de Valor (DF = Zero ): X + 2.700 (a34  2,5%) = 81.000 
81.000 − 2.700 (22,7238) = X 
81.000 − 61.354,26 = X 
X = $ 19.645,74 
 
Resposta: $ 19.645,74 
 
 
Ex. 21: Inicialmente foidepositada uma determinada quantia em um fundo de investimento. Se forem 
feitas retiradas bimestrais de $ 860 durante dois anos e meio e ainda restar um saldo de $ 4.500 um ano 
$ 81.000 
0 1 34 
DF 
A 
n = 34 
i = 2,5% a.m. 
X = ? 
meses 
R = $ 2.700/mês 
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23 
após a última retirada e se a rentabilidade do fundo for 3,8% a.b; quanto foi depositado inicialmente no 
fundo? 
 
Dep. inicial = X = ? R = $ 860/bim. 
i = 3,8% a.b. n = (2,5) (6) = 15 Saldo = $ 4.500 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 0) = Dep. Inicial(DF = 0) = X 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i 
A = 860 [1 − (1,038)−15] = 850 (a15  3,8%) 
 0,038 
Saldo(DF = 0) = 4.500 (1 + 0,038)−21 
Equação de Valor (DF = Zero ): X − 850 (a15  3,8%) = 4.500 (1,038)−21 
X = 4.500 (1,038)−21 + 850 (a15  3,8%) 
X = 4.500 (0,4569) + 860 (11,2755) 
X = 2.056,05+ 9.696,93 
X = $ 11.752,98 
Resposta: $ 11.752,98 
 
 
 
 
X = ? 
0 1 15 
DF 
A 
n = 15 
i = 3,8% a.b Bim. 
R = $ 860/bim. 
$ 4.500 
21 
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24 
3.4- Cálculo do Pagamento Periódico 
O pagamento periódico pode ser obtido das seguintes fórmulas: 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) A = R [1 − (1 + i)−n] = R an i 
 i i 
 
 
Ex. 22: Quanto deve ser depositado ao final de cada mês, para ter um montante de $ 12.000 ao final de 
um ano, sabendo-se que a taxa de remuneração do capital será de 4% a.m? 
 
Saldo = $ 12.000 i = 4% a.m. n = 12 R = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Doze meses 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
∑ Dep.(DF = 12) = S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) = R [(1,04)12 − 1] = R (s12 4%) 
 i 0,04 
∑ Ret.(DF = 12) = 0 
 
Saldo(DF = 12) = 12.000 
 
Equação de Valor (DF = 12 meses): R (s12 4%) = 12.000 
R (15,0258) = 12.000 
R = $ 798,63 
Resposta: $ 798,63 
 
 
R = ? ($/mês) 
0 1 12 
DF 
S 
n = 12 
i = 4% a.m. 
Meses 
Saldo = $ 12.000 
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25 
Ex. 23: Uma TV à vista custa $ 3.200; e a prazo tem que dar uma entrada no valor de 20% do preço à 
vista, e mais prestações mensais vencidas durante um ano e meio. Se a taxa de juros cobrada no 
financiamento for 4,4% a.m, qual será o valor da prestação mensal? 
 
Preço à vista = $ 3.200 i = 4,4% a.m. n = 18 
E = (0,2) (3.200) = $ 640 R = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = E(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
E(DF = 0) = $ 640 
Prestações(DF = 0) = A = R [1 − (1,044)−18] = R (a18  4,4%) 
 0,044 
Preço à Vista = Preço com Desconto = $ 3.200 
Equação de Valor (DF = Zero ): 640 + R (a18 4,4%) = 3.200 
640 + R (12,2575) = 3.200 
R (12,2575) = 3.200 − 640 
R (12,2575) = 2.560 
R = $ 208,85 
Resposta: $ 208,85 
 
 
$ 3.200 
0 1 18 
DF 
A 
n = 18 
i = 4,4% a.m. 
$ 640 
meses 
R = ? 
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26 
Ex. 24: Ivo depositou inicialmente em uma poupança $ 289.000 e depois fez vinte retiradas trimestrais 
postecipadas desta mesma poupança. Se o saldo após a última retirada foi $ 46.800, e a rentabilidade 
for 11,4% a.s capitalizado trimestralmente, quanto Ivo retirou por trimestre desta poupança? 
 
