Diferença entre Fenômenos

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<p>MECÂNICA DOS SOLIDOS TIMOSHENKO/GERE 2 LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA</p><p>MECÂNICA DOS SOLIDOS TIMOSHENKO/GERE TRADUTORES 2 Coordenador Geral José Rodrigues de Carvalho Professor da UERJ, UFF e FTESM Luiz Ronaldo Capski M.Sc. em Engenharia Naval pelo Instituto de Tecnologia de Massachusetts REVISORES TÉCNICOS José Rodrigues de Carvalho Mauro Ormeu Cardoso Amorelli M.Sc. em Engenharia Mecânica e Ph.D. em Engenharia Naval pelo Instituto de Tecnologia de Massachusetts SOLUÇÕES E RESPOSTAS DOS PROBLEMAS Heitor Augusto de Araújo Filho Professor da Fundação Técnico Educacional Souza Marques LIVROS Autor: Timoshenko, Stephen P TÉCNICOS E Título: Mecanica dos solidos. 77402 CIENTÍFICOS EDITORA LTDA. 20036 Rio de Janeiro RJ São Paulo-SP</p><p>A edição original desta obra foi publicada nos EUA com o título Mechanics of Materials Copyright 1982 by Wadsworth International Group Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, dos autores e da editora. Coordenação da Área de Engenharia Mecânica: José Rodrigues de Carvalho Capa: AG Comunicação Visual Assessoria e Projetos Ltda. Diagramação e paginação: José Mesquita edição: 1984 Reimpressões: 1987 e 1989 CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ Timoshenko, Stephen P. T482m Mecânica dos sólidos: Volume II / Stephen P. Timoshenko [et] James E. Gere; tradução e coordenação técnica de José Rodrigues de Carvalho. - Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora, 1984. Tradução de: Mechanics of materials. Apêndice. Bibliografia. 1. Mecânica aplicada. I. Gere, James E. colab. II. Título. CDD - 620.1 CDU - 621.01 83-0939 ISBN: 85-216-0246-4 (obra completa) ISBN: 85-216-0247-2 (vol. 1) ISBN: 85-216-0346-0 (vol. 2) U B BLIOTECA Timoshenko, Stephen P 77402 Direitos reservados por: CENTRAL Meca nica solidos LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA LTDA. 620.17/T482 V. 2 Matriz: Rua Vieira Bueno, 21. São CEP 20920 - Rio de Janeiro - RJ Telex: (21) 36909 LTCE BR FAX: (021) 580-0187 LTCE RJ Tels.: (021) / 580-7147 (Vendas) Filial: Rua Euclides de Andrade, 15. CEP 05030 - Sumarezinho - SP Telex: (11) 81430 LTCE BR FAX: (011) 864-5633 LTCE SP Tels.: (011) 864-6066/864-5799</p><p>PREFÁCIO É possível escrever um livro sobre Mecânica dos Sólidos capaz de preencher as necessidades dos estu- dantes que se iniciam no assunto e de engenheiros que precisam de uma fonte de referência fidedigna. O objetivo dos Autores deste livro é satisfazer ambas as necessidades. Para isso, apresentam as teorias e os métodos de maneira didática e fácil de entender, com descrições amplas e exemplos ilustrativos, de maneira que os estudantes possam rapidamente dominar os fundamentos da matéria. Entretanto, texto vai além dos estágios elementares; assim, foi preciso incluir assuntos mais avançados e mais especializados. Portanto, o engenheiro, quer esteja engajado em projetos ou pesquisa, quer aperfeiçoando seus estudos por própria iniciativa, encontrará muito material adicional de seu interesse. Uma vista de olhos no Sumário mostrará os tópicos estudados neste livro. São tópicos que incluem a análise de elementos estruturais sujeitos à carga axial, torção, flexão, bem como todos os conceitos básicos da Mecânica dos Sólidos, tais como energia de deformação, transformações de tensão e deformação, com- portamento inelástico e assim por diante. Assuntos de especial interesse dos engenheiros também são tratados, inclusive efeitos térmicos, vigas não-prismáticas, grandes deflexões de vigas, flexão de vigas assimétricas, centro de torção e muitos outros. No último capítulo existe uma introdução à Análise Estru- tural e aos métodos de energia, incluindo o da carga unitária, teoremas recíprocos, métodos de flexibilidade e rigidez, teoremas da energia de deformação, teoremas da energia potencial, método de Rayleigh-Ritz e teoremas da energia complementar. Este capítulo serve para o leitor como base para o estudo da moderna teoria estrutural. Há certamente mais material neste livro do que um curso de graduação poderia abranger. Conseqüente- mente, cada professor terá a oportunidade de selecionar o material que considere mais importante. De grande utilidade são as centenas de novos problemas que o livro apresenta (mais de 600), disponíveis para os trabalhos de casa ou para uso em discussões na sala de aula. leitor cedo descobrirá as referências que foram. coletadas no final do livro, que dão o desenvolvimento histórico e as fontes originais do assunto em pauta. Além disso, tendo em vista o interesse existente em relação aos pioneiros que desenvolveram o assunto, foram incluídas, também, algumas notas biográficas. Este livro é "novo" no sentido de que é uma apresentação completamente diferente da Mecânica dos Sólidos, apresentando assuntos de interesse atual. Porém, em outro sentido, ele é o "velho" livro que evoluius da bem conhecida série, apresentada em dois volumes, intitulada "Resistência dos Materiais", escrita pelo Prof. Timoshenko. A última revisão de "Resistência dos Materiais" foi feita em 1955 e 1956, quando foi publicada uma terceira edição. A segunda foi publicada em 1940 e 1941 e a em 1930. Além disso, a primeira edição foi baseada, de modo geral, em algumas edições mais antigas publicadas na</p><p>VI - PREFÁCIO Rússia pelos idos de 1908. Uma lista das primeiras edições russas pode ser achada na bibliografia de Timoshenko, que aparece na sua autobiografia, As I Remember (D. Van Nostrand Co., Inc., 1968). Os Autores esperam que este livro e o volume intitulado Advanced Mechanics of Materials tenham contribuído para a atualização desta longa linha de livros-textos. Agradecer a todas as pessoas que contribuíram para a publicação desta obra seria impossível; porém, o maior débito dos Autores é com o Prof. D. H. Young, que leu o manuscrito inteiro e deu muitas sugestões valiosas. Outro colega, Prof. William Weaver, Jr., pelos conselhos que deu a respeito de Análise Estrutural e métodos de energia. Aos muitos alunos que estudaram pelas versões mais antigas desta obra e com quem os Autores aprenderam a melhor maneira de escrever um livro-texto, eles também agradecem. E, é lógico, nenhum livro poderia ser escrito sem a ajuda das devotadas secretárias - Mrs. Mark F. Nelson, Jeanne Mackenzie, Mrs. Richard E. Platt e Susan Bennett. A estas pessoas e muitas outras, os Autores têm o prazer de expressar sua gratidão. S.P. Timoshenko J.E. Gere</p><p>LISTA DE SÍMBOLOS A área, ação (força ou momento), constante dimensões, distâncias, constantes C constante de integração, centróide distância do eixo neutro à superfície externa da viga D deslocamento, incógnita cinemática d diâmetro, dimensão, distância E módulo de elasticidade ou módulo de Young, integral elíptica da segunda espécie E, módulo de elasticidade reduzido e excentricidade, dimensão, distância, espessura F força, integral elíptica da primeira espécie, coeficiente de flexibilidade f fluxo de cisalhamento, fator de forma para flexão plástica fator de forma para cisalhamento módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao cisalhamento g aceleração da gravidade H distância, força, reação, cavalo-vapor h altura, dimensão I momento de inércia (ou segundo momento) de uma área plana momentos de inércia em relação aos eixos x, y e Z momentos principais de inércia Ixy produto de inércia de uma área plana em relação aos eixos momento de inércia polar, torção constante K módulo de elasticidade volumétrico, fator de comprimento efetivo para uma coluna k símbolo para P/EI L comprimento, vão M momento fletor momento plástico para uma viga Me momento de escoamento para uma viga N força axial n coeficiente ou fator de segurança, número, razão, inteiro, rotações por minuto o origem das coordenadas P força concentrada, carga, força axial, peso carga crítica para uma coluna Prup carga de ruptura Plim carga-limite Padm carga de trabalho ou carga admissível Pe carga de escoamento p pressão</p><p>VIII - LISTA DE SÍMBOLOS força concentrada, primeiro momento (ou momento estático) de uma área plana intensidade da carga distribuída (carga por unidade de comprimento), taxa de carregamento carga de ruptura, carga-limite carga de escoamento R reação, raio r raio, distância, raio de giração (r = S força, módulo de seção de uma viga, centro de torção, coeficiente de rigidez S distância, comprimento de uma linha curva T temperatura, momento de torção ou torque momento de torção (ou torque) de ruptura ou momento de torção (ou torque-limite) Te momento de torção (ou torque) de escoamento t espessura U energia de deformação energia de deformação por unidade de volume, módulo de resilência energia complementar energia complementar por unidade de volume V força cortante, volume v deflexão, velocidade v" etc. dv/dx, d2 2v/dx2 etc. W peso, trabalho W* trabalho complementar X redundante estática y, Z coordenadas cartesianas, distâncias coordenadas do centróide Z módulo de resistência à flexão, módulo plástico para uma viga a ângulo, coeficiente de dilatação térmica, razão as coeficiente de cisalhamento B ângulo r ângulo, deformação por cisalhamento, peso por unidade de volume (peso específico) deformações de cisalhamento nos planos xy, yz ezx deformação de cisalhamento para eixos inclinados deflexão, deslocamento, alongamento deformação unitária, alongamento específico, alongamento relativo, deformação específica Ex, deformações específicas nas direções y e Z deformações principais ee deformação de escoamento deformação para eixos inclinados ângulo, ângulo de torção por unidade de comprimento, ângulo de rotação dos eixos da viga ângulo para um plano principal ou um eixo principal ângulo para um plano de tensão de cisalhamento máxima S K curvatura = 1/p) curvatura de escoamento distância p raio, raio de curvatura, distância radial em coordenadas polares v razão, relação ou coeficiente de Poisson tensão normal tensões normais em planos perpendiculares aos eixos y e tensão normal no plano inclinado tensões principais tensão crítica para uma coluna or tensão residual tensão de ruptura, tensão-limite ou tensão máxima tensão de trabalho ou tensão admissível tensão de escoamento, limite de escoamento T, T tensão de cisalhamento tensões de cisalhamento em planos perpendiculares aos eixos y, Z e e paralelo aos eixos y e Z TO tensão de cisalhamento em plano inclinado tensão de cisalhamento de ruptura, tensão de cisalhamento limite ou tensão de cisalhamento máxima tensão de cisalhamento de trabalho ou tensão de cisalhamento admissível Te tensão de escoamento por cisalhamento ângulo, ângulo de torção fator adimensional velocidade angular</p><p>SUMÁRIO VOLUME 1 1. TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO, 1 1.1 Introdução, 1 1.2 Tensões e Deformações, 2 1.3 o Teste de Tração, 3 1.4 Elasticidade Linear e Lei de Hooke, 6 1.5 Deformações de Barras Carregadas Axialmente, 8 1.6 Estruturas Estaticamente Indeterminada as, 10 1.7 Tensões Iniciais e Tensões Térmicas, 16 1.8 Comportamento Não-Linear, 18 1.9 Tensões e Deformações no Cisalhamento, 21 1.10 Energia de Deformação, 22 Problemas, 27 2. ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES, 34 2.1 Tensões em Planos Inclinados, 34 2.2 Tensões Biaxiais, 37 2.3 Cisalhamento Puro, 40 2.4 Círculo de Mohr para Tensões Biaxiais, 42 2.5 Tensões Planas, 44 2.6 Círculo de Mohr para Tensões Planas, 47 2.7 Tensões Triaxiais, 49 2.8 Deformações Planas, 52 Problemas, 56 3. TORÇÃO, 60 3.1 Torção de Barra Circular, 60 3.2 Torção de Barra Circular Vazada, 64 3.3 Energia de Deformação na Torção, 66 3.4 Tubos de Paredes Finas, 68</p><p>XII - SUMÁRIO 3.5 Torção Inelástica de Barras Circulares, 72 Problemas, 75 4. FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR, 78 4.1 Tipos de Vigas, 78 4.2 Tensões Resultantes nas Vigas, 79 Relações entre Carga, Força Cortante e Momento Fletor, 82 4.4 Diagramas de Forças Cortantes e Momentos Fletores, 83 Problemas, 88 5. TENSÕES EM VIGAS, 92 5.1 Tensões Normais, 92 5.2 Cálculo de Vigas, 97 Tensões de Cisalhamento, 100 5.4 Tensões de Cisalhamento em Vigas com Seção Transversal Circular, 106 5.5 Vigas Compostas, 107 5.6 Tensões Principais, 109 5.7 Tensões nas Vigas Não-Prismáticas. Teoria Aproximada, 111 5.8 Vigas de Dois Materiais Diferentes, 117 5.9 Flexão e Torção Combinadas, 122 5.10 Flexão e Carga Axial Combinadas, 123 Problemas, 127 6. DEFORMAÇÕES DE VIGAS, 135 6.1 Equação Diferencial da Linha Elástica, 135 6.2 Vigas Simplesmente Apoiadas, 138 6.3 Vigas em Balanço, 142 6.4 Método dos Momentos Estáticos de Áreas, 144 6.5 Método da Superposição, 147 Vigas Não-Prismáticas, 150 6.7 Método das Diferenças Finitas, 153 6.8 Trabalho-d Deformação Elástica na Flexão, 156 6.9 Carga Proporcional à Deformação, 159 6.10 Efeitos Térmicos, 162 6.11 Influência das Deformações Angulares, 163 6.12 Grandes Deformações nas Vigas, 169 Problemas, 172 7. VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS, 178 7.1 Vigas Estaticamente Indeterminadas, 178 7.2 Equação Diferencial da Linha Elástica, 180 7.3 Método da Superposição, 182 7.4 Método dos Momentos Estáticos de Área, 187 7.5 Método das Diferenças Finitas, 189 7.6 Vigas Contínuas, 190 7.7 Efeitos Térmicos, 194 7.8 Deslocamento Horizontal das Extremidades da Viga, 196 Problemas, 198</p><p>- XIII A PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS, 203 A.1 Centróide de uma Área, 203 A.2 Centróide de Área Composta, 205 A.3 Momento de Inércia de Área, 207 A.4 Momento de Inércia Polar, 209 A.5 Teorema do Eixo Paralelo, 211 A.6 Produto de Inércia, 213 A.7 Rotação de Eixos, 215 A.8 Eixos Principais, 217 Problemas, 218 APÊNDICE B PROPRIEDADES DAS 221 APÊNDICE C PROPRIEDADES DE PERFIS ESTRUTURAIS SELECIONADOS, 224 APÊNDICE D DEFLEXÕES E INCLINAÇÕES DE VIGAS, 230 RESPOSTAS DOS PROBLEMAS SELECIONADOS, 235 REFERÊNCIAS E NOTAS 245 SI-SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, 250 ÍNDICE DE AUTORES, 252 REMISSIVO, 254 VOLUME 2 8. FLEXÃO 257 8.1 Vigas Simétricas, 257 8.2 Flexão Pura em Vigas Assimétricas, 259 8.3 Flexão de Vigas Assimétricas Carregadas Transversalmente, 263 Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção Transversal Aberta, de Paredes Finas, 266 8.5 Centro de Torção para Seções Abertas, de Paredes Finas, 270 8.6 Tensões de Cisalhamento em Vigas Fletidas em Torno de Eixos Não-Principais, 274 Problemas, 278 9. FLEXÃO 283 9.1 Introdução, 283 9.2 Equações para Flexão Inelástica, 283 9.3 Flexão Plástica, 284 9.4 Articulações Plásticas, 290 9.5 Análise Plástica das Vigas, 292</p><p>XIV SUMÁRIO 9.6 Deflexões, 298 9.7 Flexão Inelástica, 300 9.8 Tensões Residuais, 305 Problemas, 307 10. PILARES, 311 10.1 Pilares com Cargas Axiais Excêntricas, 311 10.2 Cargas Críticas em Pilares, 315 10.3 Tensões em Pilares, 320 10.4 Fórmula Secante para Pilares, 322 10.5 Imperfeições em Pilares, 324 10.6 Fórmulas para Projeto de Pilares, 326 Problemas, 328 11. DE ENERGIA E DE ANÁLISE ESTRUTURAL, 332 11.1 Introdução, 332 11.2 Princípio do Trabalho Virtual, 333 11.3 Método da Carga Unitária para Cálculo dos Deslocamentos, 336 11.4 Deformações Angulares de Vigas, 346 11.5 Teoremas Recíprocos, 351 11.6 Método da Flexibilidade, 356 11.7 Método da Rigidez, 364 11.8 Energia de Deformação e Energia Complementar, 375 11.9 Método da Energia de Deformação, 381 11.10 Método da Energia Potencial, 387 11.11 Método de Rayleigh-Ritz, 390 11.12 Princípios da Energia Complementar, 396 11.13 Método da Força, 401 11.14 Segundo Teorema de Castigliano, 404 11.15 Energia de Deformação e Método da Flexibilidade, 406 11.16 Outros Métodos de Análise Estrutural, 407 Problemas, 408 APÊNDICE A PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS, 417 APÊNDICE B PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS, 418 APÊNDICE C PROPRIEDADES DE PERFIS ESTRUTURAIS SELECIONADOS, 421 APÊNDICE D DEFLEXÕES E INCLINAÇÕES DE VIGAS, 427 RESPOSTAS DOS PROBLEMAS SELECIONADOS, 432 REFERÊNCIAS E NOTAS 439 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, 445 ÍNDICE DE AUTORES, 447 ÍNDICE REMISSIVO, 448</p><p>8 FLEXÃO ASSIMÉTRICA 8.1 VIGAS SIMÉTRICAS a teoria da flexão foi apresentada, no Cap. 5, falou-se apenas sobre vigas que apresentam como atuantes um plano Quando axial de simetria (o plano xy das Figs. 5-1 a 5-3), admitindo-se as cargas condições, transversais tanto o eixo neutro nesse plano e, conseqüentemente, que a flexão também se daria nele. Nestas As tensões normais de da quanto o vertical diretamente de simetria proporcionais são eixos à distância principais da centrais linha considerada ao eixo neutro, podendo ser calcula- seção flexão são das fórmula da flexão, Ox = (ver a Fig. 5-3 e a Eq. 5-10). pela serão dados vários exemplos de flexão assimétrica, que ocorre sempre que as condições Neste deixem capítulo, de ser obedecidas. o caso mais simples é o de uma viga simétrica (com dois eixos 8-1a). de simetria Outro acima transversal), que recebe cargas excêntricas em relação aos eixos de simetria (ver a Fig. será discutido na tipo seção de flexão assimétrica aparece quando a própria viga não tem simetria, problema este que no artigo seguinte. uma viga simétrica tem carga excêntrica, como aparece na viga em balanço representada A carga pode na Quando 8-1a, o método da superposição pode ser usado no cálculo das tensões e das deformações. da flexão para cada Fig. uma ser.decomposta das componentes. segundo As os tensões planos de e deformações simetria, P resolvendo-se são: finais direção são separadamente obtidas y, P cos por 0 superposição e na o problema direção dos Z (sentido resultados. negativo) Para a da carga na P viga sen da Numa Fig. 8-1a, seção as intermediária, componentes distante x do engastamento, os momentos correspondentes são e = A Fig. vetor (traçado de acordo com a regra da mão direita) está no fazendo positivo um do 8-1b mostra esses momentos com seus sentidos positivos; note-se que o momento sentido é suposta- mente eixo correspondente. positivo quando o seu vetor momento resultante, M, está, também, representado na figura, ângulo 0 com o eixo * N.T. Eixos principais são aqueles para os quais os momentos de inércia Apêndice são um máximo A. e um mínimo. Diz-se "centrais" quando têm a origem no centro de gravidade da seção. Ver o</p><p>258 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS L Z C C M, Z B My A M 8 n P y y (a) (b) (c) Fig. 8.1. Viga simétrica com carga excêntrica. Como My e são momentos fletores nos planos de simetria da viga, as tensões correspondentes podem ser calculadas pela fórmula da flexão. Considerando, na seção transversal, um ponto A qualquer de coordenadas y e Z (Fig. 8-1b) a tensão normal nesse ponto é Ox = (8-1) onde Iy e são os momentos de inércia em relação aos eixos yez, respectivamente. A tensão máxima ocorrerá nos pontos mais distantes do eixo neutro. A posição do eixo neutro fica definida fazendo-se Ox (Eq. 8-1) igual a zero. Substituindo sen 0 e = M cos na Eq. (8-1), e igualando Ox a zero, vem cos (8-2) que é a equação do eixo neutro (linha nn na Fig. 8-1b). o ângulo B, formado pelo eixo neutro com o eixo z, é definido pela expressão (8-3) Em geral, B é diferente de 0, e o eixo neutro não é perpendicular ao plano das cargas. As únicas exce- ções ocorrem quando = ou No primeiro caso, as cargas caem no plano principal xy e o eixo neutro é o segundo caso é semelhante, as cargas situam-se no plano e y é o eixo neutro. Finalmente, no terceiro caso, significa que os momentos principais de inércia são iguais; neste caso, todos os eixos que passam pelo centróide têm o mesmo momento de inércia e são eixos principais. Então, o plano das cargas, qualquer que seja a sua direção, é sempre um plano principal e o eixo neutro é sempre perpendicular a ele. As deflexões de uma viga simétrica com cargas excêntricas podem ser encontradas separadamente para cada componente, superpondo-se, em seguida, os resultados. Por exemplo, no caso da viga em balanço da Fig. 8-1a, as deflexões na extremidade livre, no sentido positivo dos y e negativo dos z, são</p><p>FLEXÃO 259 0 como se vê na Fig. 8-1c. A deflexão total é (8-4) o ângulo B entre o vetor deflexão resultante, 8, e o eixo y é dado por que é igual à Eq. (8-3). Conclui-se, então, que a deflexão resultante está num plano normal ao eixo neutro. 8.2 FLEXÃO PURA EM VIGAS ASSIMÉTRICAS Agora é possível considerar uma viga com seção transversal assimétrica (Fig. 8-2). Selecionam-se arbi- trariamente, dois eixos perpendiculares, y e z, no plano da seção e, supondo que nessa seção atue um momento fletor, procura-se definir as condições que tornem neutro o eixo Para isto, observa-se se a tensão num elemento de área, dA, distante y do eixo neutro, é dada pela Eq. 15-5 e se a força correspondente no elemento é dA. Conhecendo-se esta força, a Estática permite calcular as tensões resultantes. A força resultante na direção x deve ser nula, porque não há força axial; assim, (a) com a integração sobre toda a área da seção transversal. A Eq. (a) mostra que o eixo neutro deve passar pelo centróide da seção transversal, marcando assim a origem dos eixos y e C Z y dA Z y Fig. 8.2. Seção transversal assimétrica, com eixos selecionados arbitrariamente. Em seguida, analisam-se os momentos fletores. momento resultante em torno do eixo é (b) e, em torno do eixo y, é = (c)</p><p>260 MECÂNICA DOS SÓLIDOS onde Iyz é o produto de inércia da área da seção transversal, em relação aos eixos y e (Usa-se o sinal de valor absoluto nas Eqs. b e porque ainda não foi estabelecida uma convenção adequada para os momentos fletores e as curvaturas; de qualquer forma, por ora isto não tem interesse.) Das Eqs. (b) e (c), pode-se tirar os conclusões interessantes. Se a flexão ocorrer em torno do eixo z, como eixo neutro, vê-se que algumas momentos fletores em torno dos eixos y e Z devem existir. Estes dois momentos podem ser combinados do num momento resultante único, cujo vetor será excêntrico em relação dois eixos; então, o plano momento fletor aplicado não é perpendicular ao eixo neutro. Entretanto, se os eixos y e Z forem selecio- como eixos principais centrais da seção transversal Iyz = 0 e My anula-se [ver a Eq. (c)]. Isto mostra vetor nados que o único momento atuante na seção transversal é que é um momento no plano xy e tem o orientado segundo o eixo Z (eixo neutro). Chega-se, então, às