Matemática para Finanças Modelos de Mercado em Tempo Discreto e Gestão de Carteira

Economia I

•
UNESP

floraarodriguess
17/05/2024
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Matemática para Finanças
Modelos de Mercado em Tempo Discreto e Gestão de Carteira
Sérgio Kannebley Jr.
USP - Ribeirão Preto
October 3, 2023
Sérgio Kannebley Jr. Matemática para Finanças FEA-RP 1 / 54
Sumário
1. Modelos dos Mercados Acionário e Monetário
2. Estratégias de Investimento
3. Risco
4. Dois Valores Mobiliários
5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
6. Valores Mobiliários Diversos
7. Fronteira Eficiente
8. CAPM - Modelo de Precificação de Ativos Financeiros
9. Fator Beta
10. Reta do Mercado de T́ıtulos (SML)
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1. Modelos dos Mercados Acionário e Monetário
Suponha que m ativos arriscados estão sendo negociados. Serão
chamados de ações. Seus preços no tempo n = 0, 1, 2,... são
denotados por S1(n), ...,Sm(n).
Além disso, os investidores tem à disposição um ativo livre de risco,
isto é, um investimento no mercado monetário.
▶ A(n) como o preço do t́ıtulo no tempo n, com A(0) = 1.
As posições de risco nos ativos de número 1, . . . , m serão denotadas
por x1, . . . , xm, respectivamente.
A posição livre de risco será denotada por y.
A ”riqueza” de um investidor que detenha tais posições no tempo n
será
V (n) =
m
∑
j=1
xjSj (n) + yA(n) (1)
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Suposições do Modelo
Suposição 4.1 (Aleatoriedade)
▶ Os preços futuros das ações S1(n), ...,Sm(n) são variáveis aleatórias
para qualquer n = 1, 2,...
▶ Os preços futuros A(n) do t́ıtulo de d́ıvida livre de risco para qualquer n
= 1, 2,... são números conhecidos.
Suposição 4.2 (Positividade dos Preços)
▶ Todos os preços de ações e t́ıtulos são estritamente positivos, S(n) > 0
e A(n) > 0 para n = 0, 1, 2,... .
Suposição 4.3 (Divisibilidade, Liquidez e Venda a Descoberto)
▶ Um investidor pode comprar, vender ou manter qualquer número xk de
ações de cada tipo k = 1, ...,m e tomar qualquer posição livre de risco
y, seja total ou fracional, negativa, positiva ou nula. Isto é:
x1, ..., xm, y ∈ R
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Suposições do Modelo
Suposição 4.4 (Solvência)
▶ A “riqueza” de um investidor deve ser não negativa todas as vezes,
V (n) ≥ 0 para n = 0, 1, 2....
Suposição 4.5 (Preços unitários discretos)
▶ Para cada n = 0, 1, 2, ..., os preços de ação S1(n), ...,Sm(n) são
variáveis aleatórias que tomam um número finito de valores.
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Estratégias de Investimento
As posições mantidas pelos investidores podem ser alteradas a
qualquer tempo
Os recursos dispońıveis são aqueles em portfólio, não havendo
vazamentos para consumo ou entrada de novos recursos;
Decisões de alocação são tomadas apenas com base na informação
corrente;
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2. Estratégias de Investimento
Definição 4.1: Uma carteira é um vetor (x1(n), ..., xm(n), y(n)) que
indica o número de ações e t́ıtulos mantidos por um investidor entre
os peŕıodos n− 1 e n.
