UNIDADE 4 Curso_ 221RGR0550A - CALCULO APLICADO UMA VARIAVEL

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introdução
Introdução
CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVELCÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL
CÁLCULO INTEGRALCÁLCULO INTEGRAL
Autor: Me. Ivana Barreto Matos
Revisor : Rosa lvo Miranda
IN IC IAR
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Assim como o cálculo diferencial pode ser aplicado na resolução de problemas relacionados às
taxas de variações, otimização, dentre outros, o cálculo integral também contribui para
resolução de uma in�nidade de problemas aplicados às várias áreas do conhecimento. Dentre
essas aplicações, estudaremos os problemas que envolvem a cinemática, velocidade e
aceleração e a análise grá�ca dos movimentos. No entanto, existem muitas outras aplicações
de integrais como cálculo de área de regiões planas, cálculo de volume e momento. Para tanto,
é necessário aprender a integrar funções através dos métodos. Dentre esses métodos,
estudaremos o método por substituição de variáveis e o método de integração por partes.
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Para começarmos, iniciaremos pelas integrais inde�nidas e apresentaremos suas
propriedades. Dessa forma, você será capaz de calcular integrais de funções elementares.
Passará a compreender que a solução de uma integral inde�nida é uma família de curvas, que
contém uma constante arbitrária. Isso ocorre devido ao fato da integral ser vista como uma
antiderivada, ou seja, ao derivarmos o resultado de uma integral inde�nida obtemos a função
integranda. Ainda neste tópico, mostraremos aplicações de integrais na cinemática,
envolvendo as funções velocidade e aceleração.
Integrais Inde�inidas
Antes de de�nir a integral inde�nida, vamos entender o conceito de primitiva de uma função.
Iniciaremos com a seguinte pergunta: Conhecendo-se a derivada f′ de uma função f, é possível
descobrir a lei da função  f? Sim, é possível.  Veja as seguintes perguntas:
1. Se f′(x) = 1, qual é a função f(x)?
2. Se g′(x) = 2x, qual é a função g(x)?
3. Se h′(x) = ex, qual é a função h(x)?
4. Se l′(x) =
1
x, qual é a função l(x)?
Veri�que que a função do item 1 é igual a   f(x) = x + C, em que C é uma constante arbitrária,
pois f′(x) = 1. Similarmente, para os outros itens: g(x) = x2 + C, h(x) = ex + C e l(x) = ln(x) + C,
cujas derivadas coincidem com as funções derivadas indicadas.
Aceleração e Cálculo de IntegraisAceleração e Cálculo de Integrais
De�nidasDe�nidas
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reflita
Re�ita
Em relação às perguntas propostas anteriormente, re�ita e busque suas
respostas, através do conhecimento obtido nos seus estudos de derivadas
de funções elementares.
Fonte: Elaborado pela autora.
De�inição da Primitiva de uma Função
Segundo Flemming e Gonçalves (2006, p. 240) uma função F(x) é chamada uma primitiva da
função f(x) em um intervalo I, se, para todo x ∈ I, temos F′(x) = f(x).
Consequentemente, se G(x) = F(x) + C, em que C é uma constante real e F(x) uma primitiva de
f(x), então G(x) também é uma primitiva de f(x), pois G′(x) = (F(x) + C)′ = F′(x) = f(x).
Exemplos:
1. F(x) = x2 é uma primitiva de f(x) = 2x, pois F′(x) = 2x.
2. F(x) = sen(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), pois F′(x) = cos(x).
3. F(x) =
x3
3 é uma primitiva de f(x) = x2, pois F′(x) =
x3
3
′
=
3x2
3 = x2.
4. F(x) =
1
2sen(2x) é uma primitiva de f(x) = cos(2x), pois F′(x) =
1
2cos(2x) ⋅ 2 = cos(2x).
De�inição de Integral Inde�inida
Segundo Flemming e Gonçalves (2006, p. 241) se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão
F(x) + C é chamada integral inde�nida da função f(x) e é denotada por:
∫ f(x)dx = F(x) + C
em que:
∫ → sinal de integraão.
f(x) → funão integranda.
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dx → diferencial em x, indica a variável de integraão.
C → constante de integraão.
Nesse sentido, foi elaborada a Tabela 4.1 das   integrais imediatas. Veri�que cada integral da
tabela, ao mesmo tempo em que você pode fazer uma revisão de derivadas das funções,
usando o conceito da primitiva da função, ou seja, ao derivar o resultado das integrais, obtém-
se a função integranda.
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(1) ∫ dx = x + C (13) ∫
1
√1 − x2 dx = arcsen(x) + C
(2) ∫ xndx =
xn+ 1
n+ 1 + C, n ∈ ℜ, n ≠ − 1 (14) ∫
1
x√x2 − 1
 dx = arcsec(x) + C
(3) ∫
1
xdx = ln(x) + C (15) ∫ tg(x) dx = − ln|cos(x)| + C = ln|sec(x)| + C
(4) ∫ exdx = ex + C
(16)
∫ cotg(x) dx = ln|sen(x)| + C = − ln|cossec(x)| + C
(5) ∫ axdx =
1
ln aa
x + C, a > 0, a ≠ − 1 (17) ∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tg(x)| + C
(6) ∫ sen(x) dx = − cos(x) + C (18) ∫ cossec(x) dx = ln|cossec(x) − cotg(x)| + C
(7) ∫ cos(x) dx = sen(x) + C (19) ∫
1
a2 + x2 dx =
1
aarctg(x
a) + C, a ≠ 0
(8) ∫ sec2(x) dx = tg(x) + C (20) ∫
1
√a2 − x2 dx = arcsen(x
a) + C, a ≠ 0
(9) ∫ cossec2(x) dx = − cotg(x) + C (21) ∫
1
x√x2 −a2 dx =
1
aarcsec(x
a) + C, a ≠ 0
(10) ∫ sec(x) tg(x) dx = sec(x) + C (22) ∫
1
√x2 ±a2 dx = ln|x + √x2 ± a2| + C
(11)
∫ cossec(x) cotg(x) dx = − cossec(x) + C (23) ∫
1
x2 −a2 dx =
1
2aln|x−a
x+a| + C
(12) ∫
1
1 + x2 dx = arctg(x) + C Observação: C é uma constante real.