seguintes conclusões importantes. Quando uma viga assimétrica sofre flexão pura, eixos o do momento fletor (plano xy) é perpendicular ao plano neutro (plano xz) somente quando os y plano são eixos principais centrais da seção transversal. Assim, se um momento fletor for aplicado num plano será e principal, Z este será o plano da flexão, o eixo neutro será perpendicular a ele e a teoria comum da flexão válida. resultados precedentes indicam um caminho relativamente simples para análise de uma viga assimé- trica Os sujeita ao momento fletor M arbitrário (Fig. 8-3). Começa-se localizando os eixos principais centrais as y e z, segundo a técnica descrita no Apêndice A. Em seguinda, decompõe-se o par M em My estiver e segundo no sentido direções daqueles eixos. My atua no plano admitindo-se ser positivo quando seu vetor estiver no sentido positivo do eixo dos y. Analogamente, no plano xy, será positivo quando seu vetor positivo do eixo Estas componentes são e 0 (d) onde 0 é o ângulo entre o vetor M e o eixo Como atua num plano principal, sabe-se que a flexão por ele produzida na viga terá Z como eixo neutro, o que permite aplicar a este caso todas as fórmulas flexão para o cálculo das tensões e das deflexões vistas na teoria da flexão pura. Do mesmo modo, My produzirá tal que y é o eixo neutro. Então, a tensão de flexão em um ponto A qualquer é (8-5) = onde y e Z são as coordenadas do ponto A. Esta equação é a mesma (8-1), deduzida para uma seção trans- versal simétrica. o eixo neutro nn (ver a Fig. 8-3) é a linha de tensão nula e sua equação pode ser obtida pelo método usado no Art. 8.1 ; a equação é sen cos (8-6) M2 C Z My .A M B n y Fig. 8.3. Seção transversal assimétrica, com um par fletor M, decomposto segundo as direções dos eixos centrais.</p><p>FLEXÃO 261 ângulo B entre os eixos neutro e Z também pode ser calculado tal como foi feito antes; a equação é (8-7) Observa-se novamente que, em geral, os ângulos e não são iguais, de modo que o eixo mencionados neutro não no é perpendicular ao plano de atuação de M. As únicas exceções são os três casos especiais artigo As precedente. deflexões causadas por My e podem ser calculadas com as fórmulas usuais. As decorrentes de dar My estarão todas no plano e as de no plano xy. Estas deflexões podem ser compostas para as deflexões resultantes, que estarão num plano perpendicular ao eixo neutro. Teoria Geral da Flexão Pura. Na discussão anterior, foi apresentado um método de análise M que segundo exige as a localização dos eixos principais da seção transversal e a decomposição do fórmulas momento comuns fletor para as tensões direções daqueles eixos. Isto existem foi feito situações porque dessa em que maneira é conveniente é possível trabalhar usar com outros eixos que não os e principais. deformações. Um exemplo Entretanto, é a seção z, vista na Fig. 8-4: os eixos y e não são principais e, no entanto, são convenientes para o cálculo. e b b1 h/2 C h/2 Fig. 8.4. Seção assimétrica, com eixos que não são principais passando pelo A fim de deduzir as equações de uma teoria mais geral para a flexão, não relacionadas eixos com e os Z sejam eixos principais, considere-se a seção transversal assimétrica, vista na Fig. 8-5, supondo-se que atuem os na seção, y como eixos centrais, porém não principais. Admita-se também que os momentos My e A curva- se tura na plano xy é Ky = 1/py, onde Py é o raio de curvatura, e a curvatura plano baixo, vê figura. Neste caso geral, a flexão da viga ocorrerá simultaneamente nos dois planos, xy do e A curvatura no Ky é considerada positiva quando a forma da viga fletida no plano xy for côncava para isto C Z My A y Fig. 8.5. Seção assimétrica, com eixos centrais não-principais.</p><p>- MECÂNICA DOS SÓLIDOS o Z + + o x y (a) (b) Fig. 8.6. Curvaturas: convenção de sinais: (a) positiva; (b) positiva. é, no sentido dos y positivos. Do mesmo modo, é considerada positiva quando a forma da viga fletida no plano for côncava no sentido dos Z positivos. Esta convenção aparece na Fig. 8-6. Então, a tensão no ponto A, de coordenadas yezé (e) onde os sinais negativos decorrem da convenção de sinais das curvaturas. As tensões resultantes na seção transversal podem, agora, ser calculadas. Como a força resultante na direção x é nula, vem = Esta equação é automaticamente satisfeita, porque a origem dos eixos é o centróide da seção e, portan- to, as duas integrais que nela aparecem são nulas. o momento My, em torno do eixo y, é = ou (f) De modo semelhante, para o eixo dos z, vem ou (g) Resolvendo o sistema formado pelas Eqs. obtêm-se as seguintes expressões para as curvaturas em função dos momentos fletores: (8-8a,b) Substituindo estas expressões na Eq. (e), tem-se a fórmula para a tensão Ox (8-9) Esta última equação é a fórmula generalizada da flexão, que pode ser usada no cálculo de tensões de flexão em vigas quando são conhecidos os momentos My e relacionados com dois eixos centrais perpen- diculares quaisquer. Estes eixos não têm de ser eixos principais.</p><p>FLEXÃO 263 Agora, é possível verificar alguns casos especiais de flexão. Suponha-se que M2 exista, mas que My seja nulo. Esta condição pode aparecer, por exemplo, na flexão da seção Z, representada na Fig. 8-4. As expres- das curvaturas e das tensões simplificam-se para (8-10a,b) e as tensões são (8-11) Se, além disso, os eixos forem principais, de modo que Iyz = 0, as equações poderão ser simplificadas ainda mais, dando: (8-12a,b) que são as equações usuais para flexão no plano principal xy. Quando ambos os momentos, My e atuam e os eixos são principais, então, de novo, Iyz = 0 e as Eqs. (8-8) e (8-9) passam a ser: (8-13a,b) (8-14) Note-se que a última equação é igual à Eq. (8-5). 8.3 FLEXÃO DE VIGAS ASSIMÉTRICAS CARREGADAS TRANSVERSALMENTE Toda a discussão do artigo precedente relacionou-se com a flexão pura de vigas não-simétricas. problema agora é saber como se comportam tais vigas quando fletidas por cargas laterais que acarretam forças cortantes além de momentos fletores. Para que se compreenda melhor a natureza deste problema, veja-se a viga em balanço, de seção assimétrica, representada na Fig. 8-7a. A força P, na extremidade livre, atua verticalmente, paralela ao eixo y. Como o eixo Z é um eixo de simetria, os eixos y e Z são principais centrais (Fig. 8-7b). Supondo-se que a carga P produza flexão em torno do eixo z, isto é, que o eixo seja neutro, em qualquer seção transversal intermediária da viga haverá dois esforços, um momento fletor em torno do eixo z, e uma força cortante (igual à P) na direção y (Fig. 8-7b). Correspondendo a esses esforços, exis- tirão tensões normais e de cisalhamento na seção transversal. A resultante das tensões normais é, natural- mente, o momento fletor e a das tensões de cisalhamento é a força cortante P, cuja linha de ação passa por um ponto S, sobre o eixo Em geral, este ponto não coincide com o centróide de C. Tal ponto é conhecido como centro de torção ou centro de flexão da seção transversal da viga. Se o plano da carga P não passar pelo centro de torção, haverá torção na viga. É preciso agora fazer uma observação importante, a saber, que a carga atuante numa viga assimétrica usualmente produz flexão combinada com torção. A flexão sem torção só ocorre quando o plano da carga aplicada passa pelo centro de torção S. Assim, a determinação do centro de torção é de grande importância. No caso da viga da Fig. 8-7, é relativamente fácil localizar o centro de torção da seção transversal. Pode-se considerar a viga como composta por três partes retangulares as duas mesas e a alma (Fig. 8-8)</p><p>264 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS Z S C y P y P (b) (a) Fig. 8.7. (a) Viga assimétrica carregada (b) seção transversal da viga mostrando o centro de torção S e o centróide C. todas flexionando juntas no plano xy e, portanto, tendo a mesma curvatura durante a flexão. Em conse- qüência, o momento fletor que cada parte suporta é proporcional ao seu momento de inércia em relação ao eixo M3 onde M1, M2 e M3 são os momentos atuantes nas partes 1, 2 e 3 respectivamente, e e I3, os respectivos momentos de inércia em relação ao eixo Como I3 é muito pequeno comparado com e I, pode-se desprezá-lo e admitir que a carga seja suportada apenas pelas mesas. Então, e onde =M1 + M2 é o momento fletor total. As forças cortantes V1 e V2, nas duas mesas, serão propor- cionais aos momentos fletores, de modo que: (a) onde V = V1 + V2 é a força cortante total (igual à P). A linha de ação da resultante dessas forças cortantes posiciona o centro de torção S (Fig. 8-8). Chamando de h a distância entre os centros das mesas e de h1 e h2 as distâncias do centro de torção às mesas, pode-se calcular estas últimas distâncias igualando a soma dos momentos, em torno de S, a zero: ou, usando as Eqs. (a): (8-15)</p><p>FLEXÃO 265 e, e2 1 2 3 S C b Z b2 V2 V1 y P h1 h2 h Fig. 8.8. Seção transversal de viga I, assimétrica, mostrando a posição do centro de torção S. Sabendo-se que = = Eq. (8-15) dá: (8-16a,b) o que posiciona o centro de torção para uma viga em I, assimétrica. Pode-se demonstrar que, quando b1 > centro de torção S fica sempre entre Cea mesa da esquerda. No caso particular, em que o eixo y é também eixo de simetria, e1=e2 e b1 = b2, tem-se, das Eqs. (8-16): o que mostra que o centro de torção coincide com o centróide. Em geral, o centro de torção de uma viga com dois eixos de simetria na seção transversal, tais como uma circular, retangular ou em I, coincidirá com o centróide. Nestes casos, qualquer carga, cujo plano passe pelo dará flexão sem torção. Outro caso particular ocorre quando se anula, o que dá uma viga de perfil T (Fig. 8-9). Neste caso, as Eqs. (8-16) mostram que, para h1 0 e h2 = h, o centro de torção encontra-se na junção da mesa com a alma. C S Z y P Fig. 8.9. Centro de torção para viga T. Em geral, as vigas que têm eixo de simetria, como ilustrado nas Figs. 8-8 e 8-9, têm o centro de torção sobre esse eixo. Qualquer carga cujo plano passe por esse eixo, ainda que atue na direção inclinada, pode ser decomposta em duas componentes, uma na direção do eixo Z e a outra paralela ao eixo A primeira produzirá flexão no plano tendo y como eixo neutro; a segunda dará flexão (sem torção) no plano xy</p><p>266 MECÂNICA DOS SÓLIDOS com Z como eixo neutro. Se a carga não agir através do centro de torção, poderá sempre ser substituída por um conjugado e uma carga que passa por aquele ponto. efeito da carga cujo plano passa pelo centro de torção pode ser analisado como se disse acima, enquanto que o efeito do conjugado por análise adequada da torção. Posicionar o centro de torção não é sempre uma tarefa fácil. No caso de seções cheias e seções e fechadas, o ponto está normalmente próximo do centróide. Tais seções têm normalmente alta rigidez à torção, o que permite desprezar os efeitos da torção se a carga for aplicada próxima do centróide ou nele próprio. Seções de paredes finas, seções abertas (tais como em U ou L), são muito fracas à torção e, nesses casos, é importante conhecer o centro de torção para levar em conta o efeito da torção quando o plano da carga não passar por ele. As seções deste tipo serão estudadas nos dois artigos que seguem. 