Limites, Derivadas e Integrais

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Claro, vamos continuar: 
 
51. Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada do tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), 
então podemos usar a regra de L'Hôpital. A derivada de \(\ln(x)\) é \(\frac{1}{x}\), e a 
derivada de \(x\) é 1. Assim, \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\). 
 
52. Se \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), qual é o valor de \(f'(2)\)? 
 a) \(f'(2) = -\frac{1}{4}\) 
 b) \(f'(2) = -\frac{1}{2}\) 
 c) \(f'(2) = -1\) 
 d) \(f'(2) = -2\) 
 **Resposta:** a) \(f'(2) = -\frac{1}{4}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) é \(f'(x) = -\frac{2}{x^3}\). 
Substituindo \(x = 2\), obtemos \(f'(2) = -\frac{1}{4}\). 
 
53. Qual é o resultado de \(\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\)? 
 a) \(\sin^{-1}(x) + C\) 
 b) \(\cos^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 d) \(\sec^{-1}(x) + C\) 
 **Resposta:** b) \(\cos^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação:** Esta integral resulta na função arco-cosseno, que é representada por 
\(\cos^{-1}(x)\). 
 
54. Se \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\), qual é o valor de \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right)\)? 
 a) \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1\)