Quadro 4.1 - Integrais Imediatas 
Fonte: Elaborada pela autora.
Veri�que que algumas dessas integrais apresentadas na Tabela 4.1 não são tão imediatas, mas
o fato de derivar o resultado das integrais e obter a função integranda vale sempre para
qualquer função integrável. Alguns desses resultados serão compreensíveis a partir doLoading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
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momento em que você conhecer os métodos de integração. Por enquanto, podemos assumir
esses resultados.
Interpretação Geométrica
Qual é o signi�cado geométrico da função F(x) + C, em que  F(x) é uma primitiva da função f(x)
e C uma constante arbitrária? Veri�que que, por conta da constante arbitrária, C, F(x) + C
representa uma família de curvas.   No caso de uma solução particular, dada uma condição
inicial P(x0, y0), veri�ca-se que existe uma única curva que passa pelo ponto P.
Figura 4.1 - Interpretação Geométrica de Integral Inde�nida 
Fonte: Elaborada pela autora.
Exemplo 1 : A inclinação da reta tangente a uma curva y = f(x) em qualquer ponto (x, y) da
curva é −2x + 3. Se o ponto A (−1, 3) pertence a essa curva, determine a sua equação.
Solução : Sabendo-se que a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) em qualquer ponto é
dada pela função derivada aplicada a esse ponto, temos que 
dy
dx = − 2x + 3 → dy = (−2x + 3) dx.
Integrando-se ambos os lados, temos:
∫dy = ∫ (−2x + 3) dx → y = − 2 
x2
2
+ 3x + C → y = − x2 + 3x + C
Aplicando-se o ponto A (−1, 3), temos: 3 = − ( − 1)2 + 3(−1) + C → C = 7.
Portanto, a solução particular é y = − x2 + 3x + 7.
Veri�que que y = − x2 + 3x + C é uma família de curvas, no entanto, pelo ponto A (−1, 3) só
passa a curva  y = − x2 + 3x + 7, sinalizada em vermelho no grá�co da Figura 4.2. Veja que no
ponto A passa a reta tangente y − 3 = f′(−1)(x − (−1)) → y − 3 = (2(−1) + 3)(x + 1)) → y = 5x + 8.
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Figura 4.2 - Interpretação Geométrica de Integral Inde�nida 
Fonte: Elaborada pela autora.
Agora para aprender a calcular as integrais é necessário você conhecer as propriedades
operatórias de integração. No próximo tópico, vocêconhecerá as propriedades na prática
através dos exemplos propostos.
Propriedades das Integrais Inde�inidas
Flemming e Gonçalves (2006, p. 242), por proposição, relacionam apenas duas propriedades
para a integral inde�nida. Considere f, g : I → ℜ e C uma constante arbitrária. Então:
(i) ∫Cf(x) dx = C∫ f(x) dx.
(ii) ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫g(x) dx.
Veri�que que, pelo fato de existirem poucas propriedades, a complexidade para calcular
integrais é um fato. Para tanto, são utilizados métodos de integração, que foram desenvolvidos
para cada grupo de integrais sob certas condições.
Exemplo 1 : Calcule as seguintes integrais usando as propriedades e os resultados da Tabela
4.1 de integrais imediatas adequados a cada situação.
a) ∫(3x2 + √x + 5) dx
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Solução : Usando o  item 2 da Tabela 4.1, integral da potência, temos:
∫(3x2 + √x + 5) dx = ∫(3x2) dx + ∫√xdx + ∫5dx = 3∫(x2) dx + ∫x1 / 2dx + 5∫1dx 
= 3
x3
3
+
x1 / 2 + 1
1 / 2 + 1 + 5x + C = x3 +
x3 / 2
3 / 2 + 5x + C = x3 +
2
3
x3 / 2 + 5x + C = x3 +
2
3√x + 5x + C
b) ∫ (5cossec2(x) + 4tg(x) ⋅ sec(x) dx
Solução : Usando os itens 9 e 10 da Tabela 4.1, integral de funções trigonométricas, temos:
∫ (5cossec2(x) + 4tg(x) ⋅ sec(x) dx = 5∫ (cossec2(x)dx + 4∫ tg(x) ⋅ sec(x) dx =
= 5∫ (cossec2(x)dx + 4∫ tg(x) ⋅ sec(x) dx = − 5cotg(x) + 4sec(x) + C
c) ∫[x√x + 6sec2(x) −
2x
3] dx
Solução : Usando os  itens 1, 2 e 8 da Tabela 4.1, integral de função trigonométrica e potência,
temos:
∫[x√x + 6sec2(x) −
2x
3] dx = ∫x3 / 2dx + 6∫ sec2(x)dx −
2
3∫xdx =
x3 / 2 + 1
3/2 + 1
+ tg(x) −
2
3
x2
2
 
=
x5 / 2
5/2
+ tg(x) −
x2
3
=
2
5
x5 / 2 + tg(x) −
x2
3
d) ∫[sen(3x) + 3e2x −
2
1 + x2]dx
Solução : Usando os itens 4, 6 e 12 da Tabela 4.1, integral do seno, exponencial e arco
tangente, temos:
∫[sen(3x) + 3e2x −
2
1 + x2]dx = ∫ sen(3x) dx + ∫3e2x dx − ∫
2
1 + x2 dx =
cos(3x)
3
+ 3
e2x
2
− 2arctg(x) + C
Veri�que que a integral de ∫ sen(3x)dx pode ser calculada intuitivamente. A pergunta é:
Qual é a função que derivando resulta em sen(3x)?
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De fato é −
cos ( 3x )
3 , pois (−
cos ( 3x )
3 )′
= −
1
3(cos(3x))′ = −
1
3(−sen(3x) ⋅ 3) = sen(3x).
Agora que você aprendeu a calcular integrais de algumas funções, mostraremos algumas
aplicações envolvendo as integrais inde�nidas principalmente em problemas que envolvem a
cinemática.
