Funções e Compostas

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD2 – PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA – 2024/1 - GABARITO
Questão 1 [4,0 pontos]
Considere uma função f dada por
f(x) =
2x− 3
x− 1
+ 1, x ∈ R− {1}. (1)
Responda os itens a seguir:
a. [1,0] Verifique se f é uma função injetora.
b. [1,5] Determine o conjunto imagem de f , ou seja, Imf ;
b. [1,5] Considere f : R−{1} → Imf com a regra dada em (1). Explique por que f é invert́ıvel.
Em seguida determine a função inversa f−1, indicando o doḿınio e o contradoḿınio.
Solução.
a. Lembre-se que uma função é injetora se x1 6= x2, então f(x1) 6= f(x2). Observe que isto é
equivalente a dizer que se f(x1) = f(x2), então x1 = x2. Sendo assim, mostraremos que a função é
injetora através desta equivalência. Sejam x1, x2 ∈ R− {1}.
Observe que f(x1) =
2x1−3
x1−1
+ 1 e f(x2) =
2x2−3
x2−1
+ 1. Assim,
f(x1) = f(x2) ⇒
2x1 − 3
x1 − 1
+ 1 =
2x2 − 3
x2 − 1
+ 1
⇒ 2x1 − 3
x1 − 1
=
2x2 − 3
x2 − 1
⇒ (2x1 − 3)(x2 − 1) = (2x2 − 3)(x1 − 1)
⇒ ����2x1x2 − 2x1 − 3x2 + �3 =����2x2x1 − 2x2 − 3x1 + �3
⇒ −2x1 − 3x2 = −2x2 − 3x1
⇒ x1 = x2.
Logo, acabamos de mostrar que f é uma função injetora.
b. Seja y ∈ Imf . Então temos que y = f(x) para algum x no doḿınio de f . Assim,
y = f(x) ⇔ y =
2x− 3
x− 1
+ 1
⇔ y − 1 =
2x− 3
x− 1
⇔ (y − 1)(x− 1) = 2x− 3
⇔ yx− y − x+ 1 = 2x− 3
⇔ yx− 3x = y − 4
⇔ (y − 3)x = y − 4.
Assim, se y 6= 3 e se x 6= 1 (verdade, pois x pertence a R− {1}) então a igualdade acima permite
obter uma única solução x em função de y:
x =
y − 4
y − 3
. (2)
PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD2 2
Conclúımos que Imf = R− {3}.
c. Como f é injetora e o contradoḿınio é igual a sua imagem, conclúımos que f é invert́ıvel. A
função inversa que procuramos deve satisfazer o seguinte:
(i) f−1(f(x)) = x e (ii) f(f−1(y)) = y. (3)
As contas feitas no item (b), mais precisamente a igualdade em (2), nos fornece uma pista para a
expressão da função inversa:
f−1(y) =
y − 4
y − 3
.
Basta então verificarmos se uma das duas igualdades em (3) é verdadeira (já que sabemos de antemão
que a inversa existe, basta verificarmos a validade de (i) ou (ii)):
(i)
f−1(f(x)) =
f(x)− 4
f(x)− 3
=
2x−3
x−1
+ 1− 4
2x−3
x−1
+ 1− 3
=
2x−3
x−1
− 3
2x−3
x−1
− 2
=
−x
x−1
−1
x−1
=
−x
−1
= x.
Questão 2 [2,5 pontos]
Sejam f e g tais que g(x) = 3x− 2 e f(g(x)) = 9x2 − 3x+ 1. Responda os itens a seguir:
a. [1,0] Calcule f(4);
b. [1,5] Obtenha f : R→ R.
