Eletromagnetismo_Lista1

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1a Lista de Exercı́cios – Eletromagnetismo 1
Entrega: 31 de Agosto de 2021
1.0 Prove os seguintes resultados de cálculo vetorial:
~∇×
(
~∇× ~F
)
= ~∇
(
~∇ · ~F
)
−∇2~F
~∇ ·
(
~F× ~G
)
=
(
~∇× ~F
)
· ~G−
(
~∇× ~G
)
· ~F
~∇×
(
f ~F
)
= (~∇ f )× ~F + f ~∇× ~F
nos quais ~F, ~G e f dependem de ~x.
1.1 Prove as seguintes relações para o vetor posição ~R = ~R(~x) = ~x−~x ′:
~∇× ~R = 0
~∇ · ~R = 3
~∇
(
1
R
)
= −
~R
R3(
~V · ~∇
)
~R = ~V
(
para qqr ~V
)
1.2 Considere o campo vetorial ~F = Fz(z) ẑ para os dois itens abaixo. Sem utilizar teoremas do
cálculo vetorial (tais como Teorema de Gauss, Teorema de Stokes, identidades de Green, etc.),
mostre pela “força bruta” que:
(a)
∮
S d~S× ~F = 0 , para qualquer superfı́cie fechada S.
(b) Tome um “cano” com uma seção de formato arbitrário, mas constante ao longo do
cano (veja figura ao lado). O cano está orientado na direção z, com a tampa inferior em
z = z1, e a tampa superior na posição z = z2. Mostre que, dentro do volume desse cano,
a integral
∫
cano d
3x ~∇ · ~F = A [Fz(z2)− Fz(z1)] , onde A é a área da seção do cano.
Note que
∮
S d~S× ~F =
∫
V(S) d
3x ~∇× ~F , e que
∫
V d
3x ~∇ · ~F =
∮
S d~S · ~F. Evidentemente,
se você pudesse utilizar essas identidades, os problemas acima seriam resolvidos em
uma ou duas linhas!
1.3 Em coordenadas cartesianas ~∇ = {∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z} = {∂x, ∂y, ∂z} = x̂ ∂x + ŷ ∂y + ẑ ∂z ,
sendo que x̂i · x̂j = δij, ou seja:
x̂ · x̂ = 1 ŷ · ŷ = 1 ẑ · ẑ = 1
x̂ · ŷ = 0 ŷ · ẑ = 0 ẑ · x̂ = 0
Além disso, em coordenadas cartesianas os versores são constantes, ∂i x̂j = 0, ou seja:
∂x x̂ = 0 ∂y x̂ = 0 ∂z x̂ = 0
∂xŷ = 0 ∂yŷ = 0 ∂zŷ = 0
∂x ẑ = 0 ∂y ẑ = 0 ∂z ẑ = 0
Agora, se mudarmos de coordenadas cartesianas (x, y, z) para cilı́ndricas (ρ, ϕ, z), podemos
definir versores ρ̂, ϕ̂ e ẑ, que são ortonormais no mesmo sentido mostrado acima para os versores
cartesianos. Porém, nessas novas coordenadas os versores não são constantes: alguns deles
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mudam de orientação conforme a posição. Sabendo disso, defina ρ̂, ϕ̂ e ẑ e use-os para escrever
~∇ em coordenadas cilı́ndricas.
1.4 Calcule o divergente e o rotacional para o campo vetorial ~v = rn r̂. Interprete geometricamente
o resultado do rotacional e verifique a consistência do seu divergente através do teorema da
divergência. Com o resultado, obtenha o valor da integral:
J =
∫
V
dV e−r
(
~∇ · r̂
r2
)
,
onde V é uma esfera de raio r0 centrada na origem.