8.4 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL ABERTA, DE PAREDES FINAS Já se considerou a distribuição das tensões de cisalhamento em vigas com dois eixos de simetria (ver o Art. 5.3). Viu-se, na ocasião, que as tensões de cisalhamento são calculadas pela fórmula (5-18) repetida desde que essas tensões sejam uniformes em toda a largura da viga. Esta limitação é satisfatória quando se trata de seções transversais retangulares finas, para almas das vigas H e para algumas outras formas. Consi- dere-se agora uma classe particular de vigas, conhecidas como vigas de paredes finas, seção transversal aberta, para as quais pode-se determinar as tensões de cisalhamento pelo mesmo método usado na dedução da Eq. (5-18). As vigas distinguem-se por duas características: (1) a seção transversal tem espessura pequena, comparada com a abertura ou a largura, e (2) a seção transversal é aberta, como no caso de um perfil I ou C, e não fechada, como no caso uma seção oca. Vigas de seção aberta e paredes finas, algumas vezes chama- das seções estruturais, são muito usadas em Engenharia. Começando o estudo das tensões de cisalhamento nessas seções, examine-se uma viga cuja seção trans- versal tenha uma linha média, mm, de qualquer forma (Fig. 8-10a). Os eixos y e Z são eixos centrais prin- cipais da seção transversal e a carga P atua paralelamente ao eixo y (Fig. 8-10b). Se a carga P passar pelo centro de torção S da seção, não haverá torção na viga; ocorrerá flexão pura no plano xy e o eixo Z será neutro. As tensões normais, em qualquer ponto da viga, serão dadas pela equação (a) onde é o momento fletor, em torno do eixo e y é a ordenada do ponto em consideração. Considere-se agora um elemento, abcd, cortado entre duas seções separadas por dx e tendo compri- mento medido sobre a linha média da seção transversal (Fig. 8-10a). F1 é a resultante das tensões normais que atuam na face ad (Fig. 8-10c) e F2 a resultante na face bc. Como o momento fletor na face ad é maior do que em bc, a força F1 é maior do que F2 e assim, para haver equilíbrio estático, as tensões de cisalha- mento devem atuar sobre a face cd. Estas tensões de cisalhamento devem ser paralelas às superfícies do elemento, que são livres de tensões, e devem ser acompanhadas pelas tensões de cisalhamento complemen- tares, que atuam nas seções transversais ad e bc. Somando as forças que atuam na direção x, no elemento visto na Fig. 8-10c, vem (b) onde e é a espessura da seção transversal em cd, isto é, e é a espessura a uma distância S da extremidade livre da seção transversal. Com a Eq. (a), conclui-se que</p><p>FLEXÃO ASSIMÉTRICA - 267 = - onde dA é um elemento de área no lado ad do elemento, y é a ordenada do elemento dA e é o mo- mento fletor nesta seção transversal. Para a força F2, obtém-se uma expressão análoga: = - a b d m S a e F1 x C Z S d F2 dx m x (a) P P (c) y (b) Fig. 8.10. Tensões de cisalhamento numa viga de seção transversal aberta, paredes finas. (Nota. Os eixos y e Z são eixos centrais principais.) Substituindo as expressões de F1 e F2 na Eq. (b), vem A quantidade é a taxa de variação do momento fletor e é igual a Vy a força cortante na direção y (igual à P, na Fig. 8-10). Portanto, a equação para as tensões de cisalhamento é (8-17) que dá a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção transversal, distante S da extremidade livre. A integral do segundo membro da equação representa o momento estático da área da seção transversal, de s=0 até em relação ao eixo neutro. Chamando esse momento estático de e tomando o valor absoluto da tensão, a equação pode ser escrita de modo mais simples:</p><p>268 MECÂNICA DOS SÓLIDOS (8-18) que é semelhante à Eq. (5-18). As tensões de cisalhamento são orientadas ao longo da linha média da seção transversal, paralelamente aos lados da seção, supondo-se que sejam constantes sobre toda a espessura da parede. Esta espessura não precisa ser constante, podendo variar em função de S. fluxo de cisalhamento num ponto qualquer da seção transversal é igual ao produto da tensão de cisalhamento pela espessura nesse ponto: (8-19) Como e são constantes, esta equação mostra que o fluxo de cisalhamento é diretamente propor- cional a Qz. No topo e na base da seção, o momento estático é nulo, o que anula a tensão de cisalhamento nesses pontos. o fluxo de cisalhamento varia continuamente entre esses pontos extremos e alcança seu máximo quando também é máximo, o que ocorre no eixo neutro. Se a viga da Fig. 8-10 for fletida por cargas que passam pelo centro de torção e paralelas ao eixo será o eixo neutro. Neste caso, fazendo uma análise semelhante à anterior, chega-se às seguintes equações: (8-20a,b) Nestas equações, V2 é a força cortante paralela ao eixo Z e Qy é o momento estático em relação ao eixo y. Exemplo. Analisar as tensões de cisalhamento numa viga I, sidade e o sentido da tensão de cisalhamento da seção bb. carregada com uma força vertical P, no plano da alma Esta seção pode ser considerada em qualquer posição entre (Fig. 8-11a) o ponto a e a junção da mesa com a alma; assim, em toda Começa-se tomando uma seção transversal intermediá- essa região, a tensão de cisalhamento é horizontal e para a ria da viga (Fig. 8-11b) e considerando as tensões no lado esquerda, e sua intensidade é dada pela Eq. (c). Vê-se tam- direito da mesa superior. A distância S para esta parte será bém por esta equação que a tensão é diretamente propor- medida a partir de a, onde a tensão de cisalhamento é nula, cional a como está representado na Fig. 8-11d. valor para a esquerda, até a seção bb. A área entre a e bb é sem, máximo, é atingido quando b/2, sendo b a largura da onde em é a espessura da mesa; a distância do centróide mesa. Assim, desta área ao eixo neutro é h/2 (note-se que h é a altura, bhP considerada entre as linhas médias das mesas). Assim, para a (d) seção bb, Q = semh/2; portanto, a tensão de cisalhamento para bb, obtida com a Eq. (8-18), é e o fluxo de cisalhamento correspondente é (c) (e) sentido desta tensão pode ser determinado, anali- Note-se que, nesta análise aproximada, o cálculo da sando-se as forças que atuam num elemento cortado da tensão de cisalhamento, na linha média da junção da mesa mesa, entre o ponto a e a seção bb (ver o elemento A na com a alma, foi feito sem levar em conta a espessura da Fig. 8-11a). Este elemento está representado em escala seção transversal, o que é satisfatório para seções de paredes maior na Fig. 8-11c. Pode-se ver imediatamente que a força finas. de tração F, é maior que porque o momento fletor é Começando no ponto na parte esquerda da mesa maior na face posterior do que na face anterior do elemen- superior (Fig. 8-11b) e medindo S para a direita, pode-se to. Segue-se que, para haver equilíbrio, a tensão de cisalha- repetir a análise feita, concluindo-se que a intensidade das mento T na face esquerda do elemento A, deve atuar no tensões de cisalhamento é dada, novamente, pelas Eqs. (c) e sentido do leitor. Esta conclusão determina o sentido das (d). Entretanto, cortando o elemento B (Fig. 8-11a) e consi- tensões de cisalhamento na seção transversal, ou seja, devem derando seu equilíbrio, verifica-se que as tensões de cisalha- atuar para a esquerda. Retornando, agora, à Fig. 8-11b, mento na seção transversal, agem agora para a direita, como observa-se que foram determinados completamente a inten- se vê na Fig. 8-11d.</p><p>FLEXÃO ASSIMÉTRICA 269 b S C a B A b em h/2 d d r C h/2 em ea b/2 b/2 P y (a) (b) T2 F1 A b a dx S b F2 (c) T2 T1 (d) Fig. 8.11. Exemplo. Tensões de cisalhamento em viga I. te, para baixo, e aumentam de intensidade até o eixo neu- próximo passo é a determinação das tensões de cisa- tro. Na seção dd, distante r do eixo neutro, a tensão de cisa- lhamento na alma. Considerando um corte horizontal no lhamento é alto da alma, imediatamente abaixo da mesa, vê-se que o momento estático é = e a tensão correspondente de cisalhamento = + 2 (f) onde ea é a espessura da alma. fluxo de cisalhamento é e T = P (h) (g) Quando r=h/2, esta equação reduz-se à Eq. (f); como se esperava, é o dobro do fluxo de cisalhamento que, f1. As tensões de cisalhamento na alma atuam verticalmen- a tensão de cisalhamento:</p><p>270 MECÂNICA DOS SÓLIDOS nuidade do fluxo. Com esta simples técnica, é mais fácil (i) visualizar elementos que, como A (Fig. 8-11c), foram corta- dos na viga. Deve-se destacar novamente que todos os cálculos A resultante de todas as tensões de cisalhamento da foram feitos considerando-se a linha média da seção trans- versal, o que dá resultados aceitáveis para as seções finas. seção transversal é, evidentemente, uma força vertical, Por esta razão, as tensões de cisalhamento calculadas para a porque as tensões horizontais nas mesas anulam-se, não alma de uma viga I, usando-se a Eq. (h), podem ser ligeira- dando resultante. As tensões na alma têm uma resultante R, mente diferentes das obtidas na análise anterior [ver a Eq. que pode ser achada pela integração de toda a altura da alma: (5-21)]. As tensões de cisalhamento na alma variam parabolica- mente, como se vê na Fig. 8-11d, não sendo grande, R essa variação. Isto pode ser evidenciado pela relação de com que é: Combinando com a Eq. (h), vem: (j) (k) segundo membro é normalmente pequeno; por exemplo, tomando-se valores típicos, tais como h = 2b e dr a relação é = 1,25. Por último, pode-se investigar as tensões de cisalha- mento na mesa inferior, seguindo os mesmos métodos em- O termo pode ser desenvolvido: pregados para a mesa superior. Verifica-se que as tensões são iguais à da mesa superior, exceto no sentido, que é o que aparece na Fig. 8-11d. (1) Pela Fig. 8-11d, vê-se que as tensões de cisalhamento 2 "caminham" dos lados de fora da mesa superior para den- onde o primeiro termo do segundo membro é o momento tro, em seguida descem pela alma e, finalmente, seguem de inércia da alma e o segundo é o das mesas, calculado de para fora, na mesa inferior. Este fluxo é sempre contínuo novo pela linha média. Entrando com essa expressão na em qualquer seção estrutural e, portanto, serve para deter- Eq. (k), tem-se R = P, o que estabelece o fato de ser a resul- minar o sentido das tensões. Como a força cortante atua na tante das tensões de cisalhamento, que atuam na seção viga para baixo, sabe-se que o cisalhamento na alma tam- bém é nesse sentido. Conhecendo o sentido do cisalhamen- transversal, igual à carga vertical P. Esta resultante passa pelo centróide C, que, para vigas I, é também o centro de to na alma, sabe-se imediatamente o das mesas, pela conti- torção. 