Problemas de Programação Linear

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Centro Estadual de Educação Tecnológica Paula Souza 
Governo do Estado de São Paulo 
Faculdade de Tecnologia de Americana 
 
Lista de Exercícios - PPL 
Prof.ª Ivone Piedade Terra 
 
Parte 1. Modelagem de PPL’s 
1. Uma empresa de eletrodomésticos fabrica 3 produtos: relógios, rádios e torradeiras. Estes produtos têm os 
seguintes requerimentos: 
 
 
 
 
A demanda máxima diária de relógios, rádios 
e torradeiras é de, respectivamente, 200, 300 e 150 unidades. O orçamento previsto de gastos diários é de no máximo 
R$2.000,00, bem como a disponibilidade máxima de mão de obra é de 600 horas por dia. O espaço disponível para 
estocagem é para o máximo de 500 unidades. Os preços de vendas são de R$15,00 cada relógio, R$20,00 cada rádio 
e R$ 12,00 cada torradeira. Qual o “mix” de produção diária que maximiza o lucro total da empresa? Formule o 
modelo de programação linear, identificando as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições, para resolver 
o problema. 
 
2. Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são 
utilizados cereais e carne. Sabe-se que: a ração Tobi usa 5 Kg de cereais e 1 Kg de carne, e a ração Rex, 4 Kg de 
carne e 2 Kg de cereais; o pacote de ração Tobi é vendido a $20 e o pacote de ração Rex a $30; o quilo de carne custa 
$4 e o quilo de cereais custa $1; estão disponíveis por mês 10000 Kg de carne e 30000 Kg de cereais. Deseja-se 
saber qual a quantidade de cada ração a ser produzida de modo a maximizar o lucro. 
 
3. Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina faz apenas dois 
produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, considere que a marcenaria tem 
limitações em somente dois recursos: madeira e mão de obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a 
seguir: 
Recurso Disponibilidade 
Madeira 12 m
3 
Mão de obra 8 h 
 
O processo de produção é tal que, para fazer uma mesa, a fábrica gasta 2 m
3
 de madeira e 2 horas de mão-de-obra. 
Para fazer um armário, a fábrica gasta 3 m
3 
de madeira e 1 h de mão-de-obra. O fabricante sabe que cada mesa dá 
uma margem de contribuição para o lucro de $4 e cada armário de $1. O problema é encontrar o programa de 
produção que maximiza o lucro. 
 
4. Uma planta industrial fabrica garrafas plásticas com ou sem rótulo. As garrafas com rótulo são vendidas a $10,50 
o lote, enquanto que as garrafas sem rótulo têm um preço de venda de $8,00 por lote. Para produzir um lote de 
garrafas com rótulo são consumidos 5 Kg de plástico a $1,00/Kg, 0,5 m
2
 de papel a $2,00/m
2
 e 1 frasco de tinta a 
$1,00/frasco. Para produzir um lote de garrafas sem rótulo são consumidos 4 Kg de plástico a $1,00/Kg. A fabricação 
de um lote de garrafas com rótulo exige 15 minutos da máquina de sopro, 10 minutos na operação de serigrafia, 5 
minutos no recorte e 7 minutos de colagem. A produção de um lote de garrafas sem rótulo necessita de 20 minutos na 
máquina de sopro. A empresa opera num regime de 40 horas semanais e dispõe de 2 máquinas de sopro, 1 máquina 
de serigrafia e 1 máquina de recorte e colagem (na mesma máquina). Sabendo que no almoxarifado existe um 
estoque de 1200 Kg de plástico, 200 m
2
 de papel e 180 frascos de tinta e considerando-se que não haverá reposição 
antes de uma semana, determine um modelo que maximiza o lucro desta semana de trabalho. 
 
5. Uma pequena fábrica de papel toalha manufatura três tipos de produtos A, B e C. A fábrica recebe o papel em 
grandes rolos. O papel é cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá 
qualquer produção a um preço constante. O lucro unitário de cada produto é respectivamente R$1,00, R$1,50 e 
R$2,00. O quadro abaixo identifica o tempo requerido para operação, em horas, em cada seção da fábrica, bem como 
a quantidade de máquinas disponíveis, que trabalham 40 horas por semana. Modele a produção semanal da fábrica, 
maximizando o lucro. 
PRODUTOS CUSTO (R$) MÃO DE OBRA (HORAS) 
Relógio 7,00 2 
Rádio 10,00 3 
Torradeiras 5,00 1 
 1 
 
 
6. Uma microempresa tem disponíveis os seguintes tecidos: 16 m
 
de algodão, 11 m de seda e 15 m de lã. Para 
confeccionar um terno padrão, são necessários 2 m de algodão, 1 m de seda e 1 m de lã. Para um vestido padrão, são 
necessários 1 m de algodão, 2 m de seda e 3 m de lã. Se o lucro líquido de um terno é de 300 u. m. e de um vestido 
de 500 u. m., quantas peças de cada tipo a microempresa deve fabricar para ter o maior lucro possível ? 
 