Uma sequência de carteiras indexada por n = 1, 2, . . . é conhecida
como uma estratégia de investimento. A “riqueza” de um investidor
ou o valor da estratégia no tempo n ≥ 1 é
V (n) =
m
∑
j=1
xj (n)Sj (n) + y(n)A(n) (2)
No tempo n = 0, a ”riqueza” inicial é dada por
V (0) =
m
∑
j=1
xj (1)Sj (0) + y(1)A(0) (3)
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2. Estratégias de Investimento
Definição 4.2: Uma estratégia de investimento é chamada de
autofinanciável se a carteira constrúıda no tempo n ≥ 1 a ser
mantida no próximo tempo n+ 1 for inteiramente financiada pela
“riqueza” atual V (n), isto é
m
∑
j=1
xj (n+ 1)Sj (n) + y(n+ 1)A(n) = V (n) (4)
Definição 4.3: Uma estratégia de investimento é considerada
previśıvel se para cada n = 0, 1, 2, . . . a carteira
(x1(n+ 1), . . . , xm(n+ 1), y(n+ 1)) constrúıda no tempo n depender
somente dos nós da árvore de cenários de mercado alcançáveis até o
tempo n.
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2. Estratégias de Investimento
Proposição 4.1: Dada a riqueza inicial V (0) e a sequência previśıvel
(x1(n), . . . , xm(n)), n = 1,2.. das posições nos ativos arriscados, é
sempre posśıvel encontrar uma sequência y(n) de posições livres de
risco tal que (x1(n), . . . , xm(n), y(n)) é uma estratégia de
investimento de autofinanciável previśıvel.
Definição 4.4: Uma estratégia é considerada admisśıvel se for
autofinanciável, previśıvel e para cada n = 0, 1, 2, . . .
V (n) ≥ 0 (5)
com probabilidade 1.
Suposição 4.6 (Prinćıpio da Não-Arbitragem):Não há estratégia
admisśıvel tal que V (0) = 0 e V (n) > 0 com probabilidade positiva
para algum n = 1, 2, ....
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Exemplo
Uma possibilidade de lucros sem risco e sem investimento inicial pode
surgir quando os participantes do mercado cometem um erro.
▶ Suponha que o negociante A em Nova York ofereça comprar libras
britânicas a uma taxa dA = 1,62 dólares por libra, enquanto que um
negociante em Londres venda libras à taxa dB = 1,60;
▶ Se esse fosse o caso, os negociantes estariam, na prática, distribuindo
dinheiro de graça. Um investidor sem capital inicial poderia obter um
lucro de dA - dB = 0,02 dólares por cada libra negociada, tomando
simultaneamente uma posição vendida com o negociante B e uma
posição comprada com o negociante A.
▶ A demanda por seus generosos serviços rapidamente levaria os
negociantes a ajustar as taxas de câmbio para que essa oportunidade
lucrativa desaparecesse.
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2. Estratégias de Investimento
Teorema 4.4 (Teorema Fundamental da Precificação de Ativos): O
Prinćıpio da Não-Arbitragem é equivalente à existência de uma
probabilidade P∗ no conjunto de cenários Ω tal que P∗(ω) > 0 para
cada cenário ω ∈ Ω e os preços descontados das ações
S̃j (n) = Sj (n)/A(n) satisfazem a:
E∗(S̃j (n+ 1)|S(n)) = S̃j (n) (6)
para qualquer j = 1, . . . ,m e n = 0, 1, 2, ..., onde E∗(.|S(n)) denota
a expectativa condicional relacionada à probabilidade P∗ calculada,
uma vez que o preço da ação S(n) se torna conhecido no tempo n.
Definição 4.5: Uma sequência de variáveis aleatórias
X (0),X (1),X (2), . . . tal que
E∗(X (n+ 1)|S(n)) = X (n) (7)
para cada n = 0, 1, 2, ... é considerado um martingale relacionado a
P∗.
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3. Risco
Uma medida adequada de risco precisa capturar os seguintes dois
aspectos:
1 As distâncias entre um certo valor de referência e as taxas de retorno
em cada cenário de mercado;
2 As probabilidades de diferentes cenários.
O retorno K em um investimento de risco é uma variável aleatória em
que:
▶ É natural tomar a expectativa E (K ) como valor de referência;
▶ A variância Var(K) se revela uma medida de risco conveniente
▶ Em algumas circunstâncias, o desvio padrão σK =
√
Var(K ) do
retorno é uma medida mais conveniente de risco (mesma unidade de
medida que o retorno).