Solução. a. Como não sabemos a expressão de f(x), temos que usar a expressão de f(g(x)). Assim,
para calcularmos f(4) basta primeiro encontrar x0 tal que g(x0) = 4. Assim, f(4) = f(g(x0)) =
9x20 − 3x0 + 1. Vejamos x0: g(x0) = 4 equivale a 3x0 − 2 = 4 e então x0 = 2. Portanto,
f(4) = f(g(2)) = 9.22 − 3.2 + 1 = 31.
b. Escrevendo y = g(x), vemos que
f(y) = 9x2 − 3x+ 1. (4)
Agora,
y = g(x) ⇔ y = 3x− 2 ⇔ x =
y + 2
3
.
Substituindo esta igualdade na igualdade em (4) obtemos
f(y) = 9
(
y + 2
3
)2
− 3
(
y + 2
3
)
+ 1 = y2 + 4y + 4− y − 2 + 1 = y2 + 3y + 3,
que é a expressão da função procurada.
Questão 3 [2,5 pontos]
Considere as funções f e g dadas a seguir:
f(x) =
{
cos(x), 0 ≤ x ≤ 3π
2
− sen(x), 3π
2
< x ≤ 2π
g(x) =
√
1− x2, x ∈ [−1, 1].
Responda os itens a seguir:
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PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD2 3
a. [0,5] Verifique que a imagem da função f está contida no doḿınio da função g.
b. [1,0] Explique por que o item anterior permite definir a composta g ◦ f . Em seguida determine
a função g ◦ f ;
c. [1,0] Esboce o gráfico de g ◦ f .
Solução. a. As duas expressões que definem f(x) são cos(x) e − sin(x) e ambas variam no intervalo
[−1, 1] (já que são coordenadas de pontos na circunferência de raio 1 centrada na origem). Portanto
f(x) pertence ao intervalo [−1, 1], ou seja Imf ⊂ [−1, 1].
b. Como a imagem de f está contida no doḿınio de g, podemos calcular o valor de g num número
f(x), ou seja, calcular g(f(x)). Isto mostra que podemos definir a composta g ◦ f . A composta
pode ser obtida aplicando a função g em cada sentença que define f(x):
g(f(x)) =
{
g(cos(x)), 0 ≤ x ≤ 3π
2
g(− sen(x)), 3π
2
< x ≤ 2π
=
{ √
1− (cos(x))2, 0 ≤ x ≤ 3π
2√
1− (− sen(x))2, 3π
2
< x ≤ 2π
=
{ √
sen2(x), 0 ≤ x ≤ 3π
2√
cos2(x), 3π
2
< x ≤ 2π
=
{
| sen(x)|, 0 ≤ x ≤ 3π
2
| cos(x)|, 3π
2
< x ≤ 2π
=
{
| sen(x)|, 0 ≤ x ≤ 3π
2
cos(x), 3π
2
< x ≤ 2π
,
lembrando que cos(x) > 0 se 3π
2
< x ≤ 2π.
c. Basta desenhar o gráfico de sen(x) no intervalo [0, 3π/2] e refletir a parte negativa para cima.
No intervalo [3π/2, 2π] desenhamos o gráfico do cosseno:
Figura 1:
Questão 4 [1,0 ponto] Seja f(x) = −2 + 3 cos
(πx
4
+
π
6
)
. Determine o peŕıodo e a imagem da
função f .
Solução.
Lembrando que o peŕıodo de uma função do tipo g(x) = d + c · cos(ax + b) é dada por P =
2π
|a|
,
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PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD2 4
então no caso da nossa função f(x), temos que a = π
4
e o peŕıodo será
P =
2π
|a|
=
2π
π
4
= 2π × 4
π
=
8π
π
= 8.
Recordando que uma função da forma g(x) = cos(ax + b) tem imagem Im(g) = [−1, 1], então,
sendo f(x) = −2 + 3 cos
(πx
4
+
π
6
)
, temos que:
−1 ≤ cos
(πx
4
+
π
6
)
≤ 1 multiplicando por 3
⇒ −3 ≤ 3 cos
(πx
4
+
π
6
)
≤ 3 somando -2
⇒ −5 ≤ −8 + 3 cos
(πx
4
+
π
6
)
≤ 1
Logo, Im(f) = [−5, 1].
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