7. Uma fábrica de microcomputadores produz dois modelos A e B. O modelo a fornece um lucro de R$ 180,00 e o B 
de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo B 
requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque 60 do gabinete pequeno, 50 do grande e 120 
unidades de disco. Apresente o modelo de produção que maximiza o lucro. 
8. Um fundo de investimentos tem até R$ 300.000,00 para aplicar em duas ações. A empresa D é diversificada (tem 
40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que forneça bonificações 
de 12%. A empresa N não é diversificada ( produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificações de 20%. 
Para este investimento, considerando a legislação governamental aplicável, o fundo está sujeito às seguintes 
restrições: 
 investimento na empresa diversificada pode atingir R$ 270.000,00; 
 investimento na empresa não-diversificada pode atingir R$ 150.000,00; 
 investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$ 180.000,00. 
Qual o modelo de investimento que maximiza o lucro ? 
9. Uma empresa do ramo de madeira produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos são 
de 40 m
3
 de pinho e 80 m
3
 de canela. A madeira serrada dá um lucro de R$ 5,00 por m
3
 e a madeira compensada dá 
um lucro de R$ 0,70 por m
3
. Para produzir um mistura de 1 m
3
 de madeira serrada são requeridos 1 m
3
 de pinho e 3 
m
3
de canela. Para produzir 100 m
3
 de madeira compensada são requeridos 3 m
3
 de pinho e 5 m
3 
de canela. 
Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5 m
3 
de madeira serrada e 900 m
3
de madeira 
compensada. Modele o esquema de produção maximizando o lucro. 
10. Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adultos e sua capacidade de trabalho é de 50 horas semanais. 
O jogo A requer 3 horas para ser confeccionado e propicia um lucro de R$30,00, enquanto o jogo B requer 5 horas 
para ser produzido e acarreta um lucro de R$40,00. Modele o problema a fim de maximizar o lucro. 
11. Uma pequena fábrica de móveis produz dois modelos de molduras ornamentais cujos preços de venda são, 
respectivamente, R$ 110,00 e R$ 65,00. Ela possui 7 peças de madeira e dispõe de 30 horas de trabalho para 
confeccionar os dois modelos; sendo que o modelo A requer 2 peças de madeira e 5 horas de trabalho, enquanto o 
modelo B necessita de 1 peça de madeira e 7 horas de trabalho. Modele o problema para se conhecer quantas 
molduras de cada modelo a fábrica deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido com as vendas. 
12. Uma empresa produz dois artigos A e B que devem passar por duas máquinas diferentes M1 e M2. M1 tem 12 
horas de capacidade diária disponível e M2 tem 5 horas. Cada unidade de produto A requer 2 horas em ambas as 
máquinas. Cada unidade de produto B requer 3 horas em M1 e 1 hora em M2. O lucro líquido de A é de R$60,00 por 
unidade e o de B, R$70,00 por unidade. Modele o problema para que a quantidade a ser produzida de A e B tenha um 
lucro máximo. 
13. Na tabela abaixo fornecemos as necessidades alimentares semanais de um certo animal. Que mistura dessas 
rações satisfaz os requisitos alimentares a um custo mínimo para o proprietário? Apresente o modelo. 
Ração Proteínas 
(unidades/kg) 
Carboidratos 
( unidades/kg)Custo 
(R$ /kg) 
A 25 55 3,00 
B 25 20 2,00 
C 45 10 4,00 
D 35 35 3,00 
E 25 20 3,00 
Mínimo (unidades) 200 250 
Seção Produto A Produto B Produto C Quantidade de máquinas 
Corte 8 5 2 3 
Dobra 5 10 4 10 
empacotamento 0,7 1 2 2 
 2 
 
14. Um criador de coelhos alimenta os animais com cinco tipos de ração, cuja composição de nutrientes 
(unidades/kg) está mostrada abaixo: 
 
Nutrientes Ração A Ração B Ração C Ração D Ração E 
Proteínas 30 20 15 80 20 
Carboidratos 60 20 60 20 20 
Gordura 5 10 5 3 2 
Custo/kg 0,20 0,30 0,40 0,50 0,25 
Ele calculou as necessidades diárias de alimentação de cada animal em, pelo menos, 80 unidades de proteína, 120 
unidades de carboidratos e 30 unidades de gordura. Modele o problema para que a mistura das rações acima tenha 
custo mínimo. 
15. Um agricultor está interessado na produção do milho e algodão. Ele deseja saber qual a combinação dessas 2 
linhas de produção que lhe pode proporcionar a maior renda possível. Ele possui área disponível de 100 ha. e sabe 
que pode dispor, durante o período de produção de milho e algodão, de 3.600 homens/dia e 240 dias de trabalho de 
um trator médio. Com base em sua experiência, ele sabe que naquela terra e com sua técnica de produção, o milho 
produz 2.000 kg/ha. e o algodão 1.800kg/ha. A cultura do milho exige 30 homens/dia por hectare e 4 dias de serviço 
de trator por ha., enquanto o algodão exige 60 homens/dia por ha. e 2 dias de trator por ha. As perspectivas de preço 
são de R$ 1.700,00 por tonelada de milho e de R$ 2.040,00 por tonelada de algodão. Apresente o modelo de 
programação linear. 
16. No exemplo abaixo deseja-se otimizar o lucro pela utilização de até quatro opções de culturas (milho, trigo, soja 
e açúcar). As restrições referem-se ao espaço utilizado, gastos com preparo de terreno e utilização de mão de obra. 
Tem-se disponível 400 ha. de terra para o cultivo. A matriz abaixo apresenta os dados referentes a cada cultura. 
Modele o problema. 
 
 
17. Um fazendeiro que dispõe de 24.000 m³ de água e de 240 jornadas de trabalho, tem possibilidade de cultivar 
batata, amendoim, milho e tomate. Interessa a ele maximizar a sua renda pela utilização dos fatores água e trabalho. 
Sabendo-se que as pretensas atividades possuem as características estabelecidas na tabela abaixo, modele o problema 
a fim de determinar o plano de renda máxima. 
 