Aplicações das Integrais Inde�inidas
Assim como utilizamos a função derivada para resolver problemas na cinemática, que envolve
velocidade e aceleração de partículas, podemos também usar convenientemente a integração.
Mostraremos alguns exemplos!
Exemplo 1 : Uma partícula move-se ao longo de um eixo s. Use a informação dada para
encontrar a função-posição da partícula.
Solução :
a) v(t) = t3 − 2t2 + 1 e s(0) = 1.
Para encontrar a função posição basta integrarmos a função velocidade, desde quando
v(t) =
ds
dt = t3 − 2t2 + 1 → ds =(t3 − 2t2 + 1) dt. Integrado ambos os lados, temos:
∫ ds = ∫(t3 − 2t2 + 1) dt → s =
t4
4 − 2
t3
3 + t + C. Para encontrar o valor da constante  C, basta aplicar
a condição inicial do problema: s(0) = 1.
Assim, 1 =
04
4 − 2
03
3 + 0 + C → C = 1 → s =
1
4t
4 −
2
3t
3 + t + 1.
b) a(t) = 4 cos(2t); v(0) = − 1; s(0) = − 3
Nesse caso, precisamos integrar duas vezes. Ao integrar a função aceleração obtemos a função
velocidade e ao integrar a função velocidade obtemos a função posição.
Sabemos que a(t) =
dv
dt = 4 cos(2t) → dv = 4 cos(2t) dt, integrando, temos:
∫ dv = ∫ 4 cos(2t) dt → v = 4 
sen ( 2t )
2 + C = 2 sen(2t) + C. Para encontrar a constante $C$, basta
aplicar a condição inicial do problema, v(0) = − 1.
−1 = 2 sen(2 ⋅ 0) + C → C = − 1, portanto, v = 2 sen(2t) − 1.
Agora, integrando-se a função velocidade, vamos obter a função espaço-tempo.
 v(t) =
 ds
dr = 2 sen(2t) − 1 → ds = (2 sen(2t) − 1) dt → s = ∫ (2 sen(2t) − 1) dt →→ s(t) = − 2
cos ( 2t )
2 − t + C 
, aplicando as condições iniciais s(0) = − 3, temos:
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0 = − 2
cos(2 ⋅ 0)
2 − 0 + C → C = 1 → s(t) = − cos(2t) − t + 1.
Exemplo 2 : Um tanque tem o seu volume V de água dado em função da altura da água no
mesmo. Sabendo que a taxa de variação do volume V em relação à altura h da água é dada por
π(3h − 2) e sabendo que quando a altura é 1 m existem no tanque de água 3π m3, determine o
volume de água no tanque quando a altura for de 3m.
Solução : 
dV
dh = π(3h − 2) → dV = π(3h − 2) dh → V = ∫ π(3h − 2) dh = ∫ 3πh dh − 2π∫ dh →
→ V = 3π
h2
2 − 2πh + C. Aplicando a condição V = 3π m3 e h = 1m, temos:
3π = 3π
1
2 − 2π(1) + C → C =
7π
2 → V = 3π
h2
2 − 2πh +
7π
2 . Para h = 3 m volume do tanque é dado por:
V = 3π
( 3 ) 2
2 − 2π(3) +
7π
2 = 11πm3. Agora é com você!
praticar
Vamos Praticar
As integrais inde�nidas podem envolver apenas funções elementares. Assim, basta simpli�car a
função adequadamente, e aplicar as propriedades e resultados da tabela de integração. Nesse
contexto, encontre o resultado da  integral inde�nida ∫
x4 + 3x − 1 / 2 + 4
3
√x
 dx e assinale a alternativa correta.
a) 
3
14x
14 / 3 + 18x1 / 6 + 6x2 / 3 + C
b) ) 
3
14x
14 / 3 + 18x1 / 6 + x3 / 2 + C
c) 
3
14x
14 / 3 + 18x1 / 6 + 6x2 / 3 + C
d) x14 / 3 + 10 x1 / 6 + 6 x3 / 2 + C
e) 
3
4x
14 / 3 + 11x1 / 6 + 632 / 3 + C
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As integrais de�nidas permitem a resolução de problemas que resultam em soluções
numéricas como: o deslocamento (∆s) sofrido pela partícula entre os instantes t1 e t2, e o
cálculo de área de �guras planas.
Como motivação, veremos o método da exaustão, que é atribuído a Eudoxo (406–355 A.C.)
como a�rma Carvalho (2011), na seguinte citação:
Eudoxo (∼408-∼355 a.C.) supõe a in�nita divisibilidade da reta e cria o “Método de
Exaustão" para calcular a área do círculo. Ele usa a mesma ideia de Antifonte só
que, ao supor que o segmento de reta pode ser dividido in�nitamente, a�rma que
os polígonos se aproximam do círculo mas nunca coincidem com ele. Isto implica
que não se pode calcular a área do círculo com um número �nito de cálculos
(CARVALHO, 2011, p. 11).
A �gura a seguir ilustra esse procedimento no caso especial do círculo com polígonos regulares
inscritos, em que se aumentando o número de lados desse polígono, sua área aproxima-se
cada vez mais da área do círculo. 
Integrais De�nidas e AnáliseIntegrais De�nidas e Análise
Grá�ca dos MovimentosGrá�ca dos Movimentos
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Seja An a área do polígono inscrito com n lados. À medida que aumentamos n , �ca evidente
que An �cará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos, então, que a área do círculo é
o limite da área do polígono inscrito quando n → ∞ e escrevemos :
A = limn→ ∞An  em que An = nsen(180 ∘
n )cos(180
n)r2.
Logo,
ACírculo = limn→ ∞ nsen(180
n) ⋅ limn→ ∞ cos(180
n)r2 
Calculado por partes, temos:
1. limn→ ∞ nsen(180 ∘
n ) = ∞ ⋅ 0? Indeterminaão !
Nesse caso, devemos preparar a função para usar a regra de L’Hospital: limn→ ∞
sen(180 ∘
n )
1
n
=
0
0?.