Depósito Inicial = $ 289.000 i = (11,4%) (1/2) = 5,7% a.t 
R = ? n = 20 Saldo = $ 46.800 
Solução 1: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
∑ Dep.(DF= 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 0) = Dep. Inicial(DF = 0) = $ 289.000 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i 
∑ Ret.(DF = 0) = = R [1 − (1,057)−20] = R (a20  5,7%) 
 0,057 
Saldo(DF = 0) = 46.800,00 (1,057)−20 
Equação de Valor (DF = Zero ): 289.000 − R (a20  5,7%) = 46.800 (1,057)−20 
289.000 − R (11,7546) = 15.443,51 
273.556,49 = R (11,7546) 
R = $ 23.272,29 
Solução 2: Equação de Valor: Data Focal = Vinte trimestres 
∑ Dep.(DF = 20) − ∑ Ret.(DF = 20) = Saldo(DF = 20) 
∑ Dep.(DF = 20) = Dep. Inicial(DF = 20) = 289.000 (1,057)20 
∑ Ret.(DF = 20) = S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) 
 i 
$ 289.000 
0 1 20 
DF 
A 
n = 20 
i = 5,7% a.t 
trim. 
R = ? 
$ 46.800 
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27 
∑ Ret.(DF = 20) = R [(1,057)20 − 1] = R (s20  5,7%) 
 0,057 
Saldo(DF =20) = 46.800 
 
 
 
Equação de Valor (DF = Vinte trimestres): 
 289.000 (1,057)20 − R (s20 5,7%) = 46.800 
875.785,17 − R (35,6210) = 46.800 
828.985,17 = R (35,6210) 
R = $ 23.272,37 
Resposta: $ 23.272,37 
Nota: A diferença entre a solução um e a solução dois é devido o arredondamento. 
 
Se pegarmos a equação de valor que obtivemos na solução dois a seguir: 
289.000 (1,057)20 − R (s20 5,7%) = 46.800; 
e multiplicarmos esta equação por (1,057)−20, teremos: 
289.000 (1,057)20 (1,057)−20 − R (s20 5,7%) (1,057)−20 = 46.800 (1,057)−20 
o que resulta a seguinte equação: 
289.000 (1,057)0 − R (s20 5,7%) (1,057)−20 = 46.800 (1,057)−20 
289.000 − R (a20  5,7%) = 46.800 (1,057)−20 
O que é exatamente a equação que obtivemos pela solução um, uma vez que, a equação de valor não 
depende da data focal. 
 
 
$ 289.000 
0 1 20 
DF 
n = 20 
i = 5,7% a.t 
trim. 
R = ? 
$ 46.800 
S 
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28 
Ex. 25: Calcula-se que uma máquina industrial precisará ser substituída daqui a dez anos a um custo de 
$ 80.000. Quanto deve ser reservado ao final de cada ano para fornecer aquela importância se as 
economias da empresa render juros de 8% ao ano? 
 
R = ? ($/ano) n = 10 i = 8% a.a. 
Saldo = $ 80.000,00 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Dez anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
∑ Dep.(DF = 10) = S = R [(1 + i)n − 1]= R (sn i) = R [(1,08)10 − 1] = R (s10 8%) 
 i 0,08 
∑ Ret = 0 
Saldo(DF = 10) = $ 80.000 
Equação de Valor (DF =Dez anos): R (s10 8%) = 80.000 
 R (14,4866) = 80.000 
R = $ 5.522,34 
Resposta: $ 5.522,34 
 
 
Ex. 26: Sara deve $ 7.900 vencíveis hoje; $ 14.300 vencíveis em seis meses; e $ 19.600, vencíveis em 
um ano e meio. Não podendo pagá-los nestes prazos de vencimento deseja reformá-lo de tal modo a 
fazer em dezenove pagamentos trimestrais postecipados. Qual será o valor de cada pagamento se a taxa 
de juros usada na transação for de 9% a.t? 
 
