AOL 3 CÁLCULO INTEGRAL 20212C

Prévia do material em texto

1. Pergunta 1 
/1 
O Teorema Fundamental do Cálculo uniu o Cálculo Integral ao Diferencial, 
possibilitando o cálculo de integrais definidas a partir da seguinte igualdade: 
 
Utilizando os seus conhecimentos acerca das integrais definidas e o Teorema 
Fundamental do Cálculo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Diferente das integrais indefinidas, as definidas resultam em uma resposta apenas, 
e não uma família de soluções. 
II. ( ) Esse teorema alia as antiderivadas às integrais. 
III. ( ) Para utilizá-lo, não é necessário definir os limites de integração. 
IV. ( ) 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, V, V, F. 
4. 
V, F, V, V. 
5. 
V, F, F, F. 
2. Pergunta 2 
/1 
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de 
forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], 
pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da 
função. 
Considerando essas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas. 
I. É possível realizar o cálculo da integral da função f(x) = (x²-9)/(x+3), cujo conjunto 
domínio é D = [-6,0]. 
Porque: 
II. A função pode ser simplificada se realizado o produto notável f(x) = (x-
3)(x+3)/(x+3), de forma que f(x) = x-3, sendo então uma função definida em todo o 
intervalo [-6,0] e, integrando, temos a primitiva F(x) = x²/2 – 3x + C e, calculando a 
integral definida, temos F(0) – F(-6) = 0 – 0 + C – (18 + 18 + C) = -36. 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
2. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
3. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta da I. 
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta 
da I. 
3. Pergunta 3 
/1 
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de 
forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], 
pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da 
função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de 
funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1. 
Porque: 
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) 
por outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) 
= cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em uma tabela de integração, 
sendo F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3). 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta da I. 
2. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
3. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
Resposta correta 
4. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta 
da I. 
4. Pergunta 4 
/1 
As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso 
primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de 
movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir 
e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada dividindo a 
figura formada pela curva e o eixo x no maior número possível de retângulos de mesmo 
comprimento e somando as áreas dos mesmos. 
II. ( ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243. 
III. ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2, onde A1 é a 
área entre a curva e o eixo x nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é área das regiões onde f(x) 
< 0. 
IV. ( ) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é uma função 
par. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, F, V. 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
V, V, F, F. 
5. Pergunta 5 
/1 
Conseguir identificar integrais, sendo elas definidas ou não, é fundamental nos estudos 
de Cálculo pelas limitações teóricas que cada uma impõe. Em uma situação aplicada, a 
integral definida funciona como uma ferramenta de mensuração de área para uma 
determinada curva, já a integral indefinida consegue identificar uma família de soluções 
para uma determinada situação. 
Com base no seu conhecimento acerca dessas integrais, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) é uma integral indefinida. 
II. ( ) é uma integral definida. 
III. ( ) é uma integral definida. 
IV. ( ) é uma integral definida. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, F. 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
F, F, V, V. 
4. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
5. 
V, V, V, F. 
6. Pergunta 6 
/1 
Existem diversas propriedades de integração, entre elas a de funções exponenciais, que 
são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral indefinida de f(x) = e^x + e^(2x) resulta na primitiva F(x) = 
(½)(e^x)(e^x + 2). 
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = (⅗)x no intervalo [1, e] é igual a 3/5. 
III. ( ) A função h(x) = e^x + x² apresenta apenas valores positivos de integral, qualquer 
que seja o intervalo de integração. 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = 1/(2x+1) resulta na primitiva I(x) = ln(2x+1)/2 + 
C. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
F, V, V, F. 
4. 
F, F, F, V. 
5. 
V, F, V, V. 
7. Pergunta 7Crédito total dado 
/1 
As funções exponenciais e logarítmicas estão ligadas, uma é inversa da outra. Apesar de 
serem inversas, o logaritmo natural está presente na integral de uma função exponencial 
qualquer. A relação de ambos se dá da seguinte forma: 
 
Utilizando seus conhecimentos sobre as integrais logarítmicas e exponenciais, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. Ao calcular por essa relação, obtém-se 
II. O a pode assumir qualquer valor real. 
III. Ao calcular por essa relação, obtém-se 
IV.Ao calcular por essa relação, obtém-se 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
I, II e III. 
3. Incorreta: 
I, III e IV. 
4. 
III e IV. 
Resposta correta 
5. 
I, II e IV. 
8. Pergunta 8 
/1 
O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental 
importânciapara o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos 
observados nas ciências naturais. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada 
como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função. 
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites. 
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x). 
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III. 
2. 
I, e IV. 
3. 
I, II e III. 
4. 
II e IV. 
5. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
9. Pergunta 9 
/1 
Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando 
comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, 
quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma 
multiplicação, enquanto, quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um 
logaritmando, o resultado é o expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao 
logaritmando. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus 
conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar 
que: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais. 
2. 
Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa. 
3. 
No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa. 
Resposta correta 
4. 
No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva. 
5. 
Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0. 
10. Pergunta 10 
/1 
Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, 
econômicos e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a derivada e a integral 
possuem significados práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz 
indispensável para a análise quantitativa e qualitativa desses fenômenos. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que 
seja o intervalo de integração. 
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4. 
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x). 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + 
C. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F. 
Resposta correta 
2. 
V, V, V, F. 
3. 
V, F, F, F. 
4. 
V, V, F, V. 
5. 
F, F, V, V.