Agora podemos utilizar a regra de L’Hospital. Portanto,  
limn→ ∞
sen(180 ∘
n )
1
n
= limn→ ∞
cos(180 ∘
n ) ⋅(−
180 ∘
n2)
−
1
n2
= limn→ ∞ cos(180 ∘
n ) ⋅ (180) = π
2. limn→ ∞ cos(180 ∘
n )r2 = r2 
Dessa forma, concluímos que o valor da área do círculo  é A = limn→ ∞An = πr2.
Figura 4.3 - Método da Exaustão 
Fonte: Elaborada pela autora.
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Integrais De�inidas
Agora você vai entender como encontrarmos a área de uma região plana qualquer, através do
conceito da integral de�nida. Considere o grá�co da função f(x) de�nida num intervalo [a, b].
Como encontrar a área da região limitada pela curva e o eixo x? Considerando o método da
exaustão podemos aproximar a área da região de retângulos, como mostra a Figura 4.5. 
No entanto, veri�que que na Figura 4.5 cometemos um erro grosseiro para a aproximação da
área da região proposta. Uma alternativa para minimizar o erro é aumentar a quantidade de
retângulos no intervalo em que a função f(x) está de�nida [a, b], como mostra a Figura 4.6.
Portanto, para codi�car,  matematicamente, a estimativa do cálculo da área solicitada, vamos
tomar um ponto (xi , f(xi)) como mostra o retângulo Ri em vermelho na Figura 4.6. Veri�que
que o retângulo possui base igual a Δxi = [xi− 1, xi+ 1] e altura f(xi). Consequentemente, a área
do retângulo Ri é dada por SRi
= f(xi) ⋅ Δxi. Assim, podemos dizer que a área S da região
Figura 4.4 - Região Plana 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 4.5 - Método da Exaustão 
Fonte: Elaborada pela autora.
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limitada pela curva y = f(x), o eixo x e a reta x = b pode ser expressa como o somatório das
áreas dos vários retângulos, por:
S ≃
n
∑
i= 1
SRi
=
n
∑
i= 1
 f(xi) ⋅ Δxi = f(x1) ⋅ Δx1 + f(x2) ⋅ Δx2 + f(x3) ⋅ Δx3 + f(x4) ⋅ Δx4 + ⋅ ⋅ ⋅
Figura 4.6 - Integral de�nida 
Fonte: Elaborada pela autora.
Para diminuir o erro, fazemos n → ∞ ou máxΔx → 0 e, ao passar o limite, teremos o cálculo
exato da área da região solicitada: S = limn→ ∞ ∑ n
i= 1 f(xi) ⋅ Δxi ⋅
Nesse sentido, Flemming e Gonçalves (2006) formalizam as seguintes de�nições, teorema e
propriedades. Fique bem atento a essas informações, que são as ferramentas necessárias para
o cálculo e aplicação da integral de�nida.
De�inição (Integral De�inida)
Seja f uma função de�nida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b].
A integral de�nida de�nida de f de a até b, denotada por ∫ baf(x) dx, é dada por:  
∫ baf(x) dx = limn→ ∞ ∑ n
i= 1 f(xi) ⋅ Δxi
Desde quando o limite exista.
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Teorema
A relação entre integral e função contínua decorre do teorema, que a�rma que:
Se f é contínua sobre [a, b], então f é integrável em [a, b].
Ou seja, garante-se a existência da integral quando a função integranda é contínua. Observe
que por conta da palavra “então” do teorema, a controvérsia não é verdadeira. Nesse caso,
pode acontecer da função f ser integrável e a função não ser contínua.
A seguir veri�que as propriedades operatórias da integral de�nida.
Propriedades (Integral De�inida)
Sejam f e g contínuas (portanto integráveis) e k ∈ ℜ.
P1. Se a > b, então ∫ baf(x)dx = − ∫ abf(x)dx, a integral existe.
P2. Se a = b e f(a), existe, então: ∫ aaf(x) dx = 0.
P3. Se a = b e f(a), existe, então: ∫ aaf(x) dx = 0.
P4. ∫ aak f(x) dx = k∫ aa f(x) dx.
P5 . ∫
b
a [f(x) + g(x)] dx = ∫ ba f(x) dx + ∫ ba g(x) dx.
P6 . Se a < c < b, então  ∫ ba f(x) dx = ∫ ca f(x) dx + ∫ bc f(x) dx.
P7 . Se f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então  ∫ ba f(x) dx ≥ 0.
P8 . Se f é contínua em [a, b], então  |∫ ba f(x) dx| ≤ ∫ ba| f(x)| dx.
Agora que você já �cou ciente das propriedades operatórias, para calcular a integral de�nida e
encontrar um valor real representativo é necessário aplicar o importante Teorema
Fundamental do Cálculo, enunciado a seguir.
Teorema Fundamental do Cálculo
Esse é o   teorema mais importante do cálculo, que possibilita o cálculo da integral de�nida.
Para tanto, basta conhecer a primitiva da função e aplicar os limites de integração. Flemming e
Gonçalves (2006, p. 267) de�nem da seguinte forma:
Se f  é contínua em [a, b] e se F é uma primitiva de f nesse intervalo, então ∫ baf(x) dt = F(b) − F(a).
Exemplo 1 : Calcule a integral de�nida ∫ 2
0(−x2) dx.
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Solução :
2
∫
0
(−x2) dx = −
x3
3 
 |2
0 = −
(2)3
3 
−(−
(0)3
3 ) = −
8
 3 
Exemplo 2 : Calcule a integral de�nida ∫ π / 2
−π / 2sen(x) dx.
Solução :
π / 2
∫
−π / 2
sen(x) dx = − cos(x) | π / 2
−π / 2 = − cos(π /2) − (−cos(π /2)) = − 0 + 0 = 0
Através dos exemplos você pode veri�car perfeitamente a aplicação do Teorema Fundamental
do Cálculo após o cálculo da integral na obtenção da função primitiva. 
saiba mais
Saiba mais
O Teorema Fundamental do Cálculo é uns dos mais
importantes teoremas do cálculo, pois através dele é
possível resolver uma in�nidade de problemas aplicados
em várias áreas de conhecimento. Através da história é
possível você saber compreender como é possível
aplicar as integrais de�nidas através do Teorema
Fundamental do Cálculo. O trabalho intitulado
“Investigação do Teorema Fundamental do Cálculo com
Calculadoras Grá�cas” mostra como aplicar esse
importante resultado na resolução de problemas que
envolvem o cálculo integral.
