Matematica avancaçada-55

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99. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{4x^2 + 5}\). 
 - Resposta: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{4x^2 + 5} = \frac{3}{4}\). 
 
100. Calcule a derivada da função exponencial \(y(x) = e^{2x}\). 
 - Resposta: \(y'(x) = 2e^{2x}\). 
 
101. Resolva a equação diferencial \(y'' - 4y = 0\). 
 - Resposta: \(y(x) = Ae^{2x} + Be^{-2x}\), onde \(A\) e \(B\) são constantes. 
 
102. Encontre a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \, dx\). 
 - Resposta: \(\int \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \, dx = \int \frac{1}{(x + 1)^2} \, dx = -\frac{1}{x + 1} + 
C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
103. Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\). 
 - Resposta: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3\). 
 
104. Encontre a solução para a equação logarítmica \(2\ln(x) = 4\). 
 - Resposta: \(x = e^2\). 
 
105. Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(3x^2 - 2x + 1)\). 
 - Resposta: \(f'(x) = \frac{6x - 2}{3x^2 - 2x + 1}\). 
 
106. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = 2y - 3\). 
 - Resposta: \(y(x) = Ce^{2 
 
x} + \frac{3}{2}\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
107. Encontre a integral indefinida de \(\int \sin(2x) \cos(2x) \, dx\). 
 - Resposta: \(\int \sin(2x) \cos(2x) \, dx = \frac{1}{4}\sin^2(2x) + C\), onde \(C\) é a 
constante de integração. 
 
108. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}\).