Atividade 4 - CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS

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Pergunta 1
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Comentário
da resposta:
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos
a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade
verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como
solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma
condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial  . Analise as afirmativas a seguir e
assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
 I. ( ) Para   temos que   é solução da equação diferencial
dada.
 II. ( ) Para   temos que   é solução da equação diferencial
dada.
 III. ( ) Para  , temos que   é solução da equação
diferencial dada.
 IV. ( ) Para  , temos que   é solução da equação
diferencial dada.
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
   
   
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial,
temos que sua solução geral é:
. Assim: 
 Afirmativa I: Verdadeira. Para  , temos que
. Portanto,   é solução da
equação diferencial dada. 
 Afirmativa II: Verdadeira. Para  , temos que
. Portanto,   é solução da
equação diferencial dada. 
 Afirmativa III: Verdadeira. Para   temos que
. Portanto,   é
solução da equação diferencial dada.
Pergunta 2
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada
função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para
verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos
substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale
a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for
verdadeira, não é solução.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função   é solução da equação diferencial 
 .
 II. A função   é solução da equação diferencial  .
 III. A função   é solução da equação diferencial  .
 IV. A função   é solução da equação diferencial  .
 
 
 É correto o que se afirma em:
   
   
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de
solução de uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II
e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função  , temos  . Repare
que  Trocando   na equação diferencial, temos: 
 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função  , temos 
 e . Trocando  ,   e   na equação diferencial, temos: 
 
.
Pergunta 3
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Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para
resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para
Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo
publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a
integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa
que corresponde à solução da equação diferencial  . 
  
   
.
.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Primeiramente, vamos
0 em 1 pontos
separar as variáveis   e   na equação diferencial para poder exibi-la na forma
separável. Em seguida, vamos integrar ambos os membros da igualdade para
obter sua solução. Então, 
 
.
Pergunta 4
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Comentário
da resposta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um
cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma
temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90
°C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo
levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
  
  
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do
bolo pode ser descrita pela equação diferencial   onde 
 e são fornecidas as seguintes informações:   e 
. Nosso problema consiste em determinar o tempo  , em
minutos, tal que . Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde  . Das condições
 e   vamos determinar as constantes   e  . De
 temos  . De  , temos  . Portanto, a
função temperatura do bolo é  . Vamos determinar
agora o tempo para o qual a temperatura é 30ºC. De  , temos
.
Pergunta 5
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares
homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução   que
satisfaça às condições iniciais da forma   e  . Por meio
dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na
solução geral.
 
 Considere o seguinte PVI:  ,   e  . Analise as
afirmativas a seguir:
 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é  .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é  .
 
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
 É correto o que se afirma em:
 
   
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e
II, pois: 
Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por  , cujas
raízes são   (duas raízes reais e distintas). 
 
Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a
saber  , a solução geral é expressa por  . A partir
das condições iniciais, obtemos o seguinte sistema: 
 (i)   
 
(ii)   
 
Resolvendo o sistema, obtemos   e  . Portanto, a solução do PVI é
.
Pergunta 6
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Comentário
Leia o excerto a seguir:
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é  . A queda
de voltagem por causa do indutor é  . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a
soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida  . Então. temos
 , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a
corrente no instante  ” (STEWART, 2016, p. 537).
 
 STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
 Considerando uma resistência de  , uma indutância de   e uma voltagem
constante de  , assinale a alternativa que corresponde à expressão da
corrente do circuito quando o interruptor é ligado em  .
   
   
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da equação diferencial
1 em 1 pontos
da resposta: fornecida no enunciado,  , e dos valores fornecidos,
 e  , temos que  . Arrumando a
expressão da equação diferencial, temos
. 
 
Tomando   temos  . Para 
, temos que  ,
portanto a expressão da corrente é  .
Pergunta 7
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Comentário
da resposta:
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade
emequação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações
diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a
variável independente é   e a variável dependente é  , temos que: (i) A variável
dependente   e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem
grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente  .
 
 Considere a variável   uma função da variável  , isto é,  . Analise as
afirmativas a seguir.
 
 I. A equação diferencial   é linear.
 II. A equação diferencial   é linear.
 III. A equação diferencial   é linear.
 IV. A equação diferencial   é linear.
   
 Assinale a alternativa correta.
   
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de
linearidade de uma equação diferencial,temos que as afirmativas I, III e IV
estão corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente   e todas
as suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende apenas da
variável independente  .
Pergunta 8
Um circuito elétrico simples composto por um resistor  , um indutor   e uma
força eletromotriz   (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser
modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
 . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem,
considere um resistor de  , uma indutância de   e uma voltagem constante
de  . 
 
 Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
   
   
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO
linear de primeira ordem   é expresso por 
. Dada a EDO  , temos que   e,
portanto, o fator integrante é  .
Pergunta 9
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m.
Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N.
Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida,
seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à
equação diferencial:  , onde   é uma função do tempo   que indica
a posição da massa   e   é a constante elástica. 
 
 Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de
Hooke:  ).
   
   
A posição da massa em qualquer momento   é expressa por
A posição da massa em qualquer momento é expressa por 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes
condições:   (a mola no tempo   está esticada em 0,8 m sendo
seu comprimento natural de 0,5 m; portanto, está deformada em 0,3 m) e 
 (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade
é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor
da constante elástica é:  . Tomando 
 e  na EDO  , obtemos a EDO  .
Resolvendo o PVI:  ,   e   temos que a
solução geral da EDO é   , portanto, a solução do
PVI é  . Portanto,
1 em 1 pontos
Pergunta 10
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Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante
de   um capacitor com capacitância de   e um resistor com uma
resistência de  . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  ,
onde   é a carga, medida em coulombs. 
 
 Dado que  , assinale a alternativa correta. 
   
   
A função corrente é expressa por  .
A função corrente é expressa por .
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da
função carga, isto é,  . A EDO   é uma equação linear
de primeira ordem cuja solução pode ser expressa por
. Dada a EDO
, temos que   e  . Portanto,
sua solução geral é
. Como  , segue que   e, assim, a função carga é expressa por
. Por fim, concluímos que a função corrente é
.
1 em 1 pontos