Atividade Unidade Água(m³) Trabalho(h/d) Renda Bruta (R$) 
Batata ha 6.000 25 600,00 
Amendoim ha 5.000 40 1.200,00 
Milho ha 5.000 10 250,00 
Tomate ha 10.000 120 3.200,00 
18. O produto “E” dá um lucro de R$ 40,00 por unidade e o “F”, R$50,00. Para sua fabricação são necessários 3 
estágios , os quais são apresentados abaixo com respectivos tempos(em minutos). 
 
Produto Mistura Refrigeração Embalagem 
E 1 5 3 
F 2 4 1 
Durante o ciclo de produção, o equipamento de mistura está disponível por no máximo 12 horas, o de refrigeração 
por 30 horas e o de empacotamento por 15 horas. Modele para que o número de unidades a produzir em cada ciclo de 
produção dê lucro máximo. 
19. Consideremos o problema da metalurgia de alumínio, em se deseja produzir 2.000kg de uma liga de alumínio, a 
custo mínimo, pela mistura de diversas matérias-primas (minérios). Esta liga deve atender a requisitos de engenharia 
que especificam os máximos e mínimos de diversos elementos químicos que a compõe. Os custos das matérias-
primas são: 
 
Atividade Milho Trigo Soja Açúcar Disponível 
Preparo do terreno (R$/ha.) 1000,00 1200,00 1500,00 1200,00 500.000,00 
Mão de obra (homens/dia) 20 30 25 28 10.000 
Lucro (R$/ ha.) 600,00 800,00 900,00 500,00 
 3 
 
Mat. prima Mat. 1 Mat. 2 Mat. 3 Mat. 4 Mat. 5 Mat. 6 Mat. 7 
Custo 0,03 0,08 0,17 0,12 0,15 0,21 0,38 
A composição dos minérios e a participação mínima/máxima de cada um dos elementos químicos nos 2.000 kg da 
liga são mostradas a seguir: 
 
Elemento Mat1 Mat2 Mat3 Mat4 Mat5 Al-puro Si-puro Mínimo Máximo 
Fe 0,15 0,04 0,02 0,04 0,02 0,01 0,03 0 60 
Cu 0,03 0,05 0,08 0,02 0,06 0,01 0 0 100 
Mn 0,02 0,04 0,01 0,02 0,02 0 0 0 40 
Mg 0,02 0,03 0 0 0,01 0 0 0 30 
Al 0,70 0,75 0,80 0,75 0,80 0,97 0 1500 - 
Si 0,02 0,06 0,08 0,12 0,02 0,01 0,97 250 300 
Na tabela anterior temos, por exemplo, que Mat1 contém 15% de Ferro, 3% de Cobre, etc. Temos, ainda, que a liga a 
ser obtida (2.000kg) deve conter, no máximo, 60 kg de Ferro, 100 kg de Cobre e que a quantidade de Silício deve 
estar entre 250 kg e 300 kg. Quanto à disponibilidade de matéria-prima, os dados estão indicados a seguir na linha 
“Disponibilidade Máxima”. A linha “Disponibilidade Mínima” refere-se a quantidade que se deseja forçar a entrar 
neste processo ( por algum motivo, tal como liberação de espaço ). 
 
Disp. Mín. 0 0 400 100 0 0 0 
Disp. Máx 200 750 800 700 1500 infinito infinito 
20. Uma empresa produz televisão em 3 fábricas: São Paulo, João Pessoa e Manaus. Os pontos principais de revenda, 
com as respectivas encomendas mensais são: 
 
 
A produção máxima mensal em cada fábrica é: 
 
 
 
 
O custo de transportes das fábricas até as revendas é dado pelo quadro abaixo: 
R$ por 1.000 unidades de TV 
Para 
 De 
Rio de Janeiro 
 (1) 
Salvador 
(2) 
Aracaju 
(3) 
Maceió 
(4) 
Recife 
 (5) 
(1) São Paulo 1.000 2.000 3.000 3.500 4.000 
(2) João Pessoa 4.000 2.000 1.500 1.200 1.000 
(3) Manaus 6.000 4.000 3.500 3.000 2.000 
Modelar o problema a fim de que o número de unidades produzidas em cada fábrica e entregues a cada revenda 
minimize o custo de transporte. 
21. Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas para a produção de 3 produtos. 
A tabela abaixo dá as informações sobre as necessidades de horas de máquina para produzir uma unidade de cada 
produto, assim como a disponibilidade das máquinas, o lucro dos produtos e a demanda mínima existente no 
mercado. Deseja-se o esquema semanal de produção de lucro máximo. 
 
