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242. Resolva a equação diferencial \(y'' + 7y' + 10y = 0\).
- Resposta: A equação característica associada é \(r^2 + 7r + 10 = 0\), que fatora para \((r
+ 5)(r + 2) = 0\). Portanto, a solução é \(y(x) = (Ax + B)e^{-5x} + (Cx + D)e^{-2x}\), onde \(A\),
\(B\), \(C\) e \(D\) são constantes.
243. Determine a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 - 7x + 10} \, dx\).
- Resposta: Podemos reescrever o integrando como \(\frac{1}{(x - 5)(x - 2)}\), e então a
integral torna-se \(\int \frac{1}{(x - 5)(x - 2)} \, dx = \frac{1}{x - 5 - x + 2} + C = \frac{1}{3} \ln|x -
5| - \ln|x - 2| + C\), onde \(C\) é a constante de integração.
244. Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 7x} - x}{x}\).
- Resposta: Podemos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo por
\(\sqrt{x^2}\), então o limite se torna \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 7x} - x}{x} = \lim_{x
\to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 7x} - x}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2} + x}{\sqrt{x^2} + x} = \lim_{x \to
\infty} \frac{x + 7x - x}{x\sqrt{1 + \frac{7}{x}}} = \lim_{x \to \
infty} \frac{7x}{x\sqrt{1 + \frac{7}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{7}{\sqrt{1 + 0}} = 7\).
245. Encontre a solução para a equação \(10^x = 1000\).
- Resposta: Podemos reescrever \(1000\) como \(10^3\), então a equação se torna
\(10^x = 10^3\). Assim, \(x = 3\).
246. Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 - 7x^2 + 11x)\).
- Resposta: Aplicando a regra da cadeia, a derivada é \(f'(x) = \frac{1}{x^3 - 7x^2 + 11x}
\cdot (3x^2 - 14x + 11)\).
247. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^6 + y^6}{xy}\).
- Resposta: Vamos reescrever a equação como \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^5}{y} +
\frac{y^5}{x}\). Esta é uma equação diferencial separável. Separando as variáveis,
obtemos \(\frac{dy}{y^5} = (\frac{x^5}{y} + \frac{y^5}{x}) dx\). Integrando ambos os lados,
chegamos a \(-\frac{1}{6y^6} = \frac{x^6}{6} + \frac{y^6}{6x} + C\), onde \(C\) é uma
constante de integração. Portanto, a solução geral é \(6y^6 = -\frac{1}{\frac{x^6}{6} -
\frac{y^6}{6x} - C}\).
248. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{6^x}{x^6}\).
