Matemática Financeira

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
GRADUAÇÃO
Unicesumar
Acesse o seu livro também disponível na versão digital.
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação 
a Distância; OSHITA, Marcela Gimenes Bera; SILVA, Juliana 
Moraes da.
 
 Matemática Financeira. Marcela Gimenes Bera Oshita; Juliana 
Moraes da Silva. 
 Maringá-Pr.: Unicesumar, 2019. 
 192 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Matemática. 2. Financeira. 3. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-1774-8
CDD - 22 ed. 513.93
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
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Arte Capa
Arthur Cantareli Silva
Ilustração Capa
Bruno Pardinho
Editoração
Arthur Murilo Heicheberg
Qualidade Textual
Eloisa Dias Lourenço
Ilustração
Marta Sayuri Kakitani
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalhamos 
com princípios éticos e proissionalismo, não so-
mente para oferecer uma educação de qualidade, 
mas, acima de tudo, para gerar uma conversão in-
tegral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-nos 
em 4 pilares: intelectual, proissional, emocional e 
espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois cursos 
de graduação e 180 alunos. Hoje, temos mais de 
100 mil estudantes espalhados em todo o Brasil: 
nos quatro campi presenciais (Maringá, Curitiba, 
Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 300 polos 
EAD no país, com dezenas de cursos de graduação e 
pós-graduação. Produzimos e revisamos 500 livros 
e distribuímos mais de 500 mil exemplares por 
ano. Somos reconhecidos pelo MEC como uma 
instituição de excelência, com IGC 4 em 7 anos 
consecutivos. Estamos entre os 10 maiores grupos 
educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos educa-
dores soluções inteligentes para as necessidades 
de todos. Para continuar relevante, a instituição 
de educação precisa ter pelo menos três virtudes: 
inovação, coragem e compromisso com a quali-
dade. Por isso, desenvolvemos, para os cursos de 
Engenharia, metodologias ativas, as quais visam 
reunir o melhor do ensino presencial e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando proissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quan-
do investimos em nossa formação, seja ela pessoal 
ou proissional, nos transformamos e, consequente-
mente, transformamos também a sociedade na qual 
estamos inseridos. De que forma o fazemos? Crian-
do oportunidades e/ou estabelecendo mudanças 
capazes de alcançar um nível de desenvolvimento 
compatível com os desaios que surgem no mundo 
contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógi-
ca e encontram-se integrados à proposta pedagógica, 
contribuindo no processo educacional, complemen-
tando sua formação proissional, desenvolvendo com-
petências e habilidades, e aplicando conceitos teóricos 
em situação de realidade, de maneira a inseri-lo no 
mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais têm 
como principal objetivo “provocar uma aproximação 
entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita o 
desenvolvimento da autonomia em busca dos conhe-
cimentos necessários para a sua formação pessoal e 
proissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. 
Ou seja, acesse regularmente o Studeo, que é o seu 
Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fó-
runs e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe 
das discussões. Além disso, lembre-se que existe uma 
equipe de professores e tutores que se encontra dis-
ponível para sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em 
seu processo de aprendizagem, possibilitando-lhe 
trilhar com tranquilidade e segurança sua trajetória 
acadêmica.
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Profa. Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Mestrado em Controladoria pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
Especialização em Gestão Contábil e Financeira pela Universidade Estadual 
de Maringá. Graduação em Ciências Econômicas e Contábeis também pela 
UEM. Atua como professora no Centro de Ensino Superior – Unicesumar e no 
Departamento de Administração do Instituto Adventista Paranaense.
Link: http://lattes.cnpq.br/7867304750238505
Profa. Me. Juliana Moraes da Silva
Mestrado em Ciências Contábeis pela Universidade Estadual de Maringá 
(UEM/2016). Graduação em Licenciatura em Matemática pela UEM (2001). 
Bacharelado em Ciências Contábeis pela UEM (2006). Atualmente é 
coordenadora e docente dos Cursos de Ciências Contábeis e Gestão Financeira 
na modalidade a distância do Centro Universitário Maringá (Unicesumar).
Link: http://lattes.cnpq.br/0551257296562180
SEJA BEM-VINDO(A)!
Olá, caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à nossa disciplina Matemática Financeira. Gos-
taríamos de iniciar o nosso conteúdo destacando que essa temática é um ramo da 
matemática que se dedica ao estudo das transformações monetárias no tempo e ao 
estudo dos luxos de caixas. Você alguma vez já pensou que a matemática inanceira 
está o tempo todo presente em nossas tomadas de decisões - sobre o que comprar, 
como pagar, onde ou em que ativo investir? 
Pois bem, você perceberá, estudando a nossa disciplina, que o bom entendimento des-
se conteúdo é vital para podermos tomar a melhor decisão, de forma a otimizar os re-
cursos. Em termos gerais, aprenderemos que a aplicação da matemática inanceira está 
mais próxima do nosso cotidiano do que você imagina, pois ela nos dá embasamento 
para conhecer os juros aplicados, por exemplo, em um inanciamento ou em um in-
vestimento. Essa disciplina oferecerá subsídios conceituais e ferramentas para que se 
tomem decisões racionais sobre as operações inanceiras e alternativas, considerando 
o valor que o dinheiro apresenta ao longo do tempo. 
Legal! Agora que você já sabe a importância da matemática inanceira para tomada 
de decisões diárias, seja no contexto pessoal, seja empresarial, convido-o(a) a navegar 
por esse universo de forma a absorver esse conhecimento a im de tomar as melhores 
decisões ao longo de sua jornada pessoal ou proissional. Para isso, iniciamos a Uni-
dade I com os conceitos e aspectos básicos sobre os conceitos fundamentais e juros 
simples, o valor do dinheiro no tempo, conceitos dos elementos inanceiros, taxas de 
juros, sistemas de capitalização e luxo de caixa. 
Na Unidade II, você terá a oportunidade de conhecer o sistema de capitalização sim-
ples, como: juros simples, equivalência simples e descontosimples. 
Na Unidade III, avançaremos na matemática inanceira, para isso veremos os aspec-
tos do sistema de capitalização composta, juros compostos, equivalência composta e 
desconto composto. 
Na Unidade IV, imergiremos em rendas e anuidades, classiicação de rendas e anuida-
des, rendas certas, rendas diferidas e rendas perpétuas. Por im, na Unidade V, entra-
remos na temática dos sistemas de amortização e aplicações, Sistema de Amortização 
Constante (SAC), Sistema Francês de Amortização (SAF) e as aplicações dos sistemas 
de amortização.
Diante disso, eu o convido a embarcar nesta jornada e, para conseguir atingir a inali-
dade desta disciplina, utilize as referências indicadas neste material. Reforço, também, 
a indicação das leituras complementares, que serão de grande valia.
A partir do seu avanço no conhecimento sobre a área, comece na prática ajudando al-
APRESENTAÇÃO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
guém da família ou um colega que não entende do assunto, mas que precisa tomar 
uma decisão com relação aos aspectos inanceiros. Ofereça-se para ajudar sempre, 
pois, assim, aprenderá na prática os aspectos da matemática inanceira, que, de início, 
pode parecer complicada, mas, na verdade, não é. No entanto ela exigirá de você a 
realização de muitos exercícios e também aplicações práticas para poder ixar os inú-
meros detalhes exigidos na utilização desta área do conhecimento.
Pois bem, agora que já conhece o assunto com que trabalharemos, eu o convido a 
embarcar nesta jornada que será de grande valia para você. Bons estudos e muito 
sucesso na aplicação da matemática inanceira no seu cotidiano, seja pessoal seja 
empresarial.
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
15 Introdução
16 O Valor do Dinheiro no Tempo 
20 Conceitos dos Elementos Financeiros 
27 Taxas de Juros 
31 Sistemas de Capitalização 
34 Fluxo de Caixa 
37 Considerações Finais 
43 Referências 
44 Gabarito 
UNIDADE II
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
51 Introdução
52 Juros Simples 
62 Equivalência Simples 
73 Desconto Simples 
78 Considerações Finais 
84 Referências 
85 Gabarito 
SUMÁRIO
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UNIDADE III
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
91 Introdução
92 Juros Compostos 
101 Equivalência Composta 
113 Desconto Composto 
116 Considerações Finais 
121 Referências 
122 Gabarito 
UNIDADE IV
RENDAS E ANUIDADES
131 Introdução
132 Classiicação De Rendas E Anuidades 
134 Rendas Certas 
146 Rendas Diferidas 
150 Rendas Perpétuas 
152 Considerações Finais 
156 Referências 
158 Gabarito 
SUMÁRIO
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UNIDADE V
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
163 Introdução
164 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
167 Sistema Francês de Amortização (SAF) 
176 Aplicações dos Sistemas de Amortização 
182 Considerações Finais 
191 CONCLUSÃO 
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Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
CONCEITOS 
FUNDAMENTAIS E JUROS 
SIMPLES
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Explicar ao discente os conceitos do valor do dinheiro no tempo.
 ■ Demonstrar os conceitos dos elementos inanceiros.
 ■ Explanar a deinição de taxa de juros.
 ■ Instruir acerca dos sistemas de capitalização.
 ■ Ensinar sobre o luxo de caixa.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ O valor do dinheiro no tempo
 ■ Conceitos dos elementos inanceiros
 ■ Taxas de juros
 ■ Sistemas de capitalização
 ■ Fluxo de caixa
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), esta unidade dará início ao processo de entendimento sobre 
os conceitos fundamentais da matemática inanceira, bem como acerca da taxa 
de juros simples. Aprenderemos porque, ao pegarmos um dinheiro emprestado 
ou ao realizarmos uma compra a prazo, paga-se um valor extra pela antecipa-
ção do consumo (juros). Da mesma forma, quando colocamos o dinheiro em 
um investimento inanceiro, veriicaremos porque recebemos um valor maior 
do que aquele investido (remuneração).
Neste contexto, veremos que o dinheiro tem um valor no tempo e, por isso, 
é importante saber que uma unidade monetária de hoje não vale a mesma coisa 
do que uma unidade monetária de ontem ou de amanhã. Desta forma, traba-
lharemos os conceitos dos elementos inanceiros para que você possa entender 
o conceito básico da matemática inanceira, como valor presente e valor futuro. 
Nesta perspectiva, você passará a entender o conceito de taxas de juros, o 
custo de empréstimos ou remuneração pelo uso do capital, respectivamente, para 