Var(aK ) = a2Var(K )
σaK = |a|σK
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4. Dois valores Mobiliários
Se V (0) = x1(1)S1(0) + x2(1)S2(0) então:
w1 =
x1(1)S1(0)
V (0)
e w2 =
x2(1)S2(0)
V (0)
(8)
w1 + w2 = 1, sendo que se há venda a descoberto o peso pode ser
negativo e outro superior a 1.
Proposição 5.1: O retorno KV em uma carteira que consiste em dois
t́ıtulos (valores mobiliários) é a média ponderada dos seus retornos:
KV = w1K1 + w2K2 (9)
em que w1 e w2 são os pesos e K1 e K2 são os retornos nos dois
componentes.
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
O retorno esperado em uma carteira contendo dois valores mobiliários
pode ser facilmente expressado em termosde pesos e nos retornos
esperados nos componentes
E (KV ) = w1E (K1) + w2E (K2). (10)
Teorema 5.2: A variância do retorno em uma carteira é dada por
Var(KV ) = w2
1Var(K1) + w2
2Var(K2) + 2w1w2Cov(K1,K2). (11)
Para evitar confusão, adotadores a seguinte notação:
µV = E (KV ), σV =
√
Var(KV )
µ1 = E (K1), σ1 =
√
Var(K1)
µ2 = E (K2), σ2 =
√
Var(K2)
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
Podemos, também, usar o coeficiente de correlação
ρ1,2 =
Cov(K1,K2)
σ1σ2
. (12)
As expressões (10) e (11) podem ser escritas como:
µV = w1µ1 + w2µ2, (13)
σ2
V = w2
1 σ2
1 + w2
2 σ2
2 + 2w1w2ρ1,2σ1σ2. (14)
Proposição 5.3: A variância σ2
V de uma carteira não pode exceder a
maior das variâncias σ2
1 e σ2
2 dos componentes,
σ2
V ≤ max{σ2
1 , σ2
2}, (15)
se vendas a descoberto não são permitidas.
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
Proposição 5.4: Se ρ1,2 = 1, então σV = 0 quando σ1 ̸= σ2 e
w1 =
−σ2
σ1 − σ2
,w2 =
σ1
σ1 − σ2
. (16)
(Venda a descoberto será necessária, uma vez que w1 ou w2 é
negativo.)
Se ρ1,2 = −1, então σV = 0 para
w1 =
σ2
σ1 + σ2
, w2 =
σ1
σ1 + σ2
. (17)
(Nenhuma venda a descoberto será necessária, desde que w1 e w2 são
ambos positivos.)
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
Cada carteira pode ser representada por um ponto com coordenadas
σV e µV no plano σ, µ.
Retas t́ıpicas de uma carteira com ρ1,2 = −1 e 1
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
Para −1 < ρ1,2 < 1, a carteira com a variância ḿınima é alcançada
em
s0 =
σ2
1 − ρ1,2σ1σ2
σ2
1 + σ2
2 − 2ρ1,2σ1σ2
. (18)
Se vendas a descoberto não são permitidas, então a menor variância é
alcançada em
smin =

0 s0 < 0
s0 0 ≤ s0 ≤ 1
1 1 < s0
(19)
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
O ḿınimo de σ2
V como uma função de s
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
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5.Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
À medida que s vai de 0 a 1, o que ocorre no plano (µV , σV )
Curvas t́ıpicas de uma carteira com −1 < ρ1,2 < 1
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
Corolário 5.6: Suponha que σ1 ≤ σ2. Os três casos seguintes são
posśıveis:
1 Se −1 ≤ ρ1,2 < σ1σ2. Então
σ1
σ1+σ2
> s0 > 0 e 0 < s0 < 1 dado que
σ1
σ1+σ2
< 1. Então s0 = smin e σV < σ1 (linhas 4 e 5);
2 Se ρ1,2 = σ1
σ2
, então s0 = 0 e há uma carteira sem venda a descoberto
tal que σV ≥ σ1 (linha 3);
3 Se σ1
σ2
< ρ1,2 ≤ 1. Com isso, σ2
1 < ρ1,2σ1σ2 < σ2
2 , então s0 < 0.