$ 7.900,00 n = 0 $ 14.300,00 n = 2 trim 
$ 19.600,00 n = 6trim 
R = ? ($/trim) n = 19 i = 9% a.t. 
Solução 1: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
∑ Obrig.(DF) = ∑ Pagam.(DF) 
0 1 10 
 DF 
n = 10 
i = 8% a.a 
Anos 
R = ? 
S 
$ 80.000 
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29 
∑ Obrig.(DF = 0) = 7.300 + 14.300 (1,09)–2 + 19.600 (1,09)–6 
∑ Pagam.(DF = 0) = A = R [1 − (1,09)−19] = R (a19  9%) 
 0,09 
 
 
Equação de Valor (DF =Zero): 
 7.900 + 14.300 (1,09)–2 + 19.600 (1,09)–6 = R (a19  9%) 
7.900 + 14.300 (1,09)–2 + 19.600 (1,09)–6 = R (a19  9%) 
7.900 + 12.036,02 + 11.686,84 
31.622,86 = R (8,9501) 
R = $ 3.533,24 
Resposta: $ 3.533,24 
 
 
Solução 2: Equação de Valor: Data Focal = Dezenove trimestres 
∑ Obrig.(DF) = ∑ Pagam.(DF) 
∑ Obrig.(DF = 19) = 7.900 (1,09)19 + 14.300 (1,09)17 + 19.600 (1,09)13 
∑ Pagam.(DF = 19) = R (s19 9%) 
Eq de Valor (DF =19 trim): 
 7.900 (1,09)19 + 14.300 (1,09)17 + 19.600 (1,09)13 = R (s19 9%) 
7.900 (1,09)19 + 14.300 (1,09)17 + 19.600 (1,09)13 = R (s19 9%) 
40.619,12 + 61.885,16 + 60.089,77 = R (46,0185) 
$ 7.900 
0 1 2 
DF 
A 
n = 19 
i = 9% a.t 
trim. 
R = ? 
$ 19.600 $ 14.300 
6 
19 
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162.254,05 = R (46,0185) 
R = $ 3.533,24 
Resposta: $ 3.533,24 
 
 
Equação de Valor (DF =Zero) 
 
∑ Obrig.(DF) = ∑ Pagam.(DF) 
 
∑ Obrig.(DF = 19) = 7.900,00 (1,09)19+ 14.300,00 (1,09)17 + 19.600,00 (1,09)13 
∑ Obrig.(DF = 19) = 7.300,00 (1,09)19 + 14.300,00 (1,09)17 + 19.600,00 (1,09)13 
 
∑ Pagam.(DF = 19) = S = R [(1,09)19 − 1] = R (s19  9%) 
 0,09 
 
 
 
 
 
 
 
3.5- Cálculo do Prazo 
 O prazo pode ser obtido das seguintes fórmulas: 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn i) A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) 
 i i 
 
 O cálculo de "n" terá que ser resolvido por logarítimo neperiano (ln) ou por logarítimo 
decimal (log). 
 
 
Ex. 27: Um fundo de investimento de $ 7.998,55 deve ser acumulado em depósitos semestrais 
vencidos de $ 200. Se o fundo render 12% a.a. capitalizados semestralmente, quantos depósitos 
semestrais serão necessários para acumular tal quantia? 
 