o tomador e para o emprestador. Logo, veremos que o uso do dinheiro exige um 
pagamento que denominamos de remuneração do capital. 
Aprenderemos, também, sobre os sistemas de capitalização simples e com-
posta. Na capitalização simples, os juros incidem apenas sobre o valor do capital 
inicial, que cresce de forma linear, o que signiica que não há existência de juros 
sobre juros. Por sua vez, na capitalização composta, os juros incidem sobre o 
capital inicial e sobre os juros e o montante cresce de forma geométrica. 
Por im, entenderemos o conceito de Fluxo de Caixa visto que as decisões 
inanceiras são tomadas com base nele, em que as entradas e saídas de dinheiro 
ocorrem em momentos diferentes no tempo. Pois bem, agora que já conhece o 
assunto com que trabalharemos nesta unidade, convidamos a iniciar esta jor-
nada que será de grande valia para você.
Introdução
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CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
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O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Muitos de nós assistimos às histórias do Tio Patinhas, criação de Walt Disney, 
ou já ouvimos falar delas, em que nos acostumamos a ver o Tio Patinhas cur-
tindo sua fortuna, guardada a sete chaves em seu cofre. No mundo real, no 
entanto, poucas pessoas estão dispostas a agir como Tio Patinhas. Longe disso, 
quem tem dinheiro disponível nem pensa em guardá-lo consigo, ao contrário, 
ele procura alguma maneira de empregá-lo de forma a obter mais dinheiro, 
seja na aquisição de bens, no mercado inanceiro, seja simplesmente empres-
tando-o a terceiros.
A matemática inanceira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao 
longo do tempo. Seu objetivo básico é efetuar análises e comparações dos vários lu-
xos de entrada e saídas de dinheiro de caixa, veriicadas em diferentes momentos. 
Receber uma mesma quantia, hoje ou no futuro, não é, evidentemente, a mesma 
coisa. A princípio, uma unidade monetária, hoje, é preferível a mesma unidade 
monetária disponível amanhã. Postergar a entrada de caixa, por certo período de 
tempo, envolve sacrifício inanceiro, o qual deve ser pago mediante uma recompensa.
Tudo isso é feito a partir de um princípio básico: quem empresta dinheiro 
espera recebê-lo, depois de certo tempo, acrescido de uma quantia adicional 
O Valor do Dinheiro no Tempo
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cobrada a título de recompensa ou aluguel do dinheiro, conforme representado 
na Figura 1.
A quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro emprestado é o que 
chamamos de juro. As taxas de juros devem ser eicientes de maneira a remunerar:
a. O risco envolvido na operação, representado, genericamente, pela incer-
teza com relação ao futuro.
b. A perda do valor de compra motivada pela inlação.
c. O valor emprestado/aplicado, gerando um ganho ao proprietário.
Neste contexto, ao reletir sobre a palavra valor, podemos observar que ela varia 
ao longo do tempo, independentemente do bem.
Caro(a) aluno(a), pense: quanto você estaria disposto a pagar por um disquete de 
computador ou uma ita cassete? Ainda, qual o valorde uma empresa que fabrica disco 
de vinil? Acredito que a sua resposta seria: “Depende do período, isto é, da época”.
Nesta perspectiva, ao tomarmos uma decisão, seja de consumo ou investi-
mento, faremos olhando para o futuro, pois o presente é um instante em que, 
ao pensarmos nele, já se torna passado. Desta forma, podemos dizer que toma-
mos decisões que dão o início a um futuro. 
Observe que os bens e o dinheiro possuem valor no tempo. As pessoas que 
possuem dinheiro podem adquirir bens e serviços no momento desejado. Por 
sua vez, as que não necessitam esperar um tempo até que consigam o dinheiro 
para realizar tal transação. 
Para destacar que a quantia de dinheiro varia ao longo do tempo, observe 
que a quantidade de dinheiro que você utiliza hoje, para comprar determinado 
alimento, por exemplo, provavelmente, é bem maior do que há alguns anos. Neste 
Quantia
emprestada
Quantia
adicional
Quantia
que se
pretende
receber
de volta
Figura 1 - Representação da quantia adicional
Fonte: as autoras.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
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sentido, se você for ao mercado com a mesma quantia de tempos atrás, com cer-
teza, voltará com menos mercadorias, conforme a Figura 2. Isto acontece por 
causa da inlação (perda do poder de compra da moeda).
Figura 2 - Redução do poder de compra do dinheiro em relação ao tempo
A decisão de emprestar dinheiro, independentemente da inlação, só será tomada 
se, ao inal do período, o indivíduo superavitário puder comprar uma quantidade 
maior de bens e serviços, quando comparado com a quantidade original (MULLER; 
ANTONIK, 2012). Assim, o indivíduo só realizará a troca de abrir mão do con-
sumo presente em prol do consumo futuro se isso lhe permitir adquirir maior 
quantidade de bens, o que signiica que ele exigirá ganho real sobre o valor empres-
tado, independentemente da inlação do período. “O valor do dinheiro no tempo 
está sedimentado na matemática inanceira” (MULLER; ANTONIK, 2012, p. 4). 
Prezado(a) estudante, cabe destacar que “outro aspecto que reforça o valor dife-
rente do dinheiro no tempo é o risco” (CORREIA NETO, 2011, p. 198). O risco é 
uma função crescente do prazo, à medida que, ao optar por receber o dinheiro em 
uma data futura, é mais arriscado do que no presente, visto que o futuro é incerto 
Nesta perspectiva, podemos observar que a essência da matemática inanceira 
é estudar “o valor do dinheiro no tempo” (MULLER; ANTONIK, 2012, p. 3). 
O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários luxos 
de entrada e saídas de dinheiro de caixa veriicadas em diferentes momentos.
O Valor do Dinheiro no Tempo
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Exempliicaremos o valor do dinheiro em relação ao tempo: imagine que você 
precise de R$10.000,00 para atender a uma necessidade inanceira pessoal. Uma 
determinada instituição inanceira propõe-lhe um empréstimo de, exatamente, 
R$10.000,00, que deverá ser pago após quatro meses. O valor será depositado em 
sua conta, e você pagará à instituição o valor R$13.000,00, ao inal desse período. 
Observe que esta situação leva você a identiicar os elementos que serão estuda-
dos na disciplina de matemática inanceira, segundo Puccini (2011): 
1. Ocorreu uma transação inanceira entre o agente credor (banco) e o 
tomador (você/cliente), que podemos chamar de operação inanceira.
2. A transação inanceira com duração de três meses tem um valor ini-
cial de R$ 10.000,00 (valor no início da operação) e um valor inal de 
R$13.000,00 (valor no inal da operação). 
3. Observe que a diferença entre o valor do início para o valor inal é o acrés-
cimo, denominado juro da operação. 
4. Neste exemplo, o juro será um custo para você e uma remuneração para 
o banco.
5. O agente que empresta o dinheiro é o credor, e o que toma o dinheiro 
emprestado é o devedor.
Agora, sabemos que o dinheiro não tem o mesmo valor no tempo. Não perca 
tempo, aprenderemos a calcular os elementos inanceiros, juro, prazo, taxa de 
juros, capital e montante.
A matemática inanceira ajudará você, no contexto dos negócios, a quanti-
icar no tempo o valor de juros, despesas, riscos, dinheiro, impostos, lucros, 
inlação, taxa de juros, entre outros.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
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CONCEITOS DOS ELEMENTOS FINANCEIROS
Caro(a) aluno(a), você já conhece os aspectos do valor do dinheiro no tempo, avan-
çaremos para os conceitos gerais da matemática inanceira. Você pode observar 
que, na seção anterior, trabalhamos o conceito mais simples de cálculo de juros. 
Agora, estudaremos as terminologias da taxa de juros utilizadas no mercado. 
JUROS
Juros é a remuneração (recompensa) do valor emprestado/aplicado. Para quem 
investe, os juros correspondem ao retorno (recompensa) do investimento, para 
quem toma emprestado, os juros correspondem ao custo (aluguel) pelo empréstimo.
Os juros são expressos em uma unidade monetária (R$, US$, €, ...) e indi-
cado pela letra J.
Exemplo: juros = J = R$ 10,00
CAPITAL OU VALOR PRESENTE
Capital ou Valor Presente é qualquer quantia monetária disponível em determi-
nada operação, referenciada, geralmente, na data focal zero. O capital que dá início 
a uma operação inanceira é chamado de capital inicial ou principal. O capital é 
expresso em uma unidade monetária e indicado pela letra C ou PV (Valor Presente).
Conceitos dos Elementos Financeiros
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Exemplo: Capital Inicial = Valor Presente = C = PV = R$ 250,00
PRAZO OU PERÍODO
Prazo é o tempo que decorre desde o início até o inal de uma dada operação 
inanceira ou os períodos fracionados de uma operação (para pagamentos par-
celados). É contado em períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês, 
bimestre, trimestre, semestre, ano, ...) e indicado pela letra n.
Exemplo: Prazo = n = 7 meses
Na prática, o prazo pode ser contado a partir de duas convenções:
a. Prazo exato: aquele que conta os dias de acordo com o chamado ano 
civil, no qual os dias são contados pelo calendário, podendo o ano ter 
365 ou 366 dias.
Exemplo 1: fevereiro tem 28 dias; fevereiro tem 29 dias; abril tem 30 dias; 
dezembro tem 31 dias.
Exemplo 2: Alberto comprou uma camisa em 15 de março, para liquidar 
em 20 dias. Considerando o prazo exato, qual a data de vencimento? 04 de abril, 
observe que março tem 31 dias. 
b. Prazo comercial: é aquele que conta os dias de acordo com o chamado 
ano comercial, no qual o mês é considerado sempre como tendo 30 dias, 
e o ano 360 dias.
Exemplo 1: fevereiro tem 30 dias; abril tem 30 dias; dezembro de 30 dias.
Exemplo 2: Alberto comprou uma camisa em 15 de março para liquidar em 
20 dias. Considerando o prazo comercial, qual a data de vencimento? 05 de abril. 
Observe que março tem 30 dias, como todos os outros meses do ano. 
Destaca-se que, em algumas operações de curto prazo, é comum ou conve-
niente utilizar taxas de juros simples diárias equivalentes, isto é, os prazos são 
contados em dias, e a taxa de juros são anuais. Neste caso, você terá duas opções, 
utilizar juros exato e juro comercial ou bancário. Conforme abordado, o juro 
exato considera que o ano civil tem 365 ou 366 dias, e cada mês tem os núme-
ros de dias respectivos; por sua vez, os juros comercial ou bancário consideram 
o ano com 360 dias e o mês com 30 dias. 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
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IUN I D A D E22
Caro(a) estudante, como saber qual desses utilizar? Comumente, utiliza-se 
a convenção de juros comerciais (HAZZAN; POMPEO, 2007). 
Vamos ver a diferença entre os dois, por meio do exemplo: um capital de 
R$10.000,00 (VP) foi aplicado por 43 dias (n) à taxa (i) de 30% a.a, no regime 
de juros simples. 
a. Juros exatos:
 . . $10.000,00 . 0,30 . 43 10.000,00 . 0,30 . 43 $129.000
353, 42
365 365 365 365
VP i n R R
J = = = = =
b. Juros comerciais ou bancários:
 