Haverá uma carteira com venda a descoberto tal que σV < σ1. Para
s > s0, σV é uma função crescente de s, de modo que σv ≥ σ1 (linhas
1 e 2).
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
Retas da carteira para vários valores de ρ1,2
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5. Risco e Retorno Esperado em uma Carteira
Proposição 5.7: O desvio padrão σV de uma carteira consistindo de
um valor mobiliário arriscado com retorno esperado µ1 e desvio
padrão σ1 > 0, e um valor mobiliário livre de risco com retorno rF e
desvio padrão nulo depende do peso w1 do valor mobiliário arriscado
da seguinte forma:
σV = |w1|σ1. (20)
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6. Valores Mobiliários Diversos
Uma carteira constrúıda por diferentes n valores mobiliários pode ser
descrita na expressão de seus pesos
wi =
xiSi (0)
V (0)
, i = 1, ..., n (21)
onde xi é o número de ações do tipo i na carteira, Si (0) é o preço
inicial do valor mobiliário i , e V (0) é o tanto inicialmente investido
na carteira.
w =
[
w1 w2 . . . wn
]
(22)
os pesos somam um, que pode ser escrito em forma matricial como
1 = uwT (23)
onde
u =
[
1 1 . . . 1
]
(24)
e wT é a matriz transposta de w .
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6. Valores Mobiliários Diversos
O conjunto alcançável consiste em todas as carteiras com pesos w
satisfazendo a expressão (23), chamadas de carteiras alcançáveis.
Suponha que os retornos dos valores mobiliários são K1, . . . ,Kn. Os
retornos esperados µi = E (Ki ), para i = 1, . . . , n vão também ser
arranjados em uma nova matriz de única linha.
m =
[
µ1 µ2 . . . µn.
]
(25)
As covariâncias entre os retornos vão ser representadas por
cij = Cov(Ki ,Kj ). Eles são as inscrições da matriz de covariância nxn
C =

c11 c12 . . . c1n
c21 c22 . . . c2n
...
...
. . .
...
cn1 cn2 . . . cnn
 (26)
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6. Valores Mobiliários Diversos
Sabe-se que a matriz de covariância é simétrica e definida positiva,
em que cii = Var(Ki ). Portanto, C tem um inversa C−1.
Proposição 5.8: O retorno esperado µV = E (KV ) e variância
σ2
V = Var(KV ) de uma carteira com os pesos w são dados por
µV = E (KV ) = E (
n
∑
i=1
wiKi ) = mwT
σ2
V = Var(
n
∑
i=1
wiKi ) = Cov(
n
∑
i=1
wiKi
n
∑
i=1
wiKi ) =
n
∑
i=1
wiwjcij = wCwT
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6. Valores Mobiliários Diversos
Portanto
µV = mwT (27)
σ2
V = wCwT (28)
Devemos, também, resolver os dois problemas a seguir:
1 Encontrar a carteira com a menor variância no conjunto alcançável :
carteira de variância ḿınima.
2 Encontrar a carteira com a menor variância entre todas as carteiras no
conjunto alcançável cujo o retorno esperado é igual a um número dado
µV .
⋆ A faḿılia de tais carteiras, parametrizados por µV , é chamada de reta
de variância ḿınima.
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6. Valores Mobiliários Diversos
Proposição 5.9 (Carteira de Variância Mı́nima): A carteira com a
menor variância no conjunto alcançável tem pesos
w =
uC−1
uC−1uT
, (29)
desde que o denominador seja diferente de zero.
Proposição 5.10 (Reta de Variância Mı́nima): A carteira com a menor
variância no conjunto alcançável tem pesos
w =
[
1 uC−1mT
µV mC−1mT
]
uC−1 +
[
uC−1uT 1
mC−1uT µV
]
mC−1[
uC−1uT uC−1mT
mC−1uT mC−1mT
] (30)
desde que o determinante do denominador seja diferente de zero. Os
pesos dependem linearmente de µV .