S = $ 7.998,55 i = (12%/2) = 6% a.s. 
R = $ 200/sem n = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = ” n” meses 
$ 7.900 
0 1 2 
DF 
S 
n = 19 
trim. 
R = ? 
$ 19.600 $ 14.300 
6 
19 
i = 9% a.t 
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 ∑ Dep.(DF = n) − ∑ Ret.(DF = n) = Saldo(DF = n) 
 
∑ Dep.(DF = n) = S = 200 [(1,06)n − 1] 
 0,06 
∑ Ret.(DF = n) = 0 
Saldo(DF = n) = 7.998,55 
Eq de Valor (DF = n meses): 2000 [(1,06)n − 1] = 7.998,55 
 0,06 . 
 (1,06)n − 1 = 7.998,55 (0,06) 
 200 
(1,06)n − 1= 2,39961 
(1,06)n = 2,39961 + 1 
(1,06)n = 3,3996 
Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação fica: 
Ln (1,06)n = Ln (3,3996) 
Lembrando que: ln Ab = b ln A ou log Ab = b log A 
n Ln (1,06) = Ln (3,3996) 
n (0,0583) = 1,2237 
n = 1,2237 
 0,0583 
n = 20,99 n ≈ 21,00 
Resposta: 21,00 
 
 
R = $ 200/sem 
0 1 n 
DF 
S n = ? 
i = 6% a.s. 
Sem. 
Saldo = $7.998,55 
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Ex. 28: Um apartamento à vista custa $ 71.100, e a prazo tem que fazer pagamentos trimestrais 
postecipados de $ 3.850. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 4,5% a.t., quantos 
pagamentos trimestrais serão necessários na compra a prazo? 
 
Preço à vista = $ 71.100 R = $ 3.850/trim. 
i = 4,5% a.t Prazo = ? 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = 0 
Prestações(DF = 0) = A = 3.850 [1 − (1,045)−n] = 3.850 (an 4,5%) 
 0,045 
 
Eq de Valor (DF = Zero): 71.100 = 3.850 [1 − (1,045)−n] . 
 . 0,045 . 
 
(71.100) (0,045) = 1 − (1,045)−n 
 3.850 
 
(1,045)−n = 1 − 0,8310 
Aplicando o logarítimo neperiano em ambos os lados da equação fica: 
Ln (1,045)−n = Ln (0,1690) 
Lembrando que: ln Ab = b ln A 
−n Ln (1,045) = Ln (0,1690) 
−n (0,0440) = −1,7779 
Multiplicando a equação acima por menos um fica: 
$ 71.100 
0 1 n 
DF 
Prazo = n = ? 
i = 4,5% a.trim. 
trim. 
R = $ 3.850/trim 
A. 
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33 
n (0,0440) = 1,7779 
Então: 
n = (1,7779) 
 (0,0440) 
n = 40,4 
Resposta: 40,4 
 
 
Ex. 29: Por quanto tempo, tem que ser depositado mensalmente $ 740; em um determinado 
investimento cuja rentabilidade é 13,80% a.s. acumulado mensalmente, para no final do prazo ter $ 
27.275? 
 
Saldo = $ 27.275 R = $ 740/mês 
i = (13,80%) (1/6) = 2,30% a.m. Prazo = ? 
 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = ” n” meses 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = n) − ∑ Ret.(DF = n) = Saldo(DF = n) 
∑ Dep.(DF = n) = S 
∑ Ret.(DF = n) = 0 
Saldo(DF = n) = $ 27.275,00 
 
 
 
 
 
Eq de Valor (DF = n meses): 740 [(1,023)n − 1] = 27.275. 
 . 0,023 . 
(1,023)n − 1 = (27.275) (0,023) 
 740 
(1,023)n − 1 = 0,8477 
(1,023)n = 0,8477 + 1 
(1,023)n = 1,8477 
Aplicando o logarítimo neperiano em ambos os lados da equação fica: 
Ln (1,023)n = Ln (1,85) 
R = $ 740/mês 
0 1 n 
DF 
S Prazo = n = ? 
i = 2,30% a.m. 
meses 
Saldo = $ 27.275 
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34 
Lembrando que: ln Ab = b ln A 
n Ln (1,023) = Ln (1,85) 
n (0,0227) = 0,6152 
n = 0,6152 
 0,0227 
n ≈ 27,10 
Prazo ≈ 27 meses 
Resposta: 27 meses 
 
 
Ex. 30: Uma máquina industrial à vista custa $ 455.000; e a prazo tem que dar uma entrada de $ 
80.000 e mais prestações bimestrais de $ 11.907. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 
1% a.m. acumulado bimestralmente, qual será o prazo do financiamento? 
 