 . . $10.000,00 . 0,30 . 43 10.000,00 . 0,30 . 43 $129.000
358,33
360 360 360 360
VP i d R R
J = = = = =
Observe que os juros exatos anuais são menores que os juros comerciais. Caso 
você queira saber mais sobre a utilização de taxas de curto prazo com juros sim-
ples, pesquise sobre as operações de Hot Money.
TAXA DE JUROS
Taxa de juros é o coeiciente obtido pela relação estabelecida entre o valor do 
juro do período e o capital emprestado/aplicado, ou seja, é a remuneração do 
fator capital utilizado/aplicado durante um certo período de tempo.
Juro é a remuneração sob o capital empregado. Quando cedemos dinheiro 
a alguém, abrindo mão do seu usufruto, o valor acrescido a esse dinheiro é o 
juro. Neste sentido, se abrirmos mão de gastar R$ 1.000,00 (mil reais) para rece-
bermos R$ 1.200,00 (mil e duzentos reais), daqui a um ano, o diferencial de R$ 
200,00 (duzentos reais) denominamos de juro. Observe que o juro é a relação 
entre a quantia inicial e a futura. Logo, temos:
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$200,00
 0,20 20% .
$1 .000,00
J R
i ou a a
C R
= = = 
Onde:
J = juros recebidos 
C = capital empregado na operação 
Preste atenção, a taxa de juros citada anteriormente está ao ano (a.a), isto quer 
dizer que se deve especiicar a taxa de juros no período de tempo. As taxas de juros 
referem-se sempre a uma unidade de tempo (dia, mês, ano), indicadas pela letra 
i, e podem ser representadas de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária.
a. Taxa percentual: representa o juro de cem unidades do capital, no período 
tomado como unidade de tempo, ou seja, refere-se aos “centos” do capital.
Exemplo: taxa = i = 30% ao mês = 30% am.
b. Taxa unitária (ou centesimal): representa o juro de uma unidade do capi-
tal no período tomado como unidade de tempo.
Exemplo: taxa = i = 0,30 ao mês = 0,30 am.
Utilizamos o cálculo da taxa de juros para fazer um inanciamento, uma sim-
ples compra a prazo e também para realizar um investimento. Entretanto muitas 
pessoas, ao realizar o ato de consumir ou investir no tempo, não conhece a com-
posição de tal taxa e, muito menos, a diferença no tempo. Por isso, a taxa de 
juros pode ser calculada diaria, mensal, semestral ou anualmente, tudo depende 
do objetivo que se busca. Todavia, quando você escutar na televisão que a taxa 
básica de juros da economia está 6,5%, isto signiica que é a taxa anual. Ou seja, 
comumente, as taxas de juros de investimentos e inanciamentos são divulga-
das com percentuais anuais. Por exemplo, se a taxa de juros for de 6,5% anual, 
signiica que você receberá ou pagará no inal 6,5% do principal, isto é, sobre o 
capital (emprestado ou investido).
As terminologias de taxas de juros utilizadas são abreviadas, conforme apre-
sentado na Figura 3.
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Figura 3 - Terminologias utilizadas para expressar a taxa de juros no tempo
Fonte: as autoras.
Observe “que a taxa de juros (i) e os períodos (n) devem estar expressos na mesma 
referência temporal. Se a taxa de juros for mensal, por exemplo, o tempo deve 
ser mensal também” (CORREIA NETO, 2011, p. 202). 
Você pode estar pensando que, para achar a taxa de juros equivalente men-
sal é só dividir a taxa anual por 12, ou para obter a taxa anual é só multiplicar 
a mensal por 12. Pois bem, veremos, durante o nosso estudo, que encontrar a 
equivalência entre taxa de juros e o tempo pode envolver certa complexidade. 
MONTANTE OU VALOR FUTURO
Montante ou valor futuro corresponde a uma cumulação relativa à aplicação de 
um capital C, é deinido como o capital acrescido de seu respectivo juro, expresso 
em uma unidade monetária e indicado pelas letras M ou S ou FV (valor futuro).
Exemplo: Montante = Valor futuro = M = FV = R$ 2.500,00.
a.d = ao dia
a.m = ao mês
a.b = ao bimestre
a.t = ao trimestre
a.q = ao quadrimestre
a.s = ao semestre
a.a = ao ano
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Cabe ressaltar, que o Valor Nominal (VN) de uma operação inanceira é o valor 
constante do título de crédito (por exemplo, na fatura de cartão de crédito), inde-
pendentemente se é o valor presente ou o valor futuro da operação. 
Veriique que, entre as notações técnicas, está apresentado o valor presente 
e o valor futuro. Como o nome já diz, o valor presente (VP) é o valor da opera-
ção inanceira iniciada hoje, isto é, na data presente. Como o valor presente e o 
capital coincidem, eles são tratados como sinônimos. No entanto o valor futuro 
(VF) é o valor de uma operação inanceira entre a data atual ou presente e o 
vencimento da operação. O capital mais os juros também podemos conside-
rar como sinônimo de montante. Assim, o valor futuro pode ser representado, 
matematicamente, por:
 VF VP J= +
ou
 M C J= +
Por im, temos que o valor devolvido no futuro corresponde ao valor origi-
nal somado ao adicional (aluguel do dinheiro), isto é, montante igual capital 
mais o juro. 
Observe que a percentagem faz parte do universo da matemática inancei-
ra. Desta forma, percentagem (%) signiica por cento ou por cem. Isto é, re-
presenta valores em relação a cem (100). Por exemplo:
50
50%
100
=
 
20
20%
100
=
 
10
10%
100
=
Pense que esta fração centesimal pode ser escrita em forma decimal. Obser-
ve o exemplo a seguir:
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IU N I D A D E26
Agora, para deixar clara a nomenclatura que utilizaremos no livro, adotaremos 
algumas simbologias que facilitem o entendimento, não só da taxa de juros no 
tempo, mas também outras notações técnicas encontradas no estudo da matemá-
tica inanceira. No Quadro 1, você observa a notação técnica utilizada neste livro.
Quadro 1 - Notações técnicas
i Taxa unitária de juros. Exemplo: 0,10 am.
r 
ou i
Taxa percentual de juros. Exemplo: 10% 
am.
j ou J Juros simples, decorridos “n” períodos.
J ou j
Juros compostos, decorridos “n” perío-
dos.
n Número de períodos.
PMT
Termo, prestação ou série de pagamen-
tos uniformes.
C Capital ou valor presente (VP).
VP Valor atual ou valor presente (PV).
P Principal valor atual ou valor presente.
50
50% 0,5 
100
= =
 