8.5 CENTRO DE TORÇÃO PARA SEÇÕES ABERTAS, DE PAREDES FINAS No artigo precedente, desenvolveu-se o formulário para cálculo das tensões de cisalhamento de vigas de seção aberta, de paredes finas. Agora este conhecimento é utilizado para definir a localização dos centros de torção para diferentes formas de seção transversal. O primeiro caso a considerar é o de uma viga de perfil C (Fig. 8-12a), fletida em torno do eixo Z e sujeita à força cortante Vy, paralela ao eixo A distribuição das tensões de cisalhamento aparece na Fig. 8-12b. Para achar a tensão T1, na junção das partes, utiliza-se a Eq. (8-18), com igual ao momento estático da área da aba em torno do eixo Então, a tensão T1 é: (a) Analogamente, acha-se a tensão T2, no topo: (b)</p><p>FLEXÃO 271 fácil orta- e m ) da T2 ical, h/2 não C R, Z Tmax F2 S C da h/2 e b T2 F1 y T1 y (a) (b) (c) (d) Fig. 8.12. Centro de torção em seção No eixo neutro, a tensão é = (c) A força total F1, em qualquer das abas (Fig. 8-12c), pode ser achada facilmente pelo diagrama trian- da aba sobre a qual a tensão atua: ular das tensões de cada força é igual à área do triângulo de tensões multiplicada pela espes- A força vertical F2 (ver a Fig. 8-12c) é igual à força cortante Vy, como pode ser visto sem dificuldade no diagrama parabólico de De nota-se que o diagrama se compõe de duas partes, um retângulo de dimensões T2 e h e uma área parabólica igual a Então, a força total, igual à área do diagrama multiplicada pela espessura, é Substituindo os valores de T2 e e simplificando, vem Finalmente, substituindo 2 (d) que F2 é igual a Vy, como já era esperado. As três forças vistas na Fig. 8-12c são estaticamente equivalentes à resultante Vy, que atua através do centro de torção S (ver a Fig. 8-12d). Como a força resultante não dá momento em torno do centro de segue-se que as forças vistas na Fig. 8-12c também não dão momento em relação ponto, o que permite determinar a distância.e da linha média ao centro de torção:</p><p>272 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS ou (8-21a) Combinando com a Eq. (d), obtém-se uma nova expressão para situar o centro de torção: (8-21b) A viga C terá flexão simples sempre que as forças atuarem, passando pelo centro de torção S. Se as cargas forem paralelas ao eixo y, porém passarem por um ponto qualquer, diferente do centro de torção (por exemplo, as cargas poderão atuar no plano da alma), poderão ser substituídas por um sistema de forças estaticamente equivalentes, formado por cargas que passam pelo centro de torção e por conjugados, dando torção. Tem-se, assim, uma combinação de flexão e torção sobre a viga. Quando as cargas atuam na direção do eixo z, passando pelos pontos S e C, a flexão é simples em torno do eixo y. Quando as cargas são tricas, podem ser substituídas por cargas paralelas aos eixos y estaticamente equivalentes, essas cargas serão analisadas como nos casos anteriores. Em seguida, considere-se uma cantoneira de abas iguais (Fig. 8-13a), supostamente submetida à for a cortante Cada aba tem comprimento b e espessura t. À distância S de uma das extremidades, a tensão cisalhamento é (e) onde = F C C Z S F Vy y (a) (b) of Fig. 8.13. Centro de torção numa cantoneira de abas iguais.</p><p>FLEXÃO ASSIMÉTRICA 273 A Eq. (e) mostra que T varia com o quadrado de S, alcançando o valor máximo quando bt A força cortante total F, em cada aba, é (ver a Fig. 8-13b): 2 Tomando as componentes verticais das forças F, vê-se que a resultante nas abas é uma força de vertical ação Além disso, nota-se que esta resultante deve passar pelo ponto de interseção das linhas igual das duas a Vy. forças F. Conclui-se, assim, que o centro de torção S de uma cantoneira está no vértice, junção das duas abas. Em todos os casos em que a seção é formada por dois elementos retangulares que se interceptam (ver na os exemplos na Fig. 8-14), verifica-se que as tensões de cisalhamento originam duas forças que se cortam junção dos dois elementos. Esse ponto é o centro de torção.* S S S S Fig. 8.14. Centros de torção em seções formadas por dois retângulos que se interceptam. Exemplo 1. Determinar o centro de torção da seção semi- circular, de paredes finas, representada na Fig. 8-15. Considere-se a seção bb, a uma distância S, medida ao longo da linha média da seção. o ângulo central será 0 (ver S a a Fig. 8-15). Daí: onde r é o raio da circunferência média. o momento estático da área entre a e bb é do b 0 = 0 S C Z onde t é a espessura da seção. A tensão de cisalhamento na seção bb é e 0 = V, Substituindo = t/2, vem y 2V, (f) Fig. 8.15. Ex. 1. Centro de torção em seção semicircular, Quando = 0 e = esta expressão dá T=0, e de paredes finas. quando = tem-se o seu valor máximo. * A primeira determinação do centro de torção de uma reação transversal foi feita em 1913 (ver a Ref. 8-1). As Refs. 8-1 a 8-9 citam trabalhos posteriores e o desenvolvimento histórico do conceito de centro de torção.</p><p>274 MECÂNICA DOS SÓLIDOS o momento em torno do ponto decorrente das ten- de cisalhamento é = Então, a distância e, do ponto ao centro de tração é que deve ser igual ao da força Vy, que atua no centro de (8-22) torção; assim, Exemplo 2. Determinar o centro de torção da seção torção. A Fig. 8-16b mostra a composição das forças 2F, e mostrada na Fig. 8-16a. (Os eixos y e z, vistos na figura, são dando a força cortante Se a viga estiver sujeita à principais, passando pelo centróide C.) força cortante V7, paralela ao eixo z, chega-se à conclusão Começa-se imaginando que a força cortante Vy atue semelhante, isto é, o centro de torção coincide com o cen- paralelamente ao eixo dos y. As tensões de cisalhamento tróide. nas abas e na alma serão orientadas como se vê na Fig. 8-16a. Por simetria, conclui-se que as forças nas abas são o cálculo das tensões de cisalhamento em seção Z iguais (Fig. 8-16b). A resultante das três forças que atuam torna-se complicado se forem usados os eixos principais, na seção transversal (F, nas abas e na alma) deve ser pela simples razão de serem as abas e a alma excêntricas em igual à força cortante As forças F1 têm uma resultante, relação a eles. No próximo artigo, será mostrada a maneira que atua paralelamente às abas, passando pelo cen- de calcular as tensões de cisalhamento de uma seção em- tróide, onde intercepta a força F2. Esse ponto é o centro de pregando eixos não-principais, paralelos às abas e à alma. F1 C C Z 2F F2 y (a) (b) Fig. 8.16. Ex. 2. Centro de torção em seção 8.6 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS FLETIDAS EM TORNO DE EIXOS NÃO-PRINCIPAIS Na dedução feita anteriormente das fórmulas para as tensões de cisalhamento em vigas com seção transversal aberta, de paredes finas, chegou-se às Eqs. (8-18) a (8-20), dentro da hipótese de serem y e Z eixos principais. Elimina-se agora essa restrição, deduzindo-se fórmulas mais gerais relacionadas aos eixos não-principais y e Z (Fig. 8-17). Admite-se que as cargas sejam paralelas ao eixo y e que produzam um momento fletor e uma força cortante Vy, e admite-se também que as forças passem pelo centro de torção S. momento fletor produzirá flexão em torno dos eixos y e z, dando as tensões [Eq. (8-11) repetida onde y e Z são as coordenadas de um ponto da seção transversal. Agora, corta-se um elemento da viga, como está ilustrado na Fig. 8-10. As forças F1 e F2, que agem no elemento (Fig. 8-10c) são calculadas como foi feito anteriormente, exceto no que se refere à Eq. (8-11), que deve ser usada para tensões normais. Assim:</p><p>FLEXÃO ASSIMÉTRICA - 275 S t C S y Fig. 8.17. Tensões de cisalhamento em viga de seção aberta, paredes (Nota. yez não são eixos principais.) dA = dA 1 dA Novamente, a - - dá (8-23) Esta é a fórmula generalizada de cisalhamento, que se reduz à Eq. (8-17) quando os eixos são principais = Para uma força paralela ao eixo Z e passando pelo centro de torção, encontra-se, com procedimento análogo, (8-24) que, exceto pelo sinal, se reduz à Eq. (8-20a) quando os eixos são principais. Nas análises anteriores, Qy e Qz foram sempre positivos obtendo-se o sentido das tensões de cisalhamento por considerações físicas. Entretanto, nas Eqs. (8-23) e (8-24) é necessário fazer uma convenção de sinais para os momentos estáticos, que podem ser positivos ou negativos. Isto é facilmente obtido tratando-se y e Z como quantidades algé- Após a dedução das fórmulas generalizadas de cisalhamento (8-23) e (8-24), pode-se achar a distri- das tensões em qualquer caso particular. Também o centro de torção da seção pode ser localizado pela determinação do ponto de interseção das linhas de ação das forças cortantes Vy e o que é ilustrado nos exemplos seguintes.</p><p>276 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exemplo 1. Determinar as tensões de cisalhamento numa seção Z (Fig. 8-18a) devido às forças cortantes T= (b) Começa-se calculando as propriedades da seção: fórmula que dá as tensões na aba. Estas tensões de cisalha- mento na aba superior atuam para a esquerda, quando S</p><p>FLEXÃO - 277 Considere-se agora uma força cortante horizontal Estas tensões atuam para a direita, na aba superior, e Para a aba superior, a Eq. (8-24) dá são distribuídas como se vê na Fig. 8-18d. A força resul- tante, F, na aba (Fig. 8-18e) é T = Os termos dentro dos colchetes valem As tensões de cisalhamento na alma devido a são [Eq. [bs (2he + 6bem (he + (e) o que dá para a expressão final de T: onde S1 é medido a partir do ponto de união da aba com a alma (Fig. 8-18a). Esta tensão muda de sentido na região T= central da alma (ver a Fig. 8-18d), dando como resultado uma força cortante resultante total igual a zero, na alma. Exemplo 2. Determinar o centro de torção da seção C, de ou abas desiguais, vista na Fig. 8-19a. Os comprimentos das abas são denominados b1 o supe- rior, e b2, o inferior, e h, a altura da seção. A espessura é constante e igual a e. Os eixos y e Z são paralelos à, alma e às abas e passam pelo centróide; portanto, são eixos não-prin- Combinando com a Eq. (h), obtém-se: cipais. o centróide é definido pelas dimensões e d, que são (f) No caso especial de abas iguais, y e Z passam a eixos o centro de torção S é definido pelas distâncias e, principais e tem-se b2 = b, o que aos eixos, que serão determinados adiante. permite escrever, da Eq. (8-25), Suponha-se agora que a força cortante Vy atue através do centro de torção (Fig. 8-19b). As tensões de cisalhamen- to na aba superior são (Eq. 8-23): T d que está de acordo com o resultado anterior [Eq. (8.21a)]. Suponha-se agora que a força cortante atue na viga (Fig. 8-19c). Neste caso, pode-se usar a Eq. (8-24) para (g) calcular as tensões na aba superior: T 2 d onde S é medido como aparece na figura. A força total F1, na aba, é = A força total F1 na aba é Como não há força horizontal externa atuando na = a força cortante na aba inferior deve ser igual a F1; a na alma, deve ser igual a o momento da força (j) Vy, em torno de C, deve ser igual ao momento das três forças, nas abas e na alma, também em torno de C, o que dá aparecendo o sinal menos porque T é positivo para a esquer- da, na Eq. (i) e é preferível tomar F, positivo para a direita,</p><p>278 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS S S e F1 F1 e h F2 C C C Z Z S S S e F2 d b2 y y e2 (b) (c) y (a) Fig. 8.19. Ex. 2. Centro de torção em seção [ com abas desiguais. como se vê na Fig. 8-19c. A força resultante na alma deve que é o momento de inércia de uma seção de abas iguais, ser nula, porque não há força externa na direção y. A força vem = 0, como já era esperado. na aba inferior, aparece na figura. Tomando os momen- Então, em qualquer caso particular de uma seção de tos em torno da aba inferior, tem-se abas desiguais é possível substituir as dimensões e as pro- priedades da seção transversal nas Eqs. (8-25) e (8-26) e obter a localização do centro de torção. Como aplicação numérica, tomem-se os seguintes valores: o que dá b1=b h=3b Combinando com a Eq. (j), obtém-se a seguinte Encontra-se, então, expressão para 5b Considerando novamente o caso especial de abas iguais, tem-se = = daí, Substituindo nas Eqs. (8-25) e (8-26), obtém-se 55b 187b Substituindo 228 que são as coordenadas do centro de torção. PROBLEMAS 8.1-1. Demonstrar que se a força P, vista na Fig. 8-1a, 8.1-2. Para a viga em balanço de seção transversal tiver a linha de ação ao longo da diagonal da seção transver- retangular, vista na Fig. 8-1, achar o ângulo B, que define o sal retangular, o eixo neutro cairá sobre a outra diagonal. eixo neutro, e calcular a tensão normal máxima devido à</p><p>FLEXÃO ASSIMÉTRICA 279 flexão. Fazer = P = 100 kgf; L = 150 cm; largura da b viga igual a 75 mm e altura igual a 150 mm. Z 8.1-3. Uma viga em balanço de seção transversal retan- C gular sofre flexão produzida por uma carga P, inclinada (ver a Fig. 8-1a). Qual a curva descrita pela extremidade da viga, quando o ângulo 0 variar de 0 a 8.1-4. Uma viga horizontal, simplesmente apoiada, de comprimento L e seção quadrada (largura = altura = a), Probls. 