Rio de Janeiro 6.000 unidades 
Salvador 5.000 unidades 
Aracajú 2.000 unidades 
Maceió 1.000 unidades 
Recife 3.000 unidades São Paulo 10.000 unidades 
João Pessoa 5.000 unidades 
Manaus 6.000 unidades 
Tipo de máquina Produto A Produto B Produto C Tempo disponível 
(horas por semana) 
Torno 5 3 5 400 
Fresa 8 4 0 500 
Furadeira 2 5 3 300 
Lucro 20 15 18 
Demanda semanal 40 50 20 
 4 
 
22. Um fornecedor deve preparar, a partir de cinco tipos de bebidas de fruta disponíveis em estoque, 500 galões 
contendo pelo menos 20% de suco de laranja, 10% de suco de uva e 5% de suco de tangerina. Se os dados referentes 
ao estoque são os mostrados a seguir, quanto de cada uma das bebidas o fornecedor deve utilizar de forma a obter a 
composição requerida a um custo total mínimo? 
 Suco de 
laranja, % 
Suco de 
uva, % 
Suco de 
tangerina, % 
Estoque, 
galões 
Custo 
R$/galão 
Bebida A 40 40 0 200 1,50 
Bebida B 5 10 20 400 0,75 
Bebida C 100 0 30 100 2,00 
Bebida D 0 100 0 50 1,75 
Bebida E 30 0 60 800 0,25 
 
23. Um fazendeiro tem 200 unidades de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A produção esperada 
é de 1800 Kg por unidade de área plantada de trigo, 2100 Kg por unidade de área plantada de arroz e 2900 Kg por 
unidade de área plantada de milho. Para atender ao consumo interno de sua fazenda, ele deve plantar pelo menos 12 
unidades de área de trigo, 16 unidades de área de arroz e 20 unidades de área de milho. Ele tem condições de 
armazenar no máximo 700000 Kg. Sabendo que o trigo dá um lucro de R$1,20 por Kg, o arroz R$0,60 por Kg e o 
milho R$0,28 por Kg, quantas unidades de área de cada produto ele deve plantar para que o seu lucro seja o maior 
possível? 
 
24. Num laboratório químico, querem produzir um ácido com as seguintes características: 
a) o ácido deve conter no mínimo 20% do componente B1, no máximo 20% do componente B2 e no mínimo 30% 
do componente B3; 
b) o peso específico deve ser menor ou igual a 1. 
O ácido deverá serproduzido a partir de uma mistura de 3 matérias-primas, R1, R2 e R3. A percentagem na qual os 
componentes B1, B2 e B3 encontram-se nas matérias-primas bem como o peso específico e o preço por unidade são 
dados pela tabela a seguir. 
 
 B1 B2 B3 Peso Específico Preço por Unidade 
R1 15 10 40 1,04 140 
R2 20 15 30 0,95 120 
R3 25 30 35 1,00 130 
Considerando que o peso específico do ácido será dado levando-se em conta a proporção em que as matérias-primas 
se encontram na mistura, formular o problema para determinar esta proporção, minimizando o custo da produção do 
ácido. 
 
25. Uma excursionista planeja fazer uma viagem acampando. Há cinco itens que a excursionista deseja levar 
consigo, mas estes, juntos, excedem o limite de 60 Kg que ela supõe ser capaz de carregar. Para ajudar a si própria no 
processo de seleção ela atribuiu valores, por ordem de importância (quanto maior o valor maior a importância), a 
cada um dos itens segundo a tabela. 
 
Item 1 2 3 4 5 
Peso (Kg) 52 23 35 15 7 
Valor 80 60 70 15 15 
Que itens devem ser levados de forma a maximizar a satisfação da excursionista sem exceder as restrições de peso? 
 
26. Uma determinada pessoa é aconselhada pelo seu médico a fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente, 
pelo menos, as seguintes quantidades de vitaminas: 
VITAMINA A B C D 
QUANTIDADE MÍNIMA DIÁRIA 
(mg) 
80 70 100 
60 
 
A dieta inclui leite, arroz, feijão e carne, que contém as seguintes mg de vitaminas: 
VITAMINA LEITE (l) ARROZ (Kg) FEIJÃO (Kg) CARNE (Kg) 
A 10 5 9 10 
B 8 7 6 6 
C 15 3 4 7 
D 20 2 3 9 
 
Os custos unitários desses alimentos são: 
 5 
 
ALIMENTO LEITE (1) ARROZ (Kg) FEIJÃO (Kg) CARNE (Kg) 
CUSTO (R$) 1,00 0,80 1,20 3,50 
Deseja-se saber qual deve ser o consumo diário de cada alimento, que satisfaça as prescrições médicas e que tenha o 
menor custo. Formule um modelo de programação linear para resolver este problema. 
 
27. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de 
música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 
minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma 
semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais 
que 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número 
máximo de telespectadores ? Desenvolva um modelo de programação linear para resolver este problema. 
 
28. A companhia Mary Posa deve decidir sobre as quantidades de combustíveis para jato a comprar de três possíveis 
vendedores. A companhia reabastece seus aviões regularmente em quatro aeroportos servidos por ela. As 
companhias de petróleo disseram que podem fornecer até as seguintes quantidades de combustíveis durante o 
próximo mês: companhia 1: 275.000 galões; companhia 2: 550.000 galões e companhia 3: 660.000 galões. A 
quantidade mínima de combustível necessária é de: 110.000 galões no aeroporto 1: 220.000 galões no aeroporto 2; 
330.000 galões no aeroporto 3 e 440.000 galões no aeroporto 4. Após serem acrescentados os custos de transporte ao 
preço cotado por galão fornecido, o custo combinado por galão, de cada vendedor fornecendo num aeroporto 
específico é mostrado no quadro abaixo: 
 Companhia 1 Companhia 2 Companhia 3 
Aeroporto 1 10 7 8 
Aeroporto 2 10 11 14 
Aeroporto 3 9 12 4 
Aeroporto 4 11 13 9 
Formule um modelo de programação linear para definir as quantidades de combustíveis a serem compradas, de 
forma a minimizar o custo total. 
 