20
20% 0, 2
100
= =
 
10
10% 0,10
100
= =
Note que podemos calcular porcentagem de um número de várias formas, 
para isso, pegaremos um dos exemplos anteriores: 
50
50% 0,5
100
= =
Agora, escreveremos a porcentagem em forma decimal e multiplicaremos 
por um número. Imagine que 50% das 20.000 (vinte mil) pessoas votaram 
no candidato X. Quantas pessoas votaram no candidato X?
50
50% 0,5 0,5 . 20.000 1 0.000
100
= = ==
Logo, o candidato X recebeu 10.000 votos. Portanto, as taxas podem ser ex-
pressas de duas formas: em percentual (10%) ou unitária ou decimal (0,10). 
Fonte: as autoras.
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VF Valor futuro ou montante (M).
M
Montante de capitalização simples – 
valor futuro.
S
Montante de capitalização composta – 
valor futuro.
Fonte: adaptado de Muller e Antonik (2012, p. 5).
Ressaltamos que os conceitos de prestações (PMT) e o sistema de capitalização 
composta serão abordados em outras unidades desta obra. 
TAXAS DE JUROS
Você sabia que as transações inanceiras são fundamentadas na determinação 
antecipada de taxas de juros? “Os juros representam as compensações inanceiras 
nas operações ativas e passivas” (CORREIA NETO, 2011, p. 200). Assim, para o 
investidor, os juros são remunerações dos investimentos (operação ativa) e, para 
o tomador, eles representam o custo do capital (operação passiva) (CORREIA 
NETO, 2011). Neste sentido, quem paga tem custo, despesa ou prejuízo, e quem 
recebe obtém ganho de capital, isto é, rendimento ou receita inanceira. 
Cabe ressaltar que a taxa de juros pode ser inluenciada pela inlação, risco da ope-
ração, utilidade e custo de oportunidade do capital: a inlação leva à perda de poder 
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de compra da moeda, isto é, corroendo o capital de forma que se compra cada vez 
menos com a mesma quantia em dinheiro, o que exige que o investimento produza 
resultado maior que o capital investido, que deve ser superior a inlação do período. 
Observe, quanto maior a inlação, maior a taxa de juros (CORREIA NETO, 2011). 
O risco da operação cresce com relação ao prazo, ou seja, a incerteza quanto 
ao futuro. Desta forma, quanto maior o risco, maior será a remuneração exigida, 
isto é, maior a taxa de juros. Agora, perceba que investimentos com menor risco, 
fornecem uma taxa de retorno mais baixas (CORREIA NETO, 2011).
“O conceito de utilidade também inluencia o comportamento da taxa de 
juros” (CORREIA NETO, 2011, p. 201). Isto quer dizer que quando você decide 
investir impede que o dinheiro circule na economia, isto é, que esse dinheiro seja 
utilizado para o consumo. Assim, para você abrir mão do capital, hoje, e icar 
sem consumir, exigirá um prêmio. Quanto maior a utilidade do capital, mais alta 
deve ser a taxa de juros (CORREIA NETO, 2011).
Por im, o custo de oportunidade é um ponto determinante das taxas de juros, 
na medida em que você, ao selecionar uma oportunidade de investimentos, abrirá 
mão de outra oportunidade em que, por sinal, não será remunerado. Desta forma, 
há um custo de oportunidade representado pelo que se deixou de ganhar. De fato, 
quanto maior o custo de oportunidade, maior será a taxa exigida do investimento. 
“A taxa de juros é a razão entre o juro recebido (ou pago) no inal de um perí-
odo de tempo e o capital, inicialmente, empregado. Assim, a taxa será sempre 
relacionada com uma unidade de tempo” (MULLER; ANTONIK, 2012, p. 10, 
grifo nosso). Perceba que há uma diferença entre taxa de juros e o valor dos juros. 
A taxa de juros é o percentual aplicado ao capital inicial para que ele seja res-
gatado no futuro. Assim, a taxa de juros, como já vimos, é expressa em:
$20,00
 0, 20 20% . .
$1 00,00
J R
i ou a a
C R
= = =
Em contrapartida, o juro é o valor expresso em dinheiro, por exemplo, em reais, 
referente à remuneração do capital inicial empregado, é o valor gerado por meio da 
capitalização (simples ou composta) de um investimento transcorrido no tempo. 
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Nos juros simples ou capitalização simples, os juros incidem apenas sobre o 
valor inicial, isto é, o capital. Por sua vez, na capitalização composta, no inal de 
cada período de capitalização, os juros incorporam-se ao valor inicial, tornando 
um novo valor que passa a render juros (juros sobre juros). 
Por exemplo: Um empréstimo de R$10.000,00 é adquirido pelo prazo de 3 
meses, com taxa de juros de 10% a.m (ao mês). 
Cálculo de juros simples
 . . Juros simples VP i n=
Cálculo dos juros compostos
 . (1 )nValor Futuro VP i= +
 Juros VF VP= −
Observe que os juros compostos são maiores que os juros simples, pois, neste 
modelo, o cálculo leva em consideração os juros sobre juros.
Nas próximas unidades, compreenderemos as deinições e aplicações de 
juros simples e juros compostos.
Juros simples = 10.000,00 . 0,10 . 3 = R$ 3.000,00
Valor Futuro = + =10 000 00 1 0 10 13 010 003. , .( , ) . ,
Juros = 13.310,00 −10.000 = R$ 3.310,00
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Cabe ressaltar que “não se pode comparar ou somar dinheiro a menos que ele 
esteja no mesmo instante de tempo” (MULLER; ANTONIK, 2012, p. 1). Não obs-
tante, caso o “dinheiro não esteja no mesmo instante de tempo para somá-lo, é 
necessário mover o dinheiro no tempo associado a uma taxa de juros” (MULLER; 
ANTONIK, 2012, p. 1). Neste contexto, sempre que há concessão de dinheiro, o 
disponibilizador do recurso (credor) deverá receber o dinheiro emprestado adi-
cionado a uma taxa de juros. Logo, quem empresta o dinheiro tem expectativa 
de recebê-lo com uma taxa de retorno, isto é, a taxa de juros.
Variação percentual
Pense que, em um determinado mês, o preço de um produto seja R$ 50,00 
e, no mês seguinte, o preço tenha sido alterado para R$ 55,00. A alteração 
de preço foi positiva em R$ 5,00. Assim, a variação percentual de preço nas 
datas consideradas foram:
0
0
 tV VJ
V
−= => 55,00 50,00
50,00
J
−= = 0,10 = 10%
Observe, que o juro ou a variação percentual é a diferença entre o preço na 
data futura (Vt) e a data inicial (V0), dividido pelo preço da data inicial (V0). 
Neste sentido, quando a variação percentual é positiva, denominamos taxa 
de crescimento, e, quando negativa, decrescimento.
Fonte: adaptado de Iezzi, Hazzan e Degenszajn (2013).
Sistemas de Capitalização
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SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO
Os regimes de capitalização esclarecem como os juros são calculados e incorpo-
rados ao capital, ou seja, como o montante varia no tempo. Logo, “o regime de 
capitalização é uma forma contínua no tempo que descreve como o juro é adi-
cionado ao capital” (MULLER; ANTONIK, 2012, p. 12). 
Fique atento(a), pois há dois regimes de capitalização: simples (juros simples) e 
composto (juros compostos). “Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, 
sempre sobre o capital inicial, dizemos que há um sistema de capitalização simples 
(juros simples) ou aplicado de forma linear” (MULLER; ANTONIK, 2012, p. 12). 
Imagine que ofereceram a você um empréstimo de R$ 1.000,00, com prazo 
de 5 anos e taxa de 10% ao ano a juros simples, conforme indicado na Tabela 1:
Tabela 1 - Capitalização simples
ANO
SALDO NO 
INÍCIO DE 
CADA ANO ($)
JUROS APURADOS PARA 
CADA ANO ($)
SALDO DEVEDOR 
AO FINAL DE 
CADA ANO ($)
CRESCIMENTO 
ANUAL 
DO SALDO 
DEVEDOR ($)
Início do 1º ano
Fim do 1º ano
Fim do 2º ano
Fim do 3º ano
Fim do 4º ano
Fim do 5º ano
-
1.000,00
1.100,00
1.200,00
1.300,00
1.400,00
-
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.000,00 = 100,00
1.000,00
1.100,00
1.200,00
1.300,00
1.400,00
1.500,00
-
100,00
100,00
100,00
100,00100,00
Fonte: adaptada de Assaf Neto (2012, p. 4).
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
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IU N I D A D E32
Observe que os juros incidem somente sobre o capital, o que apresenta valores 
idênticos no inal de cada ano. Como consequência, o crescimento dos juros é 
linear, o que revela um comportamento igual ao de uma progressão aritmética, 
com o valor de R$ 500,00 no inal do período (ASSAF NETO, 2012). 
Veriique que, neste caso, não ocorre o fenômeno dos juros sobre juros. Como 
o juro é simples, você pode converter a taxa anual para a mensal simplesmente 
dividindo 10% a.a por 12 meses (10% a.a: 12 meses = 0,833%am).
Exemplo de capitalização simples: 
Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado por quatro anos à taxa de 5% a.a, em um 
regime de juros simples. 
Resolução:
Ao longo do 1º ano, o juro originado foi de 2.000,00 (0,05) = 100,00
Ao longo do 2º ano, o juro originado foi de 2.000,00 (0,05) = 100,00
Ao longo do 3º ano, o juro originado foi de 2.000,00 (0,05) = 100,00
Ao longo do 4º ano, o juro originado foi de 2.000,00 (0,05) = 100,00
Assim, como somente o capital aplicado rende juros, o montante, no inal dos 
quatro anos, foi de R$ 2.400,00. Conquanto, no regime de capitalização com-
posta, o juro do 1º período agrega-se ao capital resultante no montante. No 2º 
período, agrega-se a taxa de juros do período anterior ao montante e se calcula 
uma nova taxa de juros e adiciona ao montante. E assim, consecutivamente, de 
forma que se agrega a taxa de juros ao montante, no início do período, e passa 
a render juros. 
Observe, que, no regime de capitalização composta, ocorre um comporta-
mento equivalente à progressão geométrica (ASSAF NETO, 2012). Pense que você 
adquiriu uma dívida de R$ 1.000,00, e a ela deve ser paga em juros compostos a 
uma taxa de 10% ao ano, a sua situação ica, conforme apresentado na Tabela 2:
Sistemas de Capitalização
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Tabela 2 - Capitalização composta
ANO
SALDO NO 
INÍCIO DE 
CADA ANO ($)
JUROS APURADOS PARA 
CADA ANO ($)
SALDO DEVEDOR 
AO FINAL DE CADA 
ANO ($)
Início do 1º ano
Fim do 1º ano
Fim do 2º ano
Fim do 3º ano
Fim do 4º ano
Fim do 5º ano
-
1.000,00
1.100,00
1.210,00
1.331,00
1.464,10
-
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.100,00 = 110,00
0,10 . 1.210,00 = 121,00
0,10 . 1.331,00 = 133,10
0,10 . 1.464,10 = 146,41
1.000,00
1.100,00
1.210,00
1.331,00
1.464,10
1.610,51
Fonte: adaptada de Assaf Neto (2012, p. 5).
Caro(a) estudante, você deve ter observado, na tabela anterior, que os juros não 
incidem sobre o capital inicial de R$1.000,00, mas sobre o saldo total existente 
a cada ano (ASSAF NETO, 2012). O crescimento dos juros acontece de forma 
exponencial ao longo do tempo. 
Exemplo de capitalização composta:
Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado por quatro anos, à taxa de 5% a.a, em um 
regime de juros compostos. 
Resolução:
Ao longo do 1º ano, o juro originado foi de 2.000,00 (0,05) = 100,00
Ao longo do 2º ano, o juro originado foi de 2.100,00 (0,05) = 105,00
Ao longo do 3º ano, o juro originado foi de 2.205,00 (0,05) = 110,25
Ao longo do 4º ano, o juro originado foi de 2.315,25 (0,05) = 115,76
Assim, como somente o capital aplicado rende juros, o montante, no inal dos 
quatro anos, foi de R$ 2.431,01.
Na capitalização composta, a taxa de juros ica maior do que na capitaliza-
ção simples por levar em consideração os juros sobre juros. Nesta perspectiva, “a 
capitalização composta proporciona crescimento do capital de forma exponencial, 
ao contrário do crescimento linear da capitalização simples” (CORREIA NETO, 
2011, p. 206). Desta forma, o regime de capitalização composta cresce mais do 
que o de capitalização simples. Observe o exemplo: um capital de R$ 2.000,00 
foi aplicado por quatro anos, à taxa de 5% a.a, conforme indicado no Quadro 2:
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Quadro 2 - Diferença entre capitalização simples e composta
ANO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
0 R$ 2.000,00 R$ 2.000,00
1 R$ 2.100,00 R$ 2.100,00
2 R$ 2.200,00 R$ 2.205,00
3 R$ 2.300,00 R$ 2.315,25
4 R$ 2.400,00 R$ 2.431,01
Fonte: as autoras.
É importante ressaltar que você poderá encontrar no mercado a capitalização 
contínua e descontínua. De acordo com Assaf Neto (2012), a capitalização con-
tínua promove uma sequência na capitalização distribuída ao longo do tempo, 
e, não apenas na data inal de período. Entretanto este tipo de regime de capita-
lização é pouco utilizado pela sua diiculdade de aplicação prática. 
Por sua vez, na capitalização descontínua, Assaf Neto (2012) ressalta que 
os juros são formados somente ao inal de cada período de capitalização. Um 
exemplo são as cadernetas de poupança que remuneram com juros no inal do 
mês, e não durante o mês. Cabe destacar que “a capitalização descontínua pode 
ser identiicada em juros simples e juros compostos” (ASSAF NETO, 2012, p. 6).
FLUXO DE CAIXA
A matemática inanceira estuda as relações dos movimentos monetários ao longo 
do tempo. Movimentos esses que são identiicados no tempo por meio de entra-
das e saídas que denominamos luxo de caixa (ASSAF NETO, 2012). O luxo de 
Fluxo de Caixa
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caixa é de grande valia na matemática inanceira, no sentido que permite visu-
alizar o que ocorre com o capital no tempo, como representado na Figura 4:
Figura 4 - Fluxo de caixa
