Cálculo várias variáveis_ ATIVIDADE 4 (A4) GRA1594 _

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GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551202 - 202020.ead-12552.01 Unidade 4
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Usuário HERIVELTON LEITE MATIAS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551202 - 202020.ead-12552.01
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 28/11/20 10:57
Enviado 28/11/20 12:58
Status Completada
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Pergunta 1
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resposta:
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e
equação diferencial não linear . As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:
Considere que a variável independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável dependente  e
todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da
variável independente . 
  
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir. 
  
I. A equação diferencial  é linear. 
II. A equação diferencial  é linear. 
III. A equação diferencial  é linear. 
IV. A equação diferencial  é linear. 
  
Assinale a alternativa correta. 
 
II e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com as condições de linearidade
de uma equação diferencial, temos que apenas a afirmativa III está incorreta, pois nessa alternativa a
variável dependente  apresenta grau 2 em um dos termos, não satisfazendo uma das condições de
ser linear.
Pergunta 2
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HERIVELTON LEITE MATIAS
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A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o qual pode ser descrito pela
equação , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa,  é a massa da mola e
  é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma
força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser
esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após  segundos? 
  
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
  
 
.
.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Do problema, temos a massa , e, da
lei de Hooke, temos . Além disso, no tempo  a mola está esticada em 1,1 m, sendo seu
comprimento natural de 0,75 m; portanto, está deformada em 0,35 m. Temos também que a
velocidade inicial da mola é nula (a função velocidade é a derivada primeira da função posição).
Portanto, a situação descrita trata-se do PVI:  ,  e  , cuja
solução é .
Pergunta 3
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Leia o excerto a seguir: 
  
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa do indutor
é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida .
Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no
instante ” (STEWART, 2016, p. 537). 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem constante de , assinale a
alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em . 
  
 
.
.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A partir da equação diferencial e dos
valores fornecidos no enunciado, temos  e 
 assim, . Essa é uma equação separável, resolvendo-a, obtemos: 
0 em 1 pontos
onde . Para , temos que , portanto a
expressão da corrente é .
Pergunta 4
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Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados
matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
 , 
onde  é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte situação: 
  
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias
presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
  
  
  
 
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela seguinte equação
diferencial , onde  é a função quantidade de bactérias que depende do tempo . Além
disso, temos os seguintes dados: para  temos . Resolvendo a equação
diferencial, temos 
, onde  e  são constantes e . Como  temos
. Portanto, a função que descreve o crescimento
dessa população de bactérias é .
Pergunta 5
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A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da
outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos
substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for
verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução. 
  
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. A função  é solução da equação diferencial . 
II. A função  é solução da equação diferencial . 
III. A função  é solução da equação diferencial . 
IV. A função  é solução da equação diferencial . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
 
II e IV, apenas.
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resposta:
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de uma
equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que 
 Trocando  na equação diferencial, temos: 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função , temos  e .
Trocando ,  e  na equação diferencial, temos: 
.
Pergunta 6
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Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de  um capacitor com
capacitância de  e um resistor com uma resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: , onde  é a carga, medida em
coulombs. 
  
Dado que , assinale a alternativa correta. 
  
 
A função corrente é expressa por .
A função corrente é expressa por .
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da função carga, isto é,
. A EDO  é uma equação linear de primeira ordem cuja solução pode ser
expressa por . Dada a EDO
, temos que  e . Portanto, sua solução geral é
. Como , segue que  e, assim, a função carga é expressa por .
Por fim, concluímos que a função corrente é .
Pergunta 7
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares
para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma
condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação diferencial
mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI) . 
  
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003.  Disponível em: http://www.uel.br/projetos/ma
tessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019. 
  
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Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
  
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim, podemos resolvê-la
separando as variáveis  e , integrando ambos os lados da igualdade em seguida:
. 
Da condição inicial dada, temos que se  então . Trocando esses valores na solução,
obtemos: . Portanto, a solução do PVI é .
Pergunta 8
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Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na
equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de
funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se
uma solução particular para a equação diferencial. 
  
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e
F para a(s) Falsa(s). 
  
I. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada. 
II. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada. 
III. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada. 
IV. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada. 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
  
 
F, V, V, V.
V, V, V, F.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a equação diferencial, temos
que sua solução geral é:
. Assim:
Afirmativa IV: Falsa. Para , temos que . Portanto,
 é a solução da equação diferencial dada.
Pergunta 9
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um comprimento
de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em
seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação diferencial:
 , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa  e  é a constante elástica. 
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Terça-feira, 1 de Dezembro de 2020 19h20min44s BRT
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resposta:
  
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
  
 
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições:
 (a mola no tempo  está esticada em 0,8 m sendo seu comprimento natural de 0,5 m;
portanto, está deformada em 0,3 m) e  (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a
função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da
constante elástica é: . Tomando  e  na EDO
, obtemos a EDO . Resolvendo o PVI: ,  e
 temos que a solução geral da EDO é  , portanto, a solução
do PVI é . Portanto,
Pergunta 10
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resposta:
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste
em determinar uma solução  que satisfaça às condições iniciais da forma  e . Por meio
dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral. 
  
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as afirmativas a seguir: 
  
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
  
É correto o que se afirma em: 
  
 
I e III, apenas.
I e II, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. São falsas as afirmativas III e IV,
pois: 
Afirmativa III: incorreta. O valor das constantes da solução geral obtido na resolução do
PVI é  e . 
Afirmativa IV: incorreta. A EDO está igualada a zero, portanto, é uma EDO homogênea.
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