29. Um artesão fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo C1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo 
de fabricação em relação ao modelo C2. Se todos os cintos fossem do modelo C2, a empresa poderia produzir 1000 
unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos 
empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para o modelo C1 e 700 para o modelo C2. Os 
lucros unitários são de R$4,00 para o modelo C1 e R$3,00 para o modelo C2. Qual o programa ótimo de produção 
que maximiza o lucro total diário do artesão ? Formule um modelo de programação linear para resolver o problema. 
 
30. Uma empresa metal-mecânica possui três tipos de máquinas: uma prensa, uma máquina de corte e uma máquina 
de usinagem. Três operadores podem operar qualquer uma das máquinas; entretanto, os custos de operação de cada 
operador, em cada máquina, são diferentes (vide quadro abaixo). Qual é a melhor combinação operador/máquina que 
minimiza o custo total de operação ? Formule um modelo de programação linear para resolver o problema. 
 
 
 
 
 
31. O departamento de polícia de uma cidade tem as necessidades mínimas apresentadas na tabela a seguir. Cada 
policial trabalha oito horas consecutivas. Os policiais devem iniciar o trabalho no início de um dos períodos 
mostrado na tabela. Monte um modelo de PL que minimize a quantidade diária de policiais. 
Período 1 2 3 4 5 6 
Horário 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-2 
Necessidade de Policiais 20 50 60 80 60 40 
 
32. Uma empresa tem fábrica nos locais I, II e III, que abastecem armazéns situados em A, B, C e D. As capacidade 
mensais das fábricas são de 1000, 2500 e 3000 unidades, respectivamente. As necessidades mensais mínimas dos 
armazéns são 1500, 2000, 1500 e 500 unidades, respectivamente. Os custos unitários de transporte são apresentados 
na tabela a seguir. 
 
 
 PRENSA CORTE USINAGEM 
Operador 1 2 4 3 
Operador 2 1 3 2 
Operador 3 5 3 2 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
Monte um modelo de PL que minimize os custos com o transporte. 
 
33. Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela a seguir ilustra a proporção de cada material na 
mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em Reais por tonelada da liga 
fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formular o 
modelo de Programação Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34. Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 metros de tábuas, 600 metros de pranchas e 500 metros 
de painéis de conglomerado. A fábrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo de 
escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade 
de matéria-prima, conforme a tabela a seguir. A escrivaninha é vendida por 100 unidades monetárias (u.m.), a mesa 
por 80 u.m., o armário por 120 u.m. e a prateleira por 20 u.m. Pede-se exibir um modelo de Programação Linear que 
maximize a receita com a venda dos móveis. 
 
 
Quantidade de material em metros consumidos 
por unidade de produto 
Disponibilidade 
do recurso (m) 
Escrivaninha Mesa Armário Prateleira 
Tábua 1 1 1 4 250 
Prancha 0 1 1 2 600 
Painéis 3 2 4 0 500 
Valor de revenda (u.m.) 100 80 120 20 
 
35. Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais 
puros além de 2 tipos de materiais recuperados: 
 Material Recuperado 1(MR1): Composição: 60% de ferro, 20% de carvão e 20% de silício. Custo por Kg: $0,20. 
 Material Recuperado 2(MR2): Composição: 70% de ferro, 20% de carvão 5% de silício e 5% de níquel. Custo 
por Kg: $0,25. 
A liga deve ter a seguinte composição final: 
 
Os custos dos materiais puros são (por Kg): 
 
 
 
 
Deseja-se produzir 1000 Kg desta liga. Qual deve ser a composição da mistura 
em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por Kg? 
 
 
36. A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asas-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de 
montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 
horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1,enquanto na linha 2 o pára-
quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção 
da empresa e que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$40,00, 
encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. 
Destino 
Origem 
A B C D 
 I 5 8 6 9 
 II 4 2 2 1 
 III 3 5 4 5 
 
Liga Especial de 
Baixa Resistência 
(*) 
Liga Especial de 
Alta Resistência (*) 
Disponibilidade de 
matéria-prima 
Cobre 0,5 0,2 16 ton 
Zinco 0,25 0,3 11 ton 
Chumbo 0,25 0,5 15 ton 
Preço de venda (R$ 
por ton.) 
R$ 3.000,00 R$ 5.000,00 
liga de ton.
minério de ton.
(*)
 
Matéria-prima % mínima % máxima 
Ferro 60 65 
Carvão 15 20 
Silício 15 20 
Níquel 5 8 
Matéria-
prima 
Custo (R$) 
Ferro 0,30 
Carvão 0,20 
Silício 0,28 
Níquel 0,50 
 7 
 
Parte 2. Resolução gráfica de PPL’s 
 
Resolver os problemas abaixo graficamente. Determinar a solução ótima, se existir, e o valor da função objetivo. 
Assinalar o conjunto das soluções viáveis. Classificar o conjunto solução da seguinte forma: 
 O conjunto das soluções viáveis é vazio. O problema não tem solução. 
 O problema tem uma única solução ótima. 
 O problema tem uma infinidade de soluções ótimas (infinitas soluções). 
 A função objetivo pode crescer ou decrescer indefinidamente. O problema não tem solução ótima (solução 
ilimitada). 
 
a) MAX Q(X) = - 2X1 + 6X2 
s.a 
 X1 – 4X2 <= - 4 
 X1 + X2 >= 6 
X1 – 3X2 <= - 5 
X1 >= 0 
X2 >= 0 
 
b) Qual seria a solução do item (a) se o problema fosse minimizar? 
 