Fonte: adaptada de Assaf Neto (2012, p. 2).
Na Figura 4, a linha horizontal representa o horizonte de tempo da operação. O 
ponto zero indica o momento inicial e, os demais, as datas no tempo (ASSAF 
NETO, 2012). As setas para cima representam as entradas de caixa ou recebi-
mentos de dinheiro (+), as setas para baixo indicam as saídas ou aplicações de 
dinheiro (-) (ASSAF NETO, 2012). De fato, as entradas podem ser iguais ou 
diferentes, bem como os intervalos de tempo que podem ser regulares, ou não. 
Observe que o luxo de caixa (PMT) retrata uma série de pagamentos ou rece-
bimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo. Exemplos 
de luxo de caixa: empréstimos, investimentos e dividendos. Neste sentido, 
baseados nestes luxos, são realizados os planos de amortização de pagamen-
tos. Além disso, o luxo de caixa pode ser utilizado para avaliação de empresas 
e/ou opções de investimentos para veriicar qual seria a melhor opção do ponto 
de vista inanceiro. 
O luxo de caixa pode ser classiicado de acordo com o período de ocorrên-
cia: postecipado e antecipado. No luxo de caixa postecipado, há a entrada ou 
saída no inal de um período, após a ocorrência do fato. Por exemplo: ao adquirir 
um empréstimo para a primeira parcela (PMT) após 30 dias, conforme pode-
mos observar na Figura 5:
0 1 2 3 n t
PMT PMT PMT PMT
Figura 5 - Fluxo de caixa postecipado
Fonte: as autoras.
Entradas de
caixa (+)
Saídas de
caixa (-)
0 1 2
+ + + + +
3 54 6 7 (Tempo)8
- -
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
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IU N I D A D E36
Por sua vez, no luxo antecipado, muito comum na ocorrência de investimen-
tos, há o desembolso no início do período, conforme indicado na Figura 6. Isto 
é, quando você adquire um imóvel, por exemplo, paga a entrada no início e, na 
sequência, as demais parcelas. 
0 1 2 3 n t
PMTPMT PMT PMT PMT
Figura 6 - Fluxo de caixa antecipado
Fonte: as autoras.
Os luxos de caixas podem ser periódicos ou nãoperiódicos. Assim, os perió-
dicos apresentam um intervalo igual entre os luxos de caixa, por exemplo, os 
pagamentos são realizados todo mês. Por outro lado, aos não periódicos os inter-
valos são diferentes. 
Com relação à duração do luxo de caixa, ele pode ser limitado (inito) ou 
indeterminado (indeinido). A duração limitada ocorre quando os prazos dos 
pagamentos ou recebimentos são conhecidos, como um inanciamento por 4 
anos que será pago neste intervalo de tempo. Em contrapartida, os indetermi-
nados ou indeinidos ocorrem, por exemplo, no pagamento de aluguel e projetos 
de investimentos. Ainda, os valores do luxo de caixa podem ser constantes ou 
variáveis. Por constante, entende-se que os pagamentos e/ou recebimentos são 
iguais entre si. Não obstante, os valores variam ao longo do tempo. 
Nesta unidade, caro(a) aluno(a), pudemos ter um parâmetro do estudo 
da matemática inanceira. Falamos sobre os aspectos do valor do dinheiro no 
tempo, conceitos dos elementos inanceiros, taxa de juros, sistemas de capita-
lização e luxo de caixa. Pois bem, agora que você já conhece esses elementos 
fundamentais da matemática inanceira, poderá avançar em seu conhecimento 
sobre o tema. Bons estudos!
Considerações Finais
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado(a) aluno(a), chegamos ao im desta unidade, com a qual demos início ao 
processo de entendimento sobre os conceitos fundamentais para trabalhar a mate-
mática inanceira. Acima de tudo, passamos a compreender o valor do dinheiro no 
tempo. Vimos que, ao antecipar o consumo, paga-se um valor extra que denomina-
mos juros, podendo ser simples ou compostos. Não obstante os empréstimos são 
comumente realizados a juros compostos. De forma semelhante, acontece com os 
nossos investimentos que, em alguns casos especíicos, pode acontecer de empre-
garmos o nosso capital e ora recebermos juros simples, ora compostos. 
Aprendemos que o dinheiro possui valor no tempo, isto é, uma unidade 
monetária, neste momento, não tem o mesmo valor que uma unidade monetá-
ria de ontem ou de amanhã. Neste sentido, trabalhamos conceitos dos elementos 
inanceiros essenciais para que se possa entender conceitos básicos da matemá-
tica inanceira, como valor presente e valor futuro. 
Desta forma, passamos a compreender o conceito de taxas de juros, que pode 
ser para o tomador ou investidor, custo de empréstimos ou remuneração pelo 
uso do capital, respectivamente. Neste contexto, vimos que o uso do dinheiro 
exige um pagamento que é denominado remuneração do capital. 
Conhecemos os sistemas de capitalização simples e composta e aprendemos 
que capitalização simples, os juros, incidem apenas sobre o valor principal (VP 
ou capital inicial), que cresce em progressão aritmética e/ou linear, o que induz a 
concluir que não há existência de juros sobre juros. Ao contrário, na capitalização 
composta, os juros sobre o principal crescem de forma geométrica e/ou exponencial. 
Aprendemos, também, o conceito de Fluxo de caixa, em que as entradas e 
saídas de dinheiro podem ser diferentes e ocorrem em momentos distintos no 
tempo. Por im, prezado(a) acadêmico(a), agora que você já tem uma base ini-
cial sobre a matemática inanceira, nós o convidamos a continuar esta jornada. 
Bons estudos!
38 
1. Complete o quadro a seguir:
TAXA DE JUROS
TAXA DE JUROS NA 
FORMA PERCENTUAL
TAXA DE JUROS NA 
FORMA UNITÁRIA
2% ao dia 2% ad 0,02 ad
 24% am 
 0,503 ab
90,5% ao semestre 
 3,15 aa
0,50% ao dia 
2. Vimos a diferença entre juros exato e comercial, que compreende calcu-
lar os juros levando em consideração os 365, 366 ou 360 dias. Um capital de 
R$10.000,00 (VP) foi aplicado por quarenta dias (d), à taxa (i) de 20% a.a. no 
regime de juros simples. 
Calcule o valor dos juros exato e comercial, e assinale a alternativa correta:
a) Juros exato, 219,17, e comercial 222,22.
b) Juros exato, 223,23, e comercial 219,25.
c) Juros exato, 225,10, e comercial 228,20.
d) Juros exato, 228,20, e comercial 225,20.
e) Juros exato, 219,17 e comercial 242,22.
3. Pudemos observar que os juros são os pilares da matemática inanceira. Nesta 
perspectiva, considere um capital de R$ 25.000,00, que foi aplicado durante 
três meses, gerando um montante de R$ 30.000,00. Calcule a taxa de juros do 
período e assinale a alternativa correta:
a) 0,12 ou 12%.
b) 0,15 ou 15%.
c) 0,2 ou 20%.
d) 0,25 ou 25%.
e) 0,31 ou 31%.
39 
4. Temos dois tipos de juros: simples e compostos. O juro simples incide sempre 
sobre o valor do capital, e o composto sobre o montante. Desta forma, um 
empréstimo de R$ 20.000,00 é adquirido pelo prazo de três meses, após esse 
período, quem disponibilizou o dinheiro para o empréstimo recebeu um mon-
tante de R$ 26.000,00. Calcule a taxa de juros simples do período. 
5. Na matemática inanceira, encontramos diversas simbologias, visto que o estu-
do do dinheiro no tempo é realizado por meio de equações, em que se encon-
tram relacionadas as diversas variáveis econômicas. Neste contexto, descreva a 
diferença entre valor presente (VP) e valor futuro (VF). 
6. Compreende-se como capitalização simples a taxa de juros aplicada somente 
ao capital inicial, diferentemente da capitalização composta em que incorre 
juros sobre juros. Nesta perspectiva, um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado por 
quatro anos, à taxa de 10% a.a. Calcule o valor dos juros total ao longo do perí-
odo pelo regime de juros simples e, em seguida, pelo composto.
7. Represente as informações a seguir em um luxo de caixa:
a) Tempo 0, saída de caixa de R$ 4.000,00.
b) Tempo 1, saída de caixa de R$ 2.000,00.
c) Tempo 2, entrada de caixa de R$ 500,00.
d) Tempo 5, saída de caixa de R$ 2.500,00.
e) Tempo 6, entrada de caixa de R$ 5.200,00.
f ) Tempo 8, saída de caixa de R$ 3.500,00.
8. Converta a taxa simples indicada em taxa diária:
a) 120% aa 
b) 36% am 
c) 72% as
9. Converta a taxa simples indicada em taxa mensal:
a) 0,1% ad
b) 28% ab
c) 6% aq
d) 258% aa
10. Converta a taxa simples de 24% aa em taxa diária, mensal, bimestral, trimestral 
e semestral.
40 
INSTRUMENTAL MATEMÁTICO
O objetivo desta leitura complementar não é ensinar nem revisar matemática básica, 
mas explanar e discutir conceitos e aplicações indispensáveis para os conteúdos de ma-
temática inanceira.
Precisão nos cálculos
1. Arredondamento
Se você parar para analisar, verá que grande parte dos cálculos inanceiros envolvem 
fração. Algumas delas têm precisão inita (20/10 = 2) e outras ininita (10/3 = 3,333). Se 
estivermos buscando um valor em reais, no primeiro caso, a resposta seria R$ 2,00, de 
forma precisa. Todavia, no segundo caso, temos um problema de precisão em apresen-
tação em valores reais, já que a moeda permite até duas casas decimais (DE CASTRO; 
DAL ZOT, 2015). Neste caso, somos forçados a arredondar para 3,33, que é o número 
mais próximo da resposta correta. 
Exemplos de arredondamento de casas decimais:
 ■ 20,5685 é arredondado para 20, 57.
 ■ 28,1249 é arredondado para 20,12.
 ■ 2,99499 é arredondado para 2,99.
 ■ 8,00500 é arredondado para 8,01.
2. Precisão
Compreenda que, para evitar arredondamento desnecessário e uma maior precisão nos 
cálculos, o arredondamento só deve ser feito na resposta inal (DE CASTRO; DAL ZOT, 
2015). Para isso, é importante utilizar-se de recursos da calculadora, fazendo cálculos de 
forma sequencial. Por exemplo: 4
6
100x
pode ser feito de duas formas:
 ■ 4
6
0 67 0 67 100� eapós x,, ;
 ■ � �4
6
100
4 100
6
66 67x
x
,
Observe que a segunda opção é mais precisa que a primeira. A diferença é que na pri-
meira ocorreu um arredondamento nos cálculos intermediários (0,67), e o resultado foi 
a perda de precisão (DE CASTRO; DAL ZOT, 2015).
41 
Razão e proporção
Pense que você abriu um negócio e, no primeiro ano, obteve receita de R$ 100.000,00 e, 
nosegundo ano, as receitas foram de R$ 150.000,00. Ao comparar os valores, observa-
mos que a diferença é de R$ 50.000,00. Entretanto esta comparação não oferece a ideia 
de crescimento das vendas de um ano para o outro. Para isso, é necessário efetuarmos 
uma comparação, dividindo as receitas do segundo ano pelas receitas do primeiro ano 
(150.000,00/100.000,00). O resultado desta razão é igual 1,5. Diante disso, dizemos que 
a receita do segundo ano é 1,5 vezes maior que a do primeiro ano. 
Agora, vamos imaginar que as receitas do terceiro ano sejam de R$ 80.000,00 e, no 
quarto ano, de R$ 120.000,00. Observe que a razão das receitas do ano quatro é de 
120.000,00/80.000,00, que é igual a 1,5. Pois bem, a razão do quarto ano equivale à razão 
150.000,00/100.000,00, que pode ser visualizada a seguir:
150.000,00 120.000,00
100.000,00 80.000,00
=
Portanto, “essa igualdade de duas razões é chamada de proporção” (IEZZI; HAZZAN; 
DEGENSZAJN, 2013, p. 2), e pode ser ditada da seguinte forma: 150.000,00 está para 
100.000,00, assim como 120.000,00 está para 80.000,00. Isto é, há uma sentença de 
igualdade que denominamos de proporção. 
Potenciação
Você deve ter observado que, para calcular os juros compostos, precisará relembrar a 
potenciação. Pense que a potenciação é um número multiplicado por ele mesmo inú-
meras vezes. Por exemplo: an = a*a*a*a….*a.
Sendo “a” a base que é o número multiplicado por ele mesmo, e “n” o expoente, em 
outras palavras, é o número de vezes que o número é multiplicado. Para entendermos 
melhor, vamos imaginar o número 33, em que temos:
33 = 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27
Sendo
3 – Base
3 – Expoente
27 – Resultado do produto 
Fonte: adaptado de De Castro e Dal Zot (2015) e Iezzi, Hazzan e Degenszajn (2013). 
REFERÊNCIAS
43
REFERÊNCIAS
43
ASSAF, N. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2012.
CORREIA NETO, J. F. Excel para proissionais de inanças: manual prático. 2. ed. Rio 
de Janeiro, 2011. 
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
IEZZI, G.; HAZZAN, S.; DEGENSZAJN, D. M. Fundamentos de matemática elemen-
tar: Matemática Comercial, Matemática Financeira e Estatística Descritiva. [S.l]: Atu-
al, 2013.
MULLER, A. N.; ANTONIK, L. R. Matemática Financeira: instrumentos inanceiros 
para a tomada de decisão em Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: 
Saraiva, 2012.
PUCCINI, A. L. Matemática inanceira e análise de investimentos. Florianópolis: 
Departamento de Ciências da Administração/UFSC; Brasília: CAPES, 2011.
GABARITO
1)
TAXA DE JUROS
TAXA DE JUROS NA 
FORMA PERCENTUAL
TAXA DE JUROS NA 
FORMA UNITÁRIA
2% ao dia 2% a.d 0,02 a.d
24% ao mês 24% a.m 0,24 a.m 
 50,3% ao bimestre 50,3% a.b 0,503 a.b
90,5% ao semestre 90,5% a.s 0,905 a.s
 315% ao ano 315% a.a 3,15 a.a
0,50% ao dia 0,5% a.d 0,005 a.d
2) A.
3) C.
4) Taxa de juros = 6.000/20.000 = 0,3 ou 30%. 
5) O valor presente é o capital empregado e/ou emprestado, e o valor futuro é a 
soma do valor presente e/ou o capital mais os juros incorridos no período. 
6) 
Ao longo do 1º ano, o juro originado foi de 3.000,00 (0,10) = 300,00
Ao longo do 2º ano, o juro originado foi de 3.000,00 (0,10) = 300,00
Ao longo do 3º ano, o juro originado foi de 3.000,00 (0,10) = 300,00
Ao longo do 4º ano, o juro originado foi de 3.000,00 (0,10) = 300,00
Capitalização simples, valor dos juros R$ 1200,00
 
