Matematica avancaçada-101

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- Resposta: À medida que \(x\) se aproxima do infinito, \(6^x\) cresce exponencialmente, 
enquanto \(x^6\) cresce apenas sexticamente. Portanto, o limite é \(+\infty\). 
 
249. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sin(x) + \cos(x)} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos usar a substituição trigonométrica \(u = \tan(\frac{x}{2})\), então 
\(du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) dx\). Reescrevendo \(\sin(x) + \cos(x)\) em termos de 
\(\tan(\frac{x}{2})\), obtemos \(\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} (1 + 
\tan^2(\frac{x}{2})) = \frac{1}{2} (1 + u^2)\). Portanto, a integral se torna \(\int 
\frac{1}{\frac{1}{2} (1 + u^2)} \, du = 2 \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = 2 \arctan(u) + C = 2 
\arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C = 2 \arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C\), onde \(C\) é a constante de 
integração. 
 
250. Encontre a solução para a equação \(11^x = 1331\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(1331\) como \(11^3\), então a equação se torna 
\(11^x = 11^3\). Assim, \(x = 3\). 
 
251. Calcule a derivada de \(f(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\). 
 - Resposta: Aplicando a identidade trigonométrica \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\), a 
derivada é \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x)\). 
 
252. Resolva a equação diferencial \(y'' + 8y' + 12y = 0\). 
 - Resposta: A equação característica associada é \(r^2 + 8r + 12 = 0\), que fatora para \((r 
+ 6)(r + 2) = 0\). Portanto, a solução é \(y(x) = (Ax + B)e^{-6x} + (Cx + D)e^{-2x}\), onde \(A\), 
\(B\), \(C\) e \(D\) são constantes. 
 
253. Determine a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 - 8x + 12} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos reescrever o integrando como \(\frac{1}{(x - 6)(x - 2)}\), e então a 
integral torna-se \(\int \frac{1}{(x - 6)(x - 2)} \, dx = \frac{1}{x - 6 - x + 2} + C = \frac{1}{4} \ln|x - 
6| - \ln|x - 2| + C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
254. Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 8x} - x}{x}\). 
 - Resposta: Podemos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo por 
\(\sqrt{x^2}\), então o limite se torna \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 8x} - x}{x} = \lim_{x 
\to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 8x} - x}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2} + x}{\sqrt{x^2} + x} = \lim_{x \to 
\infty} \frac{x + 8x - x}{x\sqrt{1 + \frac{8}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{8x}{x\sqrt{1 + 
\frac{8}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{8}{\sqrt{1 + 0}} = 8\).