c) Qual seria a solução do item (a) se a função objetivo fosse MAX Q(X) = 18X1 + 6X2 
 
d) MIN Q(X) = 3X1 + 2X2 
s.a 
 - X1 + 4X2 <= 1 
 X1 + X2 <= 2 
2X1 – X2 <= 2 
X1 >= 0 
X2 >= 0 
 
e) MAX Q(X) = 8X1 + 10X2 
s.a 
 -3X1 + X2 <= 3 
 4X1 + 5X2 <= 20 
X1 >= 0 
X2 >= 0 
 
f) MAX Q(X) = X1 + 2X2 
s.a 
 X1 + 2X2 <= 2 
 3X1 + 4X2 >= 12 
X1 >= 0 
X2 >= 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
Parte 3. Resolução Simplex de PPL’s 
 
 
a) MAX Q(X) = 9X1 + 3X2 
s.a 
2X1 + X2  14 
2X1 + 3X2  24 
 X1 , X2  0 
 
b) MAX Q(X) = 5X1 + 5X2 
s.a 
8X1 + 4X2  32 
X1 + 2X2  8 
 X1 , X2  0 
 
c) MAX Q(X) = 16X1 + 12X2 
s.a 
2X1  4 
2X1 + 3X2  12 
2X1 + X2  8 
 X1 , X2  0 
 
d) MAX Q(X) = 3X1 + 5X2 + X3 
s.a 
 2X1 + 4X2 + X3  16 
6X1 + 2X2  24 
2X2  6 
 X1 , X2  0 
 
e) MIN Q(X) = - X1 - 2X2 
s.a 
- X1 + X2  1 
- 5/2 X1 + X2  2 
 X1 , X2  0 
 
f) MAX Q(X) = X1 + X2 
s.a 
 2X1 + 5X2  5 
 2X1 + X2  4 
 X1 , X2  0 
 
g) MIN Q(X) = - X1 - 2X2 
s.a 
 X1  3 
 X2  4 
 X1 + 2X2  9 
 X1 , X2  0 
 
h) MAX Q(X) = 3X1 + 4X2 
s.a 
 2X1 + X2  6 
 2X1 + 3X2  9 
 X1 , X2  0 
 
i) MAX Q(X) = 6X1 + 10X2 
s.a 
 3X1 + 5X2  15 
 5X1 + 2X2  10 
 X1 , X2  0 
 
 j) MIN Q(X) = -2X1 - 2X2 
s.a 
 X1 - X2  -1 
 -1/2 X1 + X2  2 
 X1 , X2  0 
 
k) MAX Q(X) = 6X1 - X2 
s.a 
 4X1 + X2  21 
 2X1 + 3X2  13 
 X1 - X2 = -1 
 X1 , X2  0 
 
l) MIN Q(X) = X1 + 3X2 
s.a 
 -X1 - X2  1 
 X1 , X2  0 
 
 m) MAX Q(X) = X1 + X2 
s.a 
 X1 + 4X2  4 
 3X1 + X2 = 1 
 X1 , X2  0 
 
 n) MAX Q(X) = X1 + X2 
s.a 
 2X1 + 3X2  5 
 -6X1 - 9X2 = -15 
 X1 - X2  0 
 X1 , X2  0 
 
o) MAX Q(X) = X1 + 2X2 
s.a 
 2X1 + X2  3 
 -3X1 + X2 = 4 
 X1 , X2  0 
 
 p) Min Q(X) = 16X1 + 12X2 + 5X3 
s.a 
 8X1 + 4X2 + 4X3  16 
 4X1 + 6X2  12 
 X1 , X2 , X3  0 
 
q) MAX Q(X) = 2X1 - 3X2 + 5X3 
s.a 
 2X1 - X2 + 3X3  4 
 X1 + 2X2  6 
 3X1 - X2 + 2X3  7 
 X1 , X2 , X3  0 
 
 
 r) MAX Q(X) = X1 + X2 + X3 
s.a 
X1 - X2 + X3 = 1 
 2X1 + X2 - 2X3 = 1 
 X1 + X2 + 2X3 = 4 
 4X1 + X2 + X3 = 6 
 X1 , X2 , X3  0 
 
 
 
 
 
 9 
 
Parte 4. Resolução de PPL’s com a Ferramenta Solver (Excel) 
 
OBS.: Use o guia a seguir para resolver os PPL’s modelados na Parte 1. 
 
Planilha com dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adicione cada uma das restrições na janela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planilha com resultados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
Parte 5. Dualidade e Interpretação Econômica 
 
 
1. Escreva o dual dos seguintes problemas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. O Sr. Fulano da Silva possui uma fazenda de criação de porcos para abate e deseja determinar o custo mínimo de 
uma dieta que garanta aos animais os requisitos mínimos de nutrientes apresentados na tabela a seguir. Os custos dos 
alimentos e a quantidade de cada nutriente presente num quilo de cada alimento também são apresentados na tabela. 
 