Ao longo do 1º ano, o juro originado foi de 3.000,00 (0,10) = 300,00
Ao longo do 2º ano, o juro originado foi de 3.300,00 (0,10) = 330,00
Ao longo do 3º ano, o juro originado foi de 3.630,00 (0,10) = 363,00
Ao longo do 4º ano, o juro originado foi de 3.993,00 (0,10) = 399,30
Capitalização composta, valor dos juros R$ 1.392,30
GABARITO
45
7) 
500
4000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
2000 2500 3500
5200
8) 
120 : 360 = 0,333% a.d
36 : 30 = 1,2% a.d
72 : 180 = 0,4% a.d
9)
0,1 x 30 = 3% a.m
28 : 2 = 14% a.m
6 : 4 = 1,5% a.m
258 : 12 = 21,5% a.m
10)
24 : 360 = 0,0667% a.d
24 : 12 = 2% a.m
24 : 6 = 4% a.b
24 : 4 = 6% a.t
24 : 2 = 12% a.s
ANOTAÇÕES
ANOTAÇÕES
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ID
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E II
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
SISTEMA DE 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Instruir o acadêmico a respeito dos juros simples.
 ■ Orientar o aluno quanto à equivalência simples.
 ■ Ensinar o discente acerca do desconto simples.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Juros simples
 ■ Equivalência simples
 ■ Desconto simples
Introdução
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51
INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), a cada momento, ocorre uma transferência de recursos entre os 
agentes econômicos. Esta utilização do dinheiro, no sistema econômico, gera mais 
dinheiro, isto é, lucros. Uma vez que o preço do dinheiro é calculado, via taxa de 
juros, precisamos nos aprofundar nos conceitos inerente às operações inanceiras.
De fato, nesta unidade, aprofundaremos-nos em conceitos sobre juros sim-
ples, equivalência simples e desconto simples, que são a base para avançarmos 
na matemática inanceira, de forma a passarmos a compreender as operações 
mais complexas que envolvem juros compostos.
Assim, aprenderemos que os juros simples são calculados com base no capi-
tal. Logo, não há incidência de juros sobre juros, isto é, os juros são os mesmo 
ao longo do período. Este tipo de operação pode ser encontrada no mercado de 
investimentos em operações de curtíssimo prazo, em que a taxa de juros é cal-
culada diariamente. Para trabalharmos juros simples, utilizaremos as fórmulas 
matemáticas algébricas e a calculadora inanceira (HP-12C). 
A equivalência simples envolve analisar quando dois ou mais capitais, com 
diferentes vencimentos, são conduzidos para uma mesma data, e a mesma taxa 
ocasiona valores iguais. Você verá que a equivalência de capitais é utilizada por 
pessoas, empresas, instituições inanceiras, entre outros, na busca de compati-
bilização de entrada e saída ao longo do tempo. 
Além disso, trabalharemos o desconto simples ou desconto por fora, que 
nada mais é do que antecipações de valores a receber ou a pagar. Aprenderemos, 
de fato, caro(a) estudante, dois tipos de desconto: o comercial e o racional.
Pois bem, agora que já conhece o assunto com que trabalharemos nesta uni-
dade, nós o(a) convidamos a se aprofundar nos estudos, pois o conhecimento 
gerado servirá como base para a operacionalização da matemática inanceira ao 
longo dos seus estudos.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
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IIU N I D A D E52
JUROS SIMPLES
Caro(a) aluno(a), o juro envolvido em uma operação inanceira é chamado juros 
simples, quando sua geração, em cada um dos períodos a que se refere a taxa apli-
cada durante todo o seu prazo da operação, for feita, exclusivamente, com base 
no capital inicial (principal). Vale ressaltar que, na operação de juros simples, os 
juros são pagos somente no inal da operação (do contrato), sem parcelamento. 
Você verá que os juros simples são aplicados diretamente sobre o capital e 
compreendem, normalmente, aplicações de curto prazo. Deste modo, os juros 
simples são de fácil entendimento, pois a matemática inanceira exige apenas 
cálculos utilizando equações lineares. 
Considere um empréstimo de R$ 20.000,00, à taxa de juros simples de 30% 
ao ano, a ser paga no inal de 4 anos. Para apresentar a evolução da dívida, colo-
caremos em forma de quadro para veriicar a memória de cálculo, no Quadro 1.
Quadro 1 - Evolução dos juros simples
ANO SALDO INICIAL JUROS SIMPLES SALDO FINAL
0 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00
1 R$ 20.000,00 20.000 . 0,30 = R$ 6.000 R$ 26.000,00
2 R$ 26.000,00 20.000 . 0,30 = R$ 6.000 R$ 32.000,00
3 R$ 32.000,00 20.000. 0,30 = R$ 6.000 R$ 38.000,00
4 R$ 38.000,00 20.000 . 0,30 = R$ 6.000 R$ 44.000,00
Fonte: as autoras.
Juros Simples
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.
53
Você sabia que, comumente, em juros simples, não há capitalização intermedi-
ária durante o período, isto é, o merecedor dos juros adquire o direito somente 
no inal do período. A im de obtermos a relação para o cálculo de juros sim-
ples, consideraremos uma situação modelo. Apliquei um capital C à taxa i pelo 
prazo n. Quanto gerei de juros simples?
Resolução:
Juros após 1 período: J
1
 = C i
Juros após 2 períodos: J
2
 = Ci + Ci = 2 (Ci)
Juros após 3 períodos: J
3
 = Ci + Ci + Ci = 3 (C . i)
...
Juros após n períodos: J
n
 = Ci + Ci + Ci + . . .+ Ci = n (Ci)
 . . J C i n=
ou
 . . J VP i n=
Onde
J = Juros
C = VP = Capital
i = Taxa
n = Prazo
Cabe ressaltar que i e n devem referir-se a um mesmo período de tempo.
Vamos considerar o seguinte exemplo: um capital aplicado por 6 meses a 
uma taxa simples de 10% a.m.
 