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6. Valores Mobiliários Diversos
O limite, mostrado como uma linha em negrito, representa a reta de
variância ḿınima. A sua forma é conhecida como Markowitz Bullet
(Bala de Markowitz). A parte mais escura representa as carteiras sem
venda a descoberto.
Carteiras alcançáveis no plano σ, µ.
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7. Fronteira Eficiente
Definição 5.1: Dizemos que um valor mobiliário com retorno esperado
µ1 e desvio padrão σ1 domina um outro valor mobiliário com retorno
esperado µ2 e desvio padrão σ2 sempre que
µ1 ≥ µ2 e σ1 ≤ σ2. (31)
Esta definição se estende facilmente a carteiras que podem,
claramente, serem consideradas como t́ıtulos por direito próprio.
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7. Fronteira Eficiente
Redução do risco usando um valor mobiliário dominado
Definição 5.2: Uma carteira é chamada de eficiente se não houver
nenhuma outra carteira, exceto ela mesma, que a domine. O conjunto
de carteiras eficientes entre todas as carteiras alcançáveis é chamado
de fronteira eficiente.
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7. Fronteira Eficiente
Todo investidor racional escolherá uma carteira eficiente, sempre
preferindo umacarteira dominante a uma carteira dominada.
▶ Ou uma carteira eficiente tem o retorno esperado mais alto entre todas
as carteiras alcançáveis com mesmo desvio padrão(mesmo risco)
▶ Ou, tem o mais baixo desvio padrão(o risco mais baixo) entre todas as
carteiras alcançáveis com o mesmo retorno esperado.
Proposição 5.11: Considere duas carteiras na reta de variância
ḿınima, com pesos w ′ e w”. Logo, a reta de variância ḿınima
consiste de carteiras com pesos cw ′ + (1− c)w” para qualquer
c ∈ R e apenas para tais carteiras.
A fronteira eficiente consiste de todos os portfólios na reta de
variância ḿınima cujos retornos esperados são maiores ou igual ao
retorno do portfólio de variância ḿınima global.
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7. Fronteira Eficiente
Fronteira eficiente constrúıda através de diversos valores mobiliários
Proposição 5.12: Os pesos w de qualquer carteira pertencendo à
fronteira eficiente(exceto para a carteira de variância ḿınima)
satisfazem a condição
γwC = m− µu (32)
para alguns números reais γ > 0 e µ.
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8. CAPM - Modelo de Precificação de Ativos Financeiros
Estimação de C pode ser computacionalmente intensiva
Modelo CAPM oferece uma solução computacionalmente mais
eficiente
Oferece um entendimento simplificado do fenômeno econômico,
baseado na suposição de expectativas homogêneas:
▶ Todo agente (investidor) utiliza o mesmo conjunto de estimativas para
retornos esperados, variâncias e covariancias entre os retornos;
▶ Isto implica que a fronteira eficiente para todos os agentes será a
mesma;
▶ As decisões de alocações diferem em razão das diferenças no grau de
aversão ao risco.
Vamos assumir que além dos ativos de risco os agentes tem acesso a
recursos a uma taxa livre de risco, rF .
Sérgio Kannebley Jr. Matemática para Finanças FEA-RP 43 / 54
8. CAPM - Modelo de Precificação de Ativos Financeiros
De acordo com as suposições do CAPM, todo investidor racional
selecionará sua carteira nessa semirreta chamada de Reta do Mercado
de Capitais(CML - Capital Market Line).
Fronteira eficiente para carteiras com um valor mobiliário livre de risco
Sérgio Kannebley Jr. Matemática para Finanças FEA-RP 44 / 54
8. CAPM - Modelo de Precificação de Ativos Financeiros
Todo investidor irá selecionar uma carteira no CML → todos
manterão uma carteira com as mesmas proporções relativas de valores
mobiliários de risco.
