Introdução À Mecânica Das Estruturas(EMC109)-Exemplo 01 Utilizando Tabela Kurt Beyer

Prévia do material em texto

EXEMPLO 01: Para a viga hiperestática abaixo, calcular o valor das reações de apoio 
utilizando a tabela de Kurt Beyer. Observe que no diagrama de corpo livre, a viga 
apresenta um eixo de simetria. 
Para resolver uma viga hiperestática pelo método das forças, é realizada a superposição 
de soluções isostáticas, criando-se, desta forma, um estrutura isostática auxiliar através 
da estrutura original, eliminando alguns vínculos necessários. 
 
 
1ª etapa: eliminar apoios “excedentes” e transformar a estrutura de hiperestática para 
isostática. 
Neste caso, eliminaremos o apoio interno para manter a simetria. 
 
2ª etapa: criar viga adicional, com carga unitária em substituição à reação de apoio 
eliminada. 
 
3ª etapa: desenvolver os diagramas de momento fletor para as vigas de configuração 
(0) e (1). 
Para a configuração (0): 
 
 
 
Configuração (0) 
Configuração (1) 
Configuração (0) 
Obs: VA = VB (simetria) 
VA + VB - 20 – 20 = 0 
VA + VB = 40 
Logo, VA = VB = 20 
MA = MB = 0 (apoios de extremidade) 
 MC = VA*(2) = 20*2 = 40 kN.m 
 ME = VA*(4) – 20*2 = 20*4 - 20*2 = 40 kN.m 
MD = VB*(2) = 20*2 = 40 kN.m 
 
Desenhando: 
 
Para a configuração virtual (1): 
 
Obs: VA = VB (simetria) 
VA + VB + 1 = 0 
VA + VB = -1 
Logo, VA = VB = -0,5 
MA = MB = 0 (apoios de extremidade) 
 MC = VA*(2) = -0,5*2 = -1 kN.m 
 ME = VA*(4) = -0,5*4 = -2 kN.m 
MD = VB*(2) = -0,5*2 = -1 kN.m 
 
 
Configuração (0) 
Configuração (1) 
Desenhando: 
 
 
4ª etapa: realizar combinação entre os diagramas (0) e (1), utilizando a tabela de Kurt 
Beyer: 
OBS: combinar utilizando as figuras geométricas disponíveis na tabela. Sempre realizar 
a combinação para o mesmo comprimento de viga. 
 
 
 
 
Combinação entre trecho I (0) e I (1): 
Triângulos de ângulo reto. O ângulo reto de ambos os triângulos está voltado para o 
lado direito. Consultando a tabela: 
 
𝛿(𝐼) =
1
3
∗ 𝐿 ∗ 𝑀𝐵 ∗ 𝑀𝐵 =
1
3
∗ 2 ∗ 40 ∗ −1 = −26,667 
Combinação entre trecho II (0) e II (1): 
Configuração (1) 
Configuração (0) 
Configuração (1) 
Quadrado e trapézio, consultando a tabela: 
 
𝛿(𝐼𝐼) =
1
2
∗ 𝐿 ∗ 𝑀 ∗ (𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) =
1
2
∗ 2 ∗ 40 ∗ (−1 − 2) =
1
2
∗ 2 ∗ 40 ∗ (−3) = −120 
 
Em atenção à simetria das vigas, os resultados para 𝛿(𝐼𝐼𝐼) = 𝛿(𝐼𝐼) e de 𝛿(𝐼𝑉) = 𝛿(𝐼) 
Desta forma, 𝛿10 = 𝛿(𝐼) + 𝛿(𝐼𝐼) + 𝛿(𝐼𝐼𝐼) + 𝛿(𝐼𝑉) 
𝛿10 = −26,667 − 120 − 26,667 − 120 = −293,333 
 
5ª etapa: realizar combinação entre os diagramas (1) e (1), utilizando a tabela de Kurt 
Beyer: 
 
 
Para a configuração (1), não será necessário dividir o diagrama em trechos, pois 
encontramos na tabela a figura geométrica para o comprimento L de 8 metros (viga 
inteira). 
𝛿11 =
1
3
∗ 𝐿 ∗ 𝑀 ∗ 𝑀𝐵 =
1
3
∗ 8 ∗ −2 ∗ −2 = 10,667 
 
6ª etapa: reestabelecer as condições impostas: 
𝛿10 + 𝛿11𝑥 = 0 
−293,333 + 10,667𝑥 = 0 
Logo: x = 27,5 kN 
 
7ª etapa: 
Redesenhar a viga, considerando a reação de apoio calculada: 
Configuração (1) 
 
Obs: VA = VB (simetria) 
VA + VB + 27,5 - 20 - 20 = 0 
VA + VB = 12,5 
Logo, VA = VB = 6,25 kN