R$50,00
R$40,00
R$30,00
R$20,00
R$0,00
R$-
Período 1 Período 2 Período 3 Período 4
Figura 1 - Comportamento dos juros lineares
Fonte: as autoras.
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IIU N I D A D E54
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES
A relação J = C . in foi estabelecida de modo a aceitar somente a taxa e o prazo 
referindo-se a mesma unidade de tempo. Caso isso não ocorra, devemos trans-
formar uma destas grandezas (ou mesmo as duas).Para tanto, necessitamos, às 
vezes, do conceito de taxas equivalentes.
a. Taxas equivalentes: duas (ou mais) taxas de juros são equivalentes quando, 
ao serem aplicadas a capitais iguais, por prazos também iguais, produ-
zem juro igual.
Nos problemas que envolvem o sistema de capitalização simples, a obtenção 
da taxa equivalente a uma dada taxa pode ser conseguida facilmente, pois duas 
taxas equivalentes são também taxas proporcionais.
b. Taxas proporcionais: duas (ou mais) taxas de juros simples são ditas 
proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo, 
reduzidos a uma mesma unidade, formam uma proporção.
A fórmula algébrica matemática não é a única forma de resolução de exer-
cícios. O uso de calculadoras auxilia na busca pelas respostas aos exemplos, 
exercícios e às aplicações. Nas operações de juros simples, calculadoras sim-
ples que realizam as quatro operações matemáticas são suicientes. Um tipo 
de calculadora muito útil, inclusive, nas operações de juros compostos, ren-
das e anuidades bem como nos sistemas de amortizações, é a Calculadora 
Financeira, como, a HP-12C.
Utilizando a Calculadora HP-12C para apuração dos Juros Simples: 
[CHS] [PV] (valor do capital)
[ i ] (taxa de juros sempre anual) 
[ n ] (tempo sempre em dia)
[ f ] [ int ]
Fonte: as autoras. 
Juros Simples
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Assim, por exemplo, as taxas 3% ad e 90% a.m são proporcionais, pois:
Taxa período
3% 1 dia 3 = 1 
90% 30 dias 90 30
Na prática, a obtenção da taxa proporcional de certa taxa simples pode ser 
feita facilmente, bastando, para tanto, efetuar uma multiplicação (ou divisão) 
conveniente.
Exemplo 1: um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 5 
anos, com uma taxa de 2% a.m. Obtenha o valor dos juros. 
Resolução Algébrica:
A taxa de 2% a.m equivale a 24% aa, em juros simples. Como um ano tem 
doze meses, a taxa anual é doze vezes a taxa mensal.
 . .J VP i n=
J = 10.000 . 0,24 . 5
J = R$ 12.000,00
Resolução HP-12 C
10000 [CHS] [PV]
24 [ i ]
1800 [ n ]
[ f ] [ int ]
R$ 12.000,00
Exemplo 2: um capital de R$ 7.000,00 foi aplicado a juros simples, durante um 
ano e meio, com uma taxa de 8% a.s. Obtenha o valor dos juros.
Resolução Algébrica:
8% ao semestre é proporcional a 16% ao ano (como 1 ano tem dois semes-
tres, logo, a taxa anual é duas vezes a taxa simples do semestre).
 . .J VP i n=
J = 7000 . 0,16 . 1,5
J = R$ 1.680,00
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IIU N I D A D E56
Resolução HP-12 C
7000 [CHS] [PV]
16 [ i ]
540 [ n ]
[ f ] [ int ]
R$ 1.680,00
Exemplo 3: uma aplicação inanceira de R$ 100,00 rendeu juros simples de R$ 
12,00, durante o período de um ano. Obtenha a taxa mensal de juros da aplicação.
Resolução Algébrica:
 . .J VP i n=
12 = 100 . i . 1
i = 12 : 100 = 0,12 ao ano ou 12% ao ano
Como um ano tem doze meses, 12% ao ano, dividido por 12 meses corres-
ponde à taxa proporcional de 1% ao mês.
Resolução HP-12 C
100 [enter]
12 [ %T ]
1 [ / ] 
12% ao ano
MONTANTE SIMPLES
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) relativo à aplicação de um capital C é dei-
nido como sendo o capital C acrescido de seu respectivo juro J. No sistema de 
capitalização simples, o montante ou valor futuro é apurado da seguinte forma:
 M C J= +
Como J = Cin
Então,
M = C + C . i . n
M = C ( 1 + i . n)
Juros Simples
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ou ( ) 1 . FV PV i n= +
Exemplo 1: encontrar o montante obtido na aplicação de um capital de R$ 
10.000,00, à taxa simples de 5% am, durante um período de 8 meses.
Resolução Algébrica:
M = C (1 + i . n)
M = 10.000 ( 1 + 0,05 . 8)
M = 10.000 (1,40) = R$ 14.000,00
Exemplo 2: no dia 08 de fevereiro de 20XX, uma pessoa tomou emprestado a 
quantia de R$ 185.500,00, comprometendo-se a liquidar a dívida em 1 mês e 
10 dias, pagando o empréstimo por R$ 296.800,00. A que taxa simples diária se 
deu-se esta operação?
Resolução Algébrica:
M = C (1 + i . n)
296.800 = 185.500 (1 + i . 40)
296.800 / 185.500 = 1 + 40 i
1,60 = 1 + 40 i
1,60 - 1 = 40 i
0,60 = 40 i
i = 0,60 / 40
i = 0,015 a.d ou 1,5% a.d
Exemplo 3: em quantos meses um capital dobra de valor, se aplicado a juros 
simples de 2% a.m? 
Resolução Algébrica:
M = C (1 + i . n)
2C = C (1 + 0,02 n)
2C / C = 1 + 0,02n
2 = 1 + 0,02 n
2 - 1 = 0,02 n
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1 = 0,02 n
n = 1 / 0,02
n = 50 meses
Exemplo 4: qual é o capital que aplicado à taxa simples de 2% a.b, durante 1 ano 
e 7 meses resultou num montante de R$ 1.120,00?
Resolução Algébrica:
Taxa de 2% a.b é proporcional a 1% a.m.
M = C ( 1 + i . n)
1.120 = C (1 + 0,01 19)
1120 = C ( 1 + 0,19)
1120 = 1,19 C
C = 1120 / 1,19
R$ 941,18
Neste sentido, podemos veriicar que os cálculos inanceiros, muitas vezes, são 
realizados por meio de calculadoras e, por isso, não podemos nos esquecer delas, 
já que simpliicam o processo no que tange a resolução de problemas inanceiros. 
Nesta perspectiva, trabalharemos o método algébrico (ALG), utilizado na maio-
ria das calculadoras e o RPN (Notação Polonesa Reversa) para calculadoras HP. 
Agora, considerando um capital de R$ 20.000,00 a uma taxa de 30% a. a. e 
um período de 4 anos, vamos refazer os cálculos dos juros:
RPN ALG
20.000 [ENTER] 20.000 [X]
0,3 [X] 0,3 [X]
4 [X] 4 [=]
->24.000 ->24.000
Vamos refazer os cálculos do Valor Futuro:
RPN ALG
0,3 [ENTER] 0,30 [X]
Juros Simples
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4 [X] 4 [+]
1 [+] 1 [X]
20.000 [X] 20.000
-> 44.000 -> 44.000
Exercício resolvido 1-
Qual valor futuro ou montante e o valor dos juros gerados numa aplicação 
inanceira de R$ 16.000,00, durante12 meses, com taxa de 1,4% ao mês?
VP = 16.000,00
n = 12 meses
i = 1,4% ao mês
VF = ?
J = ?
( )1 .VF VP i n= +
VF = 16.000 (1 + 0,014.12) 
VF = 16.000 (1+ 0,168)
VF = 16.000 (1,168)
VF= 18.688
Valor dos Juros
 . .J VP i n=
J = 16.000 . 0,014 . 12 = 2.688
ou
 J VF VP= −
J = 18.688 - 16.000 = 2.688
Resolução: o valor futuro ou montante é de R$ 18.688,00, e o valor dos juros é 
de R$ 2.688,00.
Agora, caro(a) estudante, se quisermos determinar o valor presente tendo os 
dados do valor futuro, basta isolar a fórmula atual do montante ou valor futuro 
(VF). Observe que a “fórmula do montante é suiciente para resolver qualquer 
problema de juros simples” (BUENO; RANGEL; SANTOS, 2011, p. 6):
( )1 .VFVP i n= +
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Exemplo 5: uma aplicação rendeu, após 4 anos, o montante de R$ 30.000,00 a 
uma taxa de juros anual de 20%. Qual o valor aplicado?
( ) ( )30.000 30.000 16.666,671 0,2 . 4 1,8VP = = =+
Veriique que o valor inicial aplicado no investimento foi de R$ 16.666,67. Vamos 
refazer os cálculos na calculadora:
RPN ALG
30.000 [ENTER] 30.000 [÷]
0,2 [ENTER] (0,2 [X] 4 [+] 1 )
4 [X] 1 [+] [÷] =
-> 16.666,67 ->16.666,67
Observe que, utilizando a calculadora na forma algébrica, você terá que calcular, 
a princípio, o valor dos juros vezes o tempo somado 1. Conforme: ( )430.0001 0,2 ⋅+ .
Exercício resolvido 2
Qual valor presente ou capital e o valor dos juros gerados numa aplicação inan-
ceira de R$ 18.688,00, durante 12 meses, com taxa de 1,4% ao mês?
?
?
12 meses
1,4% ao mês
18.688
VP
J
n
i
VF
=
=
=
=
=
 