 Milho Ração Alfafa Exigência mínima de 
nutriente (em Kg) 
Proteína 10% 10% 40% 2 
Vitamina 20% 20% 30% 2,50 
Carboidrato 20% 40% 20% 1,2 
Custo (R$) 20 30 35 
O modelo de decisão do problema é dado a seguir, onde xi representa a quantidade (em Kg) do alimento i = {1= 
milho; 2 = ração; 3 = alfafa} a ser usado na mistura 
 
 Min Z = 20x1 + 30x2 + 35x3 
 s.a: 
 0,10x1 + 0,10x2 + 0,40 x3 ≥ 2 (Proteína) 
 0,20x1 + 0,20x2 + 0,30 x3 ≥ 2,5 (Vitamina) 
 0,20x1 + 0,40x2 + 0,20 x3 ≥ 1,2 (Carboidrato) 
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 e x3 ≥ 0 
 
 
O quadro simplex ótimo do Primal é apresentado abaixo: 
 X1 X2 X3 X4 X5 X6 b 
 Z 0 10 0 20 90 0 -265 
X1 1 1 0 6 -8 0 8 
X3 0 0 1 -4 2 0 3 
X6 0 -0.2 0 0.4 -1,2 1 1 
 
Pede-se: 
a) Qual é a solução básica viável (SBV) apresentada neste quadro? 
b) Escreva o dual deste PPL. 
c) Determine a solução ótima do dual. 
d) Se fosse aumentada em 1 Kg a exigência por proteína, em quanto aumentaria o custo total da mistura (em R$)? 
 
3. Considere o seguinte PPL: 
Max L = 30x1 + 60x2 + 80x3 
 s.a: 
 2x1 + 3x2 + 4x3  1000 (Recurso 1) 
 2x1 + 2x2 + 2x3  600 (Recurso 2) 
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 e x3 ≥ 0 
 
a) Max Z = 6x1 + 7x2 
 s.a: 
 2x1 + 3x2 ≤ 12 
 2x1 + x2 ≤ 8 
 
 
 x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0 
 
b) Max Z = 2x1 + 3x2 - x3 
 s.a: 
 x1 + x2 + x3 = -2 
 3x1 + 5x2 - x3 = 5 
 -5x1 + 2x2 ≤ 8 
 6x1 + x2 ≥ 4 
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 e x3 ≥ 0 
c) Min Z = -3x1 - 4x2 
 s.a: 
 2x1 + 3x2 ≤ 10 
 x1 + 3x2 ≥ 5 
 
 x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0 
d) Max Z = 8x1 + 6x2 - 11x3 
 s.a: 
x1 - x2 - x3 ≥ 6 
 2x1 + x2 - x3 ≥ 5 
 
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 e x3 ≥ 0 
 11 
 
a) Escreva o dual deste PPL. 
b) Dado o quadro ótimo do primal, determine a solução ótima do dual. 
 X1 X2 X3 X4 X5 b 
 L 10 0 0 20 0 20000 
X3 -1 0 1 1 -1,5 100 
X2 2 1 0 -1 2 200 
 
4. A Beta Romeu possui quatro fábricas para produzir motos do modelo Gama. A empresa acabou de receber um 
contrato de produção de 1000 motos Gama. Devido a diferenças na mão de obra e avanços tecnológicos, as plantas 
diferem no custo de produção unitário das motos. Elas também utilizam diferentesquantidades de matéria-prima e 
mão de obra. O custo de operação, o tempo necessário de mão de obra e o custo de matéria-prima para produzir uma 
unidade da moto modelo Gama em cada uma das fábricas estão evidenciadas na tabela abaixo. 
Fábrica 
Custo unitário (em 
R$ 1000,00) 
Mão de obra (horas de 
fabricação) 
Matéria-prima 
(unidades de material) 
1 15 2 3 
2 10 3 4 
3 9 4 5 
4 7 5 6 
 
Um acordo trabalhista assinado requer que pelo menos 350 motos sejam produzidas na fábrica 3. Existem 3150 horas 
de mão de obra e 5000 unidades de material que podem ser alocados às quatro fábricas. O modelo de decisão do 
problema é dado abaixo, onde xi representa a quantidade de motos a serem fabricadas na fábrica i=1, 2, 3, 4. 
 
Min C = 15x1 + 10x2 + 9x3 + 7x4 
s.a: 
 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4  3150 (MO) 
 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4  5000 (MP) 
 x1 + x2 + x3 + x4 = 1000 (CP) 
 x3 ≥ 350 (AT) x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 e x4 ≥ 0 
 
Resultado obtido no Solver/Excel: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultado obtido no LINDO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
 
a) Quais as quantidades ótimas de produção em cada fábrica? Qual o custo de produção total? 
b) Qual o custo de produção máximo na fábrica 1 que não altera a quantidade ótima encontrada? 
c) Qual o custo de produção máximo na fábrica 2 que não altera a quantidade ótima encontrada? 
d) Qual o desconto, em reais, nos custos de produção da fábrica 4 a partir do qual seu uso é interessante? 
e) Quanto custaria produzir mais uma moto? 
f) Qual benefício financeiro teria a empresa se ela aumentasse a quantidade de matéria-prima? 
g) Para o aumento de 1 hora da mão de obra, o custo total cai em R$ 5.000,00. Esta informação vale até para quantas 
horas aumentadas? 
 