ACESSAR
Agora vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo em aplicações relacionadas ao cálculo
de área de regiões planas.
Cálculo de Área de Regiões Planas
Para o cálculo de área é necessário termos alguns cuidados relativos ao sinal da função. Nos
exemplos anteriores, simplesmente aplicamos o teorema Fundamental do Cálculo, pois foi
solicitada a resolução da integral de�nida. Veremos como realizar o cálculo de área de regiões
planas, para tanto, Flemming e Gonçalves (2006, p. 272) mostram como se calcular vários tipos
de áreas de regiões planas.
De�iniçãoLoading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
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Seja f(x) uma função contínua, integrável no intervalo [a, b]. Dizemos que a área da região
limitada pelo grá�co de f e o eixo x é dada por:
b
∫
a
 |f(x)|dx = F(b) − F(a)
Em que
|f(x)| = {f(x) se f(x) ≥ 0}ou = {− f(x) se f(x) < 0}
Exemplo 1 : Calcular a área da região limitada pelo grá�co (Ver Quadro 4.1)   da função
f(x) = x2 + 2, pelo eixo Ox e pelas retas x = − 1 e x = 2. 
Quadro 4.2 - Cálculo da área 
Fonte: Elaborado pela autora.
Exemplo 2 : Calcular a área da região limitada pelo grá�co (Ver Quadro 4.3)  da função f(x) = x3,
pela reta x = 3 e pelo eixo Ox. 
Quadro 4.3 - Cálculo da área 
Fonte: Elaborado pela autora.
Exemplo 3 : Calcular a área da região limitada pelo grá�co (Ver Quadro 4.4)   da função
f(x) = x2 − 4x e o eixo Ox. 
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Quadro 4.4 - Cálculo da área 
Fonte: Elaborado pela autora.
Agora veremos um exemplo em que a função é parte positiva e parte negativa. Nesse caso,
teremos que utilizar a de�nição de módulo.
Exemplo 4 : Calcular a área da região limitada pelo grá�co (Ver Quadro 4.5)   da função
f(x) = sen(x) e o eixo Ox entre −π /2 a π /2. 
Quadro 4.5 - Cálculo da área 
Fonte: Elaborado pela autora.
Agora vamos ver o caso em que a região está limitada entre duas curvas. Nesse caso, prevalece
sempre a integral que limita superiormente menos a função que limita inferiormente. Nesse
caso, não precisa se preocupar com o sinal da função. Veja o exemplo 5.
Exemplo 5 : Calcular a área da região limitada pelo grá�co (Ver Quadro 4.6)   da função
f(x) = − x2 + 2x e f(x) = − 2x − 3. 
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https://ambienteacademico.com.br/course/view.php?id=12256 20/38Observe que, em todos os exemplos anteriores, usamos o grá�co como suporte para resolver
a questão. No entanto, se a função for não elementar a construção grá�ca �ca mais difícil.
Assim, temos como resolver a questão através do estudo do sinal. Veja o exemplo 6.
Exemplo 6 : Calcular a área da região limitada pelas curvas y1 = x3 − 3x e y2 = 2x2. Nesse caso,
precisamos estudar o sinal da função y1 − y2 = x3 + 2x2 − 3x. Se o sinal for positivo, signi�ca que
a função y1 limita a região limitada superiormente, caso contrário a função y2 é a que limita
superiormente. Fatorando temos: y1 − y2 = x3 + 2x2 − 3x = x (x + 1)(x − 3). Veja toda a análise no
Quadro 4.7. 
Quadro 4.6 - Cálculo da área 
Fonte: Elaborado pela autora.
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Fatoração: 
y1 − y2 = x3 + 2x2 − 3x
x(x2 + 2x − 3) = 0
x = 0 ou x2 + 2x − 3 = 0
x = 0 ou x = − 1 ou x = 3
y1 − y2 = x (x + 1)(x − 3)
Estudo de Sinal 
y1 − y2 = x (x + 1)(x − 3)
-1        0      3
y = x - - + +
y = x + 1 - + + +
y = x − 3 - - - +
y1 − y2 - + - +
Cálculo: 
Veri�que que a parte
limitada está entre -1 e 3.
Pelo estudo de sinal concluímos que a função y1 limita
superiormente em [−1, 0] e a função  y2 limita
superiormente em [0, 3]. Daí, podemos montar a
integral: 
A = ∫ 0
− 1(y1 − y2) dx + ∫ 3
0(y2 − y1) dx
A = ∫ 0
− 1(x3 − 3x −(2x2)) dx + ∫ 3
0(2x2 −(x3 − 3x)) dx
A = ∫ 0
− 1(x3 − 2x2 − 3x dx + ∫ 3
0(−x3 + 2x2 + 3x) dx
A = 
x4
4 − 2
x3
3 − 3
x2
2|0
− 1 −
x4
4 + 2
x3
3 + 3
x2
2|3
0
A = −( ( − 1 ) 4
4 − 2
( − 1 ) 3
3 − 3
( − 1 ) 2
2 ) −
( 3 ) 4
4 + 2
( 3 ) 3
3 + 3
( 3 ) 2
2
A =
7
12 +
45
4 =
7 + 135
12 =
142
12 =
71
6 ≃ 11, 83 u. a.
A =
32
3 ≃ 10, 6 u. a.
Quadro 4.7 - Cálculo da área 
Fonte: Elaborado pela autora.
Análise Grá�ica dos Movimentos
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Vamos tomar como exemplo o Movimento Uniformemente Variado (MUV). Nesse caso, a
função aceleração a = a(t) é constante, consequentemente, a função velocidade a = a(t) é uma
reta e a função espaço-tempo s = s(t) é uma parábola. Assim mostram os grá�cos da Figura 4.7.
Figura 4.7 - MUV 
Fonte: Elaborada pela autora.