8.1-7 e 8.1-8 recebe uma carga vertical P, à distância L/3, de uma extre- midade, e outra carga horizontal, P, a igual distância da outra extremidade. Os lados da viga são verticais. Calcular a tensão normal máxima devido à flexão, a deflexão vertical e tensão normal máxima produzida pela flexão, supondo: a deflexão horizontal no meio do vão. a = 300 mm e P = 3 000 kgf. 8.2-1. Uma viga de seção transversal semicircular (ver 8.1-5. Uma viga biengastada, com eixo horizontal e a figura) está sujeita ao momento fletor Calcular o valor seção transversal circular, suporta uma carga uniformemen- máximo desse momento para uma tensão admissível te distribuída, de intensidade q, sobre todo o vão, e outra transversal, P, horizontal, que atua no meio do vão. Calcular a tensão normal máxima, devido à flexão, sabendo que PL = 0 000 kgf-cm, qL2 = kgf-cm e que o diâme- tro da barra é de 10 cm. r C 8.1-6. Uma viga I padronizada, S8 X 18,4 (ver a Tab. C-2 no Apêndice) está simplesmente apoiada nas extremi- dades e sofre flexão produzida por dois momentos opostos r que atuam nas extremidades. Os momentos agem no plano mm, como se vê na figura. Achar a tensão máxima de flexão e a deflexão máxima supondo = 62 500 kgf-cm; a = 30°; E = e o comprimento da y viga é igual a 3,5 m. Probl. 8.2-1 m 8.2-2. Uma viga de perfil C8 X 11,5 (ver a Tab. C-3 no Apêndice) está sujeita ao momento fletor que atua segundo um ângulo a (ver a figura). Calcular as tensões C Z máximas de tração e compressão, supondo = 350 a m y Probl. 8.1-6 C a 8.1-7. Uma viga de madeira, de seção transversal re- tangular, é simplesmente apoiada nas extremidades. o eixo é horizontal, porém a seção transversal é inclinada, como se vê na figura. A carga é uniformemente distribuída, sendo q y a taxa de carregamento. Calcular a tensão normal máxima Probl. 8.2-2 devido à flexão, e a deflexão vertical no meio do sendo L = b = 150 mm; h = 200 mm; tg a = 1/3; E = 8.2-3. Um momento é aplicado a uma viga cuja 8.1-8. Considerando a mesma viga do problema ante- seção transversal é um triângulo retângulo (ver a figura). rior e supondo que L = 3,0 m; b = 25 cm; = 75 mm; Deduzir as fórmulas para as tensões nos vértices e De E = e q = 150 kgf/m, calcular a achar a posição do eixo neutro.</p><p>280 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS (a) Calcular a tensão máxima de cisalhamento na seção A-A. A (b) Qual é a tensão de cisalhamento (intensidade e direção) no ponto B na seção A-A? o ponto B fica a uma distância a=25 mm da extremidade da mesa inferior. Nota. Usar as dimensões da linha média no cálculo do momento de inér- cia e dos momentos estáticos Qz. h C A D B b A 2 700 900 y Probl. 8.2-3 em 8.2-4. Uma viga de perfil Z (Fig. 8-4) suporta o mo- mento fletor que age no plano xy e vale 500 kgf m. Calcular a tensão máxima de flexão, supondo h = 150 mm; b = 90,0 mm; b1 = 75 mm e e = 15 mm. h/2 8.2-5. Uma viga de perfil L (ver a figura) suporta um C Z momento fletor = Achar a tensão no ponto A, sabendo que a = 10 cm; b = 15 cm e e = 15 mm. h/2 a 8.2-6. Achar o momento fletor máximo que pode ser B a uma viga L de X pol, sabendo que a aplicado flexão é em torno do seu eixo principal maior e que a b/2 b/2 tensão admissível é 260 y 8.2-7. Uma viga de perfil L suporta um momento fle- Seção A-A tor = 12 kgf-cm (ver a figura). Calcular a tensão máxima de flexão sabendo que a = 60,0 mm; b = 125 mm Probl. 8.4-1 ee=13 mm. Usar a Eq. (8-11). 8.2-8. Resolver o problema anterior, determinando os 8.4-2. Resolver o problema anterior, considerando as principais, decompondo o momento fletor nos com- dimensões reais da seção e não os valores da linha média. ponentes segundo as direções principais e, em seguida, em- pregando a Eq. (8-5). 8.4-3. Analisar as tensões de cisalhamento de uma viga de perfil I, carregada com uma força P, que atua perpendi- A B cularmente à alma, como aparece na figura. Dar intensidade e sentido de todas as tensões de cisalhamento e demonstrar que a resultante dessas tensões é igual a P. Para calcular e Qz, adotar as dimensões da linha média. b M2 C em em ea b/2 a e C Z y b/2 P Probls. 8.2-5, 8.2-7 e 8.2-8 h/2 h/2 8.4-1. Uma viga simplesmente apoiada, de perfil I, y suporta uma carga uniformemente distribuída q=500 kgf/m, como se vê na figura. As dimensões da seção trans- versal são: h = 300 mm; b = 200 mm; = 15 mm.</p><p>FLEXÃO ASSIMÉTRICA - 281 8.4-4. Resolver o problema anterior para uma viga I, 8.5-5. Determinar o centro de torção S para a seção não-simétrica, suportando uma carga P que atua através do representada na figura. A espessura é constante e de peque- centro de torção, perpendicularmente à alma (ver a Fig. no valor. 8-8). 8.4-5. Resolver o Probl. 8.4-3 para uma viga T (ver a Fig. 8-9), supondo que a mesa tenha espessura e largura S C b1. Z 8.5-1. Calcular as tensões de cisalhamento em uma viga de perfil C12 X 20,7 pol (ver o Apêndice C) para uma força cortante Vy = 6 500 kgf, que atual no centro de tor- e b ção (ver a Fig. 8-12). Achar também a distância e, que loca- liza o centro de torção. (Nota. Para calcular e e, usar as dimensões da linha média, porém o valor de deve ser o y tabelado no Apêndice.) Probl. 8.5-5 8.5-2. Demonstrar que as tensões de cisalhamento que atuam numa viga de seção semicircular de paredes finas [ver 8.5-6. Deduzir a fórmula para a distância e do centro a Fig. 8-15 e Eq. dão resultante igual a de torção da seção representada na figura, supondo que a espessura seja constante e de pequeno valor. 8.5-3. Determinar o centro de torção para uma se- ção, de paredes finas, em forma de arco de círculo (ver a figura). Fazer um gráfico mostrando como a distância e varia, quando B percorre o intervalo 0 a TT. V h2 Z LR S C Z b e y Probl. 8.5-6 y 8.5-7. Deduzir a fórmula para a distância e do centro Probl. 8.5-3 de torção da seção representada na figura, supondo que a espessura seja constante e de pequeno valor. 8.5-4. Deduzir uma fórmula para definir o centro da torção S para a seção representada na figura. A espessura é constante e de pequeno valor. h/2 S 2 e h/2 h/2 S C Z b e h/2 y b1 b2 Probl. 8.5-7 y 8.5-8. Resolver o problema anterior para a seção vista Probl. 8.5-4 na figura, sendo a = h/2.</p><p>282 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS a a h/2 h/2 S C Z C Z e h/2 e F2 h/2 b a b y Probl. 8.5-9 y Probls. 8.5-8 e 8.5-10 25 mm 8.5-9. Calcular a distância e do centro de torção S da seção, de paredes finas, representada na figura, admitindo espessura constante. 8.5-10. Resolver o problema anterior para a seção 200 vista na figura. 200 mm 8.5-11. Uma viga simplesmente apoiada, de perfil L (ver a figura) tem comprimento L = 3,0 m e suporta uma carga concentrada P = 2 000 kgf, no meio do vão. A carga P está situada no plano médio da aba vertical. Calcular as tensões máximas de tração, e de compressão, devido Probl. 8.5-11 à flexão.</p><p>9 FLEXÃO INELÁSTICA 9.1 INTRODUÇÃO Chama-se flexão inelástica a que ocorre em vigas quando o material contraria a Lei de Hooke. Este tipo de flexão acontece quando o carregamento da viga acarreta tensões além do limite de proporcionalidade do material. comportamento da viga nesse tipo de flexão dependerá, naturalmente, da forma do diagrama tensão-deformação. diagrama pode ser uma curva além do limite de proporcionalidade, como aparece na Fig. 1-4, ou pode ser como o do aço, que apresenta escoamento pronunciado, com a forma mostrada na Fig. 1-2. Em qualquer caso, se o diagrama for conhecido, será sempre possível determinar as tensões, as deformações específicas e as deflexões da viga, como será estudado neste capítulo. Quando em flexão pura, as seções transversais planas das vigas permanecem planas durante a flexão e este fato é a base da análise da flexão inelástica, o que é válido tanto para os materiais "inelásticos não- lineares" quanto para os "elásticos lineares" (ver o Art. 5.1). Este conceito permite deduzir que as deforma- ções específicas das vigas variam linearmente ao longo de sua altura. Daí, ser possível, com o auxílio do diagrama tensão-deformação e das equações da Estática, achar as tensões, as deformações específicas, a curvatura e as deflexões da viga. Por meio da "análise inelástica" de uma estrutura é possível calcular a capacidade-limite de carrega- mento que, em geral, é muito maior do que o carregamento correspondente ao limite de proporcionalidade (que é a maior carga que a viga pode suportar sem exceder o limite de proporcionalidade em qualquer ponto). Conhecer o carregamento-limite é necessário, algumas vezes, na análise, a fim de determinar o coefi- ciente de segurança contra falhas ou colapso da estrutura projetada. Este fator é, naturalmente, muito diferente do baseado no limite de proporcionalidade. Muitos engenheiros preferem usar o conceito de carre- gamento-limite ou carga de ruptura (ver o Art. 1.3) em lugar do conceito elástico, ao projetar estruturas. 9.2 EQUAÇÕES PARA FLEXÃO INELÁSTICA Considere-se uma viga em flexão pura, sujeita a um momento fletor positivo, M (ver a Fig. 9-1a). Os conjugados de flexão atuam no plano xy, que se admite ser um plano de simetria da seção transversal (Fig. 9-1b), o que faz com que a viga seja fletida nele, que é, portanto, o plano de flexão. Admita-se Z como eixo neutro da seção, restando determinar a sua posição.