Aula 7 - Calculo Numérico

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Cálculo Numérico 
Professora Msc. Rúbia Maria Pereira 
 
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Aula 9 
 
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3.3 Método de Newton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟(𝑎) → 𝑎 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
 
O coeficiente angular, nada mais né que a derivada de 𝑦0(𝑦
′
0
), então: 
𝑦′
0
=
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
 𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎, 𝑓′(𝑥0) =
𝑦 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
Se substituirmos o x e y pelo ponto 𝑥1, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝑓′(𝑥0) =
0 − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
→ 𝑓′(𝑥0) =
−𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
 
Queremos descobrir 𝑥1, então: 
(𝑥1 − 𝑥0)𝑓
′(𝑥0) = −𝑓(𝑥0) → (𝑥1 − 𝑥0) = −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
 
Para determinar 𝑥2: 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1)
 
Generalizando: 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
 
Exemplo: Determinar 𝜀 ∈ [0,1] da equação 𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0. 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 2 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 − 2 
 
i 𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛) 𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
∆ 
0 0,5 0,625 -3,25 -0,192 0,692 - 
1 0,692 -0,010 -3,331 0,003 0,689 0,192 
2 0,689 0,000 -3,332 0,000 0,689 0,002 
A tolerância foi alcançada: ∆< 10−2 
 
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Professora Msc. Rúbia Maria Pereira 
 
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Exemplo: Determinar 𝜀 ∈ [0,1] da equação 𝑒−𝑥 − 𝑥 = 0. 
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 − 𝑥 
𝑓′(𝑥) = 𝑒−𝑥 − 1 
 
i 𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛) 𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
∆ 
0 0,5 0,107 -1,607 -0,067 0,567 - 
1 0,567 0,000 -1,567 0 0,567 0,067 
2 0,567 0 -1,567 0 0,567 0 
A tolerância foi alcançada: ∆< 10−2 
 
Aplicação: 
A empresa na qual você trabalha está comprando equipamentos de segurança para os 
engenheiros cujo preço a vista é de R$4.200,00. A empresa não possui o valor dos 
equipamentos. O vendedor oferece a seguinte operação: entrada de R$2.400,00 e mais 3 
parcelas de R$1.000,00. Qual o valor da taxa de juros que está sendo aplicada? 
Lembrando que 𝑀 = 𝐶𝑜(1 + 𝑖)𝑡 → 𝐶𝑜 =
𝑀
(1+𝑖)𝑡
 
 
2400 =
1000
(1 + 𝑖)1
+
1000
(1 + 𝑖)2
+
1000
(1 + 𝑖)3
 
Vamos considerar (1 + 𝑖) = 𝑥 
2400 =
1000
𝑥
+
1000
𝑥²
+
1000
𝑥³
 
2400 =
1000𝑥²
𝑥³
+
1000𝑥
𝑥³
+
1000
𝑥³
 
 
2400𝑥3 = 1000𝑥2 + 1000𝑥 + 1000 
Dividindo a equação toda por 100: 
24𝑥3 − 10𝑥2 − 10𝑥 − 10 = 0 
Dividindo a equação toda por 2: 
12𝑥3 − 5𝑥2 − 5𝑥 − 5 = 0 
 
 
𝑓(𝑥) = 12𝑥3 − 5𝑥2 − 5𝑥 − 5 
𝑓′(𝑥) = 36𝑥2 − 10𝑥 − 5 
 
i 𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 𝑓′(𝑥𝑛) 𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
∆ 
0 1,5 16,75 61 0,278 1,225 - 
1 1,225 3,431 36,772 0,093 1,132 0,275 
2 1,12 0,340 29,811 0,011 1,121 0,093 
3 1,121 0,016 29,029 0,001 1,12 0,011 
4 1,12 -0,013 28,958 0,0001 1,12 0,001 
A tolerância foi alcançada: ∆< 10−2 
 
 
Exercícios: 
1) Determinar 𝜀 ∈ [2,3] da equação 𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0. 
2) Determinar 𝜀 ∈ [−2,1] da equação 𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0.