Matematica avancaçada-153

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19. **Questão 19:** Determine a área da região limitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e o eixo 
\( x \) de \( x = 0 \) a \( x = 4 \). 
 **Resposta:** A área é \( \frac{8}{3} \). Explicação: Integramos a função \( y = \sqrt{x} \) 
de \( x = 0 \) a \( x = 4 \). 
 
20. **Questão 20:** Encontre a solução real da equação \( \log_2(x) = 3 \). 
 **Resposta:** \( x = 8 \). Explicação: Aplicamos a definição de logaritmo para encontrar 
a solução. 
 
Se precisar de mais questões ou de algum esclarecimento adicional, estou à disposição! 
Claro, vamos continuar com mais 30 questões: 
 
21. **Questão 21:** Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{\pi}{4} \). Explicação: Utilizamos a substituição 
trigonométrica para resolver a integral. 
 
22. **Questão 22:** Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 - 2x + 1 \) no 
ponto \( (1, 0) \). 
 **Resposta:** A equação da reta é \( y = 3x - 3 \). Explicação: Utilizamos a derivada para 
encontrar a inclinação da tangente e depois a equação da reta. 
 
23. **Questão 23:** Determine a derivada segunda da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 **Resposta:** A segunda derivada é \( f''(x) = \frac{2}{x^2 + 1} - \frac{4x^2}{(x^2 + 1)^2} \). 
Explicação: Derivamos a função duas vezes utilizando a regra da cadeia. 
 
24. **Questão 24:** Resolva a equação diferencial \( y' - 2xy = 3x^2 \). 
 **Resposta:** \( y = Ce^{x^2} + x^2 - 1 \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Explicação: Utilizamos o método do fator integrante para resolver a equação. 
 
25. **Questão 25:** Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo 
\( x \) de \( x = 0 \) a \( x = \pi \). 
 **Resposta:** A área é \( 2 \). Explicação: Integramos a função \( y = \sin(x) \) de \( x = 0 \) 
a \( x = \pi \).