5. Uma empresa local de produtos manufaturados fabrica quatro tipos diferentes de artigos metálicos, cada um dos 
quais deve ser usinado, polido e montado. As necessidades específicas de tempo de trabalho (em horas) de cada um 
dos produtos são dadas na tabela abaixo: 
 
Produto Usinagem Polimento Montagem 
I 3 1 2 
II 2 1 1 
III 2 2 2 
IV 4 3 1 
 
A empresa dispõe semanalmente de 480 horas de tempo de usinagem, 300 horas de tempo de polimento e 310 horas 
de tempo de montagem. Os lucros unitários sobre os produtos são 6, 4, 6 e 5 reais, respectivamente. A empresa 
firmou um contrato com um distribuidor para fornecer-lhe semanalmente pelo menos 50 unidades do produto I, 60 
unidades do produto II e 40 unidades do produto III. Elabore o modelo e resolva-o usando o Excel 
 
a) Quantas unidades de cada artigo a empresa deve manufaturar semanalmente a fim de atender as obrigações 
contratuais e maximizar seu lucro total? Qual é o valor deste lucro? 
b) Qual é o intervalo de variação do lucro do artigo 3 que não altera a quantidade ótima encontrada? 
c) Qual o lucro máximo para o artigo 2 que não altera a quantidade ótima encontrada? 
d) Qual deve ser o acréscimo, em reais, no lucro do artigo 4 para que a sua produção se torne interessante? 
e) Para o aumento de 1 hora de montagem, o lucro total aumenta em R$ 2,00. Esta informação vale até para quantas 
horas aumentadas? 
f) Para a diminuição de 1 hora de usinagem, o lucro total cai em R$ 1,00. Esta informação vale até para quantas 
horas diminuídas? 
 
 
 
Parte 6. Problema de Transporte 
 
1. O quadro abaixo, à esquerda, representa os custos de transporte das origens para os destinos e suas necessidades e 
disponibilidades. 
 
 D1 D2 D3 
O1 12 9 8 10 
O2 13 12 6 20 
O3 7 9 5 10 
O4 3 2 8 15 
 8 30 17 
 
O quadro acima, à direita, representa uma possível distribuição de transporte, verifique se esta distribuição é ou não 
ótima, e se for, qual será seu custo de transporte total. 
 
2. Calcular o plano de transporte de menor custo para os problemas representados a seguir: 
a) 
 D1 D2 D3 Disp. 
O1 6 5 8 10 
O2 13 12 1 20 
O3 7 9 5 12 
O4 10 6 4 13 
Nec. 8 32 15 
 
 D1 D2 D3 
O1 10 
O2 20 
O3 10 
O4 8 7 
 
 13 
 
b) 
 D1 D2 D3 D4 D5 Disp. 
O1 4 2 4 2 3 16 
O2 4 2 5 5 4 75 
O3 11 2 1 2 3 57 
O4 5 4 3 3 2 9 
Nec. 48 50 10 38 11 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 D1 D2 D3 D4 Fornecimento 
O1 6 5 6 7 250 
O2 8 2 7 6 500 
O3 9 3 4 8 250 
Demanda 150 200 300 350 
 
e) 
 D1 D2 D3 D4 Fornecimento 
O1 5 3 1 10 8 
O2 5 7 3 2 4 
O3 3 2 1 8 9 
Demanda 4 8 3 6 
 
f) 
 D1 D2 D3 Fornecimento 
O1 6 5 8 10 
O2 13 12 1 20 
O3 7 9 5 12 
O4 10 6 4 13 
Demanda 8 32 15 
 
g) Três usinas de geração de energia elétrica com capacidades de 25, 40 e 30 milhões de kWh fornecem eletricidade 
a três cidades. As demandas máximas das três cidades são estimadas em 30, 35 e 25 milhões de kWh. Os preços por 
milhão de kWh nas três cidades é dado na tabela abaixo. 
 Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 
Usina 1 600 700 400 
Usina 2 320 300 350 
Usina 3 500 480 450 
a) Formule a questão como um problema de transporte; 
b) Determine um plano de distribuição ótimo para a empresa fornecedora. 
 
h) Três pomares fornecem caixas de laranjas a quatro varejistas. As demandas diárias dos quatro varejistas são 150, 
150, 400 e 100 caixas, respectivamente. As quantidades fornecidas pelos três pomares são determinadas pela mão de 
obra normal disponível e são estimadas em 150, 200 e 250 caixas por dia. Os custos dos pomares até os varejistas são 
dados a seguir. 
Custo de transporte/caixa V1 V2 V3 V4 
Pomar 1 1 2 3 2 
Pomar 2 2 4 2 2 
Pomar 3 1 3 5 3 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 Disp. 
O1 5 3 5 3 2 5 76 
O2 3 2 5 3 2 3 38 
O3 3 3 2 2 1 5 20 
Nec. 29 15 26 35 12 24 
 14 
 
a) Formule a questão como um problema de transporte; 
b) Faça o grafo do problema; 
c) Resolva o problema. 
 
i) Três centrais de distribuição enviam carros para cinco revendedoras. O custo de expedição é baseado nas distâncias 
entre as origens e destinos e dado a seguir, bem como as quantidades fornecidas e as demandas mensais. 
 
 R1 R2 R3 R4 R5 Fornecimento 
C1 100 150 200 140 35 400 
C2 50 70 60 65 80 200 
C3 40 90 100 150 130 150 
Demanda 100 200 150 160 140 
a) Formule o problema de transporte associado e faça seu grafo; 
b) Determine a programação ótima de expedição. 
 
j) Um produto deve ser distribuído para quatro destinos, a partir de três origens. Os lucros unitários de distribuição e 
as disponibilidades e necessidades do produto estão a seguir. 
 
 D1 D2 D3 D4 Disponibilidades 
O1 160 210 200 130 360 
O2 80 390 240 310 440 
O3 400 250 90 190 200 
Necessidades 240 20 340 180 
Qual o plano de distribuição que traz o melhor retorno?