</p><p>284 MECÂNICA DOS SÓLIDOS M M h2 y (a) (b) (c) Fig. 9-1. Flexão inelástica de uma viga. Por simetria, sabe-se que as deformações específicas da viga tem distribuições lineares, independente- mente da natureza do material, como foi discutido no Art. 5.1. Assim, tais deformações variam, do topo à base, como se vê na Fig. 9-1c, chamando-se e E2 as correspondentes às partes inferior e superior, respecti- vamente. Sendo p o raio de curvatura da viga fletida, a deformação específica de uma fibra à distância y da superfície neutra é (Eq. 5.2) (9-1) onde K = 1/p é a curvatura. Então E2 (9-2a,b) onde h1 e h2 são as distâncias das fibras externas ao eixo neutro. Vê-se, assim, que é possível calcular facil- mente as deformações específicas, desde que conhecidas a curvatura e a posição do eixo neutro. A posição do eixo pode ser encontrada pela utilização do diagrama tensão-deformação de uma equação da Estática, que mostre ser nula a força horizontal, resultante das tensões normais, que atuam em qualquer seção transversal; daí, (9-3) onde dA é a área de um elemento da seção transversal. A integração abrange toda a seção. Determina-se a curvatura por meio de uma segunda equação da Estática, ou seja, uma equação que traduza o fato de ser o momento fletor M a resultante das tensões que atuam na seção transversal: oy dA=M. (9-4) As Eqs. (9-3) e (9-4) são as mesmas usadas, anteriormente, na análise de vigas de material linearmente elástico (ver o Art. 5.1) e que aqui serão usadas para resolver problemas de flexão inelástica. Depois de determinada a curvatura, pode-se as pequenas deflexões da viga, igualando-se essa curvatura a [ver a Eq. e calculando-se Alguns dos processos apresentados anteriormente podem ser usados no cálculo de deflexões das vigas inelásticas; é necessário, apenas, usar a expressão ade- quada da curvatura, em lugar da quantidade M/EI, como se verá adiante, no Art. 9.6. 9.3 FLEXÃO PLÁSTICA o caso mais simples de flexão inelástica é a flexão plástica, que ocorre quando o material da viga é elástico-plástico. Tais materiais seguem a Lei de Hooke até o limite de escoamento e, em seguida, defor- mam-se plasticamente sob tensão constante. A Fig. 9-2 mostra um diagrama tensão-deformação de um</p><p>FLEXÃO INELÁSTICA - 285 - Fig. 9-2. Diagrama tensão-deformação de material material elástico-plástico, cujos limite de escoamento, Oe, e módulo de elasticidade longitudinal, E, são os mesmos tanto na tração como na compressão. Vê-se que materiais elástico-plásticos têm uma região de elasticidade linear, seguida de regiões de plasticidade perfeita. Por esta razão, tais materiais são também denominados "materiais perfeitamente plásticos". Os aços estruturais podem ser considerados como elás- tico-plásticos porque têm pontos de escoamento perfeitamente definidos e sofrem grandes deformações durante o escoamento. A hipótese de ter, após o escoamento, plasticidade perfeita, implica em desprezar o efeito do endurecimento que a deformação acarreta. Porém, como esse efeito aumenta a resistência do aço, é preferível optar pela segurança. Considere-se agora uma viga de material elástico-plástico sujeita à flexão pura (Fig. 9-1). Quando os momentos fletores são pequenos, a tensão máxima na viga é menor do que Oe, e a viga permanece nas condições ordinárias de flexão elástica, com distribuição linear das tensões, como se vê na Fig. 9-3a. As Eqs. (9-1) a (9-4) mostram que o eixo neutro passa pelo centróide da seção transversal, que a tensão normal é = e que a curvatura é Estes resultados são válidos até que a tensão no ponto mais afastado do eixo neutro atinja o limite de escoamento (Fig. 9-3b). o momento fletor correspondente é denominado momento de escoamento, Me: Me = (9-5) Por exemplo, no caso de uma viga de seção transversal retangular, (9-6) 6 onde b é a largura e h a altura da seção. oe oe (a) (c) (d) (e) Fig. 9-3. Distribuição das tensões em viga de material elástico-plástico.</p><p>286 MECÂNICA DOS SÓLIDOS Aumentando-se o valor do momento fletor, acima do momento de escoamento as deformações nas fibras das extremidades continuarão a crescer e a deformação específica máxima ultrapassará a deformação do escoamento Entretanto, como do escoamento plástico, as tensões máximas permane- cerão constantes e iguais a Oe, como se vê na Fig. 9-3c. A parte central da viga continua elástica, enquanto as externas tornam-se plásticas. Aumentando mais o momento fletor, a região plástica aumenta, cami- nhando para o eixo neutro, até chegar à posição vista na Fig. 9-3d. Neste estágio, as deformações específicas das fibras da extremidade são talvez dez ou quinze vezes a de escoamento, Ee, e o "núcleo" elástico quase desaparece. Assim, para todos os fins práticos, a viga atinge sua capacidade-limite de resistência ao momen- to, podendo-se imaginar a distribuição das tensões-limite em duas partes retangulares (Fig. 9-3e). o momento fletor correspondente é denominado momento-limite, e representa o momento máximo que uma viga de material elástico-plástico pode suportar. A determinação do momento-limite é, obviamente, de grande importância, uma vez que estabelece o momento máximo da viga. Para esse cálculo, começa-se posicionando o eixo neutro da seção transversal (Fig. 9-4a); acima do eixo neutro, todos os elementos da seção têm tensão de compressão igual a (Fig. 9-4b) e, abaixo, tensão de tração também igual a A força total de tração T é igual a A1, onde A1 é a área da seção transversal, abaixo do eixo neutro. Analogamente, a força total de compressão C é A2, onde é a área da seção acima do eixo neutro. A Eq. (9-3) mostra que a força resultante na seção trans- versal deve ser nula, de modo que ou A1=A2. (a) Como a área total da seção transversal é A=A1 + Eq. (a) vem (9-7) concluindo-se que o eixo neutro divide a seção transversal em duas áreas iguais. Assim, em geral o eixo neutro para o momento-limite é diferente do que corresponde à flexão elástica. Por exemplo, no caso de seção transversal trapezoidal, Fig. 9-4a, o eixo neutro do caso plástico é ligeiramente mais baixo que o do elástico. É claro que, se a seção for duplamente simétrica, como a viga retangular ou I, os eixos neutros serão os mesmos nos casos plástico e elástico. oe A2 ,C2 C y2 T A1 y (a) (b) Fig. 9-4. Determinação do momento-limite, o momento-limite pode ser determinado pela integração da Eq. (9-4) ou por processo equivalente, de tomar simplesmente em torno do eixo neutro, os momentos das forças T e C, Fig. 9-4b: e são as distâncias do eixo neutro aos centróides das áreas A1 e respectivamente. Substituindo T</p><p>FLEXÃO INELÁSTICA - 287 (9-8) Em cada caso particular, o processo é dividir a seção transversal em duas partes de áreas iguais, posi- cionar o centróide de cada parte e, em seguida, usar a Eq. (9-8) para calcular Analogamente à Eq. (9-5), a Eq. (9-8) pode ser escrita (9-9) onde (9-10) é o módulo de plasticidade da seção transversal. Este módulo pode ser geometricamente interpretado como o momento estático (tomado em torno do eixo neutro) da área da seção transversal acima do eixo neutro, mais o momento estático da área abaixo desse eixo. A relação entre o momento-limite da viga e o seu momento de escoamento é somente uma função da forma da seção transversal e é comumente chamada fator de forma, f: (9-11) No caso de viga de seção transversal retangular e altura), o módulo de plasticidade é [ver a Eq. (9-10)] bh2 (9-12) Recordando que o módulo de resistência à flexão é o valor do fator de forma da seção retangular é (9-13) Assim, o momento-limite de uma viga retangular é 50% maior do que o momento de escoamento. Calcula-se facilmente o módulo de plasticidade de vigas I (ver a Fig. 9.5), tomando-se os momentos estáticos de uma mesa e da parte da alma acima do eixo neutro, multiplicando-se depois por dois; tem-se b ea h/2 o em h/2 y Fig. 9-5. Viga em I.</p><p>288 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS (9-14) onde o primeiro termo do segundo membro representa a contribuição das mesas e o segundo a da alma. Para perfis padronizados, os valores de Z estão tabelados no manual da AISC (Ref. 5.4). o fator de forma f para vigas I cai, em geral, entre os valores 1,1 e 1,2, dependendo das proporções da seção transversal. Relação Momento-Curvatura. Já se viu que, para momentos fletores cujos valores são menores do que os do momento de escoamento, a curvatura K é M/EI. Chamando-se de Ke a curvatura de escoamento, isto é, a curvatura quando M é igual à (9-15) Assim, a relação momento-curvatura, na região elástica, pode ser expressa, em forma adimensional, como segue. M K = (0</p><p>FLEXÃO INELÁSTICA - 289 onde o primeiro termo do segundo membro é o momento devido às tensões na zona plástica e o segundo, o momento devido às tensões no núcleo elástico. Simplificando a Eq. (b), vem (c) Note-se que, quando a Eq.(c) dá M = e que, quando e = 0, tem-se M=3 Me/2, que é igual ao momento limite de uma seção transversal retangular. b e e h h e e y oe (a) (b) Fig. 9-7. Distribuição de tensão em viga de seção transversal retangular. A curvatura da viga retangular vista na Fig. 9-7 pode ser determinada facilmente por meio da equação K = e/y (ver a Fig. 9-1), aplicada a um ponto da viga na fibra externa da região central elástica. Em tal ponto, = modo que (d) Esta equação pode ser expressa, em forma adimensional, considerando-se a seguinte expressão para a curvatura de uma viga retangular 20e (e) Combinando as Eqs. (d) e (e), vem (f) Eliminado entre as Eqs. (c) e (f), obtém-se a equação momento-curvatura na seguinte forma adimensional: M 3 (9-17) Resolvendo a Eq. (9-17), tem-se a curvatura em função do momento: K 1 = (9-18) 3 2M/Me</p><p>290 - MECÂNICA DOS SÓLIDOS 2 1,70 1,50 1,15 1 0 1 2 3 Fig. 9-8. Diagramas momento-curvatura de vigas de material elástico-plástico. o gráfico para uma viga de seção transversal retangular [da Eq. (9-17) ou da Eq. (9-18)] aparece na Fig. 9-8. No caso de outras formas de seções transversais, utiliza-se procedimento semelhante que conduz às equações momento-curvatura. A Fig. 9-8 mostra também os gráficos dessas equações para seções transver- sais romboidais, circulares e perfil I. Em cada caso, o diagrama começa com a parte reta, que representa plástica a e região linear elástica, seguida de uma curva, correspondente havendo à região escoamento na zona plástica da viga, sem onde a viga é parcialmente parcialmente elástica. Na última região do diagrama, está deformação qualquer acréscimo de tensão, enquanto na zona central elástica ocorre, simultaneamente, adicional, com aumento de tensão. Assim, a deformação da viga é controlada pela zona elástica. Este tipo de comportamento é algumas vezes chamado fluxo plástico limitado. Quando a curvatura se torna muito grande, as curvas da Fig. 9-8 aproximam-se de uma reta horizontal. Neste estágio, a viga pode continuar a se deformar sem qualquer aumento no momento fletor aplicado. Tem-se, então, a condição de fluxo plástico ilimitado e o momento fletor correspondente é o momento-limite, A presença deste fluxo plástico ilimitado conduz ao conceito de articulação plástica que será descrito no artigo seguinte. 9.4 ARTICULAÇÕES PLÁSTICAS Para ilustrar o conceito de articulação plástica, analise-se o comportamento de uma viga simplesmente apoiada, sujeita à carga concentrada P, no meio do vão (Fig. 9-9a). o diagrama de momentos fletores tem forma triangular, com momento máximo igual a PL/4 (Fig. 9-9b). Se o momento máximo for maior do que porém menor do que existirá, na parte central da viga, uma região de fluxo plástico limi- tado (Fig. 9-9a). As zonas totalmente plásticas aparecem hachuradas na figura e a altura dessas zonas pode ser facilmente encontrada em qualquer seção transversal, porque os momentos fletores são conhecidos*. Assim, a zona plástica pode ser completamente definida para qualquer viga especificada. o diagrama da curvatura da viga está representado na Fig. 9-9c. A curvatura aumenta linearmente valor das extremidades para o centro até alcançar os pontos-limite da região plástica, onde se torna igual a seu no de escoamento Desses pontos em diante, o crescimento é mais rápido e alcança o valor máximo centro da viga. A curvatura máxima permanece finita enquanto existir um núcleo elástico no meio da viga. * Na determinação das dimensões da zona plástica, desprezam-se os efeitos das forças cortantes e usa-se a Teoria da Flexão Pura, descrita no artigo precedente. Isto é aceitável porque os efeitos do cisalhamento são muito pequenos.