Preço à vista = $ 455.000 E = $ 80.000 
R = $ 11.907/bim. i = (1%) (2) = 2% a.b. n = ? 
 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 80.000 
Prestações(DF = 0) = A = 11.907 [1 − (1,02)−n] = 11.907 (an 2%) 
 0,02 
$ 455.000 
0 1 n 
DF 
Prazo = n = ? 
i = 2% a.b. 
Bim. 
R = $ 11.907/bim. 
A 
$ 80.000 
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Preço à Vista(DF = 0) = $ 455.000 
Eq de Valor (DF = Zero): 80.0000 + 11.907 [1 − (1,02)−n] = 455.000 
 . 0,02 . 
80.000 + 11.907 [1 − (1,02)−n] = 455.000 
 0,02 
11.907 [1 − (1,02)−n] = 455.000 – 80.000 
 0,02 
11.907 [1 − (1,02)−n] = 375.000 
 0,02 
1 − (1,02)−n = (375.000) (0,02) 
 11.907 
1 − (1,02)−n = 0,6299 
1 − 0,6299 = (1,02)−n 
0,3701 = (1,02)−n 
Ln (0,3701) = Ln (1,02)−n 
Ln (0,3701) = −n Ln (1,02) 
−n (0,0198) = (−0,9940) 
Multiplicando a equação por menos um, teremos: 
n (0,0198) = 0,9940 
então: 
n = 0,9940 
 0,0198 
Como o Prazo = n; então: 50,20 bimestres 
 
 
 
3.6- Cálculo da Taxa de Juros 
 
 S = R sn i 
Onde: 
sn i = [(1 + i)n - 1] / i i ↑↑↑↑ ⇒⇒⇒⇒ sn i ↑↑↑↑ 
 
A = R an i 
Onde: 
an i = [1 - (1 + i)-n] / i i ↑↑↑↑ ⇒⇒⇒⇒ an i ↓↓↓↓ 
 
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O cálculo da taxa de juros pode ser feito através de pesquisas em tabelas financeiras ou pode 
ser calculado através da fórmula algébrica que neste caso a incógnita por estar tanto no numerador 
quanto no denominador, então teremos que calcular valor de “ i ” por tentativa e erro até acharmos a 
taxa “ i ” que torna o fator sn i = S/R ou o fator an i = A/R; que neste caso a utilização do 
método de interpolação linear seria o mais prático, pois, o número de tentativas e erros seriam 
menores, ou através de calculadoras financeiras. 
 
 
Ex. 31: Achar a taxa de juros por interpolação linear, na qual depósitos semestrais de $ 500 que 
acumularão $ 6.000 em cinco anos. 
 
 Saldo = $ 6.000 R = $ 500/ sem 
 i = ? prazo = 5 anos => n = 10 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Dez semestres 
 ∑ Dep.(DF = 10) − ∑ Ret.(DF = 10) = Saldo(DF = 10) 
∑ Dep.(DF = 10) = S = 500 [(1 + i)10 −1] = 500 s10 i 
 i 
∑ Ret.(DF = 10) = 0 
Saldo(DF = 10) = $ 6.000 
Eq de Valor (DF = Dez sem.): 500 [(1 + i)10 −1] = 6.000 
 i . 
 