Para ser consistente com o equiĺıbrio de mercado a carteira com
desvio padrão σM e retorno esperado µM tem que conter todos os
valores mobiliários arriscados com pesos igual a suas ações relativas
no mercado inteiro → carteira de mercado.
O CML se juntando ao valor mobiliário livre de risco e a carteira de
mercado satisfaz a seguinte equação
µ = rF +
µM − rF
σM
σ. (33)
Para uma carteira sobre a CML com risco σ, o termo
µM−rF
σM
σ é
chamado de prêmio de risco. Este retorno adicional acima do ńıvel
sem risco causa compensação pela exposição ao risco.
Sérgio Kannebley Jr. Matemática para Finanças FEA-RP 45 / 54
9. Fator Beta
É importante entender como o retorno KV em uma dada carteira ou
um único valor mobiliário vai reagir a tendências afetando todo o
mercado.
Assim, podemos traçar os valores de KV para cada cenário de
mercado contra os do retorno KM na carteira de mercado e calcular a
reta de melhor ajuste, também conhecida como a reta de regressão
ou a reta caracteŕıstica.
y = βV x + αV . (34)
Reta de melhor ajuste
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9. Fator Beta
Para qualquer β dado e α, os valores de uma variável aleatória
α + βKM podem ser considerados como previsões para o retorno da
carteira trabalhada.
A diferença ε = KV − (α + βKM) entre o retorno real KV e o retorno
previsto α + βKM se dá o nome de variável aleatória residual.
βV =
Cov(KV ,KM)
σ2
M
, αV = µV − βV µM . (35)
em que µV = E (KV ), µM = E (KM) e σ2
M = Var(KM).
Definição 5.3: Chamamos
βV =
Cov(KV ,KM)
σ2
M
(36)
de fator beta da dada carteira ou do dado valor mobiliário.
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9. Fator Beta
σ2
V = Var(εV ) + β2
V σ2
M (37)
O primeiro termo Var(εV ) é conhecido como a variância residual ou
risco diversificável.
O segundo termo β2
V σ2
M é chamado de sistemático ou risco não
diversificável.
O fator beta βV pode ser considerado como uma medida de risco
sistemático associado a um valor mobiliário ou a uma carteira.
Maior o risco sistemático, maior o retorno requirido pelos investidores
como um prêmio por se exporem a esse tipo de risco.
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10. Reta do Mercado de T́ıtulos (SML)
Pela Proposição 5.12
γwMC = m− µu (38)
para alguns números γ > 0 e µ. O fator beta da carteira com pesos
wV podem, então, serem escritas como
βV =
Cov(KV ,KM)
σ2
M
=
wMCwT
V
wMCwT
M
=
γ(m− µu)wT
V
γ(m− µu)wT
M
=
µV − µ
µM − µ
.
(39)
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10. Reta do Mercado de T́ıtulos (SML)
µv = (1− βV )µ + βV µM (40)
Se βV = 0 então µV = µ
Substituindo βF e rF por βV e µV , repesctivamente, sendo βF = 0,
então µ = rF .
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10. Reta do Mercado de T́ıtulos (SML)
Teorema 5.13: O retorno esperado µV em uma carteira (ou um valor
mobiliário individual) é uma função linear do coeficiente beta βV da
carteira,
µV = rF + (µM − rF )βV . (41)
Reta do Mercado de Capitais e Reta do Mercado de T́ıtulos
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10. Reta do Mercado de T́ıtulos (SML)
Suponha, por exemplo, que
µV > rF + (µM − rF )βV (42)
para um valor mobiliário particular. Neste caso, os investidores vão
querer aumentar suas posições relativas neste valor mobiliário, que
oferece um retorno esperado maior do que requerido como
compensação pelo risco sistemático.
Por outro lado, se a desigualdade reversa
µV < rF + (µM − rF )βV (43)
fica mantida, os investidores vão querer vender o valor mobiliário.
Nesse caso, a oferta vai superar a demanda, o preço vai cair e o
retorno esperado vai aumentar.
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