Juros Simples
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( )1 VFVP i n= + ⋅
( )18.6881 0,014 12VP = + ⋅
( )18.6881 0,1680
18.688
(1,1680)
16.000
VP
VP
VP
= +
=
=
 . . 
16.000 0,014 12 2.688
J VP i n
J
=
= ⋅ ⋅ =
ou
 
 
18.688 16.000 2.688
J VF VP
J
= −
= − =
Resolução: o valor presente é de R$ 16.000,00, e o valor dos juros é de R$ 2.688,00.
Imagine, agora, que você quer saber qual seria o tempo necessário para um capi-
tal ou valor presente de R$ 2.500, aplicado com taxa de 10% ao mês e produz 
R$ 500 de juros. 
J = R$ 500
VP = R$ 2.500
i = 10% a.m
n = ?
Resolução:
Isolando o “n” na fórmula básica [ ] . .J VP i n=
 
J
n
VP i
= ⋅
500
2
2500 0,10 
n = =⋅
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Assim, o tempo necessário para que o capital produza juros de R$ 500,00 é 
de dois meses. Observe que a taxa estava em meses, caso estivesse ao ano, o 
resultado seria dois anos, e não dois meses. Por isso, para realizar esta conta, é 
importante prestar atenção no período da taxa de juros: dia, mês, bimestre, tri-
mestre, semestre e ano. 
EQUIVALÊNCIA SIMPLES
Observe que nos exemplos de juros simples, considerou-se que os períodos 
dos juros são iguais à capitalização ou ao pagamento dos juros, isto é, a taxa e 
o tempo estavam no mesmo período, por exemplo: se a taxa de juros é mensal, 
o período de capitalização deve ser mensal também. Entretanto, na vida real, 
nem sempre é assim, é comum você encontrar taxa de juros anuais e períodos 
de capitalização mensais. Ainda, dívidas vincendas podem ser substituídas por 
outras, de modo a não favorecer, nem prejudicar as partes envolvidas, ou seja, 
busca-se manter o equilíbrio monetário.
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EQUIVALÊNCIA DE TAXAS 
No caso de juros simples, realizar a conversão entre as taxas mensais para as anu-
ais e as anuais para as mensais é, relativamente, simples. Por exemplo: imagine 
que você queira saber a taxa anual equivalente à taxa mensal de 1%. Para isso, 
basta você multiplicar por 12 meses. Isso mesmo, se a taxa de juros for simples, 
é só pegar a taxa e multiplicar ou dividir, sem complexidade. Neste caso, o valor 
da taxa anual é: 12 0,12 ou 12%0,01⋅ = . 
Outro exemplo é considerar os juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 
12% ao trimestre. Para achar, é só dividir 12% por 3 (0,12/3 = 0,04 ou 4%). Assim:
 ■ 6% a.b (ao bimestre) é equivalente a 3% a.m
 ■ 9% a.t (ao trimestre) é equivalente a 3% a. m
 ■ 18% a.s (ao semestre) é equivalente a 3% a. m
 ■ 36% a.a (ao ano) é equivalente a 3% a. m
Podemos dizer, prezado(a) acadêmico(a), que as taxas são equivalentes quando 
aplicamos o mesmo capital, durante determinado período de tempo, e origi-
nam os mesmos juros. Um capital R$ 4.000,00 pode ser aplicado à taxa de juros 
de 1 % ao mês ou 12% a. a. Com um prazo de dois anos, veremos se as taxas são 
realmente equivalentes:
 . . 
4.000 0,01 24
960
J VP i n
J
J
=
= ⋅ ⋅
=
 . . 
4.000 0,12 2
960
J VP i n
J
J
=
= ⋅ ⋅
=
Assim, em juros simples, as taxas de 1% a.m e 12% a.a são equivalentes.
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Exercício resolvido 3
Qual a taxa anual de juros simples que um determinado investimento rendeu, 
visto que o capital aplicado foi de R$ 10.000,00, e o valor de resgate foi de R$ 
11.050,00, após 12 meses?
Resolução:
A taxa de juros anual foi de 10,5%. Utilizando a calculadora:
RPN ALG
1.050 [ENTER] 1.050 [/]
10.000 [/] 10.000 [X] 1
1 [X] =
-> 0,105 ou 10,5% ->0,105 ou 10,5%
Você sabia que quando há divergências entre taxas de juros e período de tempo é 
sempre o tempo que deve ser convertido, e não a taxa? Por exemplo: se a taxa de 
juros está mensal, e o tempo está em dias, então, preciso transformar o tempo em 
meses, e não o contrário. Vejamos: qual é o rendimento de uma aplicação inan-
ceira de R$ 4.589,00, após 149 dias à taxa de 2,9% ao mês (a.m)? Para resolver 
este problema, precisamos transformar o tempo de dia (149) para mês.
Dados:
J
VP
VF
n meses ano
i
i
J
VP n
i
 
 
 
 
1 050
10 000
11 050
12 1
1 050
.
.
.
?
.
.
� �
�
�
�
110 000 1
0 105 10 5
. .
, , %� ou
Equivalência Simples
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Observe que precisamos de uma informação antes de prosseguir, isto é, o prazo 
está em dias, e a taxa está em mês.
Preste atenção nos arredondamentos neste caso, por exemplo: n= 4,96666....
Se esse valor for arredondado antes de se calcular a resposta inal, pode-se per-
der a precisão. Conforme podemos observar a seguir:
ARREDONDANDO N = 149 DIAS 
PARA...
RESULTADO DE J=VP.I.N
4,9 94 4.5 ,8 0,029 ,9 9 652 0⋅ ⋅ =
4,96 0,29 4,96 660,0814.589 ⋅ ⋅ = 
4,966 0,029 4,966 660,8804.589 ⋅ ⋅ = 
4,966666666 (mais precisão possí-
vel)
0,029 4,9666666 660,9689674.589 ⋅ ⋅ = 
(sendo essa a resposta mais correta)
Comumente, a exatidão é exigida por meio de duas casas após a vírgula, no entanto, 
neste caso, qualquer arredondamento forneceria respostas inexatas ao problema 
estudado. Neste sentido, para obter mais precisão, seria importante utilizar todas as 
casas após a vírgula. Agora, veremos como resolver este exercício na calculadora:
J
VP
i a m
n
d
�
�
�
� �
?
. ,
, % ( , ) .
,
4 589 00
2 9 0 029
149
30
4 966666666
 
 meses
 
149
4.589 0,029
30
149
4.589 0,029
30
660,968967
J VP i n
J
J
J
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
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RPN ALG
4.589 [ENTER] 4.589 [x]
0,029[x] 0,029 [X]
149 [X]