 [(1 + i)10 −1] = 6.000 
 i 500 
s10 i 
 = 12 
1o. Chute: i = 7% a.s. 
R = $ 500/sem. 
0 1 10 
DF 
S 
 n = 10 
i = ? Sem. 
Saldo = $ 6.000 
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s10 7% = [(1,07)10 −1] = 13,82 
 0,07 
Como: 13,82 é maior que 12, então, temos que diminuir a taxa (sn i ↓↓↓↓ ⇒ i ↓↓↓↓) 
2o. Chute: i = 5% a.s. 
s10 5% = [(1,05)10 −1] 
 0,05 
 s10 5% = 12,58 
Como: 12,58 é maior que 12, então, temos que diminuir a taxa (sn i ↓↓↓↓ ⇒ i ↓↓↓↓) 
3o. Chute: 3% a.s. 
s10 3% = [(1,03)10 −1] 
 0,03 
 s10 3% = 11,46 
Como o valor 11,46 é menor que o valor 12, então; temos dois valores de s10 i 
 sendo um maior que 12 
(s10 5% = 12,58) e outro menor que 12 (s10 3% = 11,46); portanto, agora podemos fazer uma 
interpolação linear entre esses valores mais próximos de 12 que são 12,58, para taxa igual a 5% e 
11,46 para a taxa igual a 3%. 
 
 
 x = . 5% − 3% . 
12,00 − 11,46 2,58 − 11,46 
11,46 
12,00 
12,58 
s10 i
 
3% i = ? 5% 
i% (a.s) 
0 
x 
i = 3% + x 
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 x = 2% 
 0,54 1,12 
 
x = (2%) (0,54) 
1,12 
 
x = 0,96% 
 i = 3% + x 
i = 3% + 0,96 
i ≅ 3,96% a.s. 
Para uma taxa de 3,96% o fator: s10 3,96% = 11,98 ≅ 12,00 
Resposta: ≅ 3,96% a.s 
 
 
Ex. 32: Um comerciante vende um artigo por $ 540 à vista. Ele lhe permite comprá-lo por $ 240 de 
entrada, e o saldo a ser pago em prestações mensais de $ 30 durante um ano. Qual é a taxa de juros 
(por interpolação linear) que está sendo cobrada no crediário? 
 
Preço à Vista = $ 540 Entrada = $ 240 i = ? 
R = $ 30 /mês prazo = 1 ano ⇒ n = 12 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 240 
$ 540 
0 1 12 
DF 
Prazo = n = 12 
i = ? 
meses 
R = $ 30/mês 
A 
$ 240 
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Prestações(DF = 0) = A = 30 [1 − (1 + i)−12] = 30 (a12 i
) 
 i 
Preço à Vista(DF = 0) = $ 540 
 
Eq de Valor (DF = Zero.): 540 = 240 + 30 [1 – (1 + i)─12]. 
. i . 
540 − 240 = (30,00) (a12 i
) 
 300 = (30) (a12 i
) 
 10,0 = a12 i = [1 – (1 + i)─12] 
 i 
1o. Chute: 4% a.m. 
 a12 4% = 9,39 
Como 9,39 é menor que 10, então, para aumentarmos o fator a12 i , temos que baixar a taxa de juros 
baixar 
 
 
2o. Chute: 2% a.m. 
 a12 2% = 10,58 
Como o 10,58 é maior que 10, então, já podemos fazer a interpolação linear uma vez que obtivemos 
um valor abaixo de 10 (9,39 para uma taxa de 2%) e um valor acima de 10 (10,58 para uma taxa de 
4%). 
 
 
9,39 
10 
10,58 
a10 i 
2% i = ? 4% i% 0 
x 
i = 2% + x 
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40 
10,58 – 10 = 10,58 – 9,39 
 x 4% – 2% 
 
0,58 = 1,19 
 x 2,0% 
 
(0,58) (2,0%) = x 
 1,19 
x = 0,97% 
i = 2% + 0,97%. 
i ≅ 2,97% a.m. 
O fator a12 i
 para uma taxa de 2,97% é igual a 9,97; mas como o fator tem que ser igual a 10, 
então, faremos mais uma estimativa para a taxa de juros. Usaremos para o próximo chute a taxa que 
achamos por interpolação linear (2,97%). 
 
