Matematica avancaçada-50

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205. Determine o valor de \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} \). 
 
 Resposta: O limite é \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 
2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} = \frac{8}{4} = 2 \). 
 
206. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - y = 0 \). 
 
 Resposta: A solução geral é \( y = c_1e^x + c_2e^{-x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são 
constantes. 
 
207. Encontre a matriz inversa de \( A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \). 
 
 Resposta: A matriz inversa de 
 
 \( A \) é \( A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \). 
 
208. Determine a solução para o sistema de equações lineares: 
 \[ x + 2y = 4 \] 
 \[ 2x - y = 3 \] 
 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \) e \( y = 1 \). 
 
209. Encontre as coordenadas do ponto de interseção das retas \( y = -3x + 2 \) e \( y = x + 4 
\). 
 
 Resposta: O ponto de interseção das retas é \( (-\frac{2}{5}, \frac{18}{5}) \). 
 
210. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 3x^2 + 2}{2x^3 + 5x + 1} \). 
 
 Resposta: O limite é \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 3x^2 + 2}{2x^3 + 5x + 1} = \frac{4}{2} = 
2 \), pois os termos de maior grau dominam quando \( x \) tende ao infinito.