</p><p>FLEXÃO INELÁSTICA - 291 P (a) L M = PL/4 Me max (b) (c) Fig. 9-9. Viga parcialmente plástica. À medida que a carga é aumentada e o momento fletor máximo se aproxima do momento-limite as regiões de plasticidade aproximam-se do eixo neutro no meio da viga. Finalmente, quando se torna igual a a seção transversal no centro da viga é completamente plástica (Fig. 9-10). A curvatura no centro da viga torna-se extremamente grande e pode ocorrer um fluxo plástico ilimitado. Não poderá haver nenhum aumento no momento máximo e a carga na viga estará em seu valor máximo. A viga falha por rota- ções excessivas que ocorrem na seção transversal média, enquanto as duas partes que a compõem permane- cem relativamente rígidas. Assim, a viga comporta-se como duas barras rígidas, ligadas por uma articulação plástica, que permite às duas barras girarem, uma em relação à outra, sob a ação de um momento constante, o comprimento da zona plástica que envolve a articulação plástica, na viga representada na Fig. 9-10, pode ser facilmente calculado, partindo-se do fato de que o momento fletor nos limites da zona é Daí, P L - ) (a) 2 P 000 (a) L M Me (b) Fig. 9-10. Articulação plástica.</p><p>292 MECÂNICA DOS SÓLIDOS Além disso, já se sabe que o momento máximo PL/4 é igual a de modo que L (b) Combinando as Eqs. (a) e (b) e tirando o valor de vem = L (9-19) para vigas simplesmente apoiadas com carga concentrada. Para viga com seção transversal retangular (f=1,5), e para vigas em I (f 1,1 a 1,2), = 0,09 L a 0,17 L. Assim, a zona plástica é muito menor em vigas em I do que em retangulares. Mesmo quando a zona plástica da viga tem comprimento apreciável, a curvatura tende a se concentrar na seção da articulação plástica. Assim, na maioria dos casos comuns, é possível considerar a articulação plástica como não tendo dimensão, isto é, como se a articulação estivesse localizada na própria seção transversal da viga. A presença da articulação plástica significa que a viga girará na seção transversal corres- pondente, enquanto o momento fletor permanecerá constante e igual a É claro que as articulações plásticas sempre se formarão nas seções de momento fletor máximo. 9.5 ANÁLISE PLÁSTICA DAS VIGAS o conceito de articulações plásticas fornece um método muito útil de determinação da carga máxima que uma viga elástico-plástica pode suportar. Quando se analisa o exemplo dado no artigo precedente, observa-se que a presença de articulação plástica permite a ocorrência de rotação ilimitada. Portanto, se a viga for estaticamente determinada, a formação de uma única articulação será suficiente para produzir a falha. A intensidade da carga necessária para desenvolver a articulação (que é a carga de ruptura) pode ser calculada pela Estática. Por exemplo, a carga de ruptura, para a viga representada na Fig. 9-10a é L como aparece na Eq. (b) do artigo precedente. o cálculo de cargas de ruptura e posicionamento de articula- ções plásticas nas vigas elástico-plásticas é, muitas vezes, chamado de análise plástica. Considere-se agora um outro exemplo de viga estaticamente determinada (ver a Fig. 9-11a). Esta viga tem uma carga uniformemente distribuída, de intensidade sobre a metade esquerda. A parte (b) da figura mostra o diagrama de momentos fletores, sendo Mmax. = 9 qL2/128. Como acontece com todas as vigas estaticamente o diagrama de momentos fletores é traçado usando-se apenas os conhecimentos obtidos da Estática, e independentemente do fato de o material da viga ser ou não elástico ou inelástico. A carga q gradualmente aplicada conduz ao escoamento inicial, quando o momento máximo torna-se igual ao momento de escoamento, Me; a carga correspondente é chamada carga de escoamento e, neste caso, é o acréscimo da carga pode eventualmente formar uma articulação elástica na seção de momento fletor máximo, representada na Fig. 9-11c pelo círculo preto. A carga de ruptura correspondente é 128</p><p>FLEXÃO INELÁSTICA - 293 q (a) L/2 L/2 Mmax M (b) 3L/8 (c) 3L/8 Fig. 9-11. Análise plástica de viga estaticamente determinada. onde é o momento-limite da viga. Depois de formada a articulação, a viga pode ser considerada como duas barras rígidas ligadas pela articulação. Uma viga nessas condições forma um mecanismo que pode continuar a fletir sob a carga de ruptura. As expressões "mecanismo de falha" e "mecanismo de colapso" são usadas para descrever esta condição. A relação entre a carga de ruptura e a de escoamento para vigas estaticamente determinadas, é sempre igual a que é o fator de forma f da seção transversal, como pôde ser visto no artigo precedente. Entretanto, no caso de vigas estaticamente indeterminadas, essa relação varia com o tipo da viga e o seu carregamento. Para demonstrar o comportamento das vigas estaticamente indeterminadas, toma-se como exemplo uma viga engastada numa das extremidades e simplesmente apoiada na outra, com uma carga concentrada, P, no centro (Fig. 9-12a). Para qualquer valor de P</p><p>294 MECÂNICA DOS SÓLIDOS Se a carga continuar a crescer, forma-se uma articulação plástica na extremidade A. Entretanto, esta única articulação não causa falha completa na viga, pois esta se comporta como simples viga estaticamente deter- minada, suportando a carga P na seção Ce o momento fletor em A. Assim, a estrutura suportará ainda um acréscimo da carga P até que, finalmente, o momento fletor em C atinja também o momento-limite, Nesta ocasião, haverá articulações plásticas em A e em C e a estrutura formará, então, um mecanismo (Fig. 9-12c). Pode ocorrer deflexão ilimitada e não é mais possível nenhum acréscimo de carga, pois a carga de ruptura foi atingida. Para determinar a carga de ruptura, não é preciso investigar em detalhes o comportamento da viga desde o carregamento inicial até o colapso final, como foi descrito acima. Pode-se ir diretamente à condição de falha, vista na Fig. 9-12c, e calcular Prup. com auxílio de Estática. Como os momentos fletores nas articulações plásticas são iguais a o diagrama completo dos momentos fletores para a condição de falha pode ser imediatamente traçado (ver a Fig. 9-12d), e a carga Prup. calculada por considerações de equilíbrio. Por exemplo, pode-se determinar a reação Rb no apoio B, considerando um diagrama de corpo livre da viga inteira. Tomando os momentos em relação ao ponto A (Fig. 9-12c), vem Prup. ou Rb 2 L Em seguida, usando o diagrama de corpo livre da parte CB e tomando os momentos em torno de C, tem-se Rb L = 0. 2 Combinando esta equação com a precedente, vem (b) L que é a carga de ruptura para a viga considerada. Das Eqs. (a) e (b), obtém-se a relação Prup. 9M1im Pe 8Me que é maior do que a correspondente às vigas estaticamente determinadas. A razão desse acréscimo pode ser facilmente vista. Apesar da forma do diagrama de momentos fletores permanecer a mesma para as vigas estaticamente determinadas, nas vigas indeterminadas estaticamente ocorre uma redistribuição de momen- tos. No exemplo da viga da Fig. 9-12, o primeiro diagrama de momentos tem um máximo na seção A (Fig. 9-12b). Depois de se formar nessa seção uma articulação plástica, o momento fletor permanece cons- tante, apesar do contínuo aumento do momento em outros pontos, até atingir a situação vista na Fig. 9-12d. Esta redistribuição de momentos tem sempre a tendência de aumentar a resistência de uma estrutura estaticamente indeterminada, porque tão logo uma seção falhe, outras partes da estrutura come- çam a suportar a carga adicional. Um dos aspectos interessantes da análise plástica é a facilidade com que se pode calcular a carga de ruptura utilizando apenas Estática. Uma análise puramente estática é muito mais simples do que outra estaticamente indeterminada, exigida na região elástica. Além disso, os resultados obtidos pela análise plástica são insensíveis às imperfeições das condições-limite. Uma pequena rotação num engastamento ou um ligeiro abaixamento de um apoio simples não afeta a carga de ruptura, mas tais imperfeições têm consi- derável efeito sobre o comportamento elástico da estrutura. Quando se calcula a carga de ruptura pela Estática, o princípio dos deslocamentos virtuais oferece grande vantagem. Este princípio estabelece que, quando um sistema de corpos rígidos está em equilíbrio</p><p>FLEXÃO INELÁSTICA 295 sob a ação de um conjunto de forças, o trabalho efetuado por essas forças durante um pequeno desloca- mento virtual do sistema deve ser nulo. Aplicando este princípio ao exemplo descrito na Fig. 9-12 e consi- derando o mecanismo de falha formado pelas barras AC e CB com articulações plásticas em A e C, como se vê na Fig. 9-13, é possível introduzir um deslocamento virtual por da barra AC, num pequeno ângulo Durante este deslocamento, a barra CB gira no mesmo ângulo 0 e o ponto C move-se para baixo na distância o trabalho efetuado pela força Prup. é positivo e igual ao produto dessa força pelo deslo- camento o trabalho efetuado pelo momento limite é negativo, porque se opõe à rotação das barras; na seção A é 0 e na seção C é (20). Assim, a equação do trabalho virtual para a viga é 0 2 Prup A B C 20 L/2 L/2 Fig. 9-13. Aplicação do princípio dos deslocamentos virtuais. Cancelando-se 0, que define o deslocamento virtual, obtém-se Prup. = L A aplicação do princípio dos deslocamentos virtuais é vantajosa por sua simplicidade: basta introduzir um deslocamento virtual e, em seguida, escrever a equação do trabalho virtual. Contrastando com essa simplicidade, o método convencional da Estática exige o uso de diagramas de corpo livre não só para a estrutura como um conjunto, mas também para cada uma das partes. No exemplo precedente, havia apenas um modo de posicionamento da articulação plástica e, assim, considerou-se somente um mecanismo de falha. Entretanto, aparecem muitas vezes diversos mecanismos possíveis, sem que se possa dizer qual é o correto. Nesses casos, deve-se considerar cada um separadamente e calcular a carga (ou cargas) de ruptura correspondente; naturalmente, o menor valor da carga indica o mecanismo certo. Esta será a verdadeira carga de ruptura da estrutura. Como ilustração, considere-se a viga AB, mostrada na Fig. 9-14a. Os valores de pico dos momentos fletores em tal viga ocorrerão nas seções transversais onde as cargas ou as reações atuam, isto é, nos pontos A, C ou D. Um mecanismo de falha será formado se existirem articulações plásticas em dois desses três P 2P 30 40 B A C D (a) 000 (c) D L/2 L/4 L/4 0 B 20 B (b) A € (d) D C 20 Fig. 9-14. Exemplo ilustrando possíveis mecanismos de falhas.</p>