1.5 Demonstre a “primeira identidade de Green”, dada por:∫
V
dV
(
f ~∇2g + ~∇ f · ~∇g
)
=
∮
S(V)
d~S ·
(
f ~∇g
)
1.6 Fazendo f = ϕ (que pode ser, por exemplo, o potencial eletrostático, ~∇ϕ = −~E), e tomando
g = 1R =
1
|~x−~x ′| , mostre que, devido ao Teorema de Green:
ϕ(~x) =
1
4πe0
∫
V
d3x′
ρ(~x ′)
R
+
1
4π
∮
S(V)
d~S ′ ·
[
1
R
~∇′ϕ(~x ′)− ϕ(~x ′) ~∇′ 1
R
]
,
onde ~∇′ é o operador diferencial com respeito à coordenada ~x′.
1.7 Seja δ(x) a distribuição delta de Dirac para 1 dimensão e θH(x) a função theta de Heaviside (ou
função-degrau), por:
θH(x) =
{
0 x < 0
1 x ≥ 0
Prove os seguinte resultados:
+∞∫
−∞
f (x)
d
dx
δ(x) dx = − f ′(0)
d
dx
θH(x) = δ(x)
1.8 Use a função delta de Dirac em coordenadas apropriadas para expressar as seguintes
distribuições de cargas como densidades de cargas tridimensionais ρ(r):
(a) Uma carga Q uniformemente distribuı́da sobre uma casca esférica de raio R (em coordenadas
esféricas)
(b) Em coordenadas cilı́ndricas, uma carga λ uniformemente distribuı́da em uma superfı́cie
cilı́ndrica da raio b.
(c) Em coordenadas cilı́ndricas, uma carga Q uniformemente distribuı́da sobre um disco circular
chato de espessura desprezı́vel e raio R.
(d) O mesmo que a parte (c), mas usando coordenadas esféricas.
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1.9 A média temporal do potencial elétrico do átomo neutro de hidrogênio é dada por:
ϕ =
q
4πe0
e−αr
r
(
1 +
αr
2
)
,
onde q é a carga elementar e α−1 = a0/2, onde a0 é o raio de Bohr. Encontre a distribuição de carga
ρ(r) que dá origem a esse potencial e interprete esse resultado.
1.10 Encontre o potencial elétrico a uma distância z (z > 0) do centro de uma casca esférica de raio
R, que possui uma densidade superficial de carga σ uniforme. Trate tanto o caso z > R quanto o
caso 0 < z < R. Expresse a sua resposta em termos da carga total (q) dessa casca esférica. [Dica:
utilize a lei dos cossenos para escrever r em termos de R e cos θ. Lembre-se de escolher o sinal
positivo da raiz quadrada:
√
R2 + z2 − 2Rz = +(R− z) se R > z, e o oposto se z > R.]
1.11 Um cabo coaxial longo carrega uma densidade volumétrica uniforme de carga ρ0 num
cilindro interno de raio a, e uma densidade de carga superficial σ0 na casca cilı́ndrica exterior
(de raio b). A carga superficial é negativa, e possui a magnitude exata tal que o cabo, como um
todo, gera um campo elétrico nulo fora da casca cilı́ndrica externa. Encontre o campo elétrico nas
seguintes regiões: (a) no interior do cilindro de raio a, ou seja, ρ < a (onde ρ é a distância ao eixo
z em coordenadas cilı́ndricas); (b) no espaço entre os dois cilindros, a < ρ < b; e (c) no exterior do
cabo, ρ > b. Faça um gráfico da intensidade do campo elétrico como função de ρ.
1.12 Utilize o método das imagens para encontrar a força elétrica que age numa carga pontual q
nas seguintes situações:
(a) Uma “cunha” feita de dois condutores planos juntados com um ângulo de 90◦. Ou seja,
imagine que um dos condutores ocupa o semi-plano infinito x ≥ 0, e o outro condutor,
o semi-plano infinito y ≥ 0. Considere que a carga encontra-se na posição x = x0 > 0 e
y = y0 > 0.
(b) Um quadrante delimitado por planos condutores. Ou seja, imagine que os semi-planos
infinitos {x ≥ 0, y ≥ 0}, {x ≥ 0, z ≥ 0}, e {y ≥ 0, z ≥ 0}, são constituı́dos de material
condutor. Nesse caso, considere que a carga pontual encontra-se na posição x = x0 > 0,
y = y0 > 0 e z = z0 > 0. [Dica: utilize o resultado do item anterior.]
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