Já vimos que, se derivarmos a função espaço-tempo obtemos a função velocidade e ao
derivarmos a função velocidade obtemos a função aceleração. Por outro lado, se integramos a
função aceleração encontramos a função velocidade e se integrarmos a função velocidade
encontramos a função espaço-tempo dada alguma condição inicial.
Vejamos o signi�cado do valor da área da região limitada pela curva velocidade e o eixo x, em
um intervalo de tempos de t1 a t2.
O deslocamento é dado por:  Δs = s(t2) − s(t1). Por outro lado, a área é limitada pela função
velocidade, nesse caso é determinada através da integração, portanto, no caso da função
velocidade ser toda positiva, o deslocamento coincide com a distância percorrida e é igual à
área: A = ∫ t2t1
v(t)dt = s(t2) − s(t1) = Δs, desde quando a função espaço-tempo s(t)) é uma
primitiva da função velocidade, ou seja, derivando-se a função s(t) obtemos a função v(t).
Quando a função não é toda positiva ao intervalo em estudo, como mostra o grá�co da Figura
4.8, devemos levar em consideração o sinal da função.
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Nesse caso, a distância percorrida (d ) é dada pela área limitada pelo grá�co da função
velocidade e o eixo x dada por d = A = ∫ t2t1
|v(t)| dt em módulo. Já no deslocamento, não se leva
em consideração o módulo, assim Δs = A = ∫ t2t1
v(t) dt . 
Figura 4.8 - Deslocamento 
Fonte: Elaborada pela autora.
Vamos fazer os cálculos da distância e do deslocamento considerando o exemplo da Figura 4.8.
Assim, em que t1 = 1s , t2 = 3s e t3 = 6s, considerando as funções da Figura 4.7, em que  
s(t) =
1
2t
2 − 3t + 1 m e v(t) = t − 3 m /s,
Δs = A =
t2
∫
t1
v(t)dt =
6
∫
1
(t − 3) dt =(1
2t
2 − 3t ) | 6
1 =(1
2(6)2 − 3(6) ) −(1
2(1)2 − 3(1) )
= (18 − 18) − (1 /2 − 3 ) = 0 − (−5/2) = 5/2 m.
Para conferir vamos fazer a conta com a função espaço-tempo:
Δs = s(t2) − s(t1) = s(6) − s(1) =(1
2
(6)2 − 3(6) + 1 ) −(1
2
(1)2 − 3(1) + 1 ) = 1 − (−3/2) = 5/2 m.
Conferido!
Vamos analisar o que muda quando calculamos a distância percorrida. Veri�que os cálculos
considerando o módulo da função velocidade. Nesse caso, foi necessário dividir em duas
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integrais. Quando o tempo varia de  1s a 3s, a função velocidade é negativa (Figura 4.8) e, por
propriedade de módulo, colocamos o sinal negativo na primeira integral. De 3s para 6s a
função é toda positiva e portanto o sinal �ca positivo.
Δs = A =
t2
∫
t1
|v(t)| dt = −
3
∫
1
(t − 3) dt +
6
∫
3
(t − 3) dt = −(1
2
t2 − 3t )|3
1 +(1
2
t2 − 3t )|6
3
= −[(1
2
(3)2 − 3(3) ) −(1
2
(1)2 − 3(1) )] + (1
2
(6)2 − 3(6) ) −(1
2
(3)2 − 3(3) ) =
 . = − (18 − 18) + (1 /2 − 3 ) + (18 − 18) − (9 /2 − 9) = − 5/2 + 9/2 = 2 m
Veri�que que nesse caso do MUV é possível realizar o cálculo sem a utilização da integração,
apenas utilizando as fórmulas aprendidas no ensino médio. A utilização da integral se faz
necessária, quando a função espaço-tempo é diferente de uma função polinomial de grau 2.
Nesses casos, para calcular o deslocamento devemos determinar o deslocamento através do
cálculo da área por integração. Agora é com você! Através da atividade proposta a seguir, teste
os conhecimentos adquiridos. 
praticar
Vamos Praticar
A posição de uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta é dada por uma função s = s(t), em
que s é medido em metros e o tempo (t) em segundos. Por observação do fenômeno foi possível
modelar a função velocidade dada por v(t) = 6t2 − 24 m /s, que é uma função quadrática.
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Figura - Grá�co velocidade X tempo 
Fonte: Elaborada pela autora.
Com base nessas informações e a análise do grá�co da �gura, avalie as seguintes alternativas:
I. O tempo necessário para a partícula alcançar uma velocidade de 72 m /s a partir de sua condição
inicial em t = 0 é igual a 4 s.
II. A aceleração da partícula quando a velocidade é igual a 30 m /s é igual a 25 m /s2.
III. O deslocamento resultante durante o intervalo de t1 = 1 s até t2 = 4 s é igual a 54 m.
IV. A partícula percorreu de t1 = 1 s até t2 = 4 s uma distância de 65 m.
Está correto o que se a�rma em:
a) I e III, apenas.
b) II e III, apenas.
c) I e II, apenas.
d) I, II e III, apenas.
e) I, III e IV, apenas.
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Para integrarmos funções não elementares, é necessário aplicar algum método de integração
com o intuito de transformar uma integral complexa em integrais elementares e resolvê-las de
forma fácil com aplicação dos resultados tabelados das integrais elementares. O método por
substituição de variáveis é bastante intuitivo, e consiste em substituir a variável da integral por
outra variável e sob certas condições é possível simpli�cá-la.
Sejam as funções contínuas  g(x) e f(x) e a função F(x) uma primitiva da função f(x), então:
∫ f(g(x)) ⋅ g′(x)dx = F(g(x)) + C.
Considerando, u = g(x), temos ∫ f(u) ⋅ du = F(u) + C.
Veremos alguns exemplos para praticar esse método.
Exemplo 1 : Calcular ∫
dx
3x− 7.
Fazendo u = 3x − 7 → du = 3 dx → dx =
du
3 , temos:
∫
dx
3x − 7
= ∫
1
u
⋅
du
3
=
1
3∫
du
u
=
1
3
ln|u| + C =
1
3
ln|3x − 7| + C.