3o. Chute: 2,97% a.m. 
 a12 2,97% = 9,97 
Agora será feita uma interpolação linear entre os fatores 10,58 (taxa = 2%) e 9,97 (taxa = 
2,97%). 
 
 
 
10,58 – 10 = 10,58 – 9,97 
 x 2,97% – 2% 
9,97 
10 
10,58 
a10 i
 
2% i = ? 2,97% i% 0 
x 
i = 2% + x 
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0,58 = 0,61 . 
 x 0,97% 
 x = 0,92% 
i = 2% + 0,92% ≅ 2,92% a.m. 
Como o fator a12 i para uma taxa igual a 2,92% é 10, então, a taxa de juros que está sendo cobrada no 
crediário é 2,92% a.m. 
 
Resposta: 2,97% a.m. 
 
 
Ex. 33: São feitos trinta e cinco depósitos mensais vencidos de $ 640 em uma poupança. Se o 
montante for $ 84.704; qual é a taxa de juro ao quadrimestre capitalizado mensalmente? (Solução por 
interpolação linear) 
 
 Saldo = $ 84.704 R = $ 640/ mês 
 taxa = ? (a.q. capit. mensalm.) n = 35 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Trinta e cinco meses 
 ∑ Dep.(DF = 35) − ∑ Ret.(DF = 35) = Saldo(DF = 35) 
∑ Dep.(DF = 35) = S 
∑ Ret.(DF = 35) = 0 
Saldo(DF = 35) = $ 84.704 
 
 
Eq de Valor (DF = Trinta e cinco): 6400 [(1 + i)35 −1] = 84.704 
 i . 
[(1 + i)35 −1] = 84.704 
 i 640 
s35 i 
 = 132,35 
R = $ 640,00/mês 
0 1 35 
DF 
S 
n = 35 
i = ? 
meses 
Saldo = $ 84.704,00 
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 1o. Chute: i = 4% a.m. 
s35 4% = [(1,04)35 −1] 
 0,04 
s35 4% = 73,65 
Como: 73,65 é menor que 132,35; então, temos que aumentar a taxa (sn i ↑↑↑↑ ⇒ i ↑↑↑↑) 
2o. Chute: i = 8% a.m. 
s35 8 % = [(1,08)35 −1] 
 0,08 
 s35 8% = 172,32 
Como 172,32 é maior que 132,35; então; temos dois valores de s35 i 
sendo um menor que 132,35 e 
outro maior que 132,35; portanto, agora podemos fazer uma interpolação linear entre esses valores. 
(73,65 e 172,32) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x = . 8% − 4% . 
132,35 − 73,65 172,32 − 73,65 
x = 2,38% 
 i = 4% + 2,38% 
i ≅ 6,38% a.m. ≅ 6,4% 
s35 6,4% = [(1,064)35 −1] s35 6,4% = 121,39 
 0,064 
73,65 
132,35 
172,32 
s35 i
 
4% i = ? 8% i% (a.m) 0 
x 
i = 4% + x 
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A próxima estimativa para a taxa de juros será a que acabamos de achar por interpolação 
(6,4%). 
 
 
3o. Chute: i = 6,4% a.m. => s35 6,4% = 121,39 
 
Agora será feita uma interpolação linear entre 6,4% (s35i 
= 121,39) e 8% (s35 i
 = 172,32). 
 x = . 8% − 6,4% . 
132,35 − 121,39 172,32 − 121,39 
x = 0,34% 
 i = 6,4% + 0,34% 
i ≅ 6,74% a.m. - 
s35 6,74% = [(1,0674)35 −1] => s35 6,74% = 130,64 
 0,0674 
 
Como fator tem que ser igual a 132,35; então, faremos mais uma estimativa, e esta será a mesma taxa 
que encontramos na última interpolação (6,74%). 
 
 
4o. Chute: i = 6,74% a.m. 
Agora será feita uma interpolação linear entre 6,74% (s35i 
= 130,64) e 8% (s35i
 = 172,32). 
 
