Introdução À Mecânica Das Estruturas(EMC109)-Exemplo 02 Utilizando Tabela Kurt Beyer

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EXEMPLO 02: Para a viga hiperestática abaixo, calcular o valor das reações de apoio 
utilizando a tabela de Kurt Beyer. Observe que a viga possui um engaste na extremidade 
esquerda e um apoio na extremidade direita. 
 
 
 
1ª etapa: eliminar apoios “excedentes” e transformar a estrutura de hiperestática para 
isostática. 
Neste caso, eliminaremos o apoio de 1º gênero. 
 
2ª etapa: criar viga adicional, com carga unitária em substituição à reação de apoio 
eliminada. 
 
3ª etapa: desenvolver os diagramas de momento fletor para as vigas de configuração 
(0) e (1). 
Para a configuração (0): temos duas cargas sobrepostas, a distribuída de 20 kN/m que 
resulta em um diagrama de momento parabólico, e a carga pontual de 50 kN que resulta 
em um diagrama com reta inclinada. Desta forma, dividiremos a configuração (0) em 
duas etapas: 
 
 
 
Configuração (0) 
Configuração (1) 
Configuração (0) A A 
(a) (b) 
Verifique que não é necessário resolver as reações de apoio para determinar o momento 
fletor em cada ponto da viga. Olhando para o lado direito, não há incógnitas. 
Para a viga (a): 
 MA = -20*10*(10/2) = -1000 kN.m 
Para a viga (b): 
 MA = -50*10* = -500 kN.m 
Desenhando: 
 
 
Para a configuração virtual (1): 
 
MA = 1*10 = 10 kN.m 
Desenhando: 
 
 
4ª etapa: realizar combinação entre os diagramas (0) e (1), utilizando a tabela de Kurt 
Beyer: 
OBS: combinar utilizando as figuras geométricas disponíveis na tabela. Sempre realizar 
a combinação para o mesmo comprimento de viga. Neste caso realizaremos uma 
combinação entre (0-a) e (1), assim como entre (0-b) e (1); 
 
 
Configuração (0) 
Configuração (1) 
Configuração (1) 
Configuração (0-a) 
Configuração (1) 
(a) (b) 
A 
Parábola e triângulo com o ângulo reto no lado esquerdo das figuras geométricas. 
 
Consultando a tabela: Neste caso ambos os ângulos retos estão no lado direito das 
figuras geométricas. O importante é estarem no mesmo lado. 
 
 
𝛿(0𝑎, 1) =
1
4
∗ 𝐿 ∗ 𝑀𝐵 ∗ 𝑀𝐵 =
1
4
∗ 10 ∗ −1000 ∗ 10 = −25000,0 
(0-b) e (1) 
 
 
Triângulos de ângulo reto. O ângulo reto de ambos os triângulos está no lado 
esquerdo. 
Consultando a tabela: Neste caso ambos os ângulos retos estão no lado direito das 
figuras geométricas. O importante é estarem no mesmo lado. 
 
 
𝛿(0𝑏, 1) =
1
3
∗ 𝐿 ∗ 𝑀𝐵 ∗ 𝑀𝐵 =
1
3
∗ 10 ∗ 500 ∗ 10 = −16666,667 
 
𝛿01 = 𝛿(0𝑎, 1) + 𝛿(0𝑏, 1) 
𝛿01 = −25000 − 16666,667 = − 41666,667 
 
 
 
Configuração (0-b) 
Configuração (1) 
5ª etapa: realizar combinação entre os diagramas (1) e (1), utilizando a tabela de Kurt 
Beyer: 
 e 
Utilizando a equação da tabela de Kurt Beyer para triângulos retângulos com os 
ângulos de 90° voltados para o mesmo lado: 
𝛿11 =
1
3
∗ 𝐿 ∗ 𝑀𝐵 ∗ 𝑀𝐵 =
1
3
∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 333,333 
 
6ª etapa: reestabelecer as condições impostas: 
𝛿10 + 𝛿11𝑥 = 0 
−41666,667 + 333,333𝑥 = 0 
Logo: x = 125,00 kN 
 
7ª etapa: 
Redesenhar a viga, considerando a reação de apoio calculada: 
 
 
8ª etapa: determinar reações de apoio da viga isostática: 
∑Fy = 0 
VA – (20*10) – 50 + 125 = 0 
VA = 200 + 50 – 125 
VA = 125 kN 
 
Configuração (1) 
1
2
5
.0
0
 k
N
 
A