Exemplo 2 : Calcular ∫ x√x2 + 1dx.Fazendo u = x2 + 1 → du = 2x dx → xdx =
du
2 , temos:
Método de Integração porMétodo de Integração por
Substituição de VariávelSubstituição de Variável
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∫x√x2 + 1dx = ∫√u 
du
2
=
1
2∫u
1 / 2du =
1
2
⋅
u3 / 2
3/2
+ C =
1
2
⋅
2
3
⋅ u3 / 2 + C =
1
3
⋅
3
√(x2 + 1)
2
+ C.
Exemplo 3: Calcular ∫ tg(x) dx = ∫
sen ( x )
cos ( x ) dx.
Fazendo u = cos(x) → du = − sen(x) dx → sen(x)dx = − du, temos:
∫
sen(x)
cos(x)
 dx = ∫ −
du
u
= − ln|u| + C = − ln|cos(x)| + C = ln|sec(x)| + C.
Vale ressaltar que esse resultado está tabelado. Similarmente você pode resolver a integral
∫ cotg(x) dx para praticar!
Exemplo 4 : Calcular ∫ sec(x) dx. Nesse caso, utilizamos o artifício de multiplicar e dividir a função
por 
( sec ( x ) + tg ( x )
sec ( x ) + tg ( x ) .
∫ sec(x) dx = ∫ sec(x) ( ( sec ( x ) + tg ( x )
sec ( x ) + tg ( x ))dx = ∫
( sec2 ( x ) + sec ( x ) tg ( x )
sec ( x ) + tg ( x ) dx. Fazendo,
u = sec(x) + tg(x) → du =(sec(x) ⋅ tg(x) + sec2(x)) dx, temos:
∫
( sec2 ( x ) + sec ( x ) tg ( x )
sec ( x ) + tg ( x ) dx = ∫
dt
t = ln|t| + C = ln|sec(x) + tg(x)| + C   (tabelado).
Similarmente, você pode resolver a integral ∫ cossec(x) dx para praticar!
Exemplo 5 : Calcular ∫
tg√x
√x
dx.
Fazendo u = √x → du =
1
2√x
 dx = 2du =
1
√x
 dx, temos:
∫
tg√x
√x
dx = ∫2tg(u)du = 2 ⋅ ∫ tg(u)du = 2ln|sec(u)| + C = 2ln|sec(√x)| + C.
Agora é com você! 
praticar
V P ti
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p
Vamos Praticar
O método de substituição de variável permite calcular alguns tipos de integrais. Nesse caso, você deve
substituir a variável de integração por outra de forma conveniente, como mostrado nos exemplos
anteriores. Caso esse método não se adeque, você pode aplicar, possivelmente, outros métodos que
ainda serão mostrados em seus estudos de cálculo. Nesse contexto, calcule a integral ∫
( ln ( x ) ) 2
x dx
utilizando o método por substituição de variáveis e assinale a alternativa correta.
a) ln3(x) + C.
b) 
ln2 ( x )
2 + C
c) 
ln2 ( x )
2 + C
d) 
ln3 ( x )
3 + C
e) 
ln ( x )
3 + C
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O método de integração por partes é um método apropriado para integrar produtos de
funções distintas como por exemplo ∫ x ⋅ exdx. Veri�que que nesse caso, o método de integração
por substituição de variável não se aplica. Vejamos como foi de�nida a fórmula utilizada para a
integração por partes.
Sejam as funções f(x) e g(x) deriváveis e de�nidas em um intervalo I.Ao derivar o produto entre
elas, temos:
[f(x) ⋅ g(x)]′ = f′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x)(eq. 1)
Integrando-se ambos os lados da equação 1, temos:
d
dx
[f(x) ⋅ g(x)] = f′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x) → d[f(x) ⋅ g(x)] =[f′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x)]dx
∫d[f(x) ⋅ g(x)] =
∫[f′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x)]dx → f(x) ⋅ g(x) =
∫[f′(x) ⋅ g(x)]dx + ∫[f(x) ⋅ g′(x)]dx → ∫[f(x) ⋅ g′(x)]dx =
f(x) ⋅ g(x) − ∫[g(x) ⋅ f′(x)]dx
Método de Integração por PartesMétodo de Integração por Partes
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Fazendo: u = f(x) → du = f′(x)dx e v = g(x) → dv = g′(x)dx e substituindo obtemos a fórmula da
integração por partes:
∫u dv = u ⋅ v − ∫v du.
Veja que dividimos a integral em duas partes: u e dv.
Agora, através de alguns exemplos, você vai aprender como aplicar esse método de integração
por partes. Dessa forma, recomendamos para a escolha  dessas partes a seguinte ordem para
nomear a variável u, ou seja, devemos priorizar a escolha de acordo com a seguinte ordem: L
ogarítmica, I nversa, A lgébrica, T rigonométrica, E xponencial.
Exemplo 1 : Calcule ∫ xexdx.
Para aplicar a fórmula ∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du, fazemos preferencialmente:
u = x → du = dx e dv = exdx → v = ex. Substituindo na fórmula, temos:
∫xexdx = xex − ∫exdx = xex − ex + C.
Veri�que que, nesse método, não fazemos a substituição de variáveis, as variáveis u e v são
utilizadas como suporte para podermos usar a fórmula. Uma vez substituindo na fórmula, a
integral �ca totalmente em função de x. Observe também que a escolha recomendada é
importante, pois se almeja, ao resolver a uma integração por partes, que a integral da fórmula
�que mais fácil de resolver. Quando isso não acontece, deve-se fazer outra escolha para as
variáveis u e dv.
Exemplo 2 : Calcule ∫ x2 ⋅ ln(x) dx.
Fazemos preferencialmente:
u = ln(x) → du =
1
xdx e dv = x2dx → v =
x3
3 . Substituindo na fórmula, temos:
∫x2 ⋅ ln(x) dx = ln(x) ⋅
x3
3
− ∫
x3
3
⋅
1
x
dx = ln(x) ⋅
x3
3
− ∫
x2
3
dx = ln(x) ⋅
x3
3
−
x3
9
+ C =
2
9
x3 + C.