121,39 
132,35 
172,32 
s35 i
 
6,4% i = ? 8% 
i% (a.m) 
0 
x 
i = 6,4% + x 
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 x = . 8% − 6,74% . 
132,35 − 130,64 172,32 − 130,64 
x = 0,05% 
 i = 6,74% + 0,05% 
i ≅ 6,79% a.m. 
Como o fator s35 i para 6,79% é igual a 132,06, então, aproximadamente, a taxa de juros é igual a 
6,79% a.m. 
 
Taxa de juro ao quadrimestre capitalizado mensalmente será: (6,8%) (4) 
Taxa = 27,20% 
Resposta: 27,20% 
 
Ex. 34: Inicialmente foi depositado em uma poupança $ 325.000 para serem feitas retiradas bimestrais 
de $ 23.403,50 durante seis anos e meio. Calcular a taxa de juros ao semestre capitalizada 
bimestralmente da poupança. (solução por interpolação linear). 
 
Depósito inicial = $ 325.00 R = $ 23.403,50/bim. 
taxa = ? (a.s. capitalizada bimestralmente) n = (6,5) (6) = 39 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = $ 325.000 
130,64 
132,35 
172,32 
s35 i
 
6,74% i = ? 8% 
i% (a.m) 
0 
x 
i = 6,74% + x 
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∑ Ret.(DF = 0) = A = 23.403,50 a39 i 
Saldo(DF = 0) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq de Valor (DF = Zero.): 325.000 − 23.403,50 a39 i = 0 
 325.000 = 23.403,50 a39 i 
 13,89 = a39 i = [1 – (1 + i)─39] 
 i 
1o. Chute: i = 3% a.b. 
 a39 3% = [1 – (1,03)─39] 
 0,03 
a39 3% = 22,81 
Como o fator 22,81 é maior que fator 13,89, então, teremos que aumentar a taxa de juros para o fator 
diminuir. 
 
 
2o. Chute: i = 8% a.b. 
 
a39 8% = [1 – (1,08)─39] = 11,88 
 0,08 
22,81 – 13,89 = 22,81 – 11,88 
 x 8% – 3% 
x = 4,08% 
i = 3% + 4,08%. ≅≅≅≅ 7,08% a.b. 
a39 7,08% = [1 – (1,0708)─39] = 13,14 
 0,0708 
$ 325.000 
0 1 39 
DF 
Prazo = n = 39 
i = ? 
Bim. R = $ 23.403,50/bim. 
A 
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 a39 7,08% = 13,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como fator para esta taxa da 13,14, então, o próximo chute será 7,08% 
 
3o. Chute: 7,08% a.b. a39 7,08% = 13,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22,81 – 13,89 = 22,81 – 13,14 
 x 7,08% – 3% 
11,88 
13,89 
22,81 
a39 i
 
3% i = ? 8% i% 0 
x 
i = 3% + x 
13,1413,89 
22,81 
a39 i
 
3% i = ? 7,08% i% 0 
x 
i = 3% + x 
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x = 3,76% 
i = 3% + 3,76%. 
i ≅≅≅≅ 6,76% a.b. 
Então o fator: a39 6,76% = 13,64 
Como o fator tem que ser igual a 13,89, então faremos mais um chute, que será igual a 6,76% a.b. 
 
 
4o. Chute: i =6,76% a.b. => a39 6,76% = 13,64 
22,81 – 13,89 = 22,81 – 13,64 
 x 6,76% – 3% 
 
x = 3,65% 
i = 3% + 3,65%. 
i ≅≅≅≅ 6,65% a.b. => a39 6,65% = 13,82 
 
 
Taxa ao semestre capitalizada bimestralmente: ≅≅≅≅ (6,65%) (3) = 19,95% 
 
Resposta: 19,95% 
13,64 
13,89 
22,81 
a39 i
 
3% i = ? 6,76% i% 0 
x 
i = 3% + x