Exemplo 3 : Calcule ∫ ex ⋅ cos(x) dx.
Escolhemos: u = cos(x) → du = − sen(x) dx e dv = exdx → v = ex e através da fórmula:
∫ ex ⋅ cos(x) dx = cos(x) ⋅ ex − ∫ ex ⋅ (−sen(x))dx = cos(x) ⋅ ex + ∫ ex ⋅ sen(x)dx.
Veri�que que restou a integral ∫ ex ⋅ sen(x)dx, similar à integral que queremos resolver. Portanto,
temos que aplicar o método por partes novamente. Logo:
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u = sen(x) → du = cos(x) dx e dv = exdx → v = ex.
Portanto,
∫ex ⋅ cos(x) dx = cos(x) ⋅ ex + ∫ex ⋅ sen(x)dx = sen(x) ⋅ ex − ∫ex ⋅ cos(x)dx(eq. 2)
Veja que interessante! Retornamos para a mesma integral. Esse tipo de integral é denominada
de cíclica. Nesse caso, resolveremos a equação 2, passando a integral do segundo termo para o
primeiro termo para obter o seu valor, da seguinte forma:
∫ex ⋅ cos(x) dx + ∫ex ⋅ cos(x)dx = cos(x) ⋅ ex + sen(x) ⋅ ex → 2∫ex ⋅ cos(x) dx =
ex (cos(x) + sen(x)) → ∫ex ⋅ cos(x) dx =
ex 
2
(cos(x) + sen(x)) + C.
Agora é com você!
praticar
Vamos Praticar
O método de integração por partes divide a integral em duas partes e para resolver a integral
utilizamos a fórmula: ∫ udv = uv − ∫ vdu. Nesse contexto, calcule as integrais ∫ ln(x)dx e ∫ arctg(3x) dx,
utilizando o método por partes e assinale a alternativa correta.
a) ∫ ln(x)dx = ln(x) − x + C e ∫ arctg(x) dx = x ⋅ arctg(3x) −
1
6ln|1 + 9x2| + C
b) ∫ ln(x)dx = xln(x) − x + C e ∫ arctg(x) dx = x ⋅ arctg(3x) −
1
6ln|1 + 9x2| + C
c) ∫ ln(x)dx = ln(x) − 1 + C e ∫ arctg(x) dx = arctg(3) − ln|1 + x2| + C
d) ∫ ln(x)dx =
1
x + C e ∫ arctg(x) dx = x ⋅ arctg(3x) + C
e) ∫ ln(x)dx = ln(x) + x + C e ∫ arctg(x) dx = x ⋅ arctg(3x) −
1
6ln|1 + 9x2| + C
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Cálculo
Editora : São Paulo: Cengage Learning, v.1.
Ano : 2013
Autor : STEWART, James.
ISBN : 9788522114610
Comentário : Recomendo leitura dos capítulos 5, 6 e 7 que
abordam a de�nição da integral e algumas aplicações interessantes.
Além disso, você pode praticar resolvendo os exercícios propostos
por substituição de variáveis, cálculo de área e o método por partes.
WEB
MÜLLER, M. J.; GONÇALVES, N. da S.; MÜLLER, T. J. Integral de�nida
: trabalhando conceito e aplicações através de objetos de
aprendizagem.
Ano : 2013.
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Comentário : Esse artigo mostra como as aplicações de derivadas e
integrais podem ser trabalhadas através dos objetos de
aprendizagem em sala de aula. Esses elementos favorecem uma
aprendizagem vinculando a teoria à prática, reforçando  a
necessidade das inovaçõesem sala de aula através das aulas
práticas em laboratório.
ACESSAR
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http://repositorio.pucrs.br/dspace/bitstream/10923/12224/2/Integral_Definida_trabalhando_conceito_e_aplicacoes_atraves_de_objetos_de_aprendizagem.pdf
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade iniciamos o conceito do cálculo integral, em que estudamos dois métodos de
integração: por substituição de variável e por partes. Além disso, trabalhamos com cálculo de
área de regiões planas aplicados a análise dos movimentos: determinação do deslocamento e
distância percorrida por uma partícula em movimento.  Essa é uma importante aplicação na
área de física, no entanto, podemos aplicar esse conceito de integrais em várias áreas de
conhecimento como por exemplo: na hidráulica, na resolução de problemas que envolve
esvaziamento de um tanque; na biologia, para de�nir dosagem de medicamentos; e, também,
na área da economia, através da análise das funções econômicas: custo, receita e lucro.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ANTON, H. Cálculo - v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. ISBN 9788582602263.
CARVALHO, S. P. A área e o perímetro de um círculo. In: COLÓQUIO DA REGIÃO SUDESTE, 1.,
abr. 2011, [S.l.]. Anais [...] . [S.l.]: [S.n.], abr. 2011. Disponível em:
https://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SE-1.02.pdf . Acesso em: 30 dez. 2019.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A : funções, limites, derivação e integração. 6. ed.
rev. e ampl. São Paulo: Pearson, 2006. ISBN 9788576051152.
MÜLLER, M. J.; GONÇALVES, N. da S.; MÜLLER, T. J. Integral de�nida: trabalhando conceito e
aplicações através de objetos de aprendizagem. In: COBENGE, XLI., 23 a 26 set. 2013, Gramado.
Anais [...] . Gramado: UFGRS, 23 a 26 set. 2013. Disponível em:
http://repositorio.pucrs.br/dspace/bitstream/10923/12224/2/Integral_De�nida_trabalhando_conceito
e_aplicacoes_atraves_de_objetos_de_aprendizagem.pdf . Acesso em: 22 jan. 2020.
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https://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SE-1.02.pdf
http://repositorio.pucrs.br/dspace/bitstream/10923/12224/2/Integral_Definida_trabalhando_conceito_e_aplicacoes_atraves_de_objetos_de_aprendizagem.pdf
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SCUCUGLIA, R. A investigação do teorema fundamental do cálculo com calculadoras
grá�cas . Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Universidade Estadual Paulista,
Rio Claro, 2006.
STEWART, J. Cálculo , v. 1. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. ISBN 9788522114610.
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